В 2005 году датская газета Politiken предложила своим читателям сыграть в следующую игру: каждый желающий мог прислать в редакцию действительное число от 0 до 100. Тот, чье число оказалось бы ближе всего к 2/3 от среднего арифметического присланных чисел, выигрывал 5000 датских крон (на тот момент около $800).
Данная игра известна в теории игр под названием «угадать 2/3 среднего». Она демонстрирует разницу между абсолютно рациональным поведением и реальными действиями игроков.
Представим себе, что все участники игры действуют полностью рационально и, что не менее важно, знают, что остальные также действуют рационально и не сговариваются друг с другом. Какое же число будет оптимальным в такой ситуации?
Очевидно, что нет смысла называть числа большие чем 66.(6), т.к. среднее арифметическое не может быть больше 100. Но, если все игроки рассуждают подобным образом, то все числа будут не больше чем 66.(6), значит и среднее арифметическое не превысит этого числа, а значит называть больше чем 2/3*66.(6)=44.(4) снова нет смысла. Повторяя данное рассуждение бесконечно много раз, прийдем к выводу, что единственным правильным ходом будет число 0. Таким образом, если все игроки рассуждают рационально, то все они должны выбрать число 0.
Однако в реальной жизни ситуация отличается. Даже если игрок рационален, он знает, что многие из его противников не рациональны, а значит ему придется учитывать, что их числа будут больше 0. Можно предположить, что большинство пришлет более-менее случайные числа, тогда средним будет 50, две трети от 50 приближенно равно 33. Если пойти дальше и предположить, что до числа 33 догадается достаточно много людей, то можно выбрать две трети от 33, т.е. 22. Дальнейшие итерации дадут ~15, ~10 и т.д., но кажется маловероятным, что так далеко будет просчитывать достаточно существенное число игроков.
Вернемся к началу статьи. Какое же число выиграло в Дании? Ниже вы видите гистограмму игры, в которой приняло участие 19196 человек.
Первое что бросается в глаза - ожидаемые пики в точках 22 и 33. Выигрышное число оказалось немногим меньше чем 22, скорее всего в результате того, что большинство участников поняли бессмысленность выбора чисел больше 66.(6). Любопытно, что нашлись те, кто прислал 67 и больше, включая 100. Интересно, они сделали это не стремясь выиграть или просто не понимали бесполезность такого хода? Еще интересно, руководствовались ли абсолютно рациональными рассуждениями те, кто прислали 0, или просто выбирали круглое число?
Еще один любопытный момент: если в условии задачи ограничить выбор только целыми числами, то рационально-выигрышных стратегий становится две: 0 и 1. Дело в том, что из-за дискретности целых чисел, умножение на 2/3 не удастся повторить бесконечное число раз. Когда мы дойдем до 1, следующая итерация даст 2/3, но, округляя до целых, мы вновь получим 1.
Предлагаю сыграть в игру на хабре. Присылайте мне по хабрапочте действительные числа от 0 до 100. Внимание: не пишите числа в комментариях, т.к. важной частью игры является незнание игроками чужих чисел. Я оглашу результаты, когда наберется достаточное количество голосов или пройдет длительный промежуток времени. У меня есть теория о том, каким будет выигрышное число, но я ее пока придержу:)
UPD:
незарегистрированные на хабре, присылайте числа на ящик [email protected]
UPD2:
участников оказалось значительно больше чем я ожидал (на данный момент - около 350), поэтому обработка результатов затянулась. Они будут отдельным постом завтра (уже сегодня), примерно в то же время суток, что и оригинальный пост.
UPD3:
результаты обработаны, победитель определен. Больше не присылайте числа:) Результаты тут.
Привить любовь к математике можно разными способами, и самый необычный из них - через фокусы. Для некоторых детей этот способ может стать самым действенным - появится реальный стимул тренироваться в устном счёте и разбираться в формулах. Сайт «Фокусы. Как научиться » собрал пять самых интересных математических фокусов, а «Мел» попросил учителя математики Дмитрия Коробченко объяснить, как они работают.
