На протяжении веков симметрия остается предметом, который очаровывает философов, астрономов, математиков, художников, архитекторов и физиков. Древние греки были совершенно одержимы ею – и даже сегодня мы, как правило, сталкиваемся с симметрией во всем от расположения мебели до стрижки волос.
Просто имейте в виду: как только вы осознаете это, вы, вероятно, испытаете непреодолимое желание искать симметрию во всем, что видите.
(Всего 10 фото)
Спонсор поста: Программа для скачивания музыки ВКонтакте : Новая версия программы «Лови в контакте» предоставляет возможность легко и быстро скачивать музыку и видео, размещенные пользователями, со страниц самой известной социальной сети vkontakte.ru.
1. Брокколи романеско
Возможно увидев брокколи романеско в магазине, вы подумали, что это ещё один образец генномодифицированного продукта. Но на самом деле это ещё один пример фрактальной симметрии природы. Каждое соцветие брокколи имеет рисунок логарифмической спирали. Романеско внешне похожа на брокколи, а по вкусу и консистенции – на цветную капусту. Она богата каротиноидами, а также витаминами С и К, что делает её не только красивой, но и здоровой пищей.
На протяжении тысяч лет люди удивлялись идеальной гексагональной форме сот и спрашивали себя, как пчелы могут инстинктивно создать форму, которую люди могут воспроизвести только с помощью циркуля и линейки. Как и почему пчелы имеют страстное желание создавать шестиугольники? Математики считают, что это идеальная форма, которая позволяет им хранить максимально возможное количество меда, используя минимальное количество воска. В любом случае, все это продукт природы, и это чертовски впечатляет.
3. Подсолнухи
Подсолнухи могут похвастаться радиальной симметрией и интересным типом симметрии, известной как последовательность Фибоначчи. Последовательность Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.д. (каждое число определяется суммой двух предыдущих чисел). Если бы мы не спешили и подсчитали количество семян в подсолнухе, то мы бы обнаружили, что количество спиралей растет по принципам последовательности Фибоначчи. В природе есть очень много растений (в том числе и брокколи романеско), лепестки, семена и листья которых отвечают этой последовательности, поэтому так трудно найти клевер с четырьмя листочками.
Но почему подсолнечник и другие растения соблюдают математические правила? Как и шестиугольники в улье, все это – вопрос эффективности.
4. Раковина Наутилуса
Помимо растений, некоторые животные, например Наутилус, отвечают последовательности Фибоначчи. Раковина Наутилуса закручивается в «спираль Фибоначчи». Раковина пытается поддерживать одну и ту же пропорциональную форму, что позволяет ей сохранять её на протяжении всей жизни (в отличие от людей, которые меняют пропорции на протяжении жизни). Не все Наутилусы имеют раковину, выстроенную по правилам Фибоначчи, но все они отвечают логарифмической спирали.
Прежде, чем вы позавидуете моллюскам-математикам, вспомните, что они не делают этого специально, просто такая форма наиболее рациональна для них.
5. Животные
Большинство животных имеют двустороннюю симметрию, что означает, что они могут быть разделены на две одинаковых половинки. Даже люди обладают двусторонней симметрией, и некоторые ученые полагают, что симметрия человека является наиболее важным фактором, который влияет на восприятие нашей красоты. Другими словами, если у вас однобокое лицо, то остается надеяться, что это компенсируется другими хорошими качествами.
Некоторые доходят до полной симметрии в стремлении привлечь партнера, например павлин. Дарвин был положительно раздражен этой птицей, и написал в письме, что «Вид перьев в хвосте павлина, всякий раз, когда я смотрю на него, делает меня больным!» Дарвину, хвост казался обременительным и не имеющим эволюционного смысла, так как он не соответствовал его теории «выживания наиболее приспособленных». Он был в ярости, пока не придумал теорию полового отбора, которая утверждает, что животные развивают определенные функции, чтобы увеличить свои шансы на спаривание. Поэтому павлины имеют различные приспособления для привлечения партнерши.
Есть около 5000 типов пауков, и все они создают почти идеальное круговое полотно с радиальными поддерживающими нитями почти на равном расстоянии и спиральной тканью для ловли добычи. Ученые не уверены, почему пауки так любят геометрию, так как испытания показали, что круглое полотно не заманит еду лучше, чем полотно неправильной формы. Ученые предполагают, что радиальная симметрия равномерно распределяет силу удара, когда жертва попадает в сети, в результате чего получается меньше разрывов.
Дайте паре обманщиков доску, косилки и спасительную темноту, и вы увидите, что люди тоже создают симметричные формы. Из-за того, что круги на полях отличаются сложностью дизайна и невероятной симметрией, даже после того, как создатели кругов признались и продемонстрировали свое мастерство, многие люди до сих пор верят, что это сделали космические пришельцы.
По мере усложнения кругов все больше проясняется их искусственное происхождение. Нелогично предполагать, что пришельцы будут делать свои сообщения все более трудными, когда мы не смогли расшифровать даже первые из них.
Независимо от того, как они появились, круги на полях приятно рассматривать, главным образом потому, что их геометрия впечатляет.
Даже такие крошечные образования, как снежинки, регулируются законами симметрии, так как большинство снежинок имеет шестигранную симметрию. Это происходит в частности из-за того, как молекулы воды выстраиваются, когда затвердевают (кристаллизуются). Молекулы воды приобретают твердое состояние, образуя слабые водородные связи, они выравниваются в упорядоченном расположении, которое уравновешивает силы притяжения и отталкивания, формируя гексагональную форму снежинки. Но при этом каждая снежинка симметрична, но ни одна снежинка не похожа на другую. Это происходит потому, что падая с неба, каждая снежинка испытывает уникальные атмосферные условия, которые заставляют её кристаллы располагаться определенным образом.
9. Галактика Млечный Путь
Как мы уже видели, симметрия и математические модели существуют почти везде, но разве эти законы природы ограничиваются нашей планетой? Очевидно, нет. Недавно открыли новую секцию на краю Галактики Млечного Пути, и астрономы считают, что галактика представляет собой почти идеальное зеркальное отражение себя.
10. Симметрия Солнца-Луны
Если учесть, что Солнце имеет диаметр 1,4 млн. км, а Луна – 3474 км, кажется почти невозможным то, что Луна может блокировать солнечный свет и обеспечивать нам около пяти солнечных затмений каждые два года. Как это получается? Так совпало, что наряду с тем, что ширина Солнца примерно в 400 раз больше, чем Луна, Солнце также в 400 раз дальше. Симметрия обеспечивает то, что Солнце и Луна получаются одного размера, если смотреть с Земли, и поэтому Луна может закрыть Солнце. Конечно, расстояние от Земли до Солнца может увеличиваться, поэтому иногда мы видим кольцевые и неполные затмения. Но каждые один-два года происходит точное выравнивание, и мы становимся свидетелями захватывающих событий, известных как полное солнечное затмение. Астрономы не знают, как часто встречается такая симметрия среди других планет, но они думают, что это довольно редкое явление. Тем не менее, мы не должны предполагать, что мы особенные, так как все это дело случая. Например, каждый год Луна отдаляется примерно на 4 см от Земли, это означает, что миллиарды лет назад каждое солнечное затмение было бы полным затмением. Если и дальше все пойдет так, то полные затмения, в конце концов, исчезнут, и это будет сопровождаться исчезновением кольцевых затмений. Получается, что мы просто находимся в нужном месте в нужное время, чтобы увидеть это явление.
Экология познания. Познавательно: Открытая Бенуа Мандельбротом фрактальная геометрия описывает упорядоченный хаос природы и демонстрирует принцип бесконечного вложения самоподобных структур друг в друга на основе простых математических соотношений. Фрактал (от лат. fractus, «сломанный, разбитый») – это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.
Открытая Бенуа Мандельбротом фрактальная геометрия описывает упорядоченный хаос природы и демонстрирует принцип бесконечного вложения самоподобных структур друг в друга на основе простых математических соотношений. Фрактал (от лат. fractus, «сломанный, разбитый») – это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.
Действительно ли Вселенная бесконечна или просто очень велика? Есть ли у Вселенной центр? Есть ли у неё границы? Их нет, так же, как нет центра и границ у фрактала. Представьте себе, что всё вокруг – фрактал. И мы тоже часть этого фрактала.Бесконечное самоподобие.
Расширяющаяся вокруг нас Вселенная – не единственная, нас могут окружать миллиарды других вселенных. Возможно, наш мир представляет собой лишь часть Мультимира -гипотетического множества всех возможных параллельных вселенных. Существуют гипотезы, что вселенные Мультимира могут быть с разными законами физики и разным количеством пространственных измерений.
Большинство учёных признают, что Вселенная имеет фрактальную структуру: планетарные системы объединены в галактики, галактики в кластеры, кластеры всуперкластеры и так далее. Ранее учёные полагали, что распределение материи можно считать непрерывным, начиная с объектов размером около 200 миллионов световых лет. Данные о более чем 900 тысячах галактик и квазаров показали, что непрерывность отсутствует и при масштабе в 300 миллионов световых лет.
