Понятие площади поверхности. Площадь боковой и полной поверхности цилиндра. Площадь боковой и полной поверхности конуса. Площадь сферы. Площадь частей сферы
Внутренней точкой называется точка фигуры, если шар с центром в этой точке полностью принадлежит данной фигуре.
Областью называется фигура, все точки которой внутренние.
Предельной точкой является точка фигуры, если шар с центром в этой точке содержит точки, принадлежащие данной фигуре, и точки, не принадлежащие ей.
Замкнутой области называют область вместе с ее границей.
Определение геометрического тела и его поверхности:
Телом является конечное замкнутая область.
Поверхность тела называется предел тела.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле S = 2pRh , где R - радиус цилиндра, h - высота цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле S = 2pR (R + h) , где R - радиус цилиндра, h - высота цилиндра.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле S = p Rl , где R - радиус основания конуса, l - высота образующей.
Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле S = p R (R + l) , где R - радиус основания конуса, l - высота образующей.
Площадь сферы вычисляется по формуле: S = 4pR 2 , где R - радиус сферы.
Площадь сферической части поверхности шарового сектора, т.е. шарового сегмента, вычисляется по формуле: S = 2pRh , где R - радиус сферы, h - высота сегмента.
Объем цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара, шарового сегмента и сектора
Объем цилиндра, конуса. Объем усеченного конуса. Объем шара, шарового сегмента и сектора
Пусть тело имеет заданный объем, если существуют простые тела, содержащие его, и простые тела, содержащиеся в нем, с объемами, как угодно мало отличаются от заданного объема.
Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.
Объем конуса равен трети произведения площади его основания на высоту.
Объем усеченного конуса равен трети произведения высоты конуса на константу π и на сумму квадратов радиусов каждой основы и произведения радиусов основ конуса.
Тело вращения называется такое тело, плоскостями, перпендикулярными к некоторой прямой, называется осью вращения, пересекается по кругам с центрами на этой прямой.
Общая формула объема тела вращения такова:
Объем тела вращения, помещенного между параллельными плоскостями х = а и х = b равна произведению константы π на определенный интеграл от квадрата функции, ограничивающая тело сверху, а границы интегрирования - числа a и b.
Объем шара определяется по формуле: V = 4/3 pR.
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекается от шара плоскостью.
Объем шарового сегмента равен: V = ph 2 (R - h / 3).
Шаровым сектором называется тело, которое получаем из шарового сегмента и конуса таким образом: если шаровой сегмент меньше полушария, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основой основа сегмента.
Если же сегмент больше полушария, то конус из него вынимается. Объем шарового сектора получаем добавлением или вычитанием соответствующих сегмента и конуса. Объем шарового сектора находим по формуле V = 2 / 3pR 2 h.
Шар и сфера
Шар и сфера. Взаимное расположение плоскости и шара в пространстве
Шар - это тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся от данной точки на одинаковом расстоянии.
Центром шара данная точка, радиусом шара называется данное расстояние.
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на определенном расстоянии от данной точки.
Диаметром шара есть отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара. Концы любого диаметра пули называется диаметрально противоположными точками шара.
Любой сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга является основой перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
Любая плоскость, проходящая через центр шара, является ее плоскостью симметрии.
Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскости. Центр шара является его центром симметрии.
Плоскость, происходит через некоторую точку сферы и перпендикулярна к радиусу, проведенному в эту точку, имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.
Прямая, лежащая в касательной плоскости к шару и проходит через точку касания, является касательной к шару в этой точке.
Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы с плоскостью, перпендикулярно к касательной плоскости. Если радиус сферы перпендикулярно плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
Линия пересечения двух сфер есть круг.
Многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на поверхности шара.
Многогранник называется описанным вокруг шара, если все его грани касаются поверхности шара.
Центр шара, описанной вокруг правильной пирамиды, лежит на ее оси.
Обратите внимание! Если в результате пересечения шара плоскостью получили сечение, то он кругом. Отрезок, соединяющий настоящее сечение и центр шара, перпендикулярно плоскости сечения, и его длина равна расстоянию от центра шара к плоскости сечения. Отрезок, соединяющий центр шара и точку на окружности сечения, является радиусом шара.
