Как сказано выше, обычно выделяют внешние и внутренние симметрии. Внутренние симметрии – это геометрические и калибровочные симметрии самой материи, отражающие инвариантность (независимость) свойств элементарных частиц и их взаимодействий относительно определенных преобразований. Большинство из них ярко проявляются лишь в микромире, присутствуя на макро- и мегауровне в скрытом виде. Внешние симметрии – это симметрии пространственно-временного континуума, одинаково ярко проявляющиеся на всех уровнях организации материи.
Выделяют следующие симметрии пространства-времени :
1. Однородность пространства . Это – сдвиговая симметрия пространства. Она заключается в эквивалентности, равенстве всех точек пространства, то естьотсутствии в пространстве каких-либо выделенных точек . Параллельный перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве не приводит к изменению ее свойств, то есть физические законы инвариантны относительно сдвигов в пространстве .
2. Изотропность пространства . Это – поворотная симметрия пространства. Она заключается в равенстве всех направлений в пространстве, то есть вотсутствии в пространстве выделенных направлений . Поворот системы как целого в пространстве не приводит к изменению ее свойств, то естьфизические законы инвариантны относительно поворотов в пространстве.
3. Однородность времени . Сдвиговая симметрия времени отражает равенство всех точек времени, то естьотсутствие выделенных точек начала отсчета времени . Перенос системы как целого во времени не приводит к изменению ее свойств, то естьфизические законы не меняются с течением времени .
Что касается изотропности времени , то вопрос о наличии этой симметрии долгое время оставался открытым и во многом остается дискуссионным до сих пор. Так, в классической механике время симметрично: идеальные механические процессы полностью обратимы, и “поворот во времени” не приводит к изменению законов механики. В ОТО, где время, наряду с пространством, рассматривается как одна из геометрических координат, также постулируется эквивалентность его прямого и обратного течения. Подавляющее большинство элементарных процессов, протекающих в результате сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий, также симметричны по отношению к этому преобразованию (за исключением распадов K0L-мeзонов). Но в то же время, развитие термодинамики (см. тему 2.5) показало, что в макроскопических процессах, связанных с превращением энергии, происходит ее необратимое рассеивание. Таким образом, все реальные процессы, происходящие на уровнемакро- и мегаскопических материальных систем не инвариантны по отношению к направлению времени. Его изменение на противоположное привело бы к изменению законов термодинамики: необратимое рассеивание энергии сменилось бы ее самопроизвольной концентрацией. Следовательно, для этих процессов времяанизотропно , не обладает симметрией поворота.
Связь законов сохранения с симметрией (теорема Нетер)
Развитие математических методов описания симметрии, в частности аналитической механики Лагранжа и Гамильтона, показало, что как законы классической механики Ньютона, так и уравнения электродинамики Максвелла могут быть выведены математическим путем из соображений симметрии. Методы аналитической механики можно распространить и на квантовую механику, где классические теории теряют свою применимость.
Важнейший результат в этой области теоретической физики связан с именем выдающейся женщины-математика Амалии (Эмми) Нетер (1882–1935). В 1918 г. Нетер была доказана теорема, позднее названная ее именем, из которой следует, что если некоторая система инвариантна (неизменна) относительно некоторого преобразования, то для нее существует определенная сохраняющаяся величина . Иными словами, существование любой конкретной симметрии приводит к соответствующему закону сохранения .
Эта теорема справедлива для любых симметрий – в пространстве-времени, степенях свободы элементарных частиц и физических полей, – то есть она носит универсальный характер . Теорема Нетер стала важнейшим инструментом теоретической физики, утвердившим особуюмеждисциплинарную роль принципов симметрии при построении физической теории .