Полученные выводы противоречат основам теории Большого Взрыва, согласно которой в первые моменты после рождения Вселенной материя была распределена равномерно и непрерывно.
Ряд учёных полагают, что за время, прошедшее с момента Большого Взрыва, под действием гравитации фрактальные структуры вселенского масштаба не могли успеть образоваться.
Сегодня не существует одной математической модели или теории, которая могла бы описать каждый аспект Вселенной. Теория бесконечной вложенности материи - фрактальная теория – это альтернативная философская и космологическая теория, не входящая в стандартные академические области науки. В настоящее время теории фрактальной Вселенной не существует. Как считают исследователи, опираясь на теорию относительности Эйнштейна, создание такой теории возможно. Если академическая наука признает, что материя во Вселенной распределена в виде фрактала, потребуется пересмотр практически всех существующих моделей Вселенной.
Фракталы воплощают принцип повторения – копий, в изобилии присутствующих в природе. Это геометрические формы, которые выглядят одинаково при любой степени приближения. Фрактальная геометрия не есть «чистая» геометрическая теория. Это концепция, новый взгляд на хорошо известные вещи, перестройка восприятия, заставляющая исследователя по-новому видеть мир.
То, что материя делится до бесконечности, утверждали ещё Аристотель, Декарт иЛейбниц. В каждой частице, какой бы малой она ни была, «есть города, населённые людьми, обработанные поля, и светит солнце, луна и другие звёзды, как у нас» – утверждал греческий философ Анаксагор в своём труде о гомеомериях в V веке до нашей эры.
Основной постулат легендарной «Изумрудной Скрижали» Гермеса Трисмегиста гласит:«То, что находится внизу, аналогично тому, что находится вверху». Этот принцип принят за аксиому последователями герметической философии, которые утверждали аналогию между микро и макро мирами.
Сакральные учения всех древних цивилизаций пронизывает идея существования гармоничной Вселенной. Египетская богиня истины и порядка Маат представляла собой воплощение принципа естественного порядка вещей. Греки, учившиеся у египтян, связали с цивилизацией слово «космос», переводимое как «вышивка» и выражающее гармонию и красоту «самоподобия». Если рассматривать эти объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же элементы. Все они могут быть описаны в виде математических уравнений.
Принципы сакральной геометрии, в основе которой лежат фракталы, «платоновы тела», спираль Золотого сечения, числоФи, в равной мере присущи и человеку, и цветку, и звёздам. Всё, что существует в реальном мире, является фракталом: кровеносная система, кроны и листья деревьев, облака и молекула кислорода.
Исследования, связанные с фракталами, меняют привычные представления об окружающем нас мире. Фракталы заставляют пересмотреть наши взгляды на геометрические свойства объектов. Фракталы описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика.
Мы не можем описать камень, участок ландшафта, поверхность моря, скалу или границы острова с помощью прямых линий, кругов и треугольников. Здесь нам приходят на помощь фракталы. С помощью фракталов эти структуры можно моделировать, создавать, что и используется в различных компьютерных программах.
Когда мы всматриваемся во фрактальную форму, то видим одну и ту же структуру независимо от степени увеличения. Такое подобие можно увидеть в природе, рассматривая при разном приближении горы, облака, береговые линии. Природа есть неразрывная паутина.
Фрактальная геометрия – геометрия природы. Сама природа пользуется её достижениями и примеры этого можно найти повсюду: от спиралей раковины и цветков маргаритки до симметрии шестиугольных пчелиных сот. «Самоподобие» можно встретить, исследуя формы молекул или галактик. Все объекты во Вселенной взаимопроникают друг в друга.
Фрактальная геометрия предопределяет формы молекул и кристаллов, которые составляют наши тела и Космос. Фактически она есть ключ к пониманию Вселенной.
Фрактальная структура – это генетический код Вселенной. опубликовано
Присоединяйтесь к нам в
Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался по стичь и создать порядок, красоту и совершенство.
Термин "симметрия" в переводе с греческого означает сораз мерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей. Античные философы считали симметрию, порядок и определенность сущностью прекрасного. "Краткий Оксфордский словарь" определяет симметрию как красоту, обусловленную пропорциональностью частей тела или любого целого, равновесием, подобием, гармонией, согласованностью. Однако оно не охватывает всей глубины и широты данного понятия.
С симметрией мы встречаемся везде - в природе, технике, науке, искусстве. Она существует не только в макромире, но и присуща микро- и мегамиру. Симметрия, понимаемая в самом широком смысле, противостоит хаосу, беспорядку, она наблюдается везде, где есть хоть какая-то упорядоченность. В этом смысле симметричны не только объекты природы (снежинки, листья, рыбы, насекомые, человеческое тело и т.д.), но и такие упорядоченные явления, как регулярная смена дня и ночи, времен года, круговорот воды и других веществ в природе и др. Идею симметрии можно выразить и такими словами, как уравновешенность, гармония, совершенство.
Для человека симметрия обладает притягательной силой. Нам нравится смотреть на проявление симметрии в природе: симметричные кристаллы, снежинки, цветы, которые почти симметричны. Архитекторы, художники, поэты и музыканты с древнейших времен знали законы симметрии. Строго симметрично строятся геометрические орнаменты; в классической архитектуре господствуют прямые линии, углы, круги, равенство колонн, окон, арок и сводов. Конечно, симметрия в искусстве не буквальная. Законы симметрии художественного произведения подразумевают не однообразие форм, а глубокую согласованность элементов.
Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Законы природы, управляющие бесконечным многообразием картины явлений, также подчиняются сим-
метрии. Симметрию можно обнаружить практически всюду, если знать, где и как ее искать. Все разнообразие окружающего нас мира подчинено удивительным проявлениям симметрии. Об этом очень удачно написал Дж.Ньюмен: "Симметрия устанавливает забавное и удивительное сродство между предметами, явлениями и творениями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой механикой, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток, равновесными конфигурациями кристаллов, снежинками, музыкой, теорией относительности..." (Цит. по кн.: Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир, 1982.)
Строгое математическое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно - в XIX в. Современный подход к симметрии предполагает неизменность объекта по отношению к каким-нибудь выполняемым над ним операциям или преобразованиям. Современное определение симметрии формулируется так: симметричным называется объект (предмет), который можно как-то изменять, получая в результате объект, совпадающий с первоначальным. Согласно определению, прежде всего должен существовать объект - носитель симметрии. Для разных проявлений симметрии он, конечно, разный. Это материальные предметы или свойства. У объектов должны существовать некоторые признаки - свойства, процессы, отношения, явления, которые не изменяются при операциях симметрии. Также должны происходить изменения этих объектов, но не какие угодно, а только такие, которые переводят его в тождественный самому себе. И, наконец, должно существовать свойство объекта, которое при этом не изменяется, т.е. остается инвариантным.
Подчеркнем, что инвариантность существует не сама по себе, не вообще, а лишь по отношению к определенным преобразованиям, а изменения (преобразования) представляют интерес постольку, поскольку что-то при этом сохраняется. Другими словами, без изменения не имеет смысла рассматривать сохранение, равно как без сохранения исчезает интерес к изменениям. Таким образом, симметрия выражает сохранение чего-то при каких-то изме нениях или сохранение чего-то несмотря на изменение. Сим-
метрия предполагает неизменность не только самого объекта, но и каких-либо его свойств по отношению к преобразованиям, выполненным над объектом.
Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разнообразным операциям - к поворотам, переносам, взаимной замене частей, отражениям и т.д. В связи с этим выделяют разные типы симметрии.
ПОВОРОТНАЯ СИММЕТРИЯ. Говорят, что объект обладает поворотной симметрией, если он совмещается сам с собой при повороте на угол 2тг/п, где п может равняться 2, 3, 4 и т.д. до бесконечности. Ось симметрии называется ось осью п-го порядка.
ПЕРЕНОСНАЯ (ТРАНСЛЯЦИОННАЯ) СИММЕТРИЯ. О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние а либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой. Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, а расстояние а - элементарным переносом или периодом. С данным типом симметрии связано понятие периодических структур или решеток, которые могут быть и плоскими, и пространственными.
ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ. Зеркально симметричным считается объект, состоящий из двух половин, которые являются зеркальными двойниками по отношению друг к другу. Трехмерный объект преобразуется сам в себя при отражении в зеркальной плоскости, которую называют плоскостью симметрии.
СИММЕТРИИ ПОДОБИЯ представляют собой своеобразные аналоги предыдущих симметрии с той лишь разницей, что они связаны с одновременным уменьшением или увеличением подобных частей фигуры и расстояний между ними. Простейшим примером такой симметрии являются матрешки.
Иногда фигуры могут обладать разными типами симметрии. Например, поворотной и зеркальной симметрией обладают некоторые буквы: Ж, Н, Ф, О, X.