Для тех, кто готовится к главному школьному экзамену
Математические фокусы - самые простые в исполнении. Для них не нужен реквизит, длительная подготовка и специальное место для демонстрации. Смысл таких фокусов - в отгадывании чисел, задуманных зрителями, или в каких-нибудь операциях над ними. Все чудеса основаны на математических закономерностях, такие фокусы можно проделывать на уроках алгебры и геометрии.
И хотя вместо цифр, геометрических фигур в некоторых фокусах мы будем использовать различные предметы, все они связаны с числами. Вначале попробуйте проделать самые простые фокусы. Только помните: эти фокусы с цифрами будут получаться только тогда, когда вы научитесь быстро считать в уме (а вот, кстати, ). Поэтому начинать советуем с тренировки в устном счёте, причём от меньших цифр к большим.
Дмитрий Коробченко ,
учитель математики:
Обобщить секрет всех подобных математических фокусов можно следующим образом: зритель загадывает некое случайное число (или числа). Затем мы предлагаем зрителю произвести с этим числом некоторые простые арифметические операции. В итоге у зрителя получается некий финальный результат («ответ»), и наша задача - либо (1) угадать этот результат, либо (2) по этому результату, который зритель нам сообщает, предсказать исходное загаданное число.
1. Угадай число
Пример. Зритель задумал число 7.
Дмитрий Коробченко:
Фокус относится к случаю (1). Загадано число X.
Мы получили 4 независимо от изначально загаданного числа.
Ответ: 4
2. Угаданный день рождения
Содержание фокуса. Объявите зрителям, что вы сможете угадать день рождения любого незнакомого человека, сидящего в зале. Вызовите любого желающего и предложите ему умножить на 2 число дня своего рождения. Затем пусть зритель сложит получившееся произведение и число 5 и умножит на 50 полученную сумму. К этому результату необходимо прибавить номер месяца рождения (июль - 7, январь - 1), вслух назвать полученное число. Через секунду вы называете день и месяц рождения зрителя.
Секрет. Все очень просто. В уме от того числа, которое назвал зритель, отнимите 250. У вас должно выйти трехзначное или четырехзначное число. Первая и вторая цифры - день рождения, две последние - месяц.
Дмитрий Коробченко:
Фокус относится к случаю (2). Загадан день рождения. День - X, месяц - Y. Оба числа являются не более чем двузначными. Зритель выполняет следующие операции:
В уме отнимаем 250:
Так как Y - не более чем двузначное число, в получившемся числе месяц Y и день X никак не перемешаются. Поэтому последние две цифры числа W - это месяц Y, остальные - день X.
Ответ: X, Y
3. Разгаданный результат математических вычислений
Вам понадобятся: заранее приготовленные листы бумаги, карандаши или ручки, калькуляторы.
Содержание фокуса. Предложите зрителям задумать трехзначное число и записать его на бумаге. При загадывании числа должно быть выполнено одно условие: цифра сотен не должна быть равна цифре единиц и не должна быть на единицу меньше или больше неё. Если вы ещё путаетесь в сотнях и единицах, то на первом месте в трехзначных числах стоят сотни, на втором десятки, на третьем единицы (например, подойдёт число 531).
Пример. Допустим, это и есть число 531. Теперь зрители должны перевернуть задуманное число, то есть написать цифры в обратном порядке (135). Затем зрители должны взять эти два числа и из большего вычесть меньшее (531 - 135). Получившуюся разницу снова нужно перевернуть (396; 693) и сложить эти два числа (396 + 693). Потом один из зрителей должен прибавить к полученной сумме 100, второй - 200, третий - 300 и так далее. Теперь вы можете отгадать, что получилось у каждого зрителя, но при том условии, что они к своему последнему числу прибавят цифру 1 089. У первого зрителя, прибавлявшего 100, получится 1 189, у второго - 1 289, у третьего - 1 389.