Непрерывные симметрии приводят к существованию законов сохранения, проявляющихся на всех уровнях организации материи. Так, согласно теореме Нетер, из однородности (сдвиговой симметрии) пространства следуетзакон сохранения импульса (количества движения), из изотропности (поворотной симметрии) пространства –закон сохранения момента импульса (момента количества движения), из однородности времени следуетзакон сохранения энергии . Из калибровочной симметрии динамики заряженных частиц в электромагнитных полях следуетзакон сохранения электрического заряда.
Что касается дискретных симметрий, то в классической механике они не приводят к каким-либо законам сохранения. Однако в квантовой механике, в которой состояние системы описывается волновой функцией, или для волновых полей (например, электромагнитного поля), где справедлив принцип суперпозиции, из существования дискретных симметрий также следуют законы сохранения некоторых специфических величин, не имеющих аналогов в классической механике. Так, зеркальная симметрия, или пространственная инверсия (Р ), приводит к закону сохранения пространственной четности; симметрия замены всех частиц на античастицы, или зарядовое сопряжение (С ) – к закону сохранения зарядовой четности и т. д.
Теорема Нетер дает наиболее простой и универсальный метод получения законов сохранения. Особенно важное значение имеет теорема Нетер в квантовой теории поля, где законы сохранения, вытекающие из существования определенной группы симметрии, являются часто основным источником информации о свойствах изучаемых объектов.
Амалия (Эмми) Нётер, королева без короны
По мнению наиболее выдающихся из числа ныне здравствующих математиков, Эмми Нётер была величайшим творческим математическим гением, явившимся миру с тех пор, как для женщин открылось высшее образование.
Альберт Эйнштейн
Эйнштейн был прав, и Эмми Нётер (1882–1935) , с которой ему так и не довелось вместе поработать в Институте перспективных исследований в Принстоне (хотя она этого заслуживала как никто), была удивительным математиком - возможно, величайшей женщиной-математиком всех времен. И Эйнштейн не единственный придерживался такой точки зрения: Норберт Винер поместил Нётер в один ряд с лауреатом двух нобелевских премий Марией Кюри, которая тоже была превосходным математиком.
Также Эмми Нётер стала объектом ряда дурных шуток - вспомним хотя бы бессмертную фразу невоздержанного на язык Эдмунда Ландау: «Я могу поверить в ее математический гений, но не могу поклясться, что это женщина». Эмми в самом деле отличалась мужеподобной внешностью, а кроме этого, совершенно не задумывалась о том, как она выглядит, особенно во время занятий или научных дебатов.
По воспоминаниям очевидцев, она забывала уложить волосы, почистить платье, тщательно пережевывать пищу и отличалась многими другими чертами, которые делали ее не слишком женственной в глазах благопристойных соотечественников-немцев. Также Эмми страдала сильной близорукостью, из-за чего носила некрасивые очки с толстыми стеклами и была похожа на сову. Сюда же следует добавить и привычку носить (из соображений удобства) мужскую шляпу и набитый бумагами кожаный чемодан, как у страхового агента. Сам Герман Вейль, ученик Эмми и почитатель ее математического таланта, достаточно взвешенно выразил общее мнение о наставнице словами: «Грации не стояли у ее колыбели».
Портрет Эмми Нётер в юности.
Превращение в прекрасного лебедя
Эмми Нётер родилась в обществе, где женщины, можно сказать, были скованы по рукам и ногам. В то время в Германии правил всесильный кайзер Вильгельм II, любитель торжественных приемов и церемоний. Он приезжал в город, чинно спускался с поезда, а затем местный градоначальник произносил речь. Всей грязной работой занимался Железный Канцлер Бисмарк. Он и был истинным главой государства и общества, вдохновителем его консервативной структуры, которая препятствовала обучению женщин (всеобщее образование считалось признаком ненавистного социализма). Образцом женщины была супруга кайзера, императрица Августа Виктория. Ее жизненным кредо были четыре К: кайзер, Kinder (дети), Kirche (церковь), K"uche (кухня) - дополненная версия трех К из народной трилогии «Kinder, Kirche, K"uche ». В такой среде женщинам отводилась четко выписанная роль: на социальной лестнице они находились ниже мужчин и на ступеньку выше домашних животных. Так, женщины не могли получить образование. Собственно, обучение женщин не было запрещено полностью - для родины Гёте и Бетховена это было бы слишком. Преодолев множество препятствий, женщины могли учиться, но не имели права занимать должностей. Итог был тем же самым, но игра - более тонкой. Некоторые преподаватели, демонстрируя особое идеологическое рвение, отказывались начинать занятия, если в аудитории присутствовала хотя бы одна женщина. Совершенно иначе дело обстояло, например, во Франции, где господствовали свобода и либерализм.