Выше перечислены так называемые геометрические симметрии. Существует много других видов симметрии, имеющих абстрактный характер. Например, ПЕРЕСТАНОВОЧНАЯ СИММЕТРИЯ, которая состоит в том, что если тождественные частицы поменять местами, то никаких изменений не происходит; НАСЛЕДСТВЕННОСТЬ - это тоже определенная симметрия.
КАЛИБРОВОЧНЫЕ СИММЕТРИИ связаны с изменением масштаба. Например, известно, что при подъеме тела на некоторую высоту затраченная энергия зависит лишь от разности начальной и конечной высоты, но не зависит от абсолютной высоты. Говорят, что существует симметрия начала отсчета высот, ее и относят к классу калибровочных симметрии. Все фундаментальные взаимодействия имеют калибровочную природу и описываются калибровочными симметриями. Этот факт отражает единство всех фундаментальных взаимодействий. Калибровочная инвариантность позволяет ответить на вопрос: "Почему и зачем в природе существует такого рода взаимодействия?" Это обусловлено тем, что требование калибровочной инвариантности порождает конкретный вид взаимодействия. Поэтому форму взаимодействия уже не постулируют, а она выводится как результат калибровочной инвариантности.
На этом принципе строится единая теория всех физических взаимодействий. Интересно заметить, что этот принцип выходит далеко за рамки физики и может стать мощным регулятивным принципом при решении проблем социального и экономическо го характера. Думается, такие принципы, как социальная справедливость, равенство, устойчивый уровень жизни населения и другие, могут быть поставлены в соответствие с некоторой симметрией.
В неживой природе симметрия прежде всего возникает в таком явлении природы, как кристаллы, из которых состоят практически все твердые тела. Именно она и определяет их свойства. Самый очевидный пример красоты и совершенства кристаллов - это известная всем снежинка. Все снежинки, несмотря на разнообразие их форм, обладают зеркальной и поворотной симметрией 6-го порядка. Доказано, что все кристаллы могут обладать поворотной симметрией 2, 3, 4 и 6-го порядков. Симметрия кристалла связана с наличием кристаллической решетки - пространственной решетки из атомов. Отсюда видно, что симметрия ограничивает возможности вариантов структур.
Физические законы и явления также подчиняются законам симметрии. Р. Фейнман писал, что "все многообразие законов физики пронизано несколькими общими принципами, которые так или иначе содержатся в каждом законе. Примерами таких принципов могут служить некоторые свойства симметрии" (Фейнман, 1987).
Существует несколько симметрии физических законов:
Физические законы неизменны, инвариантны по отношению к переносам в пространстве, что обусловлено однородностью про странства. Это значит, что при переносе какого-либо устройства из одной точки пространства в другую его свойства, особенности функционирования и результаты опытов не изменятся.
Физические законы инвариантны по отношению к поворо там в пространстве. Это называют изотропностью простран ства. Например, на север ли, на восток ли повернута установка, результаты опыта будут одни и те же.
Симметрия физических законов определяется и однородно стью времени, т.е. они инвариантны по отношению к ереносам во времени. Таким образом, однородность пространства и времени являются свойствами симметрии.
Принцип относительности законов природы - это тоже симметрия по отношению к переходу из одной инерциальной си стемы отсчета в другую. Эта симметрия устанавливает равнознач ность всех инерциальных систем отсчета.
Никакие физические явления не изменяются при переста новке двух идеально одинаковых частиц (например, электронов или протонов) - перестановочная симметрия.
Еще один вид симметрии физических законов - инвариант ность по отношению к зеркальному отражению. Это значит, что две физические установки, одна из которых построена как зер кальное отображение другой, будут функционировать одинаково. Отметим, что эта симметрия при определенных взаимодействиях нарушается.
Свойства симметрии относятся к числу самых фундаментальных свойств физических систем. Однако не все законы природы инвариантны к любым преобразованиям. Например, геометриче ский принцип подобия не применим к физическим законам. Еще Г. Галилей догадался, что законы природы несимметричны относительно изменения масштаба. Р. Фейнман приводит пример с моделью собора, который сложен из спичек. Если ее увеличить до натуральных размеров, то строение разрушится под собственной тяжестью. С точки зрения современной физики отсутствие симметрии физических законов относительно преобразования подобия объясняется тем, что порядок размеров атомов имеет абсолютное, одинаковое для всей Вселенной значение. Законы классической
физики перестают работать в микромире, вместо них приходят законы квантовой механики. Это уже проявление асимметрии, т.е. несимметрии.
Между симметрией и законами сохранения существует глубокая связь. В начале XX в. Э. Нётер сформулировала теорему, согласно которой если свойства системы не изменяются от какого-либо преобразования над ней, то этому соответствует некоторый закон сохранения - теорема Нётер. Поскольку независимость свойств от преобразования означает наличие в системе симметрии относительно данного преобразования, постольку теорема Нётер может быть сформулирована как утверждение о том, что наличие в системе симметрии обуславливает существование для нее сохраняющейся физической величины. Так, например, закон сохранения импульса есть следствие однородности пространства, а закон сохранения энергии - следствие однородности времени. Законы сохранения, действуя в самых различных областях и в различных конкретных ситуациях, выражают то общее для всех ситуаций, что в конечном счете связано с соответствующими принципами симметрии. Таким образом, симметрия связана с сохранением и выделяет в нашем изменчивом мире различные инварианты - некие своеобразные "опорные точки". Можно сказать, что симметрия вносит порядок в наш мир. В окружающем нас мире "все течет, все изменяется," он наполнен взаимодействиями и превращениями, всюду присутствует случайность и неопределенность. Но при этом законы мира обнаруживают симметрию: энергия сохраняется, за летом следует зима и т.п. Симметрия выделя ет общее как в объектах, так и в явлениях, подчеркивая, что несмотря на то, чтомир многообразен, но в то же время он и един, так как в разнообразных явлениях природы присутствуют чер ты общности.
В мире живой природы также проявляются все основные виды геометрических симметрии. Специфика строения растений и животных определяется особенностями среды обитания, к которой они приспосабливаются, особенностями их образа жизни. У любого дерева есть основание и вершина, "верх" и "низ", выполняющие разные функции. Значимость различия верхней и нижней частей, а также направление силы тяжести определяют вертикальную ориентацию поворотной оси "древесного конуса" и плоскостей симметрии. Для листьев характерна зеркальная симметрия. Эта
же симметрия встречается и у цветов, однако у них зеркальная симметрия чаще выступает в сочетании с поворотной симметрией. Нередки случаи и переносной симметрии (веточки акации, рябины). Интересно, что в цветочном мире наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка, которая принципиаль но невозможна в периодических структурах неживой природы. Этот факт академик Н. Белов объясняет тем, что ось 5-го порядка - своеобразный инструмент борьбы за существование, "страховка против окаменения, кристаллизации, первым шагом которой была бы их поимка решеткой" (цит. по кн.: ). Действительно, живой организм не имеет кристаллического строения в том смысле, что даже отдельные его органы не обладают пространственной решеткой. Однако упорядоченные структуры в ней представлены очень широко.
В мире рыб, насекомых, птиц, млекопитающих характерна би латеральная симметрия (билатеральный в переводе с латинского - "дважды боковой") - так в биологии называют зеркальную симметрию. Это обусловлено тем, что в отличие от растений, которые не меняют места жительства, для животных актуально перемещение в пространстве: у них нет симметрии относительно того направления, в котором они передвигаются, т.е. задняя и передняя части животного асимметричны. Плоскость симметрии у животных, кроме вектора направления движения, определяется, как и у растений, направлением силы тяжести. Эта плоскость делит животное на две половины - правую и левую. Это же относится и к человеку.
Симметрия подобия проявляется в природе во всем, что растет. Ствол дерева имеет вытянутую коническую форму. Ветви обычно располагаются вокруг ствола по линии, похожей на винтовую, но она постепенно суживается к вершине. Это пример сим метрии подобия с винтовой осью симметрии. Всякий живой организм повторяет себя в подобном. Природа обнаруживает по добие как свою глобальную генетическую программу. Подобие правит живой природой в целом. Геометрическое подобие считается общим принципом пространственной организации живых структур. Лист березы подобен другому листу березы и т.п.
Есть еще одна замечательная симметрия - самоподобие или масштабная инвариантность (скейлинг), которая имеет самое прямое отношение к природе. При построении моделей, описывающих окружающий нас мир, мы привыкли использовать такие из
вестные геометрические понятия, как линия, круг, сфера, квадрат, куб и другие. Но на самом деле мир устроен по более сложным законам. Оказалось, что не всегда можно ограничиться такими простыми понятиями, т.е. мир не всегда можно изучать, используя только "линейку и циркуль". Геометрия Евклида не способна описать форму ни облаков, ни гор, ни деревьев, ни берега моря. Дело в том, что облака - это не сферы, горы - не конусы и т.д. Природа демонстрирует нам совершенно другой уровень сложности, чем мы привыкли считать. В природных структурах, как правило, число различных масштабов бесконечно.
