Научитесь брать производные от функций. Производная характеризует скорость изменения функции в определенной точке, лежащей на графике этой функции. В данном случае графиком может быть как прямая, так и кривая линия. То есть производная характеризует скорость изменения функции в конкретный момент времени. Вспомните общие правила, по которым берутся производные, и только потом переходите к следующему шагу.
- Прочитайте статью .
- Как брать простейшие производные, например, производную показательного уравнения, описано . Вычисления, представленные в следующих шагах, будут основаны на описанных в ней методах.
Научитесь различать задачи, в которых угловой коэффициент требуется вычислить через производную функции. В задачах не всегда предлагается найти угловой коэффициент или производную функции. Например, вас могут попросить найти скорость изменения функции в точке А(х,у). Также вас могут попросить найти угловой коэффициент касательной в точке А(х,у). В обоих случаях необходимо брать производную функции.
Возьмите производную данной вам функции. Здесь строить график не нужно – вам понадобится только уравнение функции. В нашем примере возьмите производную функции . Берите производную согласно методам, изложенным в упомянутой выше статье:
- Производная:
В найденную производную подставьте координаты данной вам точки, чтобы вычислить угловой коэффициент. Производная функции равна угловому коэффициенту в определенной точке. Другими словами, f"(х) – это угловой коэффициент функции в любой точке (x,f(x)). В нашем примере:
- Найдите угловой коэффициент функции f (x) = 2 x 2 + 6 x {\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} в точке А(4,2).
- Производная функции:
- f ′ (x) = 4 x + 6 {\displaystyle f"(x)=4x+6}
- Подставьте значение координаты «х» данной точки:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 {\displaystyle f"(x)=4(4)+6}
- Найдите угловой коэффициент:
- Угловой коэффициент функции f (x) = 2 x 2 + 6 x {\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} в точке А(4,2) равен 22.
Если возможно, проверьте полученный ответ на графике. Помните, что угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке. Дифференциальное исчисление рассматривает сложные функции и сложные графики, где угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке, а в некоторых случаях точки вообще не лежат на графиках. Если возможно, используйте графический калькулятор, чтобы проверить правильность вычисления углового коэффициента данной вам функции. В противном случае проведите касательную к графику в данной вам точке и подумайте, соответствует ли найденное вами значение углового коэффициента тому, что вы видите на графике.
- Касательная будет иметь тот же угловой коэффициент, что и график функции в определенной точке. Для того, чтобы провести касательную в данной точке, двигайтесь вправо/влево по оси Х (в нашем примере на 22 значения вправо), а затем вверх на единицу по оси Y. Отметьте точку, а затем соедините ее с данной вам точкой. В нашем примере соедините точки с координатами (4,2) и (26,3).
Как вставить математические формулы на сайт?
Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.
Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.
Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.
Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :
Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.
Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.
Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.
Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.
Угловой коэффициент прямой. В этой статье мы с вами рассмотрим задачи связанные с координатной плоскостью включённые в ЕГЭ по математике. Это задания на:
— определение углового коэффициента прямой, когда известны две точки через которые она проходит;
— определение абсциссы или ординаты точки пересечения двух прямых на плоскости.
Что такое абсцисса и ордината точки было описано в данной рубрики. В ней мы уже рассмотрели несколько задач связанных с координатной плоскостью. Что необходимо понимать для рассматриваемого типа задач? Немного теории.
Уравнение прямой на координатной плоскости имеет вид:
где k – это и есть угловой коэффициент прямой.
Следующий момент! Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой. Это угол между данной прямой и осью ох.
Он лежит в пределах от 0 до 180 градусов.
То есть, если мы приведём уравнение прямой к виду y = kx + b , то далее всегда сможем определить коэффициент k (угловой коэффициент).
Так же, если мы исходя из условия сможем определить тангенс угла наклона прямой, то тем самым найдём её угловой коэффициент.
Следующий теоретический момент! Уравнение прямой походящей через две данные точки. Формула имеет вид:
Рассмотрим задачи (аналогичные задачам из открытого банка заданий):
Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (–6;0) и (0;6).
В данной задаче самый рациональный путь решения это найти тангенс угла между осью ох и данной прямой. Известно, что он равен угловому коэффициенту. Рассмотрим прямоугольный треугольник образованный прямой и осями ох и оу:
Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике является отношение противолежащего катета к прилежащему:
*Оба катета равны шести (это их длины).
Конечно, данную задачу можно решить используя формулу нахождения уравнения прямой проходящей через две данные точки. Но это будет более длительный путь решения.
Ответ: 1
Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (5;0) и (0;5).
Наши точки имеют координаты (5;0) и (0;5). Значит,
Приведём формулу к виду y = kx + b
Получили, что угловой коэффициент k = – 1.
