Производная по направлению.

Пусть в плоскости XOY расположена точка M 0 (x 0 ,y 0 ). Зададим произвольный угол a и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул

x = x 0 + t cosa, y = y 0 + t sina. (1)

Здесь t ‑ параметр, который может быть равен любому числу. Из формул (1) следует:

(y - y 0)/(x - x 0) = tga

Это означает, что все точки M (x,y ), координаты которых удовлетворяют равенствам (1), лежат на прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 ,y 0) и составляющей угол a с осью OX . Каждому значению t соответствует единственная точка M (x,y ), лежащая на этой прямой, причем согласно формуле (1) из расстояние между точками M 0 (x 0 ,y 0) и M (x,y ) равно t . Можно считать эту прямую числовой осью с положительным направлением, определяемым возрастанием параметра t . Обозначим положительное направление этой оси символом l .

l .Производной функции z = f (x,y ) в точке M 0 (x 0 ,y 0)по направлению l называется число

Производной функции по направлению можно дать геометрическую интерпретацию. Если через прямую l , определяемую формулами (1), провести вертикальную плоскость P (на самом деле в трехмерном пространстве уравнения (1) определяют эту самую плоскость), то эта плоскость пересечет поверхность-график функции z = f (x,y ) вдоль

некоторой пространственной кривой L . Тангенс угла между горизонтальной плоскостью и касательной к этой кривой в точке M 0 (x 0 ,y 0)равен производной функции в этой точке по направлению l .

В любом курсе математического анализа доказывается, что производная по направлению, определяемая формулой (2), может быть представлена в виде

Заметим, что частная производная по x тоже является производной по направлению. Это направление определяется равенствами: cosa = 1; sina = 0. Аналогично частная производная по y - это производная по направлению, которое можно задать условиями cosa = 0; sina = 1.

Прежде, чем анализировать формулу (3), приведем некоторые понятия и факты из курса векторной алгебры. Пусть в плоскости с системой координат XOY задан направленный отрезок или (что то же самое) вектор, причем точка M 0 (x 0 ,y 0)является его начальной точкой, а M 1 (x 1 ,y 1)‑ конечной точкой. Определим координату вектора по оси OX как число, равное x 1 ‑ x 0 , а координату по оси , как число, равное y 1 ‑ y 0 . Если задать упорядоченную пару любых чисел a и b , то эти числа можно рассматривать как координаты некоторого вектора в плоскости XOY , причем длина этого вектора определена формулой

,

а тангенс угла наклона g вектора к оси OX определяется из формулы tgg = b/a (отметим, что зная величину tgg , а также знак любого из чисел a и b , мы можем определить угол g с точностью до 2p ).

Представление вектора в виде пары его координат будем записывать в виде . Такое представление имеет одну характерную особенность: оно не определяет местоположение вектора на плоскости XOY . Чтобы его определить, нужно наряду с координатами вектора задавать, например, координаты его начальной точки или, как её можно назвать, точки приложения вектора.

Если заданы два вектора: и , то скалярным произве­дением этих векторов называется число (j ‑ угол между векторами).

В любом курсе векторной алгебры доказывается, что скалярное произведение векторов и равно сумме произведений одноименных координат этих векторов:

= a 1 b 1 + a 2 b 2 . (4)

Пусть в некоторой области G плоскости XOY задана функция z = f (x,y ) , имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам.

Градиентом или вектором-градиентом функции f(x,y) в точке (x,y) Î G называется вектор, который задается формулой

.

Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки.

Возвратимся теперь к формуле (3). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них ‑ вектор-градиент функции z = f (x,y ) в точке M 0 (x 0 ,y 0):

.

Второй – вектор . Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси Ox, равный a .

Теперь можно сделать вывод, что производная функции z = f (x,y ) по направлению, определяемому углом a наклона к оси OX , в точке M 0 (x 0 ,y 0) может быть вычислена по формуле

. (5)

Здесь b ‑ угол между вектором и вектором , задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что

Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М(x, y, z) и точке М 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Проведем через точки М и М 1 вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

Расстояние между точками М и М 1 на векторе обозначим DS.

где величины e 1 , e 2 , e 3 – бесконечно малые при .

Из геометрических соображений очевидно:

Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора .

Из этого уравнения следует следующее определение:

Предел называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора в точке с координатами (x, y, z).

Поясним значение изложенных выше равенств на примере.

Пример 9.1. Вычислить производную функции z = x 2 + y 2 x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .

Находим частные производные функции z в общем виде:

Значения этих величин в точке А:

Для нахождения направляющих косинусов вектора производим следующие преобразования:

=

За величину принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cosa = ; cosb = -

Окончательно получаем: - значение производной заданной функции по направлению вектора .

Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке

,

то этот вектор называется градиентом функции u.

При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.

Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов

.

Тогда производная по направлению некоторого вектора равняется проекции вектора gradu на вектор .