Эмми родилась в небольшом городе Эрлангене, в семье преподавателей, принадлежавшей к верхушке среднего класса. Эрланген занимал необычное место в истории математики - он был малой родиной создателя так называемой синтетической геометрии Христиана фон Штаудта (1798–1867) , кроме того, именно в Эрлангене юный гений Феликс Клейн (1849–1925) обнародовал свою знаменитую Эрлангенскую программу, в которой классифицировал геометрии с точки зрения теории групп.
Отец Эмми, Макс Нётер, преподавал математику в Эрлангенском университете. Его интеллект унаследовали сын Фриц, посвятивший жизнь прикладной математике, и дочь Эмми, которая напоминала гадкого утенка из сказки Андерсена - никто не мог и предположить, каких научных высот она достигнет. В детстве и юности Эмми ничем не отличалась от сверстников: ей очень нравилось танцевать, поэтому она охотно посещала все торжества. При этом девушка не проявляла особого интереса к музыке, что отличает ее от других математиков, которые часто любят музыку и даже играют на разных инструментах. Эмми исповедовала иудаизм - в то время это обстоятельство было неважным, но сказалось на ее дальнейшей судьбе. За исключением редких проблесков гениальности обучение Эмми ничем не отличалось от обучения ее сверстниц: она умела готовить и вести домашнее хозяйство, проявляла успехи в изучении французского и английского, и ей пророчили карьеру преподавателя языков. Ко всеобщему удивлению, Эмми выбрала математику.
Фасад Kollegienhaus - одного из старейших корпусов Эрлангенского университета.
Бесконечная гонка
Эмми имела все необходимое для того, чтобы посвятить себя выбранному занятию: она знала математику, семья могла выделять ей средства на жизнь (пусть и весьма скудные), а личное знакомство с коллегами отца позволяло ей рассчитывать на то, что учеба в университете не станет невыносимой. Чтобы продолжить обучение, Эмми пришлось стать слушательницей - посещать занятия в качестве полноправного студента ей запрещалось. Она успешно окончила обучение и сдала экзамен, дававший право на получение докторской степени. В качестве темы диссертации Эмми выбрала алгебраические инварианты тернарных квадратичных форм. Преподавателем этой дисциплины был Пауль Гордан (1837–1912) , которого современники называли королем теории инвариантов; он был давним другом отца Нётер и сторонником конструктивной математики. В поисках алгебраических инвариантов Гордан превращался в настоящего бульдога: он вцеплялся в инвариант и не разжимал челюстей до тех пор, пока не выделял его среди хитросплетения расчетов, порой казавшихся бесконечными. Объяснить, что такое алгебраический инвариант и форма, не слишком сложно, но эти понятия не представляют интереса для современной алгебры, поэтому не будем останавливаться на них подробнее.
В докторской диссертации под названием «Об определении формальных систем тернарных биквадратичных форм» приведен 331 инвариант тернарных биквадратичных форм, найденный Эмми. Работа принесла ей степень доктора и дала возможность вдоволь попрактиковаться в математической гимнастике. Этот тяжкий труд сама Эмми позднее в порыве самокритики назвала чепухой. Она стала второй женщиной - доктором наук в Германии после Софьи Ковалевской.
