Точка. Кривая линия

Прямая линия - одно из фундаментальных понятий геометрии.

Наглядно прямую линию может продемонстрировать туго натянутый шнур, кромка стола, край листа бумаги, место, соединения двух стен комнаты, луч света. При начертании прямых линий на практике применяют линейку.

Прямой линии присущи такие характерные особенности :

1.У прямой линии нет ни начала ни конца, то есть она бесконечна. Существует возможность начертить только ее часть.

2.Через две произвольные точки можно провести прямую линию , и притом только одну.

3. Через произвольную точку можно провести не ограниченное количество прямых на плоскости .

4.Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или они параллельны .

Для обозначения прямой линии используют или одну малую букву латинского алфавита, или две большие буквы, написанные в двух различных местах этой прямой.

Если на прямой линии указать точку , то в результате получим два луча :

Лучом называют часть прямой линии , ограниченную с одной стороны. Для обозначения луча применяют или одну малую букву латинского алфавита, или две большие буквы, из которых одна обозначается в начале луча.

Часть прямой, ограниченная с обеих сторон, именуют ее отрезком . Отрезок, как и прямая линия , обозначается или одной буквой, или двумя. В последнем случае эти буквы указывают концы отрезка.

Линию, сформированную несколькими отрезками, не лежащими на одной прямой, принято называть ломаной . Когда концы ломаной совпадают, то такая ломаная именуется замкнутой .

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C

A B C

точка 1, точка 2, точка 3

1 2 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки "А" и предложить ребёнку провести линию через две точки "А". Но как понять через какие? A A A

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c

a b c

Линия может быть

1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены

замкнутые линии

разомкнутые линии

Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.

1. самопересекающейся
2. без самопересечений

самопересекающиеся линии

линии без самопересечений

1. прямой
2. ломанной
3. кривой

прямые линии

ломанные линии

кривые линии

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a

a

прямая линия AB

B A

Прямые могут быть

1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
   • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.

параллельные линии

пересекающиеся линии

перпендикулярные линии

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a

a

луч AB

B A

Лучи совпадают, если

1. расположены на одной и той же прямой,
2. начинаются в одной точке,
3. направлены в одну сторону

лучи AB и AC совпадают

лучи CB и CA совпадают

C B A

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину. Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки

B A

прямая линия AB

B A

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ B A ✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB

B A

Задача: где прямая , луч , отрезок , кривая ?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE

вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E

звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE

звено AB и звено BC являются смежными

звено BC и звено CD являются смежными

звено CD и звено DE являются смежными

A B C D E 64 62 127 52

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее , а у какой больше вершин ? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: "пойти на все четыре стороны", "бежать в сторону дома", "с какой стороны стола сядешь?") — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF

многоугольник ABCDEF

вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F

вершина A и вершина B являются соседними

вершина B и вершина C являются соседними

вершина C и вершина D являются соседними

вершина D и вершина E являются соседними

вершина E и вершина F являются соседними

вершина F и вершина A являются соседними

сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF

сторона AB и сторона BC являются смежными

сторона BC и сторона CD являются смежными

сторона CD и сторона DE являются смежными

сторона DE и сторона EF являются смежными

сторона EF и сторона FA являются смежными

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т.д.

Точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости.

Древнегреческий учёный Евклид говорил: «точка» – это то, что не имеет частей». Слово «точка» в переводе с латинского языка означает результат мгновенного касания, укол. Точка является основой для построения любой геометрической фигуры.

Прямая линия или просто прямая – это линия, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим. Прямая линия бесконечна, и изобразить всю прямую и измерить её невозможно.

Точки обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С, D, Е и др., а прямые теми же буквами, но строчными а, b, c, d, e и др. Прямую можно обозначить и двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую a можно обозначить АВ.

Можно сказать, что точки АВ лежат на прямой а или принадлежат прямой а. А можно сказать, что прямая а проходит через точки А и В.

Простейшие геометрические фигуры на плоскости – это отрезок, луч, ломаная линия.

Отрезок – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, ограниченных двумя выбранными точками. Эти точки – концы отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов.

Луч или полупрямая – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой или началом луча. Луч имеет точку начала, но не имеет конца.

Полупрямые или лучи обозначаются двумя строчными латинскими буквами: начальной и любой другой буквой, соответствующей точке, принадлежащей полупрямой. При этом начальная точка ставится на первом месте.

Получается, что прямая бесконечна: у неё нет ни начала, ни конца; у луча есть только начало, но нет конца, а отрезок имеет начало и конец. Поэтому только отрезок мы можем измерить.