Если круги двух основ цилиндра лежат на некоторой сфере, говорится, что цилиндр вписан в сферу или сфера описана вокруг цилиндра. Считают, что сфера вписана в цилиндр, если примыкает его основ, а с боковой поверхностью имеет одно общее круг. Не в каждый цилиндр можно вписать круг.
Если вершина конуса и круг его основы лежат на некоторой сфере, говорится, что конус вписан в сферу, а сфера описана вокруг конуса.
Тело является простым, если его можно разбить на конечную количество треугольных пирамид.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его линейных размеров.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту параллелепипеда.
Объем пожилого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.
Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.
Два тела называются равновеликими, если они имеют равные объемы.
Две треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики.
Объем любой пирамиды равна одной трети произведения площади ее основания на высоту.
Прямым является конус, у которого прямая, соединяющая вершину конуса с центром его основания, перпендикулярна к плоскости основания. Высотой конуса есть перпендикуляр, опущенный из вершины на площадь основания.
Осью прямого конуса прямая, содержащая его высоту.
Плоскость, параллельная основе прямого конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность по окружности с центром на оси конуса.
Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то его сечение - это равнобедренный треугольник, основание которого равен диаметру основания конуса, а боковые стороны являются образующими конуса. Такой сечение называется осевым.
Конус, осевой сечение которого является равносторонним треугольником , называется равносторонним конусом. Если секущая плоскость проходит через вершину конуса под углом к плоскости основания, то его сечение - это равнобедренный треугольник, основание которого является хордой основания конуса, а боковые стороны - образующими конуса.
Если секущая плоскость проходит параллельно основанию конуса, то сечение является круг с центром на оси конуса. Такая секущая плоскость рассекает конус на две части - конус и усеченный конус. Круги, лежащие в параллельных плоскостях этого конуса, - его основания; отрезок, соединяющий их центры, - это высота усеченного конуса.
Пирамидой, вписанной в конус , называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в круг основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, является образующими конуса.
Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.
Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, основанием которой является многоугольник, описанный вокруг основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.
Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями к конусу.
Это интересно . Если в геометрии для изображения фигур используют параллельное проектирование, то в живописи, архитектуре, фотографии используют центральное проектирования.
Например, в пространстве зафиксировано некоторую точку О (центр проектирования) и плоскость α, не проходящей через эту точку. Через точку пространства и центр проектирования проведена прямая, которая пересекает заданную плоскость в точке, которую называют центральной проекцией точки на плоскость. Центральное проектирование не сохраняет параллельность. Изображение пространственных фигур на плоскости с помощью центрального проектирования называется перспективой. Теорией перспективы занимались художники Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер.
Шар и сфера — это прежде всего геометрические фигуры, и если шар — это геометрическое тело, то сфера — это поверхность шара. Этими фигурами интересовались еще многие тысячи лет назад до н.э.
Впоследствии когда было открыто, что Земля — это шар, а небо — небесная сфера, получило развитие новое увлекательное направление в геометрии — геометрия на сфере или сферическая геометрия. Для того, чтобы рассуждать о размере и объеме шара, нужно сначала дать ему определение.
Шар
Шаром радиуса R с центром в точке О в геометрии называют тело, которое создано всеми точками пространство, имеющими общее свойство. Эти точки находятся на расстоянии, не превышающем радиуса шара, то есть заполняют все пространство меньше радиуса шара во все стороны от его центра. Если мы рассмотрим только те точки, которые равноудалены от центра шара — мы будем рассматривать его поверхность или оболочку шара.
Как можно получить шар? Мы можем вырезать из бумаги круг и начать его вращать вокруг его же диаметра. То есть диаметр круга будет осью вращения. Образованная фигура — будет шар. Поэтому шар называют также телом вращения. Потому что он может быть образован путем вращения плоской фигуры — круга.
Возьмем какую-нибудь плоскость и разрежем ею наш шар. Подобно тому как мы режем ножом апельсин. Кусок, который мы отсечем от шара, называется шаровым сегментом.