Эмми получила должность преподавателя в Эрлангене, где проработала восемь долгих лет, не получая никакого жалования. Порой ей выпадала честь замещать собственного отца - его здоровье к тому времени ослабело. Пауль Гордан вышел в отставку, и его сменил Эрнст Фишер, который придерживался более современных взглядов и прекрасно ладил с Эмми. Именно Фишер познакомил ее с трудами Гильберта.
К счастью, проницательность Нётер, ее ум и знания заметили два светила Гёттингенского университета, «самого математического университета мира». Этими светилами были Феликс Клейн и Давид Гильберт (1862–1943) . Шел 1915 год, Первая мировая война была в самом разгаре. И Клейн, и Гильберт отличались крайним либерализмом в вопросах обучения женщин (и их участия в исследовательской работе) и были специалистами высочайшего уровня. Они убедили Эмми покинуть Эрланген и переехать к ним в Гёттинген для совместной работы. В то время гремели революционные физические идеи Альберта Эйнштейна, а Эмми была экспертом по алгебраическим и прочим инвариантам, составлявшим крайне полезный математический аппарат теории Эйнштейна (к разговору об инвариантах мы вернемся чуть позже).
Все это было бы смешно, если бы не было так грустно - даже поддержка таких авторитетов не помогла Эмми преодолеть сопротивление ученого совета Гёттингенского университета, от членов которого можно было услышать заявления в духе: «Что скажут наши героические солдаты, когда вернутся на родину, и в аудиториях им придется сидеть перед женщиной, которая будет обращаться к ним с кафедры?». Гильберт, присутствовавший при подобном разговоре, возмущенно возразил: «Не понимаю, как пол кандидата мешает избрать ее приват-доцентом. Ведь здесь университет, а не мужская баня!»
Но Эмми так и не была избрана приват-доцентом. Ученый совет объявил ей настоящую войну. Конфликт вскоре прекратился, была провозглашена Веймарская республика, и положение женщин улучшилось: они получили право голосовать, Эмми смогла занять должность профессора (но без жалования), однако лишь в 1922 году, приложив огромные усилия, она наконец начала получать деньги за свой труд. Эмми раздражало, что ее работа на посту редактора журнала «Анналы математики», отнимавшая немало времени, не была оценена по достоинству.
В 1918 году была опубликована сенсационная теорема Нётер. Многие называли ее именно так, хотя Эмми доказала немало и других теорем, в том числе очень важных. Нётер заслужила бы бессмертие, даже если бы умерла на следующий день после публикации теоремы в 1918 году, хотя на самом деле она нашла доказательство тремя годами ранее. Эта теорема не относится к абстрактной алгебре и находится на стыке между физикой и математикой, точнее говоря, принадлежит к механике. К сожалению, чтобы объяснить ее понятным для читателя языком, пусть даже в упрощенном виде, мы не сможем обойтись без высшей математики и физики.
Если говорить просто, без символов и уравнений, то теорема Нётер в наиболее общей формулировке гласит: «Если физическая система обладает непрерывной симметрией, то в ней найдутся соответствующие величины, которые сохраняют свои значения с течением времени».
Понятие непрерывной симметрии в высшей физике объясняется с помощью групп Ли. Не будем углубляться в детали и скажем, что в физике под симметрией понимается любое изменение физической системы, относительно которого физические величины в системе инвариантны. Это изменение посредством математически непрерывного преобразования должно затрагивать координаты системы, а рассматриваемая величина до и после преобразования должна оставаться неизменной.
Откуда же взялся термин «симметрия»? Он принадлежит к чисто физическому языку и применяется потому, что по смыслу схож с термином «симметрия» в математике. Представьте себе повороты пространства, образующие группу симметрии. Если мы применим один из таких поворотов к системе координат, то получим другую систему координат. Изменение координат будет описываться непрерывными уравнениями. Согласно теореме Нётер, если система инвариантна относительно подобной непрерывной симметрии (в данном случае - поворота), то в ней автоматически существует закон сохранения той или иной физической величины. В нашем случае, проведя необходимые вычисления, можно убедиться, что этой величиной будет момент импульса.
