Третий обобщенный закон кеплера формула. Законы кеплера и их связь с законами ньютона

Известный датский астроном Тихо Браге (1546-1601), ознакомившись с работой Кеплера "Тайны мира", оценил хорошее знание автором астрономии, его оригинальное мышление и значительный объём выполненных вычислений. Вскоре Тихо Браге встретился с Кеплером, которому тогда было только 24 года от роду, и предложил ему работу в Праге в качестве своего помощника в астрономических наблюдениях и вычислениях. Совместная работа Кеплера с Браге была кратковременной - всего около полутора лет. В 1601 году Тихо Браге умер. После смерти Браге Кеплер принял его должность придворного астронома и астролога у императора Рудольфа II . В Праге Кеплер работал в течение десяти лет. Это был самый плодотворный период в его научной деятельности. Тихо Браге оставил Кеплеру огромное количество материалов с результатами астрономических наблюдений, собранных за долгие годы. Судьба распорядилась так, что на основе этих материалов, проявив выдающиеся математические способности и удивительное трудолюбие, Кеплер открыл свои знаменитые законы. Без этих материалов, без их осмысления открытия Кеплера были бы невозможны.

Несколько слов о научных взглядах знаменитого астронома-наблюдателя Тихо Браге. Этот астроном не был сторонником учения Коперника. Он считал, что является центром Вселенной, а Солнце, Луна и обращаются вокруг Земли. Планеты Браге считал спутниками Солнца. Современный читатель, конечно, может улыбнуться "наивности" исследователя, который в течение четверти века внимательно наблюдал за небом. Но не надо торопиться с выводами. Ведь речь идёт о последней четверти 16-го (!) века, когда астрономам не был известен даже простейший телескоп, когда господствовали идеи геоцентризма, а католическая церковь запрещала даже мысли о гелиоцентрической картине мира. Зато Тихо Браге оставил богатейший наблюдательный материал, в частности, по планете Марс, а также подробные таблицы движения Солнца, по которым можно было найти положение светила на эклиптике в любой момент времени с точностью до одной угловой минуты.

Уже в 1600 году Кеплер начал изучать движения Марса с целью уточнить теорию Коперника. А необходимость уточнения была очевидной, т.к. таблицы движения планет, составленные на основе этой теории, предсказывали положения планет лишь с небольшой точностью, а для объяснения видимой неравномерности движения планет Коперник ввёл в свои модели движения сложные системы эпициклов.

Предпочтение Марсу в изучении движения планет Кеплер отдал потому, что именно в видимом обнаруживались наибольшие отклонения от равномерного движения по окружности.

Из расчётов орбиты Марса в 1605 году Кеплер вывел уравнение, определяющее положение небесных тел (в современной астрономии оно называется уравнением Кеплера). Это уравнение описывает движение небесного тела по эллипсу. Но сначала Кеплер не понимал этого. Он предпринимал попытки проверить свои формулы на кривой овала, затем на кривой яйцеобразного овала. Продолжая размышления и расчёты, он писал в 1604 году: "Правда лежит между кругом и овалом, как будто орбита Марса есть точный эллипс". Но в это время Кеплер ещё не рассматривал даже вариант эллипса в качестве орбиты Марса. Наконец, в 1605 г. он проверил вариант эллипса, и всё сошлось в его расчетах: он понял, что Марс движется по орбите, представляющей эллипс, а Солнце находится в фокусе этого эллипса.

Напомним, что эллипсом называется кривая, для любой точки которой сумма расстояний от двух заданных точек, называемых фокусами эллипса, постоянна (равна большой оси эллипса).

В 1609 году в Праге вышла из печати книга Кеплера "Новая астрономия" ("Astronomia Nova"). В этой книге Кеплер излагает свои два эмпирических закона, открытых прежде всего на основе изучения движения Марса и Земли.

Закон 1. Планеты обращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам. При этом Солнце располагается не в центре эллипса, а в одном из фокусов эллипса. Следовательно, расстояние планеты от Солнца не всегда одинаковое.

Закон 2. Радиус-вектор планеты (т.е. отрезок, соединяющий Солнце и планету) описывает равные площади за равные промежутки времени. Этот закон указывает, что скорость движения планеты по её орбите непостоянна: при приближении к Солнцу планета движется быстрее, при удалении от него - медленнее. Второй закон движения планет обычно называют законом площадей.

Закон 3. (Сформулирован в книге "Гармония мира" ("Harmonice mundi"), опубликованной по частям в 1618-1621 гг.). Квадраты периодов обращения любых двух планет относятся между собой как кубы их средних расстояний от Солнца.

Не все учёные - современники Кеплера восприняли его законы движения планет. Например, не признавал факт неравномерного движения планет. С течением времени правильность законов Кеплера подтвердилась полностью. Работы Кеплера подготовили почву для открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. До настоящего времени законы Кеплера остаются основой небесной механики.

С высоты современных знаний о космосе не следует удивляться тому, что Кеплер имел своеобразные, иногда мистические представления , например, он считал, что Солнце подобно магниту притягивает планеты и, вращаясь вокруг своей оси, сообщает им энергию движения. Кеплер считал, что Солнце не перемещается в пространстве. Кеплер не верил в бесконечность Вселенной, а небесную сферу, на которой видны звёзды, он считал границей мира. В то же время Кеплер "убрал" из своей модели мира некоторые элементы, которые были в модели Коперника, в частности, вращающиеся круговые сферы, якобы несущие на себе планеты, а также отказался от эпициклов, заменив их орбитами в форме эллипсов.

Обнаруженные Галилеем при помощи телескопа в 1610 году четыре "медичейские планеты" (название дано Галилеем в честь герцога Медичи), обращающиеся вокруг Юпитера, Кеплер позднее назвал спутниками Юпитера. Термин "спутник" сохранился в астрономии с тех далёких времён и, как мы теперь знаем, применяется не только в отношении природных небесных тел, но и в отношении аппаратов, создаваемых человеком.