Доказательство: Рассмотрим единичный вектор и некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов и gradu .

Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s.

Т.е. . Если угол между векторами gradu и обозначить через j, то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать:

Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией вектора grad u на вектор .

Теорема доказана.

Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции.

Скалярным полем называется часть пространства (или все пространство), каждой точке, которой соответствует численное значение некоторой скалярной величины.

Примеры

Тело, имеющее в каждой точке определенное значение температуры – скалярное поле.

Неоднородное тело, каждой точке которой соответствует определенная плотность – скалярное поле плотности.

Во всех этих случаях скалярная величина U не зависит от времени, а зависит от положения (координат) точки М в пространстве, то есть - это функция трех переменных, она называется функцией поля . И обратно, всякая функция трех переменных u=f(x, y, z) задает некоторое скалярное поле.

Функция плоского скалярного поля зависит от двух переменных z=f(x, y) .

Рассмотрим скалярное поле u=f(x, y, z).

Вектор, координатами которого являются частные производные функции, вычисленные в заданной точке, называется градиентом функции в этой точке или градиентом скалярного поля.

Рассмотрим некоторый вектор и на нем две точки M 0 (x 0 , y 0 , z 0) и . Найдем приращение функции в направлении :

Производной по направлению называется следующий предел, если он существует:

где - направляющие косинусы вектора ; α, β, γ - углы, которые образует вектор с осями координат, если .

Для функции двух переменных эти формулы принимают вид:

или ,

так как .

Между градиентом и производной по направлению в одной и той же точке существует связь.

Теорема. Скалярное произведение градиента функции на вектор некоторого направления равно производной данной функции в направлении этого вектора:

.

Следствие. Производная по направлению имеет наибольшее значение, если это направление совпадает с направлением градиента (обосновать самостоятельно, используя определение скалярного произведения и считая, что ).

Выводы:

1. Градиент – это вектор, показывающий направление наибольшего возрастания функции в данной точке и имеющий модуль, численно равный скорости этого возрастания:

.

2. Производная по направлению – это скорость изменения функции в направлении : если , то функция в этом направлении возрастает, если , то функция убывает.

3. Если вектор совпадает с одним из векторов , то производная по направлению этого вектора совпадает с соответствующей частной производной.

Например, если , тогда .

Пример

Даны функция , точка А(1, 2) и вектор .

Найти: 1) ;

Решение

1) Найдем частные производные функции и вычислим их в точке А.

, .

Тогда .

2) Найдем направляющие косинусы вектора :

Ответ: ; .

Литература [ 1,2]

Вопросы для самопроверки:

1.Что называется функцией двух переменных, ее областью определения?

2. Как определяются частные производные?

3. В чем состоит геометрический смысл частных производных?

4. Что называется градиентом скалярного поля в данной точке?

5. Что называется производной по направлению?

6. Сформулируйте правила нахождения экстремумов функции двух переменных.

Вариант 1

Задание №1

а) ; б) ;

в) ; г) .

Задание №2 Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построитьсхематический график функции.

Задание № Дано комплексное число Z. Требуется: записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах. .

Задание №4.

1) у = 3х 5 – sinx, 2) y = tgx, 3) y = , 4) .

Задание №5. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить график. .

Задание № 6. Дана функция z=f(x,y). Проверить выполняется ли тождество F≡0 ?

Задание № 7 Дана функция Z=x 2 +xy+y 2 , точка и вектор . Найти:

1) grad z в точке А ;

2) производную в точке А по направлению вектора .

Вариант 2

Задание №1 Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) ; б) ;

в) ; г) .

Задание №2 Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

Задание №3 Дано комплексное число Z. Требуется: записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах.

Задание №4. Найти производные первого порядка данных функций.

Пусть функция u = f (x, y, z) непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывные частные производные. Выберем в рассматриваемой области точку M(x,y,z) и проведем из нее вектор S , направляющие косинусы которого cosα, cosβ, cosγ. На векторе S на расстоянии Δs от его начала найдем точку М 1 (х+ Δх, у+ Δу, z+ Δz ), где

Представим полное приращение функции f в виде:

Где

После деления на Δs получаем:

Поскольку предыдущее равенство можно переписать в виде:

Градиент.

Определение Предел отношения при называется производной от функции u = f (x, y, z) по направлению вектора S и обозначается .

При этом из (1) получаем:

(2)

Замечание 1. Частные производные являются частным случаем производной по направлению. Например, при получаем:

Замечание 2. Выше определялся геометрический смысл частных производных функции двух переменных как угловых коэффициентов касательных к линиям пересечения поверхности, являющейся графиком функции, с плоскостями х = х 0 и у = у 0 . Аналогичным образом можно рассматривать производную этой функции по направлению l в точке М(х 0 , у 0) как угловой коэффициент линии пересечения данной поверхности и плоскости, проходящей через точку М параллельно оси Oz и прямой l .