Ответ: –1
Прямая a проходит через точки с координатами (0;6) и (8;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;10) и параллельна прямой a b с осью оx.
В данной задаче можно найти уравнение прямой a , определить угловой коэффициент для неё. У прямой b угловой коэффициент будет такой же, так как они параллельны. Далее можно найти уравнение прямой b . А затем, подставив в него значение y = 0, найти абсциссу. НО!
В данном случае, проще использовать свойство подобия треугольников.
Прямоугольные треугольники, образованные данными (параллельными) прямыми о осями координат подобны, а это значит, что отношения их соответствующих сторон равны.
Искомая абсцисса равна 40/3.
Ответ: 40/3
Прямая a проходит через точки с координатами (0;8) и (–12;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; –12) и параллельна прямой a . Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью оx .
Для данной задачи самый рациональный путь решения — это применение свойства подобия треугольников. Но мы решим её другим путём.
Нам известны точки, через которые проходит прямая а . Можем составить уравнение прямой. Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:
По условию точки имеют координаты (0;8) и (–12;0). Значит,
Приведём к виду y = kx + b :
Получили, что угловой k = 2/3.
*Угловой коэффициент можно было найти через тангенс угла в прямоугольном треугольнике с катетами 8 и 12.
Известно, у параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Значит уравнение прямой проходящей через точку (0;-12) имеет вид:
Найти величину b мы можем подставив абсциссу и ординату в уравнение:
Таким образом, прямая имеет вид:
Теперь чтобы найти искомую абсциссу точки пересечения прямой с осью ох, необходимо подставить у = 0:
Ответ: 18
Найдите ординату точки пересечения оси оy и прямой, проходящей через точку В(10;12) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку А(10;24).
Найдём уравнение прямой проходящей через точки с координатами (0;0) и (10;24).
Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:
Наши точки имеют координаты (0;0) и (10;24). Значит,
Приведём к виду y = kx + b
Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Значит, уравнение прямой, проходящей через точку В(10;12) имеет вид:
Значение b найдём подставив в это уравнение координаты точки В(10;12):
Получили уравнение прямой:
Чтобы найти ординату точки пересечения этой прямой с осью оу нужно подставить в найденное уравнение х = 0:
*Самый простой способ решения. При помощи параллельного переноса сдвигаем данную прямую вниз вдоль оси оу до точки (10;12). Сдвиг происходит на 12 единиц, то есть точка А(10;24) «перешла» в точку В(10;12), а точка О(0;0) «перешла» в точку (0;–12). Значит, полученная прямая будет пересекать ось оу в точке (0;–12).
Искомая ордината равна –12.
Ответ: –12
Найдите ординату точки пересечения прямой, заданной уравнением
3х + 2у = 6 , с осью Oy .
Координата точки пересечения заданной прямой с осью оу имеет вид (0;у ). Подставим в уравнение абсциссу х = 0, и найдём ординату:
Ордината точки пересечения прямой с осью оу равна 3.
*Решается система:
Ответ: 3
Найдите ординату точки пересечения прямых, заданных уравнениями
3х + 2у = 6 и у = – х .
Когда заданны две прямые, и стоит вопрос о нахождении координат точки пересечения этих прямых, решается система из данных уравнений:
В первом уравнении подставляем – х вместо у :
Ордината равна минус шести.
Ответ: – 6
Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (–2;0) и (0;2).
Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (2;0) и (0;2).
Прямая a проходит через точки с координатами (0;4) и (6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;8) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.
Найдите ординату точки пересечения оси оy и прямой, проходящей через точку B (6;4) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку A (6;8).
1. Необходимо чётко усвоить, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой. Это поможет вам при решении многих задач данного типа.
2. Формулу нахождения прямой проходящей через две данные точки нужно понимать обязательно. С её помощью всегда найдёте уравнение прямой, если даны координаты двух её точек.
3. Помните о том, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны.
4. Как вы поняли, в некоторых задачах удобно использовать признак подобия треугольников. Задачи решаются практически устно.
5. Задачи в которых даны две прямые и требуется найти абсциссу или ординату точки их пересечения можно решить графическим способом. То есть, построить их на координатной плоскости (на листе в клетку) и определить точку пересечения визуально. *Но этот способ применим не всегда.
6. И последнее. Если дана прямая и координаты точек её пересечения с осями координат, то в таких задачах удобно находить угловой коэффициент через нахождение тангенса угла в образованном прямоугольном треугольнике. Как «увидеть» этот треугольник при различных расположениях прямых на плоскости схематично показано ниже:
>> Угол наклона прямой от 0 до 90 градусов > Угол наклона прямой от 90 до 180 градусов