Последней крупной работой Кеплера в области астрономии были так называемые "Рудольфовы таблицы" движения планет, опубликованные в 1627 году. Таблицы были задуманы ещё Тихо Браге, и Кеплер работал над ними почти 22 года. Эти астрономические таблицы были значительно более точными, чем все предыдущие таблицы, в том числе и "Прусские таблицы", составленные в 1551 г. немецким математиком и астрономом Рейнгольдом на основе гелиоцентрической системы Коперника. "Рудольфовы таблицы" использовались астрономами, моряками и путешественниками на протяжении почти двух столетий.

Помимо исследований, связанных с движением планет, Кеплер занимался также изучением комет. Он первым высказал правильную догадку о том, что хвосты комет образуются под действием солнечных лучей, а потому всегда направлены в сторону от Солнца.

Кеплер работал не только в области астрономии. Как и многие , он не замыкался в одной узкой области деятельности. Например, Кеплер разработал теорию логарифмов на арифметической основе и составил весьма точные таблицы логарифмов, опубликованные в 1624 году и неоднократно переиздававшиеся.

Кеплер занимался также проблемами астрономической оптики. Оптика как часть физической науки обязана своим возникновением в значительной степени трудам Кеплера, в частности, его книге "Диоптрика". Интересно, что Кеплер занимался не только технической оптикой, что нашло своё выражение в разработке оптической схемы телескопа, но и подробно изучил и правильно изложил в своих работах действие физиологического механизма зрения и его такие дефекты как близорукость и дальнозоркость.

Методы, которые Кеплер разработал для вычисления объёмов различных тел вращения и площадей плоских фигур, образуемых кривыми второго порядка (овал, эллипс, сечения конуса и др.), были по своей сути начальными элементами дифференциального и интегрального исчисления.

Кеплер вслед за Галилеем дал определение понятия инерции тела, а также вплотную подошел к пониманию тяготения и его роли в движении планет.

Кеплер выдвинул гипотезу о том, что причиной океанских приливов на Земле является воздействие Луны на водную поверхность. Через сто лет эту гипотезу подтвердил .

Кеплер жил в сложный исторический период, когда в Европе почти непрерывно происходили войны между группировками стран, в том числе между многочисленными германскими государствами. В 1618 году в Германии началась , вскоре превратившаяся в общеевропейскую войну, которая продолжалась и после смерти Кеплера и привела к опустошению и обезлюдению Западной Европы.

Средневековый религиозный дурман, в котором продолжала находиться вся Европа, был причиной больших трудностей в научной работе Кеплера и принёс много горя в его личную жизнь.

Иоганн Кеплер родился 27 декабря 1571 года в небольшом городке Вейле близ Штутгарта (ныне федеральная земля Баден-Вюртемберг). Когда Иоганну было 18 лет, он остался без отца, который служил наёмником в испанской армии и погиб на войне. Мать Иоганна, Катарина Кеплер, владела небольшим баром. Семья жила небогато, и поэтому Кеплеру нелегко было после окончания школы при монастыре поступить в 1589 году в Тюбингенский университет. Здесь он изучал математику, астрономию, а потом теологию. Но от первоначального плана стать священником он отказался. Поскольку Кеплер открыто поддерживал учение Коперника, университетские власти, по требованию местных богословов, ещё до окончания учёбы в университете посылают Кеплера в 1594 г. преподавать математику в протестанском училище города Граца (земля Штирия, Австрия).

В Граце Кеплер прожил 6 лет. Уже в 1596 году здесь выходит в свет его первая книга "Тайна мира", которую он переиздал в 1621 году, продолжая верить в наличие скрытой математической гармонии Вселенной.

В 1600-1601 гг. он работает в Праге с известным датским астрономом-наблюдателем Тихо Браге в качестве его помощника в астрономических наблюдениях и вычислениях. После смерти Браге (1601г.) Кеплер принимает должность Браге - придворного астронома и астролога у императора Рудольфа II . В Праге Кеплер продуктивно работает над законами движения планет. В 1609 г. в книге "Новая астрономия" Кеплер формулирует два первых своих закона.

В Пражский период жизни Кеплер наблюдает появление сверхновой и в 1604 году публикует результаты своих наблюдений за ней. В дальнейшем этой сверхновой было присвоено имя Кеплера.

В 1612 году Кеплер переезжает в Линц, где за ним сохраняется должность придворного математика и астронома. Несмотря на высокую должность, Кеплер постоянно нуждался, потому что жалование ему платили нерегулярно и неполностью: из-за бесконечных войн императорская казна была пуста. А Кеплер в этот период (в Линце он жил с 1612 по 1626 год) имел многодетную семью. Кстати, семейная жизнь его сложилась очень драматично. В 1597 году в Граце Кеплер женится на вдове Барбаре Мюллер. Здесь у них рождается двое детей, которые умирают в младенческом возрасте, а жена заболевает падучей болезнью, как раньше называли эпилепсию. Но, как говорит немецкая пословица, беда редко приходит одна. В Граце католическое большинство начинает гонение на протестантов. Мало того, что Кеплер лютеранин по вероисповеданию, что уже неприемлемо для католиков, он ещё занесён в списки "еретиков" за свои научные взгляды. Это уже по-настоящему опасно, и Кеплер покидает в 1600 г. Грац, приняв предложение Тихо Браге о переезде в Прагу (в те времена Чехия была владением Австрийской империи).

В Праге у Кеплера родились два сына и дочь, но в 1611 году умирает его старший сын, а вскоре умирает долго болевшая жена Кеплера Барбара.

В 1613 году Кеплер женится вторично. Его женой становится 24-летняя Сюзанна из рабочей семьи. В этом браке родилось семеро детей, из которых выжили четверо.

В 1615 году на Кеплера обрушивается новое несчастье: его мать Катарина обвиняется церковной инквизицией в колдовстве, а это значит, что ей грозит смертельная опасность. Гадание и траволечение, которыми мать Кеплера иногда подрабатывала, не прошли мимо внимания католических мракобесов. Чего только ни инкриминировалось ей: и связь с дьяволом, и богохульство, и порчу, и даже некромантию... Следствие тянулось пять лет. Защитником матери на суде выступал сам Кеплер. В 1621 году измученную женщину наконец освободили, но силы её были надломлены, и в следующем году она скончалась.