Математики разработали математические понятия, выходящие за рамки традиционной геометрии, идеи которой, как теперь начинают понимать, позволяют все глубже постигать сущность природы. Одним из таких ярких примеров можно назвать фракталь ную геометрию, центральным понятием которой является понятие "фрактала". На русский язык это слово переводится как "из ломанный объект с дробной размерностью".
Существует множество различных определений фрактала. Прежде всего, математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие структурами различных масштабов, отражая иерархический принцип организации. Фракталы обладают свойством самоподобия: их вид существенно не изменяется при рассмотрении через микроскоп с различным увеличением, т.е. фрактал выглядит практически одинаково, в каком бы масштабе его не наблюдали. Другими словами, фрактал состоит из однотипных элементов разных масштабов и, по сути, представляет собой повторяющийся при изменении масштабов узор. Малый фрагмент такого объекта подобен другому, более крупному фрагменту, или даже структуре в целом. Поэтому и говорят, что фрактал есть струк тура, состоящая из частей, которые подобны целому. Фракталы в какой-то степени отражают принцип восточной мудрости: "одно во всем, и все в одном".
Главная особенность фракталов состоит в том, что они имеют дробную размерность, являющуюся следствием масштабной инвариантности. С математической точки зрения геометрические объекты, в том числе и фракталы, можно рассматривать как множество точек, вложенных в пространство. Например, множество точек, образующих линию в евклидовом пространстве, имеют размерность D = 1, а множество точек, образующих поверхность в трехмерном пространстве, имеют размерность D = 2. Шар имеет размерность D = 3. Их характерная особенность состоит в том, что длина линии, площадь поверхности или объем пропорциональны, соответственно, линейному масштабу в первой, во второй или третьей степени, т.е. их размерность совпадает с размерностью пространства, в которое они вложены. Однако существуют объекты, для которых это не так. К таким объектам, в частности, относятся фракталы, размерность которых выражается дробным числом 1 < Dj < 3, где Df - фрактальная размерность. На рис. 2.1 показан один из таких типичных примеров, демонстрирующих, что кривая может иметь размерность Df > 1, так называемая кривая Кох.
Она строится следующим образом. Исходный отрезок единичной длины делится на три равные части. Затем выполняются построения, показанные на рис. 2.1. В результате в первом поколении (п = 1) получаем ломаную кривую, состоящую из четырех звеньев длиной по 1/3. Длина всей кривой в этом поколении составляет £(1/3) = 4/3. Следующее поколение (п = 2) получается путем той же самой операции над каждым прямолинейным звеном первого поколения. Здесь получается кривая, состоящая из N = 4 2 = 16 звеньев, каждое длиной 5 = З" 2 = 1/9. Вся длина равна L (l /9) = (4/3) 2 = 16/9. И так далее. На n-м шаге длина прямолинейного звена 6 = 3~ п . Число поколений можно представить в виде п = - 1п^/1пЗ, а длина всей ломаной L (5) = (4/3)" = ex P ln£/ln3 = 6 1 ~ D f , D f = Ш/Ш = 1,2628. Число сегментов N(6) = 4 п = 4~ 1пй / 1п3 и может быть записано как N(5) = 5~ Df , где Df - фрактальная размерность кривой Кох. Таким образом, кривая Кох есть фрактал с фрактальной размерностью Df = In 4/3. Подобным образом можно построить много разновидностей и других фракталов. Можно построить и такие объекты, для которых необходимо вводить не одну, а несколько размерностей. Иногда такие объекты называют математически ми фракталами, которые, в отличие от природных или физических фракталов, обладают идеальным самоподобием. Для физических фракталов (реально существующие объекты) самоподобие или масштабная инвариантность выполняется приближенно (или, как говорят, в среднем).
Примером фрактального объекта, часто встречающегося в природе, является береговая линия. На рис. 2.2 показана южная
Рис. 2.2. Побережье южной части Норвегии
часть побережья Норвегии, которое имеет вид сильно изрезанной линии. Можно показать, что измерить длину такой линии, используя обычные способы евклидовой геометрии, невозможно. Но для этой цели хорошо подходит фрактальная геометрия. Оказалось, что длина береговой линии хорошо описывается формулой L (5) = a 8 l ~ Df , где 5 - используемый для измерения масштаб (например, некоторый раствор циркуля), а - число единиц масштаба. Для побережья Норвегии это Dj ~ 1,52, для береговой линии Великобретании - Dj ~ 1,3. В природе фрактальные структуры встречаются часто: очертания облаков, дым, деревья, береговая линия и русла рек, трещины в материалах, бронхи легких, пористые губки, ветвящиеся подобно лишайникам структуры, поверхности порошков, артерии и реснички, покрывающие стенки кишечника, и многие другие, которые не имеют, на первый взгляд, закономерностей в своем строении. Но отсутствие порядка в них иллюзорно. Внешне они выглядят как изрезанные, "лохматые" или "дырявые" объекты, представляя собой нечто промежуточное между точками, линиями, поверхностями и телами.
Введение понятия фрактала и фрактальной геометрии позволяет выделить ранее скрытые закономерности в строении и свойствах природных объектов, имеющих неупорядоченную структуру, классифицировать и исследовать их свойства. Когда мы смотрим на фрактальный объект, то нам он представляется неупорядочен
ным. При увеличении или уменьшении масштаба мы опять увидим то же самое. Это и есть проявление свойства симметрии - мас штабной инвариантности, или скейлинга. Именно оно и обуславливает их необычные свойства. Благодаря самоподобию фракталы обладают удивительно притягивающей красотой, которой нет в других объектах. Они могут описывать многие процессы, которые до сих пор не удавалось описать, благодаря своей дробной размерности и самоподобию. Даже считается, что фрактальный мир гораздо ближе к реальному, так как свойства фракталов демонстрируют многие природные объекты. Видимо, не зря говорят, что природа любит фракталы.
Столь удивительное сходство реального мира и фрактального обусловлено, прежде всего, тем, что свойства физического мира изменяются медленно с изменением масштабов. У песка на берегу много свойств, общих со свойствами гальки. Маленький ручеек во многом похож на большую реку. Такая неизменность относительно масштаба - характерная черта фракталов. В живой природе внешний вид и внутреннее строение заданы в генотипе алгоритмически. Ветка дерева похожа на само дерево, поскольку построена по тому же алгоритму. Это относится и к кровеносной системе животных, человека, и к сложным листьям некоторых растений.
Различные фрактальные множества можно получать и с помощью простых (элементарных) преобразований, например, типа х п +1 = х" 2 п + с, где с - некоторое комплексное число, п = 1,2,3.... Множество чисел, полученных по этой формуле, при определенных значениях с также обладают свойствами фракталов. Отображая их на плоскости или в трехмерном пространстве, получают удивительно красивые изображения (см., например, рис. 2.3 и рис. 2.4).
Интересно отметить, что фрактальная математика может быть использована для анализа изменений цен и заработной платы, статистики ошибок на телефонных станциях, частот слов в печатных текстах и т.д.
Подчеркнем, что симметрия в живой природе никогда не бывает абсолютной, всегда присутствует какая-то доля несимметрии. Хотя с симметрией мы встречаемся практически всюду, но при этом замечаем часто не ее, а ее нарушение. Асимметрия - другая сторона симметрии. Асимметрия - это несимметрия, т.е. отсутствие (нарушение) симметрии.
Рис. 2.4. "Глаз морского конька"
Симметрия и асимметрия - две полярные противоположности объективного мира. На разных уровнях развития материи присутствует то симметрия - относительный порядок, то асимметрия -тенденции нарушения покоя, движения, развития.
Асимметрия присутствует уже на уровне элементарных частиц и проявляется в абсолютном преобладании в нашей Вселенной частиц над античастицами. Известный физик Ф. Дайсон писал: "Открытия последних десятилетий в области физики элементарных частиц заставляют нас обратить особое внимание на концепцию нарушения симметрии. Развитие Вселенной с момента ее зарождения выглядит как непрерывная последовательность нарушений симметрии. В момент своего возникновения при грандиозном взрыве Вселенная была симметрична и однородна. По мере остывания в ней нарушается одна симметрия за другой, что создает возможности для существования все большего и большего разнообразия структур. Феномен жизни естественно вписывается в эту картину. Жизнь - это тоже нарушение симметрии" (цит. по ст.: И. Акопян // Знание - сила. 1989).
Молекулярная асимметрия открыта Л. Пастером, который первым выделил "правые" и "левые" молекулы винной кислоты: правые молекулы похожи на правый винт, а левые - на левый. Такие молекулы химики называют стереоизомерами. Молекулы-стереоизомеры имеют одинаковый атомный состав, одинаковые размеры, одинаковую структуру - в то же время они различимы, поскольку являются зеркально асимметричными, т.е. объект оказывается нетождественным со своим зеркальным двойником.