Секрет фокуса. Для того чтобы узнать, что получилось, вам не нужно знать задуманное число. Главное - прибавлять к числу 1 089 то число (100, 200, 300, 400…), которое прибавлялось в самом конце. Для того чтобы не перепутать, у кого что получилось, в самом конце фокуса можно раздать карточки с цифрами 100, 200, 300 и попросить держать их при отгадывании конечного результата.
Дмитрий Коробченко:
Примечание: Порой в фокусах встречаются различные операции над цифрами, которые входят в состав используемых чисел. В таком случае полезно пользоваться тем фактом, что число с цифрами a, b,c, записанное как «abc», представимо в виде:
Например:
Фокус относится к случаю (1). Загадано трёхзначное число, X, записанное как «abc». Цифра сотен - a. Цифра десятков - b. Цифра единиц - c. То есть:
По условию:
Зритель выполняет следующие операции. Перевернуть число:
Вычесть из большего числа меньшее (допустим, a > c, в противном случае всё будет так же, просто a и c поменяются ролями):
Для дальнейшего действия нам необходимо представить число («abc» - «cba») как «def», то есть найти его сотни, десятки и единицы.
Все такие двузначные числа можно найти в таблице умножения (18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81), и они обладают следующим свойством: сумма цифр такого числа равна 9. Запишем 9*t как «df»:
Вернёмся к числу «abc» - «cba»:
Дальнейшее действие - получившееся число снова перевернуть и сложить с предыдущим:
В результате мы получили число 1089 независимо от изначально загаданного числа. Далее к этому числу мы просим прибавить 100, 200 или 300 и получаем соответственно 1189, 1289 или 1389.
Ответ: 1189, 1289 или 1389 (в зависимости от зрителя).
4. Угадываем задуманное число
Вам понадобятся: заранее приготовленные листы бумаги (по числу зрителей), карандаши или ручки, калькуляторы.
Содержание фокуса. Предложите зрителям задумать двузначное число. Теперь пусть они умножат число его десятков на 2, прибавят к этому произведению число 5, умножат эту сумму на 5, к полученному произведению прибавят 10 и число единиц того числа, которое задумали. Пусть любой зритель скажет, что у него получилось. Вычтите из полученного результата число 35 (лучше сделать это в уме или на калькуляторе, не посвящая в свои действия зрителей), и вы сможете назвать задуманное зрителями число.
Пример. Все основано на математических закономерностях, о которых вашим зрителям знать необязательно. Как это выглядит в реальном фокусе? Например, зритель задумал число 38: 3 десятка и 8 единиц. Умножаем 3 на 2, получается 6. Прибавляем к 6 число 5, получаем 11. Умножаем эту сумму на 5, получаем 55. Прибавляем 10 и получаем 65. Прибавляем число единиц (8) задуманного числа. Получаем 73, вычитаем 35. В итоге задуманное число - 38.
Дмитрий Коробченко:
Фокус относится к случаю (2). Загадано двузначное число X, записанное как «ab»:
Зритель выполняет следующие операции:
Ответ от зрителя - Z. В уме отнимаем 35:
Ответ: X
5. Фокус с отгадыванием чисел
Вам понадобятся: заранее приготовленные листы бумаги (по числу зрителей), карандаши или ручки (по числу зрителей), калькуляторы.
Содержание фокуса. Попросите зрителей задумать какое-нибудь число. Вопрос вы можете задать абсолютно любой, например: сколько дней в неделю вы хотели бы кататься на велосипеде, есть манную кашу, не ходить в школу, бегать по лужам. Весь смысл не в вопросе, а в задуманном зрителями числе. Раздайте зрителям бумажки и ручки и попросите письменно ответить на ваш вопрос. Пусть каждый напишет, сколько дней в неделю он хотел бы есть морковку.
Теперь пусть каждый умножит это число на 2, затем к полученному числу морковок прибавит 5, после чего умножит эту сумму на 50. Теперь пусть каждый сделает следующее: если в этом году уже был день рождения, прибавить 1 750, если нет - 1 749. Теперь из этого числа каждый должен вычесть свой год рождения и к этому числу прибавить 7.