В Древней Греции умели не только работать с шаром и сферой, как с геометрическими фигурами, например, использовать их при строительстве, а также умели расчитывать площадь поверхности шара и объем шара.
Сферой иначе называется поверхность шара. Сфера — это не тело — это поверхность тела вращения. Однако так как и Земля и многие тела имеют сферическую форму, например капля воды, то изучение геометрических соотношений внутри сферы получило большое распространение.
Например, если мы соединим две точки сферы между собой прямой линией, то эта прямая линия назовется хордой, а если эта хорда пройдет через центр сферы, который совпадает с центром шара, то хорда назовется диаметром сферы.
Если мы проведем прямую линию, которая коснется сферы всего в одной точке, то эта линия будет называться касательной. Кроме того, эта касательная к сфере в этой точке будет перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в точку касания.
Если мы продолжим хорду до прямой в одну и другую сторону от сферы, то эта хорда станет называться секущей. Или можно сказать иначе — секущая к сфере содержит в себе ее хорду.
Объем шара
Формула для вычисления объема шара имеет вид:
где R — радиус шара.
Если нужно найти объем шарового сегмента — воспользуйтесь формулой:
V сег =πh 2 (R-h/3), h — высота шарового сегмента.
Площадь поверхности шара или сферы
Чтобы вычислить площадь сферы или площадь поверхности шара (это одно и то же):
где R — радиус сферы.
Архимед очень любил шар и сферу, он даже попросил оставить на его гробницу рисунок, на котором в цилиндр вписан шар. Архимед считал, что объем шара и его поверхность равны двум третьим от объема и поверхности цилиндра, в который вписан шар»
Определение.
Сфера (поверхность шара ) - это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Определение.
Шар - это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Определение. Радиус сферы (шара) (R) - это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).
Определение. Диаметр сферы (шара) (D) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.
Формула. Объём шара :
| V = | 4 | π R 3 = | 1 | π D 3 |
| 3 | 6 |
Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:
S = 4π R 2 = π D 2
Уравнение сферы
1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :
x 2 + y 2 + z 2 = R 2
2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x 0 , y 0 , z 0) в декартовой системе координат :
(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2
Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.
Основные свойства сферы и шара
1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.
2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.
3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.
4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.
5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.
6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.
7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.
8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются , а в плоскости пересечения образуется круг.
Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства
Определение. Секущая сферы - это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.
Определение. Хорда сферы (шара) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).
Определение. Секущая плоскость - это плоскость, которая пересекает сферу.
Определение. Диаметральная плоскость - это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность и большой круг . Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).
Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.
Шаровой или сферической поверхностью называется геометрическое место точек пространства, удаленных от данной точки О (центра) на заданное расстояние R (радиус). Все пространство по отношению к данной шаровой поверхности разбивается на внутреннюю область (куда можно присоединить и точки самой поверхности) и внешнюю. Первая из этих областей называется шаром или сферой. Итак, шар - геометрическое место точек, удаленных от заданной точки О (центра) на расстояние, не превышающее данной величины R (радиуса). Шаровая поверхность является границей, отделяющей шар от окружающего пространства.
Шаровую поверхность и шар можно получить также, вращая окружность (круг) вокруг одного из диаметров.
Рассмотрим окружность с центром О и радиусом R (рис. 401), лежащую в плоскости X. Будем вращать ее вокруг диаметра АВ. Тогда каждая из точек окружности, например М, в свою очередь опишет при вращении окружность, имеющую своим центром точку проекцию вращающейся точки М на ось вращения АВ. Плоскость этой окружности перпендикулярна к оси вращения. Радиус ОМ, ведущий из центра исходной окружности в точку М, будет сохранять свою величину во все время вращения, и потому точка М все время будет находиться на сферической поверхности с центром О и радиусом R. Шаровая поверхность может быть получена вращением окружности вокруг любого из ее диаметров.
Сам шар как тело получается вращением круга; ясно, что для получения всего шара достаточно вращать полукруг около ограничивающего его диаметра.