В 1626 году, в разгар Линц был осаждён и захвачен. Кеплер вынужден переехать в Ульм. В 1628 году Кеплер принимает приглашение полководца Валленштейна и переходит к нему на службу в качестве астронома и астролога. Кстати, астрологией Кеплер занимался долгие годы, но относился к этому занятию, конечно, не как к основному виду своей деятельности. Как и следовало ожидать, его гороскопы далеко не всегда предсказывали события, происходившие в действительности.

Умер Кеплер 15 ноября 1630 года в Регенсбурге, куда он прибыл, чтобы получить хотя бы часть денег, которые ему задолжала императорская казна. Но он не успел ничего добиться, т.к. по пути в Регенсбург простудился и вскоре умер.

Законы Кеплера

В мире атомов и элементарных частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сравнению с другими видами силового взаимодействия между частицами. Очень непросто наблюдать гравитационное взаимодействие и между различными окружающими нас телами, даже если их массы составляют многие тысячи килограмм. Однако именно гравитация определяет поведение «больших» объектов, таких, как планеты, кометы и звезды, именно гравитация удерживает всех нас на Земле.

Гравитация управляет движением планет Солнечной системы. Без нее планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового пространства.

Закономерности движения планет с давних пор привлекали внимание людей. Изучение движения планет и строения Солнечной системы и привело к созданию теории гравитации – открытию закона всемирного тяготения.

С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям (рис. 1.24.1). Первая попытка создания модели Вселенной была предпринятаПтолемеем (~ 140 г.). В центре мироздания Птолемей поместил Землю, вокруг которой по большим и малым кругам, как в хороводе, двигались планеты и звезды.

Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника. В системе Коперника траектории планет оказались более простыми. Немецкий астроном И. Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы. Кеплер использовал результаты наблюдений за движением планет датского астронома Т. Браге .

Первый закон Кеплера (1609 г.):

Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точкаP траектории называется перигелием , точка A , наиболее удаленная от Солнца – афелием . Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.

Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым.

Второй закон Кеплера (1609 г.):

Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

Рис. 1.24.3 иллюстрирует 2-й закон Кеплера.

Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса . На рис. 1.24.3 изображен вектор импульса тела и его составляющиеиПлощадь, заметенная радиус-вектором за малое время Δt , приближенно равна площади треугольника с основанием r Δθ и высотой r :

Здесь – угловая скорость (см. §1.6 ).

Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов и

Поэтому, если по второму закону Кеплера то и момент импульсаL при движении остается неизменным.

В частности, поскольку скорости планеты в перигелии и афелиинаправлены перпендикулярно радиус-векторамииз закона сохранения момента импульса следует:

Третий закон Кеплера выполняется для всех планет Солнечной системы с точностью выше 1 %.

На рис. 1.24.4 изображены две орбиты, одна из которых – круговая с радиусом R , а другая – эллиптическая с большой полуосью a . Третий закон утверждает, что если R = a , то периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.

Несмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений. Законы Кеплера нуждались в теоретическом обосновании. Решающий шаг в этом направлении был сделан Исааком Ньютоном , открывшим в 1682 году закон всемирного тяготения :

где M и m – массы Солнца и планеты, r – расстояние между ними, G = 6,67·10 –11 Н·м 2 /кг 2 – гравитационная постоянная. Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. В частности, уже говорилось, что сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу.

Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T 2 ~ R 3 , где Т – период обращения, R – радиус орбиты. Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния. При движении планеты по круговой траектории на нее действует сила, которая возникает за счет гравитационного взаимодействия планеты и Солнца:

Если T 2 ~ R 3 , то

Свойство консервативности гравитационных сил (см. §1.10 ) позволяет ввести понятие потенциальной энергии . Для сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию отсчитывать от бесконечно удаленной точки.

Потенциальная энергия тела массы m , находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M , равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.

Математическая процедура вычисления потенциальной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях (рис. 1.24.5).

Закон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам . Работа гравитационной силына малом перемещенииесть:

В пределе при Δr i → 0 эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражение

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.

Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис. 1.24.6).

При E = E 1 < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > r max . В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

При E = E 2 = 0 тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории .

При E = E 3 > 0 движение происходит по гиперболической траектории . Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля.

Первой космической скоростью называется скорость движения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

Рис. 1.24.7 иллюстрирует космические скорости. Если скорость космического корабля равна υ 1 = 7.9·10 3 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих υ 1 , но меньших υ 2 = 11,2·10 3 м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости υ 2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.

Три закона движения планет относительно Солнца были выведены эмпирически немецким астрономом Иоганном Кеплером в начале XVII века. Это стало возможным благодаря многолетним наблюдениям датского астронома Тихо Браге.

Первый закон Кеплера . Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон Кеплера (закон равных площадей). Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равновеликие площади. Другая формулировка этого закона: секториальная скорость планеты постоянна.

Третий закон Кеплера . Квадраты периодов обращений планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их эллиптических орбит.

Современная формулировка первого закона дополнена так: в невозмущенном движении орбита движущегося тела есть кривая второго порядка – эллипс, парабола или гипербола. В отличие от двух первых, третий закон Кеплера применим только к эллиптическим орбитам. Скорость движения планеты в перигелии: где v c – средняя или круговая скорость планеты при r = a. Скорость движения в афелии: Кеплер открыл свои законы эмпирическим путем. Ньютон вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения. Для определения масс небесных тел важное значение имеет обобщение Ньютоном третьего закона Кеплера на любые системы обращающихся тел.