Теперь попросите любого из зрителей назвать получившуюся цифру. Должно получиться двузначное или трёхзначное число. Первая цифра - количество морковок, остальные - возраст человека.
Секрет. Секрет фокуса в тех числах, которые вы заставляете их прибавлять, отнимать, делить.
Пример. Допустим, вы загадали 2 дня в неделю для поедания морковки. Теперь умножьте 2 на 2, получится 4. Потом к 4 прибавьте 5, получится 9, затем 9 умножьте на 50, получится 450. Допустим, ваш день рождения 18 июля 1997 года. Например, сейчас сентябрь и ваш день рождения уже прошёл. Значит, прибавьте к 450 число 1 750, получится 2 200. Теперь из числа 2 200 вычтите год рождения 1997, получится 203, к этому числу прибавьте 7. Результат - 210 (2 дня и 10 лет).
Во втором случае из числа 2 199 вычтите 1 997, получится число 202, прибавьте 7, получится 209. Значит, загадано 2 дня морковки и 9 лет загадавшему.
Совет. Перед выполнением этого математического фокуса раздайте зрителям калькуляторы, чтобы они не ошиблись в вычислениях, а для себя на первое время запишите на карточке порядок действий с цифрами: на что умножить, что прибавить, из чего вычесть.
Дмитрий Коробченко:
Фокус относится к случаю (2). Но этот фокус работает только в 2007 году. Для других годов нужно заменить число 1750 на другое.
Загадано число морковок X и возраст зрителя Y. Также в задаче участвуют:
Зритель выполняет следующие операции:
Ответ от зрителя - W.
Если возраст зрителя меньше 100 лет, то в получившемся числе возраст Y и количество морковок X никак не перемешаются. Последние две цифры числа W - это возраст Y, остальные - количество морковок X.
В этой игре ваша задача – угадать задуманное водящим число от 0 до 100. Зато призом может быть всё, что вы только пожелаете. Например:
– Загадай число от 0 до 100, никому не говори.
– Загадал (76).
– Больше.
– Больше.
– Меньше.
Как только кто-то из игроков назовёт задуманное число 76, водящий произносит: «Что угодно?» И в ответ можно просить любой приз, например машину. Все участники, кроме угадавшего, отходят в сторонку и тихо говорят свои варианты, например шикарный лимузин розового цвета длиной в десять метров. Среди них могут быть и шуточные: сломанная телега на трёх колёсах. Водящий рассказывает угадавшему все эти варианты. И тот выбирает один. Чей вариант он выбрал, тот и становится следующим водящим и загадывает число.
2. Угадай число
Игра для тех, кто уже знаком с умножением и делением. Вы заявляете, что можете угадывать мысли на расстоянии, и просите загадать число от 1 до 10. Потом предлагаете прибавить к нему столько же, затем результат умножить на 2, разделить на задуманное число и говорите правильный результат – 4. Дело в том, что какое бы число не было загадано, в конце всё равно получится 4.
3. Трамвайный билет
Прекрасная игра, развивающая вариативность мышления, – в будущем вы сможете решить любую проблему, потому что сумеете подобрать массу вариантов её решения и выбрать лучший. Итак, перед вами билет. Всё равно какой – трамвайный, троллейбусный, или денежная купюра, главное, чтобы там был номер из шести различных цифр. Ваша задача: расставить арифметические знаки: плюс, минус, умножить, разделить и скобки – так, чтобы в результате получилось сто. Это невероятно, но практически из любого набора цифр можно составить пример, дающий в ответе сто. Не верите? Попробуйте.
4. Сколько было остановок?
Игра развивающая внимание и нестандартность мышления. Предложите ребятам выслушать задачу, но предупредите, что читать её будете только один раз.
Шёл трамвай десятый номер. Он приехал из депо. На первой остановке в него зашли восемь пассажиров. На второй – пять, но вышли двое. На следующей зашли двенадцать человек, и никто не вышел. Потом вышли пять человек, и вошли трое. А на последней остановке зашёл гражданин с целой кучею обновок. Сколько было… остановок?