Несколько отрезков, которые последовательно соединены между собой так, что имеющие одну общуюточкуотрезки (соседние) располагаются не на одной прямой, представляют собой ломаную линию.

Ломаная линия может быть замкнутой и незамкнутой. Если конец последнего отрезка совпадает с началом первого, перед нами замкнутая ломаная линия, если же нет – незамкнутая.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Наряду с такими понятиями как точка, отрезок, прямая, в геометрии существует и еще одно понятие. Оно имеет название луч. Луч - это часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой, а с другой стороны - бесконечная, т.е. ни чем не ограниченная.

Можно провести аналогию с природой. Например, луч света, который мы можем направить с земли в космос. С одной стороны он ограничен, а с другой стороны - нет. Каждый луч имеет одну крайнюю точку, в которой он начинается. Она называется началом луча .

Если взять произвольную прямую a , и отметим на ней некоторую точку О , то эта точка разобьет нашу прямую на две части. Каждая из которых будем лучом. Точка О будет принадлежать каждому из этих лучей. Точка О будет в данном случае началом этих двух лучей.

Луч обычно обозначают одной латинской буквой. На рисунке ниже представлен луч k .

Также можно обозначать луч двумя большими латинским буквами. При этом первая из них - это точка, в которой лежит начало луча. Вторая - это точка которая принадлежит лучу или другими словами - через которую луч проходит.

На рисунке представлен луч ОС.

Еще одним способом обозначения луча, является указание начальной точки луча и прямой, которой этот луч принадлежит. Например, на рисунке ниже представлен луч Оk.

Иногда говорят, что луч исходит из точки О. Это значит, что точка О является началом луча. Лучи еще иногда называют полупрямыми .

Задача:

Проведите прямую, и отметьте на ней точки A B и на отрезке AB отметьте точку C. Среди лучей АB, BC, CA, AC и BA найдите пары совпадающих лучей.

Лучи совпадают, если они лежат на одной прямой и имеют общее начало и ни один из них не является продолжением другого луча.
По рисунку видно, что этим условиям удовлетворяют лучи AB и AC, а также лучи BC и BA. Следовательно, они являются совпадающими.

Все мы когда-то изучали в школе геометрию, но далеко не каждый из нас вспомнит, что представляет собой отрезок. А уж тем более мало кто сможет объяснить понятие лучей, и как они обозначаются. Давайте постараемся в этой статье напомнить себе данные определения и рассмотрим их в математике. Также определим, что такое луч, и чем он отличается от светового. Если вникнуть, то понять будет несложно.

Определение понятий

Для начала давайте вспомним, что называется геометрией. Геометрия - это раздел математики, изучающий геометрические фигуры и их свойства. К ним относятся треугольник, квадрат, прямоугольник, параллелепипед, круг, овал, ромб, цилиндр и т. п. Простейшая фигура - это прямая. Она является бесконечной и не имеет начала. Две прямые пересекутся только в одной единственной точке. Через одну точку можно проводить бессчетное количество прямых линий. Каждая точка на линии делит ее на два .

Он состоит из точек, расположенных по одну сторону. Все понятия данных подмножеств можно именовать таким образом. Луч обозначают одной строчной латинской буквой или двумя заглавными, когда одна точка - начало (например, О), а вторая лежит на нем (например, F, К и Е) .

В основе геометрической фигуры, имеющей углы, лежат полупрямые. Они начинаются в точке, где пересекаются, но второй стороной направлены в бесконечность. Начало делит прямую на 2 части. На письме его обычно именуют двумя заглавными (OF) или одной буквой латиницы (а, в, с). Если дана прямая, то записывается ОВ в закругленных скобках: (ОВ). Если же это отрезок - в квадратных скобках.

Таким образом, луч - это часть прямой. Через любую точку можно провести множество прямых, но через 2 несовпадающие - только одну. Последние могут быть взаимодействовать только в трех вариантах: пересекаться, скрещиваться, быть параллельными друг другу. Существуют линейные уравнения, которые задают прямую на плоскости.

Обозначения в геометрии

Вариантов для обозначения несколько:

Нужно знать: Что такое и горизонтальное положение?

Отличие световых лучей от геометрических

В геометрии таковые понятия очень схожи. Луч - это линия, но она является энергией света . Другими словами - это небольшой пучок света. В оптике данное понятие, как и понятие прямой, в геометрии - базовое. У световых нет сконцентрированного направления, происходит дифракция. Но когда поток света очень сильный, расходимостью пренебрегают, и можно выделять четкое направление.