Здесь необходимо сделать следующее замечание. Для простоты часто говорится, что одно тело обращается вокруг другого, но это справедливо только для случая, когда масса первого тела пренебрежимо мала по сравнению с массой второго (притягивающего центра). Если же массы сравнимы, то следует учитывать и влияние менее массивного тела на более массивное. В системе координат с началом в центре масс орбиты обоих тел будут коническими сечениями, лежащими в одной плоскости и с фокусами в центре масс, с одинаковым эксцентриситетом. Различие будет только в линейных размерах орбит (если тела разной массы). В любой момент времени центр масс будет лежать на прямой, соединяющей центры тел, а расстояния до центра масс r1 и r2 тел массой M1 и M2 соответственно связаны следующим соотношением: r1/r2 = M2/M1. Перицентры и апоцентры своих орбит (если движение финитно) тела также будут проходить одновременно. Третий закон Кеплера можно использовать, чтобы определить массу двойных звезд.

Важнейшие точки и линии эллипса.

Эллипс определяется как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек (фокусов F1 и F2) есть величина постоянная и равная длине большой оси: r1 + r2 = |AA´| = 2a. Степень вытянутости эллипса характеризуется его эксцентриситетом е. Эксцентриситет е = ОF/OA. При совпадении фокусов с центром е = 0, и эллипс превращается в окружность. Большая полуось а является средним расстоянием от фокуса (планеты от Солнца): a = (AF1 + F1A’)/2. Она связана с механической энергией тела следующим соотношением: Так как при движении по эллипсу полная энергия отрицательна, большая полуось больше нуля. Длина малой полуоси b зависит от секториальной скорости тела (т.е. скорости изменения площади, заметаемой радиус-вектором): Круговые орбиты являются вырожденным случаем эллиптических. Записывая второй закон Ньютона, получим, что кинетическая и потенциальная энергия тела на круговой орбите связаны соотношением: 2K = –U. Применяя закон сохранения энергии, легко получить, что K = –E. Т.о. при круговом движении сумма полной и кинетической энергии всегда равна нулю. Элементы орбиты характеризуют форму, размеры и ориентацию в пространстве орбиты небесного тела, а также положение тела на этой орбите. В настоящее время для описания положения планеты или спутника широко используются оскуллирующие элементы. Точка орбиты тела, ближайшая к притягивающему центру (фокусу), в общем случае называется перицентром, а наиболее удаленная от него (только у эллипса) – апоцентром. Если притягивающим центром является Земля, то эти точки называются соответственно перигеем и апогеем. Наиболее близкая точка к Солнцу называется перигелий, наиболее удаленная – афелий. Для Луны эти точки будут перилунием (периселением) и аполунием (апоселением), для произвольной звезды – периастром и апоастром. Прямая, соединяющая перицентр с фокусом (большая ось эллипса, ось параболы или действительная ось гиперболы), называется линией апсид. Расстояние от притягивающего центра до перицентра равно АF1 = a (1 – e), до апоцентра – F1A’ = a (1 + e). Среднее расстояние от притягивающего центра до тела, движущегося вокруг него по эллипсу, равно длине большой полуоси.

3.1.3. Законы Кеплера

Первый закон Кеплера. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон Кеплера (закон равных площадей). Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равновеликие площади. Другая формулировка этого закона: секториальная скорость планеты постоянна.

Третий закон Кеплера. Квадраты периодов обращений планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их эллиптических орбит.

Современная формулировка первого закона дополнена так: в невозмущенном движении орбита движущегося тела есть кривая второго порядка – эллипс, парабола или гипербола.

В отличие от двух первых, третий закон Кеплера применим только к эллиптическим орбитам.

Скорость движения планеты в перигелии

Кеплер открыл свои законы эмпирическим путем. Ньютон вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения. Для определения масс небесных тел важное значение имеет обобщение Ньютоном третьего закона Кеплера на любые системы обращающихся тел.

В обобщенном виде этот закон обычно формулируется так: квадраты периодов T 1 и T 2 обращения двух тел вокруг Солнца, помноженные на сумму масс каждого тела (соответственно M 1 и M 2) и Солнца (M ) , относятся как кубы больших полуосей a 1 и a 2 их орбит:

При этом взаимодействие между телами M 1 и M 2 не учитывается. Если пренебречь массами этих тел в сравнении с массой Солнца (т.е. M 1

Три закона Кеплера (эллипсов, площадей, гармонический)

Предположение о равномерном круговом движении планет Солнечной системы не согласовывалось с гелиоцентрической системой мира Н. Коперника, поскольку расхождения между вычисленным и реальным положением планет в определённые промежутки времени было значительным. Это противоречие удалось разрешить выдающемуся немецкому астроному И. Кеплеру . На основании многолетних наблюдений за движением планет, изучения трудов своих предшественников Кеплер открыл три закона , названных впоследствии его именем.

Первый закон Кеплера, называемый также законом эллипсов , был сформулирован учёным в 1609 г.

Первый закон Кеплера: все планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

Ближайшая к Солнцу точка P траектории называется перигелием, точка A , наиболее удалённая от Солнца, - афелием. Расстояние между афелием и перигелием составляет большую ось эллиптической орбиты. Половина длины большой оси, полуось a, - это среднее расстояние от планеты до Солнца.

Среднее расстояние от Земли до Солнца называется астрономической единицей (а. е.) и равно 150 млн км.

Форму эллипса, степень его отличия от окружности определяет соотношение c/ a , где c - расстояние от центра эллипса до фокуса, a - большая полуось эллипса.

Чем больше это отношение, тем более вытянута орбита движения планеты (рис. 37), фокусы находятся дальше друг от друга. Если это отношение равно нулю, то эллипс превращается в окружность, фокусы сливаются в одну точку - центр окружности.

Орбиты Земли и Венеры почти круговые, для Земли соотношение c/ a составляет 0,0167, для Венеры - 0,0068. Орбиты других планет более сплющенные. Наиболее вытянута орбита Плутона, для которого c/ a = 0,2488. По эллиптическим орбитам движутся не только планеты вокруг Солнца, но и спутники (естественные и искусственные) вокруг планет. Ближайшая к Земле точка движения спутника называется перигеем, самая удалённая - апогеем.

