Логарифмические уравнения. Продолжаем рассматривать задачи из части В ЕГЭ по математике. Мы с вами уже рассмотрели решения некоторых уравнений в статьях « » , « » . В этой статье рассмотрим логарифмические уравнения. Сразу скажу, что никаких сложных преобразований при решении таких уравнений на ЕГЭ не будет. Они просты.
Достаточно знать и понимать основное логарифмическое тождество, знать свойства логарифма. Обратите внимание на то, то после решения ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сделать проверку — подставить полученное значение в исходное уравнение и вычислить, в итоге должно получиться верное равенство.
Определение :
Логарифмом числа a по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.
Например:
Log 3 9 = 2, так как 3 2 = 9
Свойства логарифмов:
Частные случаи логарифмов:
Решим задачи. В первом примере мы сделаем проверку. В последующих проверку сделайте самостоятельно.
Найдите корень уравнения: log 3 (4–x) = 4
Так как log b a = x b x = a, то
3 4 = 4 – x
x = 4 – 81
x = – 77
Проверка:
log 3 (4–(–77)) = 4
log 3 81 = 4
3 4 = 81 Верно.
Ответ: – 77
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения: log 2 (4 – x) = 7
Найдите корень уравнения log 5 (4 + x) = 2
Используем основное логарифмическое тождество.
Так как log a b = x b x = a, то
5 2 = 4 + x
x =5 2 – 4
x = 21
Проверка:
log 5 (4 + 21) = 2
log 5 25 = 2
5 2 = 25 Верно.
Ответ: 21
Найдите корень уравнения log 3 (14 – x) = log 3 5.
Имеет место следующее свойство, смысл его таков: если в левой и правой частях уравнения имеем логарифмы с одинаковым основанием, то можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов.
14 – x = 5
x = 9
Сделайте проверку.
Ответ: 9
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения log 5 (5 – x) = log 5 3.
Найдите корень уравнения: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).
Если log c a = log c b, то a = b
x + 3 = 4x – 15
3x = 18
x = 6
Сделайте проверку.
Ответ: 6
Найдите корень уравнения log 1/8 (13 – x) = – 2.
(1/8) –2 = 13 – x
8 2 = 13 – x
x = 13 – 64
x = – 51
Сделайте проверку.
Небольшое дополнение – здесь используется свойство
степени ().
Ответ: – 51
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения: log 1/7 (7 – x) = – 2
Найдите корень уравнения log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.
Преобразуем правую часть. воспользуемся свойством:
log a b m = m∙log a b
log 2 (4 – x) = log 2 5 2
Если log c a = log c b, то a = b
4 – x = 5 2
4 – x = 25
x = – 21
Сделайте проверку.
Ответ: – 21
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3
Решите уравнение log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)
Если log c a = log c b, то a = b
x 2 + 4x = x 2 + 11
4x = 11
x = 2,75
Сделайте проверку.
Ответ: 2,75
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).
Решите уравнение log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.
Необходимо с правой стороны уравнения получить выражение вида:
log 2 (......)
Представляем 1 как логарифм с основанием 2:
1 = log 2 2
log с (ab) = log с a + log с b
log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2
Получаем:
log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)
Если log c a = log c b, то a = b, значит
2 – x = 4 – 6x
5x = 2
x = 0,4
Сделайте проверку.
Ответ: 0,4
Решите самостоятельно: Далее необходимо решить квадратное уравнение. Кстати,
корни равны 6 и – 4.
Корень "– 4" не является решением, так как основание логарифма должно быть больше нуля, а при " – 4" оно равно « – 5». Решением является корень 6. Сделайте проверку.
Ответ: 6.
Решите самостоятельно:
Решите уравнение log x –5 49 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Как вы убедились, никаких сложных преобразований с логарифмическими уравнениями нет. Достаточно знать свойства логарифма и уметь применять их. В задачах ЕГЭ, связанных с преобразованием логарифмических выражений, выполняются более серьёзные преобразования и требуются более глубокие навыки в решении. Такие примеры мы рассмотрим, не пропустите! Успехов вам!!!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Рассмотрим некоторые типы логарифмических уравнений, которые не так часто рассматриваются на уроках математики в школе, но широко используются при составлении конкурсных заданий, в том числе и для ЕГЭ.
1. Уравнения, решаемые методом логарифмирования
При решении уравнений, содержащих переменную и в основании и в показателе степени, используют метод логарифмирования. Если, при этом, в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо логарифмировать по основанию этого логарифма.
Пример 1.
Решить уравнение: х log 2 х+2 = 8.
Решение.