Определение Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции u = f (x, y, z) в этой точке, называется градиентом функции u = f (x, y, z).

Обозначение: grad u = .

Свойства градиента.

1. Производная по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора grad u на вектор S . Доказательство. Единичный вектор направления S имеет вид e S ={cosα, cosβ, cosγ}, поэтому правая часть формулы (4.7) представляет собой скалярное произведение векторов grad u и e s , то есть указанную проекцию.

2. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, равное |grad u |, если это направление совпадает с направлением градиента. Доказательство. Обозначим угол между векторами S и grad u через φ. Тогда из свойства 1 следует, что |grad u |∙cosφ, (4.8) следовательно, ее наибольшее значение достигается при φ=0 и равно |grad u |.

3. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u , равна нулю.

Доказательство. В этом случае в формуле (4.8)

4. Если z = f (x,y) – функция двух переменных, то grad f = направлен перпендикулярно к линии уровня f (x,y) = c, проходящей через данную точку.

Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Нахождение наибольших и наименьших значений.

Определение 1. Точка М 0 (х 0 , у 0) называется точкой максимума функции z = f (x, y), если f (x o , y o) > f (x, y) для всех точек (х, у) М 0 .

Определение 2 . Точка М 0 (х 0 , у 0) называется точкой минимума функции z = f (x, y), если f (x o , y o) < f (x, y) для всех точек (х, у) из некоторой окрестности точки М 0 .

Замечание 1. Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции нескольких переменных.

Замечание 2. Аналогичным образом определяется точка экстремума для функции от любого количества переменных.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если М 0 (х 0 , у 0) – точка экстремума функции z = f (x, y), то в этой точке частные производные первого порядка данной функции равны нулю или не существуют.

Доказательство.

Зафиксируем значение переменной у , считая у = у 0 . Тогда функция f (x, y 0) будет функцией одной переменной х , для которой х = х 0 является точкой экстремума. Следовательно, по теореме Ферма или не существует. Аналогично доказывается такое же утверждение для .

Определение 3. Точки, принадлежащие области определения функции нескольких переменных, в которых частные производные функции равны нулю или не существуют, называются стационарными точками этой функции.

Замечание. Таким образом, экстремум может достигаться только в стационарных точках, но не обязательно он наблюдается в каждой из них.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности точки М 0 (х 0 , у 0) , являющейся стационарной точкой функции z = f (x, y), эта функция имеет непрерывные частные производные до 3-го порядка включительно. Обозначим Тогда:

1) f (x, y) имеет в точке М 0 максимум, если AC – B ² > 0, A < 0;

2) f (x, y) имеет в точке М 0 минимум, если AC – B ² > 0, A > 0;

3) экстремум в критической точке отсутствует, если AC – B ² < 0;

4) если AC – B ² = 0, необходимо дополнительное исследование.

Пример. Найдем точки экстремума функции z = x ² - 2xy + 2y ² + 2x. Для поиска стационарных точек решим систему . Итак, стационарная точка (-2,-1). При этом А = 2, В = -2, С = 4. Тогда AC – B ² = 4 > 0, следовательно, в стационарной точке достигается экстремум, а именно минимум (так как A > 0).

Условный экстремум.

Определение 4. Если аргументы функции f (x 1 , x 2 ,…, x n) связаны дополнительными условиями в виде m уравнений (m < n) :

φ 1 (х 1 , х 2 ,…, х n) = 0, φ 2 (х 1 , х 2 ,…, х n) = 0, …, φ m (х 1 , х 2 ,…, х n) = 0, (1)

где функции φ i имеют непрерывные частные производные, то уравнения (1) называются уравнениями связи .

Определение 5. Экстремум функции f (x 1 , x 2 ,…, x n) при выполнении условий (1) называется условным экстремумом .

Замечание. Можно предложить следующее геометрическое истолкование условного экстремума функции двух переменных: пусть аргументы функции f(x,y) связаны уравнением φ(х,у) = 0, задающим некоторую кривую в плоскости Оху . Восставив из каждой точки этой кривой перпендикуляры к плоскости Оху до пересечения с поверхностью z = f (x,y), получим пространственную кривую, лежащую на поверхности над кривой φ(х,у) = 0. Задача состоит в поиске точек экстремума полученной кривой, которые, разумеется, в общем случае не совпадают с точками безусловного экстремума функции f(x,y).

Определим необходимые условия условного экстремума для функции двух переменных, введя предварительно следующее определение:

Определение 6. Функция L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n) , (2)

где λ i – некоторые постоянные, называется функцией Лагранжа , а числа λ i – неопределенными множителями Лагранжа .

Теорема (необходимые условия условного экстремума). Условный экстремум функции z = f (x, y) при наличии уравнения связи φ (х, у) = 0 может достигаться только в стационарных точках функции Лагранжа L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).