Поэтому здесь понятия "правый-левый" - условны. В настоящее время хорошо известно, что молекулы органических веществ, со ставляющие основу живой материи, имеют асимметричный характер, т.е. в состав живого вещества они входят только либо как правые, либо как левые молекулы. Таким образом, каждое вещество может входить в состав живой материи только в том случае, если оно обладает вполне определенным типом симметрии. Например, молекулы всех аминокислот в любом живом организме могут быть только левыми, сахара - только правыми. Это свойство живого вещества и его продуктов жизнедеятельности называют дисимметрией. Оно имеет совершенно фундаментальный характер. Хотя правые и левые молекулы неразличимы по химическим свойствам, живая материя их не только различает, но и делает выбор. Она отбраковывает и не использует молекулы, не обладающие нужной ей структурой. Как это происходит, пока не ясно. Молекулы противоположной симметрии для нее яд. Если бы живое существо оказалось в условиях, когда вся пища была бы составлена из молекул противоположной симметрии, не отвечающей дисимметрии этого организма, то оно погибло бы от голода. В неживом веществе правых и левых молекул поровну.
Дисимметрия - единственное свойство, благодаря которому мы можем отличить вещество биогенного происхождения от неживого вещества. Мы не можем ответить на вопрос, что такое жизнь, но имеем способ отличить живое от неживого. Таким образом, асимметрию можно рассматривать как разграничительную линию между живой и неживой природой. Для неживой материи характерно преобладание симметрии, при переходе от неживой к живой материи уже на микроуровне преобладает асимметрия. В живой природе асимметрию можно увидеть всюду. Очень удачно это подметил в романе "Жизнь и судьба" В. Гроссман: "В большом миллионе русских деревенских изб нет и не может быть двух неразличимо схожих. Все живое неповторимо. Немыслимо тождество двух людей, двух кустарников шиповника... Жизнь глохнет там, где насилие стремится стереть ее своеобразие и особенности".
Симметрия и асимметрия составляют единство, они взаимосвязаны друг с другом, как две стороны одной медали. Нельзя представить полностью симметричный мир, так же как и невозможно помыслить о мире, вообще лишенном симметрии. Симметрия лежит в основе вещей и явлений, выражая нечто общее, свойствен
ное разным объектам, тогда как асимметрия связана с индивидуальным воплощением этого общего в конкретном объекте.
На принципе симметрии основан метод аналогий, предполагающий отыскание общих свойств в различных объектах. На основе аналогий создаются физические модели различных объектов и явлений. Аналогии между процессами позволяют описывать их общими уравнениями. Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Разработан метод решения задач из соображений симметрии.
Принципы симметрии выражают наиболее общие свойства природы, они имеют более общий характер, чем законы движения. Поэтому проверка принципов симметрии всегда интересовала физиков, а поиск новых симметрии составляет одну из задач физики вообще. Поиски новых свойств симметрии - это вместе с тем поиски и новых законов сохранения. Наши представления о симметрии устанавливаются путем обобщения опытных данных. Некоторые симметрии оказываются только приближенными. С другой стороны, обобщая опыт, мы открываем новые законы сохранения и, следовательно, новые принципы симметрии.
Существует точка зрения, согласно которой в нашем познании о мире есть три ступени: уровень явлений или событий, зако нов природы и принципов симметрии, поднимаясь на которые, мы глубже и дальше познаем природу, лучше ее понимаем. Уровень явлений самый элементарный. Это все, что происходит в мире: движение тел, столкновения частиц, поглощение и излучение света и много других явлений. С первого взгляда кажется, что между ними нет ничего общего. Однако при более внимательном рассмотрении мы обнаруживаем, что между явлениями имеют ся определенные взаимосвязи, которые и называют законами. В принципе, если бы мы располагали полной информацией обо всех явлениях и событиях в мире, то нам законы не были бы нужны. С другой стороны, если бы мы знали все законы или один всеобъемлющий закон природы, то свойства инвариантности этих законов не давали бы ничего нового. Но, к сожалению, нам не известно даже большинство законов природы. Поэтому познание свойств симметрии, как писал Е. Вигнер, "состоит в наделении структурой законов природы или установлении между ними внутренней связи, так же как законы устанавливают структуру или взаимосвязь в мире явлений" (Вигнер, 1971). Поэтому говорят, что если законы управляют явлениями, то принципы симметрии - это законы физических законов. Таким образом, можно сказать, что симметрия характеризует собой эпоху синтеза, когда разрозненные знания сливаются в единую, целостную картину.
Выявление различных симметрии в природе, а иногда и постулирование их, стало одним из методов теоретического исследования микро-, макро- и мегамира. Законы природы позволяют предсказывать явления, а принципы симметрии - открывать законы природы. Например, уравнения Максвелла в электродинамике получены на основании симметрии между электрическими и магнитными явлениями. Д. Максвелл исходил из убеждения, что взаимодействия электрического и магнитного полей должны быть симметричными, и поэтому ввел в свои уравнения дополнительное слагаемое, учитывающее это обстоятельство. Уверенность в симметрии законов природы привела его в выводу о существовании электромагнитных волн. Также можно сказать, что идея А. Эйнштейна, приведшая его к созданию теории относительности, опиралась на уверенность в глубокой симметрии природы, которая должна одновременно охватывать механические, электромагнитные и все другие явления.
О. Мороз в книге "В поисках гармонии" писал, что физики гоняются за симметрией подобно тому, как путники преследуют в пустыне ускользающий мираж. Вот возникла на горизонте прекрасная манящая картина, но как только вы попытаетесь к ней приблизиться, она исчезает, оставляя чувство горечи.
Центральную роль в этой книге играют древние понятия размерности (т. е. количества пространственных измерений или степени многомерности) и симметрии. Кроме того, позже мы неоднократно столкнемся с различными симптомами расходимости.
ИДЕЯ РАЗМЕРНОСТИ
Во время кризиса 1875-1925 гг. математики осознали, что невозможно достичь истинного понимания неправильности и фрагментации (равно как правильности и связности), по-прежнему определяя размерность как число пространственных координат. Первый шаг в направлении строгого анализа был сделан Кантором в его письме к Дедекинду от 20 июня 1877 г., следующий - Пеано в 1890 г., а к середине 20-х гг. XX в. процесс благополучно завершился.
Как случается со всеми значительными интеллектуальными достижениями, результат этого процесса может иметь весьма различные интерпретации. Во всех попадавших мне на глаза математических исследованиях теории размерности подразумевается, что теория эта единственна и неповторима. Главным здесь, на мой взгляд, является то, что довольно расплывчатое понятие размерности, судя по всему, имеет много математических аспектов, которые не только принципиально различны, но еще и дают различные числовые значения этой самой размерности. То, что Уильям из Оккама говорил о сущностях, относится и к размерностям - не следует множить размерности без необходимости, однако от множественности размерностей нам никуда не деться. Евклид в свое время ограничился множествами, все существенные размерности которых совпадают - эти множества можно назвать размерностно-согласованными множествами. С другой стороны, различные размерности множеств, которым посвящена значительная часть этой книги, отказываются совпадать, т. е. эти множества размерностно-несогласованы.
Переходя от размерностей математических множеств к «эффективным» размерностям моделируемых этими множествами физических объектов, мы встречаемся с другой двусмысленностью, неизбежной и реально необходимой. И математические, и физические аспекты понятия размерности вкратце предваряются в данной главе.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМИНА «ФРАКТАЛЬНЫЙ»
В нижеследующем тексте используются не определенные ранее математические термины, однако многие читатели, возможно, сочтут этот отрывок полезным для себя или хотя бы просто занимательным. Остальные же вольны его пропустить.
Это и последующие отступления от основной линии настоящего эссе я буду помечать особыми скобками - < и >. Последний символ намеренно сделан более заметным, чтобы любой затерявшийся в отступлениях и желающий двигаться дальше читатель мог с легкостью его найти. Открывающая скобка не столь привлекает внимание: мне не хотелось, чтобы отступления слишком сильно выделялись в тексте. В отступлениях часто можно встретить предварительное упоминание материала, обсуждаемого в последующих главах.
< Размерностную несогласованность основных фракталов можно использовать для трансформации интуитивного понятия фрактала в строго математическое. Я решил сосредоточиться на двух определениях, каждое из которых ставит в соответствие всякому множеству в евклидовом пространстве - каким бы «патологическим» оно ни выглядело - некое вещественное число, которое и с интуитивной, и с формальной точки зрения имеет полное право называться размерностью этого множества. Более неформальным из двух является определение топологической размерности по Брауэру, Лебегу, Менгеру и Урысону. Эта размерность описана в соответствующем разделе главы 41. Обозначим ее через Определение второй размерности было сформулировано Хаусдорфом в и приведено в окончательный вид Безиковичем. Ее описание можно найти в главе 39, а обозначать ее мы будем через .