Второй закон Кеплера (закон площадей ): радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

На рисунке 38 проиллюстрирован второй закон Кеплера. Из рисунка понятно, что радиус-вектор - это отрезок, соединяющий фокус орбиты (по сути, центр Солнца) и центр планеты в любой точке её движения по орбите. В соответствии со вторым законом Кеплера площади выделенных цветом секторов равны между собой. Тогда получается, что за одинаковый промежуток времени планета проходит по орбите разное расстояние, т. е. скорость движения не постоянна: v 2 > v 1 . Чем ближе планета к перигелию, тем быстрее её движение, будто она стремится скорее уйти подальше от палящих солнечных лучей. Материал с сайта http://doklad-referat.ru

Третий закон Кеплера (гармонический ): квадраты периодов обращения двух планет вокруг Солнца относятся друг к другу, как кубы больших полуосей их орбит.

Помня, что длина большой полуоси орбиты считается средним расстоянием от планеты до Солнца, запишем математическое выражение третьего закона Кеплера:

где T 1 , T 2 - периоды обращения планет 1 и 2; a 1 > a 2 - среднее расстояние от планет 1 и 2 до Солнца.

Третий закон Кеплера выполняется как для планет, так и для спутников, с погрешностью не более 1 %.

На основании этого закона можно вычислить продолжительность года (время полного оборота вокруг Солнца) любой планеты, если известно её расстояние до Солнца. И наоборот - по этому же закону можно рассчитать орбиту, зная период обращения.

Три закона движения планет кеплер

В начале XVI века польским астрономом Н. Коперником (1473–1543) обоснована гелиоцентрическая система, согласно которой движения небесных тел объясняются движением Земли (а также других планет) вокруг Солнца и суточным вращением Земли. Теория наблюдения Коперника воспринималась как занимательная фантазия. В XVI в. это утверждение рассматривалось церковью как ересь. Известно, что Дж. Бруно, открыто выступивший в поддержку гелиоцентрической системы Коперника, был осужден инквизицией и сожжен на костре.

Кеплер Иоганн (1571–1630) – немецкий ученый, один из творцов небесной механики. Работы в области астрономии, механики, математики. Используя наблюдения Тихо Браге и свои собственные, открыл законы движения планет (три закона Кеплера). Известен как конструктор телескопа (так называемая зрительная труба Кеплера, состоящая из двух двояковыпуклых линз).

Первый закон Кеплера . Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце (рис. 7.6).

1.24. Законы Кеплера

С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям (рис. 1.24.1). Первая попытка создания модели Вселенной была предпринята Птолемеем (

140 г.). В центре мироздания Птолемей поместил Землю, вокруг которой по большим и малым кругам, как в хороводе, двигались планеты и звезды.

Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника. В системе Коперника траектории планет оказались более простыми. Немецкий астроном И. Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы. Кеплер использовал результаты наблюдений за движением планет датского астронома Т. Браге.

Первый закон Кеплера (1609 г.):

Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точка P траектории называется перигелием, точка A , наиболее удаленная от Солнца – афелием. Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.

Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. На рис. 1.24.3 изображен вектор импульса тела и его составляющие и Площадь, заметенная радиус-вектором за малое время Δ t , приближенно равна площади треугольника с основанием r Δθ и высотой r:

Здесь – угловая скорость (см. §1.6).

Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов и

Из этих отношений следует:

Поэтому, если по второму закону Кеплера то и момент импульса L при движении остается неизменным.

В частности, поскольку скорости планеты в перигелии и афелии направлены перпендикулярно радиус-векторам и из закона сохранения момента импульса следует:

Третий закон Кеплера (1619 г.):

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

Третий закон Кеплера выполняется для всех планет Солнечной системы с точностью выше 1 % .

Несмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений. Законы Кеплера нуждались в теоретическом обосновании. Решающий шаг в этом направлении был сделан Исааком Ньютоном, открывшим в 1682 году закон всемирного тяготения:

Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T 2

R 3 , где Т – период обращения, R – радиус орбиты. Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния. При движении планеты по круговой траектории на нее действует сила, которая возникает за счет гравитационного взаимодействия планеты и Солнца:

Свойство консервативности гравитационных сил (см. §1.10) позволяет ввести понятие потенциальной энергии. Для сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию отсчитывать от бесконечно удаленной точки.

Потенциальная энергия тела массы m , находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M , равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.

Закон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам. Работа гравитационной силы на малом перемещении есть:

Полная работа при перемещении тела массой m из начального положения в бесконечность находится суммированием работ Δ A i на малых перемещениях:

В пределе при Δ r i → 0 эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражение

Знак «минус» указывает на то, что гравитационные силы являются силами притяжения.

Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии r от центра тяготения и имеет некоторую скорость υ , его полная механическая энергия равна

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.

При E = E 1 r max . В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

При E = E 2 = 0 тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории.

При E = E 3 > 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Первой космической скоростью называется скорость движения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА

Научно-технический энциклопедический словарь.

Смотреть что такое «ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА» в других словарях:

законы Кеплера - - Тематики нефтегазовая промышленность EN Kepler s laws … Справочник технического переводчика

ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА - три закона движения планет, которые являются следствием ньютоновского закона всемирного тяготениями.). Первый закон: каждая планета движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится Солнце. Второй закон: планета движется по… … Большая политехническая энциклопедия

Законы Кеплера - Законы Кеплера три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики… … Википедия

Законы Кеплера - три экспериментально установленных закона движения планет Солнечной системы. Первый закон Кеплера. Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Второй закон Кеплера. Радиус вектор, проведенный от… … Астрономический словарь

Законы Кеплера - см. Астрономия … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Кеплера законы - три закона движения планет относительно Солнца, установлены как обобщение наблюдательных данных И. Кеплером в начале XVII в. 1 й: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. 2 й закон Кеплера: каждая планета … Энциклопедический словарь

КЕПЛЕРА ЗАКОНЫ - принципы движения планет, сформулированные в начале 17 в. И. Кеплером (1571 1630) на основе многолетних наблюдений Т. Браге (1546 1601). Они используются в небесной механике и формулируются так: 1. Орбита любой планеты есть эллипс, в одном из… … Энциклопедия Кольера