Прологарифмируем левую и правую части уравнения по основанию 2. Получим
log 2 (х log 2 х+2) = log 2 8,
(log 2 х + 2) · log 2 х = 3.
Пусть log 2 х = t.
Тогда (t + 2)t = 3.
t 2 + 2t – 3 = 0.
D = 16. t 1 = 1; t 2 = -3.
Значит log 2 х = 1 и х 1 = 2 или log 2 х = -3 и х 2 =1/8
Ответ: 1/8; 2.
2. Однородные логарифмические уравнения.
Пример 2.
Решить уравнение log 2 3 (х 2 – 3х + 4) – 3log 3 (х + 5) log 3 (х 2 – 3х + 4) – 2log 2 3 (х + 5) = 0
Решение.
Область определения уравнения
{х 2 – 3х + 4 > 0,
{х + 5 > 0. → х > -5.
log 3 (х + 5) = 0 при х = -4. Проверкой определяем, что данное значение х не
является корнем первоначального уравнения. Следовательно можно разделить обе части уравнения на log 2 3 (х + 5).
Получим log 2 3 (х 2 – 3х + 4) / log 2 3 (х + 5) – 3 log 3 (х 2 – 3х + 4) / log 3 (х + 5) + 2 = 0.
Пусть log 3 (х 2 – 3х + 4) / log 3 (х + 5) = t. Тогда t 2 – 3 t + 2 = 0. Корни данного уравнения 1; 2. Возвратившись к первоначальной переменной, получим совокупность двух уравнений
Но с учётом существования логарифма нужно рассматривать лишь значения (0; 9]. Значит выражение в левой части принимает наибольшее значение 2 при х = 1. Рассмотрим теперь функцию у = 2 х-1 + 2 1-х. Если принять t = 2 x -1, то она примет вид у = t + 1/t, где t > 0. При таких условиях она имеет единственную критическую точку t = 1. Это точка минимума. У vin = 2. И достигается он при х = 1.
Теперь очевидно, что графики рассматриваемых функций могут пересекаться лишь один раз в точке (1; 2). Получается, что х = 1 единственный корень решаемого уравнения.
Ответ: х = 1.
Пример 5. Решить уравнение log 2 2 х + (х – 1) log 2 х = 6 – 2х
Решение.
Решим данное уравнение относительно log 2 х. Пусть log 2 х = t. Тогда t 2 + (х – 1) t – 6 + 2х = 0.
D = (х – 1) 2 – 4(2х – 6) = (х – 5) 2 . t 1 = -2; t 2 = 3 – х.
Получим уравнение log 2 х = -2 или log 2 х = 3 – х.
Корень первого уравнения х 1 = 1/4.
Корень уравнения log 2 х = 3 – х найдём подбором. Это число 2. Этот корень единственный, так как функция у = log 2 х возрастающая на всей области определения, а функция у = 3 – х – убывающая.
Проверкой легко убедится в том, что оба числа являются корнями уравнения
Ответ:1/4; 2.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
На данном уроке мы повторим основные теоретические факты о логарифмах и рассмотрим решение простейших логарифмических уравнений.
Напомним центральное определение - определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения . Данное уравнение имеет единственный корень, его называют логарифмом b по основанию а:
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Напомним основное логарифмическое тождество .
Выражение (выражение 1) является корнем уравнения (выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:
Итак мы видим, что каждому значению ставится в соответствие значение . Обозначим b за х (), с за у, и таким образом получаем логарифмическую функцию:
Например: 
Вспомним основные свойства логарифмической функции.
Еще раз обратим внимание, здесь , т. к. под логарифмом может стоять строго положительное выражение, как основание логарифма.
Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях
График функции при изображен черным цветом. Рис. 1. Если аргумент возрастает от нуля до бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности.
График функции при изображен красным цветом. Рис. 1.
Свойства данной функции:
Область определения: ;
Область значений: ;
Функция монотонна на всей своей области определения. При монотонно (строго) возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. При монотонно (строго) убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Свойства логарифмической функции являются ключом к решению разнообразных логарифмических уравнений.
Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение, все остальные логарифмические уравнения, как правило, сводятся к такому виду.
Поскольку равны основания логарифмов и сами логарифмы, равны и функции, стоящие под логарифмом, но мы должны не упустить область определения. Под логарифмом может стоять только положительное число, имеем:
Мы выяснили, что функции f и g равны, поэтому достаточно выбрать одно любое неравенство чтобы соблюсти ОДЗ.
Таким образом, мы получили смешанную систему, в которой есть уравнение и неравенство:
Неравенство, как правило, решать необязательно, достаточно решить уравнение и найденные корни подставить в неравенство, таким образом выполнить проверку.