< В евклидовом пространстве величины размерностей и заключены в промежутке от 0 до . Однако на этом их сходство заканчивается. Размерность всегда является целым числом, в то время как для размерности это вовсе не обязательно. Эти две размерности не обязательно должны совпадать, они должны лишь удовлетворять неравенству Спилрайна (см. , глава 4)
В случае евклидовых множеств . Однако почти для всех множеств в этой книге . Такие множества необходимо было как-то называть, поэтому я придумал термин фрактал, определив его следующим образом:
< Фракталом называется множество, размерность Хаусдор- фа-Безиковича для которого строго больше его топологической размерности.
< Любое множество с нецелым значением является фракталом. Например, исходное канторово множество представляет собой фрактал, поскольку, как мы увидим в главе 8, его размерность
Канторово множество в пространстве можно обобщить так, чтобы , a принимала бы любые желаемые значения в промежутке от 0 до (включительно).
< Фракталом является и исходная кривая Коха, поскольку, как будет показано в главе 6, ее размерность
< Фрактал может иметь и целочисленную размерность. Например, в главе 25 показано, что траектория броуновского движения представляет собой фрактал, так как ее размерность
< Тот поразительный факт, что размерность не должна непременно быть целым числом, заслуживает некоторого терминологического отступления. Если понимать термин «дробь»1 в широком смысле, т.е. как синоним термина «нецелое вещественное число», то некоторые из вышеперечисленных значений размерности являются дробными - размерность Хаусдорфа-Безиковича иногда даже называют дробной размерностью. Однако учитывая, что может принимать и целые значения (меньшие, чем , но строго большие, чем ), я предпочитаю называть величину фрактальной размерностью.
ФРАКТАЛЫ В ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
< Исследование фракталов частично затрагивает и геометрический аспект гармонического анализа, однако в настоящем труде этот факт не слишком подчеркивается. Большинству читателей гармонический анализ (иначе называемый спектральным или анализом Фурье) мало известен, а многие из тех, кто эффективно используют его на практике, мало знакомы с его фундаментальными структурами.
Кроме того, каждый из этих подходов - и фрактальный, и спектральный - имеет свои характерные особенности и свою прелесть, которые лучше постигать на своем собственном опыте. И наконец, на мой взгляд, по сравнению с гармоническим анализом фракталы просты и интуитивно понятны.
О «ПОНЯТИЯХ, КОТОРЫЕ... НОВЫ, НО ... »
В свое время Лебег немало потешался над некоторыми «понятиями, которые, безусловно, новы, но абсолютно бесполезны». К размерности эту характеристику никто не применял, однако ее использование было ограничено весьма узким кругом областей, причем все эти области относились к чистой математике. Я, пожалуй, был первым, кто успешно применил размерность к описанию Природы. Одной из важнейших целей моей работы является закрепление за размерностью центрального места в эмпирической науке и демонстрация таким образом того, что размерность эта обладает гораздо более широкой применимостью, чем кто-либо может себе представить.
В некоторых областях физики мое утверждение о важности размерности было принято с исключительной готовностью. Более того, многие ученые, работающие в этих областях, сознавая неадекватность обычной размерности, уже пытались вести поиски в этом направлении, получая в результате всевозможные дробные, аномальные, либо непрерывные размерности. К сожалению, эти поиски никак не были связаны друг с другом. К тому же в некоторых случаях различные размерности определялись одинаково, ни одна из них не могла похвастать наличием математического теоретического обоснования, и ни одна не была должным образом разработана, так как из-за отсутствия математического обоснования эти размерности невозможно было отличить друг от друга. Для тех разработок, которые будут описаны ниже, существование математической теории жизненно необходимо.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ - ЭТО НЕ ТОЛЬКО ТОПОЛОГИЯ
Если вы спросите у математика, какая четко определенная область математики имеет дело с формами, он почти наверняка упомянет топологию. Топология, безусловно, имеет к нашим целям самое непосредственное отношение - мы даже упоминали о ней в предыдущей главе, - однако в настоящем эссе выдвигается и защищается утверждение, что довольно расплывчатое понятие формы содержит не только топологические, но и другие математические аспекты.
Топология, которую раньше называли геометрией местоположений или analysis situs1 (греческое слово переводится как «место» или «положение»), полагает, что все горшки с двумя ручками имеют одинаковую форму, так как если бы они обладали неограниченной гибкостью и сжимаемостью, то можно было бы из одного горшка вылепить любой другой, причем непрерывным образом, не делая никаких новых отверстий и не закрывая старых. Топология также учит, что форма береговой линии любого острова идентична форме береговой линии любого другого острова, поскольку все такие линии топологически идентичны дружности. Топологическая размерность береговой линии равна топо- логической размерности окружности, и обе они равны 1. Если добавить острову несколько не соприкасающихся с ним «спутников», то совокупная береговая линия получившегося архипелага будет топологически идентична совокупности нескольких окружностей. Таким образом, топология не видит разницы между различными береговыми линиями.
В главе 5 показано, что различные береговые линии имеют, как правило, различные фрактальные размерности. Различия между фрактальными размерностями обусловлены различиями между нетопологическими аспектами формы, которые я предлагаю назвать фрактальными.
Большинство действительно важных и интересных задач сложным образом сочетают в себе фрактальный и топологический аспекты формы.
Заметим, что в топологии определения собственно поля и размерности развивались параллельно, а понятие фрактальной размерности появилось на полвека раньше настоящего исследования в области фрактальных форм.
Кстати, из-за того, что некий класс топологических пространств носит имя Феликса Хаусдорфа, широко используемый для обозначения размерности термин «хаусдорфова размерность» может быть воспринят как сокращение от «размерности хаусдорфова пространства», создавая тем самым впечатление, что является топологическим понятием - это абсолютно не так. Вот вам еще одна причина, почему я предпочитаю термин фрактальная размерность.
ЭФФЕКТИВНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
Помимо математических идей, лежащих в основе размерностей и , я часто прибегаю к помощи эффективной размерности - понятия, которому не следует давать точного определения. Это мощное интуитивное понятие представляет собой возврат к древнегреческой пифагорейской геометрии. Новизна заключается в том, что в настоящем эссе значение эффективной размерности может быть дробным.
Эффективная размерность выражает соотношение между математическими множествами и естественными объектами. Строго говоря, все физические объекты - такие, например, как вуаль, нить или маленький шарик - должны быть представлены трехмерными телами. Однако физики предпочитают считать, что вуаль имеет размерность 2, а размерности нити и шарика равны соответственно 1 и 0 (при условии, разумеется, что и вуаль, и нить, и шарик достаточно малы). Например, для описания нити относящиеся к множествам с размерностями 1 или 3 теории должны быть соответствующим образом скорректированы с помощью поправочных членов. После этого строится более точная геометричеcкая модель, требующая меньших поправок. Если повезет, такая модель оказывается верной даже без учета поправок. Иными словами, эффективная размерность неизбежно опирается на субъективный фундамент; она обусловлена приближением и, как следствие, степенью разрешения.
ЭФФЕКТИВНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ, СКРЫТЫЕ В СКРУЧЕННОМ ИЗ НИТИ ШАРЕ
Для подтверждения последнего заявления скрутим из толстой нити диаметром 1 мм шар диаметром 10 см и рассмотрим скрытые в таком клубке эффективные размерности.
Удаленному наблюдателю наш клубок покажется фигурой с нулевой размерностью, т. е. точкой. (Да что там клубок! - еще Блез Паскаль и средневековые философы утверждали, что в космическом масштабе весь наш мир есть не более, чем точка!) С расстояния в 10 см шар из нитей выглядит как трехмерное тело, а с расстояния в 10 мм - как беспорядочное переплетение одномерных нитей. На расстоянии в 0,1 мм каждая нить превратится в толстую колонну, а вся структура целиком опять станет трехмерным телом. На расстоянии 0, 01 мм колонны превратятся в переплетение волокон - шар снова станет одномерным. При дальнейшем приближении процесс становится периодическим - размерность наблюдаемой фигуры переключается с одного значения на другое и наоборот. Наконец, когда клубок превратится в скопление, состоящее из какого-то конечного числа точек, имеющих размеры порядка атомных, его размерность снова становится равной нулю. Похожую последовательность смены размерностей можно наблюдать при разглядывании листа бумаги.
Тот факт, что численный результат может и должен зависеть от соотношений между объектом и наблюдателем, не только вполне в духе сегодняшней физики, но и являет собой достойный подражания пример.
Большинство объектов, рассматриваемых в этой книге, похожи на наш нитяной клубок: они демонстрируют целую последовательность различных эффективных размерностей. Однако существует одно важное отличие: некоторые недостаточно определенные переходы между зонами с отчетливо выраженной размерностью интерпретируются здесь как фрактальные зоны, внутри которых .
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ОДНОРОДНОСТЬ, МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И САМОПОДОБИЕ
Оставим пока размерности в покое и приготовимся к разговору о симметрии, для чего вспомним о простейших формах, с которых начинается евклидова геометрия: о линиях, плоскостях и пространствах. И о простейших физических задачах, возникающих при однородном распределении какой-либо физической величины - плотности, температуры, давления или скорости.