Обычно никто не может ответить на этот вопрос, потому что все считали людей, а не остановки.
5. Быки и коровы
Довольно сложная игра, ведь вам предстоит угадать число из четырёх цифр, которое загадал соперник. Вы тоже загадайте своё число и запишите. Цифры в нём не должны повторяться. Какое же число загадал соперник? Назовём навскидку любое четырёхзначное число. Например, 7382. А он нам в ответ:
1 бык, 2 коровы. Это значит, что две цифры из тех, что мы назвали, есть в этом числе – это коровы, а ещё одна стоит на нужном месте. Это бык. Записываем этот вариант. Теперь черёд соперника говорить предполагаемое число. Записываем его вариант под числом, которое он должен угадать, и говорим, сколько у него коров и быков. Так, по очереди называя варианты друг другу, вы и доберётесь до искомого числа. И когда наконец услышите: «четыре быка» – всё, вы победили!
6. Цифра «три»
Ещё одна игра на внимание. Перед играющими на столе кладёте приз и говорите условие: его можно взять только после того, как будет произнесено слово «три»:
Как услышишь слово «три»,
Приз немедленно бери.
Однажды щуку мы поймали,
Распотрошили, а внутри
Рыбёшек мелких увидали,
Да не одну, а целых… пять.
Мечтает парень закалённый
Стать олимпийским чемпионом.
Смотри, на старте не хитри,
А жди команды «раз, два… марш!»
Когда стихи запомнить хочешь,
Их не зубри до поздней ночи.
Ты их получше повтори
Разок, другой, а лучше… десять.
Однажды поезд на вокзале
Нам три часа пришлось прождать.
Ну что ж, друзья, вы приз не брали,
Когда была возможность брать?
Интересно, а ваши друзья не прозевают приз?
7. На счёт «три»
Это только кажется, что в игре победить проще простого – схватить приз на счёт «три». Ведущий всё время путает числа и никак не произносит нужное число. Например:
1, 2, 4, 25, 26, 8,17, 23…
Успели взять? Молодцы! Приз ваш.
8. Сим-сим
Помните сказку про сорок разбойников и Али-Бабу? Его старший брат застрял в пещере разбойников из-за того, что забыл волшебное слово «сим-сим». В этой игре тоже нельзя забывать это слово, потому что при счёте число 7 вам всё время придётся менять на «сим-сим». А это не так уж легко. Например, вместо слова «семнадцать» вы будете говорить «сим-симнадцать», вместо «семьдесят» – «сим-симдесят», а вместо «семьсот семьдесят семь» – «сим-симсот сим-симдесят сим-сим». Справитесь?
9. Не собьюсь!
Игра для тех, кто хочет потренировать своё внимание. Один игрок или вся команда по очереди считают до 100. Но таким образом, что вместо чисел, оканчивающихся на 5 или 0, говорим: «Не собьюсь!». Включите всё своё внимание и начали: один, два, три, четыре, «не собьюсь!»; шесть, семь, восемь, девять, «не собьюсь!»…
10. Найди цифру
Очень азартная и весёлая игра, особенно если много участников. Но сначала к ней нужно подготовиться: на листе бумаги нарисовать вразброс числа, например, от 1 до 30 – разным шрифтом, разного размера, можно даже перевёрнутые. Сделали? Теперь приглашайте компанию и начинайте игру. Кто быстрее найдёт и покажет все числа по порядку? Делайте это вместе. Очень весело получается, когда каждый спешит обнаружить нужное число раньше других.
11. Задачки-картинки
А вы сможете придумать задачи, где вместо цифр – рисунки? Тогда нарисуйте их и предложите своим друзьям их решить.
12. «Я задумал число»
«Я задумал число, отнял от него 9 и получил 6. Какое число я задумал?» Ну конечно, 15. Можно придумать много примеров с задуманным числом и загадать их друзьям.