Не будем останавливаться на этой теме и приведем некоторые разновидности симметрии, группы симметрии и соответствующие физические величины, которые будут сохраняться.
Эта теорема вызвала множество хвалебных отзывов, в том числе от Эйнштейна, который писал Гильберту:
«Вчера я получил очень интересную статью госпожи Нётер о построении инвариантов. На меня производит впечатление то, что такие вещи можно рассматривать со столь общей точки зрения. Старой гвардии в Гёттингене не повредило бы, если бы ее послали на обучение к госпоже Нётер. Похоже, она хорошо знает свое ремесло ».
Похвала была заслуженной: теорема Нётер сыграла нетривиальную роль в решении задач общей теории относительности. Эта теорема, по мнению многих специалистов, является фундаментальной, а некоторые даже ставят ее в один ряд с известной всем теоремой Пифагора.
Перенесемся в простой и понятный мир экспериментов, описанный Карлом Поппером (1902–1994) , и предположим, что мы создали новую теорию, описывающую некое физическое явление. По теореме Нётер, если в рамках нашей теории присутствует некая разновидность симметрии (предполагать подобное вполне разумно), то в системе будет сохраняться некоторая величина, которую можно измерить. Таким образом можно определить, верна наша теория или нет.
ТЕОРЕМА НЁТЕР
Физическая система в механике определяется с помощью достаточно сложных терминов, в том числе такого понятия, как действие, которое можно рассматривать как произведение выделенной энергии на время, затраченное на ее поглощение. Поведение физической системы на языке математики описывается ее лагранжианом L , который представляет собой функционал (функцию от функций) вида
где q - положение, q - скорость (точка вверху в нотации Ньютона обозначает производную от q ), t - время. Обратите внимание, что q - положение в системе координат общего вида, которая необязательно является декартовой.
Действие А на языке математики выражается интегралом вдоль пути, выбранного системой:
Точно сформулируем и докажем теорему Нётер.
Рассмотрим некоторую систему, описываемую функцией Лагранжа
Форма уравнений Лагранжа-Эйлера, получаемых из вариационного принципа с такой функцией Лагранжа, инвариантна относительно преобразований вида, а также и относительно более общих преобразований
включающих замену независимой переменной. Однако конкретный вид для нового выражения для действия, как функционала новых координат, зависящих от нового времени, может претерпеть при таком изменении любые изменения.
Теорема Нётер интересуется только тем случаем, когда таких изменений не происходит.
Используя (4), получим:
Пусть преобразования такие, что
т.е. образующих однопараметрическую группу. Рассмотрим бесконечно малое преобразование, отвечающее параметру.
Собственно вариации обобщенных координат, происходящие при рассматриваемом преобразовании, - это разность значений новых координат в некоторый момент нового времени и значений старых координат в соответствующий момент старого времени, т.е.
Наряду с ними удобно ввести в рассмотрение вариации формы
зависимости координат от времени, которые отличны от нуля, даже если наше преобразование затрагивает только время, а не координаты.
Для любой функции справедливо соотношение:
Тогда между двумя введенными видами вариаций есть соотношение, которое можно получить следующим образом: вычтем из (8) уравнение (9), получим:
примем во внимание, что
тогда имеем:
Вариации без звездочек, относящиеся к одному значению аргумента, перестановочны с дифференцированием по времени
в то время, как для вариаций со звездочками это, вообще говоря, неверно.
Соответствующие два вида вариаций можно ввести и для любой динамической переменной. Например, для функции Лагранжа
где включает дифференцирование как по явно входящему времени, так и по времени, входящему неявно, через координаты и скорости.