Однородное распределение вдоль линии, на плоскости или в пространстве обладает двумя очень привлекательными свойствами. Оно инвариантно при смещении и при изменении масштаба. При переходе к фракталам обе инвариантности неизбежно подвергаются модификации и/или/ ограничению области их действия. Следовательно, наилучшими можно считать те фракталы, которые демонстрируют максимальную инвариантность.
В случае смещения различные участки траектории броуновского движения частицы не могут быть точно совмещены друг с другом, как, например, могут быть совмещены различные участки прямой линии. Тем нe менее, можно считать, что эти участки совместимы в статистическом смысле. Почти все фракталы, представленные в этой книге, в той или иной степени инвариантны при смещении.
Более того, большинство этих фракталов инвариантны при некоторых преобразованиях масштаба. Назовем их масштабно-инвариантными фракталами. Фрактал, инвариантный при обычном геометрическом преобразовании подобия, называется самоподобным.
В составном термине масштабно-инвариантные фракталы прилагательное служит для смягчения существительного. Основной термин фрактал подразумевает неупорядоченность и относится к структурам ярко выраженной иррегулярности, тогда как определение масштабно-инвариантный намекает на некоторый порядок. Если же под основным термином понимать масштабную инвариантность, предполагающую строгий порядок, то фрактал сыграет роль модификатора, призванного исключить всякий намек на прямые и плоскости.
Не следует превратно понимать стремление допустить однородность и масштабную инвариантность. Как и в случае обыкновенной геометрии природы, все мы прекрасно осведомлены о том, что ничто в окружающем нас мире не является ни строго однородным, ни масштабно-инвариантным. Обыкновенная геометрия рассматривает прямые как предварительные модели. Так же и в механике понятие однородного прямолинейного движения является лишь первым шагом.
Те же соображения применимы и к изучению масштабно-инвариантных фракталов, однако в этом случае первый шаг получается значительно более длинным, поскольку вместо прямых линий мы имеем огромное множество самых разнообразных возможностей, лишь самые яркие примеры которых вошли в эту книгу. Не следует удивляться тому, что масштабно-инвариантные фракталы используются здесь лишь как источники первых приближений к естественным структурам, подлежащим рассмотрению. Скорее, удивиться нужно тому, насколько поразительно верными оказываются эти первые приближения.
Нелишним будет напомнить, что идея самоподобия далеко не нова.. В случае с прямыми эта идея пришла в голову еще Лейбницу примерно в 1700 г. (см. раздел МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПО ЛЕЙБНИЦУ И ЛАПЛАСУ в главе 41). Ее математическому обобщению, не ограничивающемуся прямыми и плоскостями, скоро исполнится сто лет, хотя реальной его важности до настоящего эссе никто не признавал. Физики тоже давно знакомы с самоподобием - с тех пор, как в 1926 г. Льюис Ф. Ричардсон предположил, что турбулентность в широком диапазоне масштабов может быть разбита на самоподобные завихрения. Поразительные аналитические следствия этой идеи в приложении к механике были сформулированы Колмогоровым в работе . Что касается масштабной инвариантности, то ее аналитические аспекты связываются в физике с понятием ренорм-групп (см. главу 36).
И все же впервые геометрические аспекты нестандартной масштабной инвариантности в Природе были должным образом освещены лишь в первом издании настоящего эссе в 1975 г.
«СИММЕТРИИ» ЗА ПРЕДЕЛАМИ МАСШТАБНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ
Покончив с прямыми, евклидова геометрия берется за фигуры, обладающие более богатыми в смысле инвариантности свойствами, обычно называемыми «симметриями». Мы с вами также не преминем отправиться на довольно продолжительную экскурсию в царство неинвариантных фракталов (в главах 15-20).
Самоотображающиеся, но масштабно-неинвариантные фракталы тесно связаны с некоторыми из наиболее тонких и сложных мест «строго классического» математического анализа. Опровергая распространенное мнение о сухости анализа, эти фракталы удивительно прекрасны.
СИНДРОМ РАСХОДИМОСТИ
Почти все подлежащие далее рассмотрению прецеденты демонстрируют проявления синдрома расходимости. Иными словами, некоторая величина - по всем предположениям, положительная и конечная - оказывается вдруг бесконечной либо вовсе обращается в нуль. На первый взгляд, такое недостойное поведение кажется в высшей степени странным и даже пугающим, однако тщательное исследование показывает, что оно вполне объяснимо, если... если, конечно, вы готовы начать мыслить по-новому.
Прецеденты, в которых симметрия сопровождается расходимостью, также давно известны специалистам по квантовой физике, в которой вообще большим почетом пользуются всевозможные аргументы, устраняющие расходимость. К счастью для нас, с фрактальными расходимостями справиться гораздо проще.
Симметрия веками оставалась тем свойством, которое занимало умы философов, астрономов, математиков, художников, архитекторов и физиков. Древние греки были просто одержимы ею, и даже сегодня мы, как правило, стараемся применять симметрию во всем: от того, как мы располагаем мебель, до того, как мы укладываем наши волосы.
Никто не знает, почему это явление настолько сильно занимает наши умы, или почему математики стараются увидеть порядок и симметрию в окружающих нас вещах - как бы то ни было, ниже представлены десять примеров того, что симметрия действительно существует, а также того, что мы ею окружены.
Примите во внимание: как только вы об этом задумаетесь, вы уже постоянно будете невольно искать симметрию в окружающих вас предметах.
10. Капуста брокколи Романеско
Скорее всего, вы неоднократно проходили в магазине мимо полки с капустой брокколи Романеско и из-за её необычного вида предполагали, что это генно-модифицированный продукт. Но на самом-то деле, это всего лишь ещё один из многих примеров фрактальной симметрии в природе - хотя и безусловно поразительный.
В геометрии фрактал — это сложный узор, каждая часть которого обладает тем же геометрическим рисунком, что и весь узор в целом. Поэтому в случае капусты брокколи Романеско каждый цветок компактного соцветия обладает той же логарифмической спиралью, что и вся головка (просто в миниатюрном виде). По сути, вся головка этой капусты — это одна большая спираль, которая состоит из маленьких почек похожих на шишки, которые также растут в виде мини-спиралей.
Кстати говоря, капуста брокколи Романеско является родственницей, как капусты брокколи, так и цветной капусты, хотя её вкус и консистенция больше напоминают цветную капусту. Она также богата каротиноидами и витаминами С и К, что означает, что она является полезным и математически красивым дополнением к нашей пище.
9. Медовые соты
Пчёлы это не только ведущие производители мёда - они также знают толк в геометрии. Тысячи лет люди поражались совершенству гексагональных форм в медовых сотах и задавались вопросом о том, как же пчёлы могут инстинктивно создавать такие формы, которые человек может создавать только с линейкой и компасом. Медовые соты являются предметов обойной симметрии, где повторяющийся узор покрывает плоскость (например, плиточный пол или мозаика).
Так каким же образом и почему пчёлы так любят строить шестиугольники? Начнём с того, что математики считают, что эта совершенная форма позволяет пчёлам запасать самое большое количество мёда, используя наименьшее количество воска. При строительстве других форм у пчёл получались бы большие пространства, так как такие фигуры, как например круг - не прилегают друг к другу полностью.
Другие наблюдатели, которые менее склонны верить в сообразительность пчёл, считают, что они формируют гексагональную форму совершенно «случайно». Другими словами, пчёлы на самом деле делают круги, а воск сам по себе принимает гексагональную форму. В любом случае - это произведение природы и довольно-таки потрясающее.
8. Подсолнухи
Подсолнухи могут похвастаться радиальной симметрией и интересным типом симметрии чисел, известным как последовательность Фибоначчи. Последовательность Фибоначчи это: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.д. (каждое число определяется суммой двух предыдущих чисел).
Если не жалея времени заняться подсчётом количества семенных спиралей в подсолнечнике, мы бы обнаружили, что количество спиралей совпадает с числами Фибоначчи. Более того, огромное количество растений (включая капусту брокколи Романеско) отпускают лепестки, листья и семена в соответствии с последовательностью Фибоначчи, именно поэтому так сложно найти четырёхлистный клевер.
Считать спирали на подсолнечнике может быть довольно трудно, поэтому, если вы хотите самостоятельно проверить этот принцип, попробуйте подсчитать спирали на более крупных вещах, таких как шишки, ананасы, и артишоки.
Но почему цветы подсолнечника и другие растения подчиняются математическим правилам? Как и в случае шестиугольников в улье, всё дело в эффективности. Чтобы не углубляться в технические особенности, можно просто сказать, что цветок подсолнечника может вместить наибольшее количество семян, если каждое семечко расположено под углом, представляющим собой иррациональное число.
Оказывается, самым иррациональным числом является золотое сечение, или Фи, и так уж случилось, что, если мы разделим любое число Фибоначчи или Лукаса на предыдущее число в последовательности, мы получим число, близкое к Фи (+1,618033988749895 ...). Таким образом, в любом растении, растущем в соответствии с последовательностью Фибоначчи, должен быть угол, который соответствует Фи (углу равному числу золотого сечения) между каждым из семян, листьев, лепестков, или веток.