Сформулируем метод решения простейших логарифмических уравнений:
Уравнять основания логарифмов;
Приравнять подлогарифмические функции;
Выполнить проверку.
Рассмотрим конкретные примеры.
Пример 1 - решить уравнение:
Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства первый логарифм:
Пример 2 - решить уравнение:
Данное уравнение отличается от предыдущего тем, что основания логарифмов меньше единицы, но это никак не влияет на решение:
Найдем корень и подставим его в неравенство:
Получили неверное неравенство, значит, найденный корень не удовлетворяет ОДЗ.
Пример 3 - решить уравнение:
Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства второй логарифм:
Найдем корень и подставим его в неравенство:
Очевидно, что только первый корень удовлетворяет ОДЗ.
Примеры:
\(\log_{2}{x} = 32\)
\(\log_3x=\log_39\)
\(\log_3{(x^2-3)}=\log_3{(2x)}\)
\(\log_{x+1}{(x^2+3x-7)}=2\)
\(\lg^2{(x+1)}+10=11 \lg{(x+1)}\)
Как решать логарифмические уравнения:
При решении логарифмического уравнения нужно стремиться преобразовать его к виду \(\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)}\), после чего сделать переход к \(f(x)=g(x)\).
\(\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)}\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).
Пример:
\(\log_2(x-2)=3\)
|
Решение:
|
ОДЗ: |
Очень важно! Этот переход можно делать только если:
Вы написали для исходного уравнения, и в конце проверите, входят ли найденные в ОДЗ. Если это не сделать, могут появиться лишние корни, а значит – неверное решение.
Число (или выражение) в слева и справа одинаково;
Логарифмы слева и справа - «чистые», то есть не должно быть никаких , умножений, делений и т.д. – только одинокие логарифмы по обе стороны от знака равно.
Например:
Заметим, что уравнения 3 и 4 можно легко решить, применив нужные свойства логарифмов.
Пример . Решить уравнение \(2\log_8x=\log_82,5+\log_810\)
Решение :
|
Напишем ОДЗ: \(x>0\). |
||
|
\(2\log_8x=\log_82,5+\log_810\) ОДЗ: \(x>0\) |
Слева перед логарифмом стоит коэффициент, справа сумма логарифмов. Это нам мешает. Перенесем двойку в показатель степени \(x\) по свойству: \(n \log_b{a}=\log_b{a^n}\). Сумму логарифмов представим в виде одного логарифма по свойству: \(\log_ab+\log_ac=\log_a{bc}\) |
|
|
\(\log_8{x^2}=\log_825\) |
Мы привели уравнение к виду \(\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)}\) и записали ОДЗ, значит можно выполнить переход к виду \(f(x)=g(x)\). |
|
|
Получилось . Решаем его и получаем корни. |
||
|
\(x_1=5\) \(x_2=-5\) |
Проверяем подходят ли корни под ОДЗ. Для этого в \(x>0\) вместо \(x\) подставляем \(5\) и \(-5\). Эту операцию можно выполнить устно. |
|
|
\(5>0\), \(-5>0\) |
Первое неравенство верное, второе – нет. Значит \(5\) – корень уравнения, а вот \(-5\) – нет. Записываем ответ. |
Ответ : \(5\)
Пример : Решить уравнение \(\log^2_2{x}-3 \log_2{x}+2=0\)
Решение :
|
Напишем ОДЗ: \(x>0\). |
||
|
\(\log^2_2{x}-3 \log_2{x}+2=0\) ОДЗ: \(x>0\) |
Типичное уравнение, решаемое с помощью . Заменяем \(\log_2x\) на \(t\). |
|
|
\(t=\log_2x\) |
||
|
Получили обычное . Ищем его корни. |
||
|
\(t_1=2\) \(t_2=1\) |
Делаем обратную замену |
|
|
\(\log_2{x}=2\) \(\log_2{x}=1\) |
Преобразовываем правые части, представляя их как логарифмы: \(2=2 \cdot 1=2 \log_22=\log_24\) и \(1=\log_22\) |
|
|
\(\log_2{x}=\log_24\) \(\log_2{x}=\log_22 \) |
Теперь наши уравнения имеют вид \(\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)}\), и мы можем выполнить переход к \(f(x)=g(x)\). |
|
|
\(x_1=4\) \(x_2=2\) |
Проверяем соответствие корней ОДЗ. Для этого в неравенство \(x>0\) вместо \(x\) подставляем \(4\) и \(2\). |
|
|
\(4>0\) \(2>0\) |
Оба неравенства верны. Значит и \(4\) и \(2\) корни уравнения. |
Ответ : \(4\); \(2\).