Исследуем вопрос о взаимном расположении шара и плоскости. Для этого, имея некоторый шар и плоскость к, опустим из центра шара перпендикуляр на плоскость. Если основание этого перпендикуляра окажется вне шара (рис. 402), то остальные точки плоскости и подавно будут лежать вне шара, так как они еще больше удалены от центра, чем основание перпендикуляра.
В этом случае плоскость не имеет общих точек с шаром, она его не пересекает. Если основание перпендикуляра окажется на шаровой поверхности (рис. 403), то остальные точки плоскости, как и в предыдущем случае, будут лежать вне шара. Плоскость будет иметь одну общую точку с шаровой поверхностью; такая плоскость называется касательной к шару. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к касательной плоскости.
Действительно, если плоскость имеете поверхностью шара единственную общую точку, то эта точка ближайшая к центру шара по сравнению с остальными точками плоскости и потому служит основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость.
Если, наконец, основание перпендикуляра окажется внутри шара (рис. 404), то плоскость будет пересекать поверхность шара, так как часть ее окажется внутри шара, а часть - вне. Исследуем линию пересечения такой плоскости с шаровой поверхностью. Пусть расстояние ее от центра шара равно . Тогда оказывается, что линия пересечения плоскости с поверхностью шара является окружностью с центром в точке и радиусом, равным
Рассмотрим понятие таких геометрических тел как шар и его части :
- шаровой сегмент;
- шаровой сектор;
- шаровой слой.
Также представим формулы для вычисления объемов и площадей поверхностей шара и его частей.
Об элементах шара и понятии “сфера” будет опубликовано в отдельной статье.
Шар.
Определение.
Шаром называется геометрическое тело, состоящее из точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:
S пов. = 4*π*R 2 = π*D 2 , где R – радиус шара, D – диаметр шара.
В школьной программе объем шара представлен одной формулой:
V = 4/3* π*R 3 , где R – радиус шара.
Учитывая, что диаметр шара вдвое больше радиуса шара, имеем формулу объема шара такую:
V = 1/6 * π* D 3 , где D – диаметр шара.
Но объем шара может быть задан и другими соотношениями. Опишем их ниже.
Объем шара равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и поверхность шара, а высота есть радиус шара:
V = 1/3 R*S , где R – радиус шара.
А вот теорема Архимеда:
Объем шара в 1,5 раза меньше объема описанного вокруг него цилиндра, а поверхность шара – в 1,5 раза меньше полной поверхности того же цилиндра.
V = 2/3 * V ц . , где V ц – объем цилиндра.
S пов. = 2/3 * S пов. ц . , где S пов. ц. – полная поверхность цилиндра.
Части шара.
Шаровой сегмент.
Определение.
Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от нее плоскостью.
Кривая поверхность шарового сегмента равна произведению его высоты на длину окружности большого круга шара:
S сегм. = 2πR* h , где R – радиус шара, h – высота сегмента.
Еще формула площади поверхности сегмента :
S сегм. = π*(r 2 + h 2)
Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:
V = π* h 2 *(R – 1/3*h) = 1/6*π*h(h 2 + 3r 2) , где r – радиус основания сегмента, h – высота сегмента.
Шаровой сектор.
Определение.
Шаровой сектор – часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной – центр шара.
Согласно определению формула площади поверхности шарового сектора выглядит так:
S шар. сектор = S бок.конус. + S шар. сегм.
Объем шарового сектора равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и вырезанная сектором часть шаровой поверхности (S), а высота равна радиусу шара (R) :
V = 1/3*R*S = 2/3*π*R 2 *h , где h – высота шарового сегмента, принадлежащая шаровому сектору.
Шаровой слой.
Определение.
Часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями, называется шаровым слоем, а кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (или зоной).
S шар. слоя = h*2πR , где R – радиус шара, h – высота шарового слоя.
Объем шарового слоя :
V = 1/6 * π* h 3 + 1/2 * π*(r 1 2 + r 2 2)*h , где r 1, r 2 – радиусы оснований шарового слоя, h – высота шарового слоя.