Законы Ньютона - Классическая механика … Википедия

Кеплера законы движения планет - три закона движения планет, эмпирически открытые немецким астрономом Иоганном Кеплером в начале XVII века. Первый закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Второй закон: каждая планета движется в… … Начала современного естествознания

КЕПЛЕРА ЗАКОНЫ - три закона движения планет, открытые нем. астрономом И. Кеплером (J. Kepler) в нач. 17 в. Ниже приведены их совр. формулировки. 1 й закон: при невозмущённом движении (в двух тел задаче) орбита движущейся матер. точки (планеты) есть кривая второго … Физическая энциклопедия

Законы движения Кеплера

Иоганн Кеплер и планеты Солнечной системы

Астрономия конца XVI века отмечает столкновение двух моделей нашей Солнечной системы: геоцентрическая система Птолемея – где центром вращения всех объектов является Земля, и гелиоцентрическая система Коперника – где Солнце является центральным телом.

Модель Солнечной системы Клавдия Птолемея

И хотя Коперник был ближе к истинной природе Солнечной системы, его работа имела недостатки. Основным из этих недостатков являлось утверждение, что планеты вращаются вокруг Солнца по круговым орбитам. С учетом этого, модель Коперника практически настолько же не согласовывалась с наблюдениями, как и система Птолемея. Польский астроном стремился исправить данное расхождение при помощи дополнительного движения планеты по кругу, центр которого уже двигался вокруг Солнца - эпицикл. Однако, расхождения в большей своей части не были устранены.

В начале XVII века немецкий астроном Иоганн Кеплер, изучая систему Николая Коперника, а также анализируя результаты астрономических наблюдений датчанина Тихо Браге, вывел основные законы относительно движения планет. Они были названы как Три закона Кеплера.

Первый закон Кеплера

Немецкий астроном пытался различными способами сохранить круговую орбиту движения планет, однако это не позволяло исправить расхождение с результатами наблюдений. Потому Кеплер прибегнул к эллиптическим орбитам. У каждой такой орбиты есть два так называемых фокуса. Фокусы – это две заданные точки, такие, что сумма расстояний от этих двух точек до любой точки эллипса является постоянной.

Иоганн Кеплер отметил, что планета движется по эллиптической орбите вокруг Солнца таким образом, что Солнце располагается в одном из двух фокусов эллипса, что и стало первым законом движения планет.

Первый закон Кеплера

Второй закон Кеплера

Проведем радиус-вектор от Солнца, которое располагается в одном из фокусов эллипсоидной орбиты планеты, к самой планете. Тогда за равные промежутки времени данный радиус-вектор описывает равные площади на плоскости, в которой движется планета вокруг Солнца. Данное утверждение является вторым законом.

Второй закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Каждая орбита планеты имеет точку, ближайшую к Солнцу, которое называется перигелием. Точка орбиты, наиболее удаленная от Солнца, называется афелием. Отрезок, соединяющий эти две точки называется большой осью орбиты. Если разделить этот отрезок пополам, то получим большую полуось, которую чаще используют в астрономии.

Основные элементы эллипса

Третий закон движения планет Кеплера звучит следующим образом:

Отношение квадрата периода обращения планеты вокруг Солнца к большой полуоси орбиты этой планеты является постоянным, и также равняется отношению квадрата периода обращения другой планеты вокруг Солнца к большой полуоси этой планеты.

Также иногда записывают другое отношение:

Одна из записей третьего закона

Дальнейшее развитие

И хотя законы Кеплера имели относительно невысокую погрешность (не более 1%), все же они были получены эмпирическим способом. Теоретическое же обоснование отсутствовало. Данная проблема позже была решена Исааком Ньютоном, который в 1682-м году открыл закон всемирного тяготения. Благодаря этому закону удалось описать подобное поведение планет. Законы Кеплера стали важнейшим этапом в понимании и описании движения планет.

Закон Био - Савара - Лапласа и его применение к расчету магнитного поля Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774-1862) и Ф. Саваром (1791-1841). Результаты этих опытов были обобщены […]
Логическая характеристика понятий: «хмурый день», «ответчик», «судимость», «Луна». Определение вида простого высказывания Страницы работы Фрагмент текста работы книга, причина, брат, акция, базис, подсудимый, левый, север, минерал, […]
Секреты английского языка Сайт для самостоятельного изучения английского языка онлайн The Language of Crime Posted on 2015-07-18 by admin in Разговорник // 0 Comments Предлагаем вам несколько слов на тему «преступление» (crime). Лицо, […]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Преобразование графика функции Параллельный перенос вдоль оси OY на A единиц вверх, если А>0, и на |A| единиц вниз, если А 0, на | a| единиц влево, если a 1, и сжатие в 1/ k раз, если 0 1, и растяжение в […]
Задачи

В конце XVI в. датский астроном И. Кеплер, изучая движение планет, открыл три закона их движения. На основании этих законов И. Ньютон вывел формулу для закона всемирного тяготения. В дальнейшем, используя законы механики, И. Ньютон решил задачу двух тел - вывел законы, по которым одно тело движется в поле тяготения другого тела. Он получил три обобщенных закона Кеплера.

Первый закон Кеплера

Под действием силы притяжения одно небесное тело движется в поле тяготения другого небесного тела по одному из конических сечений - кругу, эллипсу, параболе или гиперболе .

Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптической орбите (рис. 15.6). Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием , самая далекая - афелием . Линия, соединяющая какую-либо точку эллипса с фокусом, называется радиус-вектором

Отношение расстояния между фокусами к большой оси (к наибольшему диаметру) называется эксцентриситетом е . Эллипс тем сильнее вытянут, чем больше его эксцентриситет. Большая полуось эллипса а - среднее расстояние планеты до Солнца.

По эллиптическим орбитам движутся и кометы и астероиды. У окружности е = 0, у эллипса 0 < е < 1, у параболы е = 1, у гиперболы е > 1.

Движение естественных и искусственных спутников вокруг планет, движение одной звезды вокруг другой в двойной системе также подчиняются этому первому обобщенному закону Кеплера.