Потребуем теперь, чтобы интеграл действия не менялся бы при нашем преобразовании, - это и есть тот исключительный случай, который требуется условием теоремы, - т.е. чтобы было
где Т" - та же область интегрирования, что и Т во втором интеграле, но выраженная через новые переменные. Тогда подставив (11) в (13), получим
Выражаем в (15) через (11) и учитывая соотношение, переходя к интегрированию по t вместо t" , получим:
Учитывая, что
Получим: (15)
Найдем дифференциал
Подставив (17) в (16), получим:
Под знаком первой суммы стоит уравнение Лагранжа, т.е.
Общие свойства пространства и времени:
1. Пространство и время объективны и реальны, т.е. не зависят от сознания и воли людей.
2. Пространство и время являются универсальными, всеобщими формами бытия материи. Нет явлений, событий предметов, которые бы существовали вне пространства или вне времени.
Основные свойства пространства :
1. Однородность – все точки пространства обладают одинаковыми свойствами, нет выделенных точек пространства, параллельный перенос не изменяет вид законов природы.
2. Изотропность – все направления в пространстве обладают одинаковыми свойствами, нет выделенных направлений, и поворот на любой угол сохраняет неизменными законы природы.
3. Непрерывность – между двумя различными точками в пространстве, как близко бы они не находились, всегда есть третья.
4. Евклидовость описывается геометрией Евклида. Признаком евклидовости пространства является возможность построения в нём Декартовых прямоугольных координат. Но согласно ОТО Эйнштейна, при наличии в пространстве тяготеющих масс пространство искривляется, становится неевклидовым.
5. Трехмерность – каждая точка пространства однозначно определяется набором трёх действительных чисел координат. Это положение вытекает из связи структуры пространства с законом тяготения. (П. Эренфест в 1917 г. исследовал вопрос, почему мы способны воспринять только пространство трёх измерений. Он доказал, что «закон обратных квадратов», по которому действуют друг на друга точечные гравитационные массы или электрические заряды, обусловлен трёхмерностью пространства. В пространстве n измерений точечные частицы взаимодействовали бы по закону обратной степени (n–1). Поэтому для n=3 справедлив закон обратных квадратов, т.к. 3–1=2. Он показал, что соответствуя закону обратных кубов, планеты двигались бы по спиралям и быстро упали бы на Солнце. В атомах при числе измерений, большем трёх, также не существовало бы устойчивых орбит, т.е. не было бы химических процессов в жизни.
Основные свойства времени :
1. Однородность - любые явления, происходящие в одних и тех же условиях, но в разные моменты времени, протекают совершенно одинаково, по одним и тем же законам.
2. Непрерывность – это когда между двумя моментами времени, как бы близко они ни располагались, всегда можно выделить третий.
3. Однонаправленность или необратимость – это свойство времени, которое можно рассматривать как следствие второго начала термодинамики или закона возрастания энтропии. Все изменения в мире происходят от прошлого к будущему.
Указанные свойства пространства и времени связаны с главными законами физики – законами сохранения. Если свойства системы не меняются от преобразования переменных, то ей соответствует определённый закон сохранения. Это одно из существенных выражений симметрии в мире. Согласно Э. Нётер теореме, каждому преобразованию симметрии, характеризуемому одним непрерывно изменяющимся параметром, соответствует величина, которая сохраняется для системы, обладающей этой симметрией.
Из симметрии физических законов относительно:
1) сдвига замкнутой системы в пространстве (однородность пространства) следует закон сохранения импульса;
2) поворота замкнутой системы в пространстве (изотропность пространства) следует закон сохранения момента импульса;
3) изменения начала отсчёта времени (однородность времени) следует закон сохранения энергии.
Вопросы для повторения и самоконтроля
1. Каковы были представления о пространстве и времени в доньютоновский период?
2. Как трактовал И. Ньютон пространство и время?
3. Какие представления о пространстве и времени стали определяющими в теории относительности А. Эйнштейна?
4. Какие основные свойства пространства вам известны?
5. Какие основные свойства времени вам известны?
6. Сформулируйте теорему Э. Нетер?