7. Раковина Наутилуса
Помимо растений существуют также некоторые животные, демонстрирующие собою числа Фибоначчи. Например, раковина Наутилуса выросла в «Спираль Фибоначчи». Спираль образуется в результате попытки раковины поддерживать ту же пропорциональную форму по мере своего роста наружу. В случае наутилуса, такая тенденция роста позволяет ему сохранять одинаковую форму тела в течение всей своей жизни (в отличие от людей, чьи тела изменяют свои пропорции по мере взросления).
Как и следовало бы ожидать - в этом правиле существуют и исключения: не каждая раковина наутилуса вырастает в спираль Фибоначчи. Но все они растут в виде своеобразных логарифмических спиралей. И, до того как вы начнёте задумываться над тем, что эти головоногие, пожалуй, знают математику лучше вас, помните, что их раковины растут в такой форме неосознанно для них, и что они просто пользуются эволюционным дизайном, который позволяет моллюску расти, не изменяя форму.
6. Животные
Большинство животных обладает двусторонней симметрией, это означает, что их можно разделить на две одинаковые половины, если линию деления провести по их центру тела. Даже люди обладают двусторонней симметрией, и некоторые учёные считают, что симметрия человека является самым важным фактором того, будем ли мы считать его физически привлекательным или нет. Другими словами, если у вас кривобокое лицо, надейтесь, что у вас есть целая уйма компенсирующих, положительных качеств.
Одно животное, скорее всего, воспринимает важность симметрии в брачных ритуалах слишком серьёзно, и этим животным является павлин. Дарвина очень раздражал этот вид птиц, и в своём письма в 1860 году он написал, что «каждый раз, когда я смотрю на перо из павлиньего хвоста - меня тошнит!».
Для Дарвина хвост павлина казался чем-то обременительным, так как, по его мнению, такой хвост не имел эволюционного смысла, так как он не подходил под его теорию «естественного отбора». Он злился до тех пор, пока он не разработал теорию сексуального отбора, которая заключается в том, что животное развивает у себя определённые качества, которые обеспечат ему лучший шанс спариться. Очевидно, для павлинов сексуальный отбор считается невероятно важным, так как они отрастили себе различные варианты узоров, чтобы привлечь своих дам, начиная с ярких цветов, большого размера, симметрии своих тел и повторяющемся узоре их хвостов.
5. Паутины пауков
Существует примерно 5 000 видов пауков-кругопрядов, и все они создают практически совершенно круглые паутины с почти равноудаленными радиальными опорами, исходящими из центра и связанными по спирали для более эффективной ловли добычи. Ученые до сих пор не нашли ответа на вопрос, почему пауки-кругопряды делают такой большой акцент на геометрию, так как исследования показали, что округлая паутина не удерживает добычу лучше, чем паутина неправильной формы.
Некоторые ученые предполагают, что пауки строят круглые паутины из-за того, что они более прочные, и радиальная симметрия помогает равномерно распределить силу удара, когда жертва попадает в сети, в результате чего в паутине оказывается меньше разрывов. Но остается вопрос: если это действительно лучший способ создания паутины, то почему не все пауки его используют? У некоторых пауков, не являющихся кругопрядами, есть возможность создавать такую же паутину, однако они этого не делают.
Например, недавно обнаруженный в Перу паук строит отдельные части сети одинакового размера и длины (что доказывает его способность «замерять»), но затем он просто соединяет все эти части одинакового размера в случайном порядке в большую паутину, которая не обладает какой-то определённой формой. Может быть эти пауки из Перу знают что-то, чего не знают пауки-кругопряды, или же они ещё просто не оценили всю прелесть симметрии?
4. Круги на полях с урожаем
Дайте парочке приколистов доску, кусок верёвки и покров тьмы и окажется, что люди тоже хороши в создании симметричных форм. На самом деле, именно из-за невероятной симметрии и сложности дизайна кругов на полях с урожаем, люди продолжают верить, что только пришельцы из космоса способны сотворить такое, даже несмотря на то, что люди, создавшие эти круги, сознались.
Возможно, когда-то и была смесь кругов сделанных людьми с теми, которые сделали пришельцы, но прогрессирующая сложность кругов является самым явным доказательством того, что их сделали именно люди. Было бы нелогичным предположить, что пришельцы сделают свои послания ещё сложнее, учитывая то, что люди ещё толком не разобрались в значении простых посланий. Скорее всего, люди учатся друг у друга по примерам созданного и всё больше и больше усложняют свои творения.
Если отбросить в стороны разговоры об их происхождении, можно точно сказать, что на круги приятно смотреть, по большей части из-за того, что они так геометрически впечатляющи. Физик Ричард Тейлор (Richard Taylor) провёл исследование кругов на полях и обнаружил, что помимо того факта, что за ночь на земле создается по крайней мере один круг, большинство их дизайнов отображают широкий спектр симметрии и математических моделей, в том числе фракталов и спиралей Фибоначчи.
3. Снежинки
Даже такие крошечные вещи как снежинки тоже образуются по законам порядка, так как большинство снежинок формируются в виде шестикратной радиальной симметрии со сложными, идентичными рисунками на каждой из её ветвей. Понять, почему растения и животные выбирают симметрию, сложно само по себе, но неодушевлённые объекты - как же им это удаётся?
По-видимому, всё сводится к химии, и в частности к тому, как молекулы воды выстраиваются по мере своего замерзания (кристаллизуются). Молекулы воды приходят в твёрдое состояние путём образования слабых водородных связей друг с другом. Эти связи выравниваются в упорядоченном расположении, которое максимизирует силы притяжения и снижает силы отталкивания, что как раз и является причиной образования гексагональной формы снежинки. Однако всем нам известно, что двух одинаковых снежинок не бывает, так как же снежинка формируется в абсолютной симметрии сама с собой, но не похожа на другие снежинки?
По мере того как каждая снежинка падает с неба она проходит через уникальные атмосферные условия, такие как температура и влажность, которые влияют на то, как кристаллы «растут» на ней. Все ветви снежинки проходят через одни и те же условия и следовательно кристаллизуются одинаковым образом - каждая ветвь является точной копией другой. Ни одна другая снежинка не проходит через те же условия по мере своего спуска, поэтому они все выглядят немного по-разному.
2. Галактика Млечный Путь
Как мы уже видели, симметрия и математические узоры существуют повсюду, куда бы мы ни посмотрели - но ограничены ли эти законы природы только нашей планетой? По всей видимости - нет. Недавно обнаружив новую часть Млечного Пути, астрономы считают, что наша галактика является почти совершенным отражением самой себя. Основываясь на новой информации, учёные получили подтверждение своей теории о том, что в нашей галактике есть только два огромных рукава: Персей и Рукав Центавра.
В дополнение к зеркальной симметрии, Млечный Путь обладает ещё одним удивительным дизайном - похожим на раковины наутилуса и подсолнуха, где каждый рукав галактики представляет собой логарифмическую спираль, берущую начало в центре галактики и расширяющуюся к внешнему краю.
1. Симметрия Солнца и Луны
Учитывая, что диаметр солнца составляет 1,4 миллиона километров, а диаметр луны всего 3,474 километра, очень сложно представить себе, что Луна может закрывать собой солнечный свет и давать нам около пяти солнечных затмений каждые два года.
Так как же это всё-таки происходит? По совпадению, несмотря на то, что ширина солнца примерно в четыреста раз больше ширины луны, оно расположено от нас в четыреста раз дальше, чем луна. Симметрия этого соотношения приводит к тому, что нам кажется, что солнце и луна, одинаковые по размеру, если смотреть с Земли, поэтому луна может с лёгкостью блокировать солнце, когда они находятся на одной линии по отношению к Земле.
Расстояние от Земли до солнца, конечно, может вырасти во время её выхода на орбиту, и когда в это время случается затмение, мы можем полюбоваться ежегодным или неполным затмением, так как солнце не полностью закрыто. Но каждый год или два, всё становится абсолютно симметричным, и мы можем посмотреть на великолепное событие, которое мы называем полным солнечным затмением.
Астрономы не уверены, насколько часто такая симметрия встречается между другими планетами, солнцами и спутниками, однако они думают, что это довольно редкое явление. Даже если это так, то мы не должны предполагать, что мы особенные, потому что всё, как ни странно, является делом случая. Например, каждый год луна удаляется от Земли примерно на четыре сантиметра, это означает, что миллиарды лет назад, каждое солнечное затмение было бы полным.
Если дело пойдёт так и дальше, полные затмения в конце концов исчезнут, за ними исчезнут ежегодные затмения (если планета ещё продержится настолько долго). Поэтому, можно предположить на самом деле, что мы находимся в нужном месте, в нужное время. Но так ли это? Некоторые люди выдвигают теории о том, что симметрия солнца и луны это именно тот фактор, благодаря которому жизнь на Земле стала возможной.