Второй закон Кеплера

Каждая планета движется так, что радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

Планета проходит путь от точки А до А" и от В до В" за одно и то же время.

Другими словами, планета движется быстрее всего в перигелии, а медленнее всего - когда находится на наибольшем удалении (в афелии). Таким образом, второй закон Кеплера определяет скорость движения планеты. Она тем больше, чем планета ближе к Солнцу. Так, скорость кометы Галлея в перигелии равна 55 км/с, а в афелии 0,9 км/с.

Третий закон Кеплера

Куб большой полуоси орбиты тела, деленный на квадрат периода его обращения и на сумму масс тел, есть величина постоянная.

Если Т - период обращения одного тела вокруг другого тела на среднем расстоянии а то третий обобщенный закон Кеплера записывается как

а 3 /[Т 2 (М 1 + М 2)] = G/4π 2

где М 1 и М 2 - массы притягивающихся двух тел, a G - гравитационная постоянная. Для Солнечной системы масса Солнца массы любой планеты, и тогда

Правая часть уравнения - постоянная для всех тел Солнечной системы, что и утверждает третий закон Кеплера, полученный ученым из наблюдений.

Третий обобщенный закон Кеплера позволяет определять массы планет по движению их спутников, а массы двойных звезд - по элементам их орбит.

Движение планет и других небесных тел вокруг Солнца под действием силы тяготения происходит по трем законам Кеплера. Эти законы позволяют рассчитывать положения планет и определять их массы по движению спутников вокруг них.

Астрономия. 11 класс - Конспекты по учебнику «Физика-11» (Мякишев, Буховцев, Чаругин) - Класс!ная физика

Планеты движутся вокруг Солнца по вытянутым эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одной из двух фокальных точек эллипса.

Отрезок прямой, соединяющий Солнце и планету, отсекает равные площади за равные промежутки времени.

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Иоганн Кеплер обладал чувством прекрасного. Всю свою сознательную жизнь он пытался доказать, что Солнечная система представляет собой некое мистическое произведение искусства. Сначала он пытался связать ее устройство с пятью правильными многогранниками классической древнегреческой геометрии. (Правильный многогранник - объемная фигура, все грани которой представляют собой равные между собой правильные многоугольники.) Во времена Кеплера было известно шесть планет, которые, как полагалось, помещались на вращающихся «хрустальных сферах». Кеплер утверждал, что эти сферы расположены таким образом, что между соседними сферами точно вписываются правильные многогранники. Между двумя внешними сферами - Сатурна и Юпитера - он поместил куб, вписанный во внешнюю сферу, в который, в свою очередь, вписана внутренняя сфера; между сферами Юпитера и Марса - тетраэдр (правильный четырехгранник) и т. д.* Шесть сфер планет, пять вписанных между ними правильных многогранников - казалось бы, само совершенство?

Увы, сравнив свою модель с наблюдаемыми орбитами планет, Кеплер вынужден был признать, что реальное поведение небесных тел не вписывается в очерченные им стройные рамки. По меткому замечанию современного британского биолога Дж. Холдейна (J. B. S. Haldane), «идея Вселенной как геометрически совершенного произведения искусства оказалась еще одной прекрасной гипотезой, разрушенной уродливыми фактами». Единственным пережившим века результатом того юношеского порыва Кеплера стала модель Солнечной системы, собственноручно изготовленная ученым и преподнесенная в дар его патрону герцогу Фредерику фон Вюртембургу. В этом прекрасно исполненном металлическом артефакте все орбитальные сферы планет и вписанные в них правильные многогранники представляют собой не сообщающиеся между собой полые емкости, которые по праздникам предполагалось заполнять различными напитками для угощения гостей герцога.

Лишь переехав в Прагу и став ассистентом знаменитого датского астронома Тихо Браге (Tycho Brahe, 1546–1601), Кеплер натолкнулся на идеи, по-настоящему обессмертившие его имя в анналах науки. Тихо Браге всю жизнь собирал данные астрономических наблюдений и накопил огромные объемы сведений о движении планет. После его смерти они перешли в распоряжение Кеплера. Эти записи, между прочим, имели большую коммерческую ценность по тем временам, поскольку их можно было использовать для составления уточненных астрологических гороскопов (сегодня об этом разделе ранней астрономии ученые предпочитают умалчивать).

Обрабатывая результаты наблюдений Тихо Браге, Кеплер столкнулся с проблемой, которая и при наличии современных компьютеров могла бы показаться кому-то трудноразрешимой, а у Кеплера не было иного выбора, кроме как проводить все расчеты вручную. Конечно же, как и большинство астрономов его времени, Кеплер уже был знаком с гелиоцентрической системой Коперника (см. Принцип Коперника) и знал, что Земля вращается вокруг Солнца, о чем свидетельствует и вышеописанная модель Солнечной системы. Но как именно вращается Земля и другие планеты? Представим проблему следующим образом: вы находитесь на планете, которая, во-первых, вращается вокруг своей оси, а во-вторых, вращается вокруг Солнца по неизвестной вам орбите. Глядя в небо, мы видим другие планеты, которые также движутся по неизвестным нам орбитам. Наша задача - определить по данным наблюдений, сделанных на нашем вращающемся вокруг своей оси вокруг Солнца земном шаре, геометрию орбит и скорости движения других планет. Именно это, в конечном итоге, удалось сделать Кеплеру, после чего, на основе полученных результатов, он и вывел три своих закона!

Первый закон ** описывает геометрию траекторий планетарных орбит. Возможно, вы помните из школьного курса геометрии, что эллипс представляет собой множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек - фокусов - равна константе. Если это слишком сложно для вас, имеется другое определение: представьте себе сечение боковой поверхности конуса плоскостью под углом к его основанию, не проходящей через основание, - это тоже эллипс. Первый закон Кеплера как раз и утверждает, что орбиты планет представляют собой эллипсы, в одном из фокусов которых расположено Солнце. Эксцентриситеты (степень вытянутости) орбит и их удаления от Солнца в перигелии (ближайшей к Солнцу точке) и апогелии (самой удаленной точке) у всех планет разные, но все эллиптические орбиты роднит одно - Солнце расположено в одном из двух фокусов эллипса. Проанализировав данные наблюдений Тихо Браге, Кеплер сделал вывод, что планетарные орбиты представляют собой набор вложенных эллипсов. До него это просто не приходило в голову никому из астрономов.

Историческое значение первого закона Кеплера трудно переоценить. До него астрономы считали, что планеты движутся исключительно по круговым орбитам, а если это не укладывалось в рамки наблюдений - главное круговое движение дополнялось малыми кругами, которые планеты описывали вокруг точек основной круговой орбиты. Это было, я бы сказал, прежде всего философской позицией, своего рода непреложным фактом, не подлежащим сомнению и проверке. Философы утверждали, что небесное устройство, в отличие от земного, совершенно по своей гармонии, а поскольку совершеннейшими из геометрических фигур являются окружность и сфера, значит планеты движутся по окружности (причем это заблуждение мне и сегодня приходится раз за разом развеивать среди своих студентов). Главное, что, получив доступ к обширным данным наблюдений Тихо Браге, Иоганн Кеплер сумел перешагнуть через этот философский предрассудок, увидев, что он не соответствует фактам - подобно тому как Коперник осмелился убрать Землю из центра мироздания, столкнувшись с противоречащими стойким геоцентрическим представлениям аргументами, которые также состояли в «неправильном поведении» планет на орбитах.

Ранняя геометрическая модель Вселенной Кеплера: шесть орбитальных планетных сфер и пять вписанных правильных многогранников между ними

Второй закон описывает изменение скорости движения планет вокруг Солнца. В формальном виде я его формулировку уже приводил, а чтобы лучше понять его физический смысл, вспомните свое детство. Наверное, вам доводилось на детской площадке раскручиваться вокруг столба, ухватившись за него руками. Фактически, планеты кружатся вокруг Солнца аналогичным образом. Чем дальше от Солнца уводит планету эллиптическая орбита, тем медленнее движение, чем ближе к Солнцу - тем быстрее движется планета. Теперь представьте пару отрезков, соединяющих два положения планеты на орбите с фокусом эллипса, в котором расположено Солнце. Вместе с сегментом эллипса, лежащим между ними, они образуют сектор, площадь которого как раз и является той самой «площадью, которую отсекает отрезок прямой». Именно о ней говорится во втором законе. Чем ближе планета к Солнцу, тем короче отрезки. Но в этом случае, чтобы за равное время сектор покрыл равную площадь, планета должна пройти большее расстояние по орбите, а значит скорость ее движения возрастает.

В первых двух законах речь идет о специфике орбитальных траекторий отдельно взятой планеты. Третий закон Кеплера позволяет сравнить орбиты планет между собой. В нем говорится, что чем дальше от Солнца находится планета, тем больше времени занимает ее полный оборот при движении по орбите и тем дольше, соответственно, длится «год» на этой планете. Сегодня мы знаем, что это обусловлено двумя факторами. Во-первых, чем дальше планета находится от Солнца, тем длиннее периметр ее орбиты. Во-вторых, с ростом расстояния от Солнца снижается и линейная скорость движения планеты.

В своих законах Кеплер просто констатировал факты, изучив и обобщив результаты наблюдений. Если бы вы спросили его, чем обусловлена эллиптичность орбит или равенство площадей секторов, он бы вам не ответил. Это просто следовало из проведенного им анализа. Если бы вы спросили его об орбитальном движении планет в других звездных системах, он также не нашел бы, что вам ответить. Ему бы пришлось начинать всё сначала - накапливать данные наблюдений, затем анализировать их и стараться выявить закономерности. То есть у него просто не было бы оснований полагать, что другая планетная система подчиняется тем же законам, что и Солнечная система.

Один из величайших триумфов классической механики Ньютона как раз и заключается в том, что она дает фундаментальное обоснование законам Кеплера и утверждает их универсальность. Оказывается, законы Кеплера можно вывести из законов механики Ньютона , закона всемирного тяготения Ньютона и закона сохранения момента импульса путем строгих математических выкладок. А раз так, мы можем быть уверены, что законы Кеплера в равной мере применимы к любой планетной системе в любой точке Вселенной. Астрономы, ищущие в мировом пространстве новые планетные системы (а открыто их уже довольно много), раз за разом, как само собой разумеющееся, применяют уравнения Кеплера для расчета параметров орбит далеких планет, хотя и не могут наблюдать их непосредственно.

Третий закон Кеплера играл и играет важную роль в современной космологии. Наблюдая за далекими галактиками, астрофизики регистрируют слабые сигналы, испускаемые атомами водорода, обращающимися по очень удаленным от галактического центра орбитам - гораздо дальше, чем обычно находятся звезды. По эффекту Доплера в спектре этого излучения ученые определяют скорости вращения водородной периферии галактического диска, а по ним - и угловые скорости галактик в целом (см. также Темная материя). Меня радует, что труды ученого, твердо поставившего нас на путь правильного понимания устройства нашей Солнечной системы, и сегодня, спустя века после его смерти, играют столь важную роль в изучении строения необъятной Вселенной.

* Между сферами Марса и Земли - додекаэдр (двенадцатигранник); между сферами Земли и Венеры - икосаэдр (двадцатигранник); между сферами Венеры и Меркурия - октаэдр (восьмигранник). Получившаяся конструкция была представлена Кеплером в разрезе на подробном объемном чертеже (см. рисунок) в его первой монографии «Космографическая тайна» (Mysteria Cosmographica, 1596). - Примечание переводчика.

** Исторически сложилось так, что законы Кеплера (подобно началам термодинамики) пронумерованы не по хронологии их открытия, а в порядке их осмысления в научных кругах. Реально же первый закон был открыт в 1605 году (опубликован в 1609 году), второй - в 1602 году (опубликован в 1609 году), третий - в 1618 году (опубликован в 1619 году). - Примечание переводчика.