Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется число элементов в дополнении множества В до множества А при условии, что n (A )= a , n (B )= b , BA , т.е. а - b = n (A B ). Это обуславливается тем, что А=В(АВ), т.е. n (A )= n (B ) + n (A B ).
Докажем это. Так как по условию В - собственное подмножество множества А, то их можно представить так, как на рис. 3.
Вычитание натуральных (целых неотрицательных) чисел определяется как операция, обратная сложению: а - b = с () b + c = a.
Разность АВ на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и АВ не пресекаются и их объединение равно А . Поэтому число элементов в множестве А можно найти по формуле n(A)=n(B) + n(AB) , откуда по определению вычитания как операции, обратной сложению, получаем n(AB) = а - b.
Аналогичное истолкование получает вычитание нуля, а также вычитание а из а . Так как А=А, АА=, то а - 0 = а и а - а = 0.
Разность а - b целых неотрицательных чисел существует тогда и только тогда, когда .
Действие, при помощи которого находят разность а - b , называется вычитанием , число а - уменьшаемым, b - вычитаемым.
Используя определения, покажем, что 8 - 5 = 3. Пусть даны два множества такие, что n(A) = 8, n(B) = 5. И пусть множество В является подмножеством множества А . Например, А = {a, s, d, f, g, h, j, k }, B = {a, s, d, f, g }.
Найдем дополнение множества В до множества А: АВ = {h, j, k }. Получаем, что n(AB) = 3.
Следовательно, 8 - 5 = 3.
Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач.Выясним, почему следующая задача решается при помощи вычитания, и решите ее: «У школы росло 7 деревьев, из них 3 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»
Представим условие задачи наглядно, изобразив каждое дерево, посаженное возле школы кружком (рис. 4). Среди них есть 3 березы - на рисунке выделим их штриховкой. Тогда остальные деревья - не заштрихованные кружки - и есть липы. Т. е. их столько, сколько будет из 7 вычесть 3, т. е. 4.
В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревьев, множество В - берез, которое является подмножеством А , и множество С лип - оно представляет собой дополнение множества В до А . В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении.
По условию n(A) = 7, n(B) = 3 и BА. Пусть А = {a, b, c, d, e, f, g }, B = {a, b, c }. Найдем дополнение множества А до В : AB = {d, e, f, g} и n(AB) = 4.
Значит, n(C) = n(AB) = n(A)- n(B) = 7 - 3 = 4.
Следовательно, у школы росло 4 липы.
Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций различные правила.
Правило вычитания числа из суммы: чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного из слагаемых и к полученному результату прибавить другое слагаемое, т.е. при ас имеем, что (a+b)-c=(a-c)+b; при bc имеем, что (a+b)-c=a+(b-c) ; при ac и bc можно использовать любую из данных формул.
Выясним смысл данного правила: Пусть А, В, С - такие множества, что n(A)=a, n(B)=b и AB= , СА (рис.5).
Нетрудно доказать с помощью кругов Эйлера, что для данных множеств имеет место равенство .
Правая часть равенства имеет вид:
Левая часть равенства имеет вид: Следовательно (a + b) - c = (a- c) + b ,при условии, что а> c .
Правило вычитания суммы из числа : чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим, т.е. при условии, что a b +c, имеем а - (b + c) = (a - b) - c.
Выясним смысл данного правила. Для данных множеств имеет место равенство .
Тогда получим, что правая часть равенства имеет вид:. Левая часть равенства имеет вид: .
Следовательно (a + b) - c = (a- c) + b , при условии, что а> c .
Правило вычитания разности из числа:
чтобы вычесть из числа а
разность b - c
, достаточно к данному числу прибавить вычитаемое с
и из полученного результата вычесть уменьшаемое b
; при a > b
можно вычесть из числа а уменьшаемое b и к полученному результату прибавить вычитаемое с, т.е. а - (b - c) = (a + c) - b = (a - b) +c.
Значит, А(ВС) = .
Следовательно, n(А(ВС)) = n( ) и а - (b - c) = (a + c) - b .
Правило вычитания числа из разности: чтобы из разности двух чисел вычесть третье число, достаточно из уменьшаемого вычесть сумму двух других чисел, т.е. (а - b) - c = a - (b + c). Доказывается аналогично правилу вычитания суммы из числа.
Пример. Какими способами можно найти разность: а) 15 - (5 + 6); б) (12 + 6) - 2?
Решение . а) Используем правило вычитания суммы из числа: 15 - (5 + 6) = (15 - 5) - 6 = 10 - 6 = 4.
Или 15 - (5 + 6) = (15 - 6) - 5 = 9 - 4 = 4.
Или 15 - (5 + 6) = 15 - 11= 4.
б) Используем правило вычитания числа из суммы: (12 + 6) - 2 = (12 - 2) + 6 = 10 + 6 = 16.
Или (12 + 6) - 2 = 12 + (6 - 2) = 12 + 4 = 16.
Или (12 + 6) - 2 = 18 - 2 = 16.
Данные правила позволяют упростить вычисления и широко используются в начальном курсе математики.
Рассмотрим задачу, которую решают первоклассники: «Около школы посадили 8 деревьев – берез и рябин. Берез 3. Сколько рябин посадили около школы?»
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо из 8 вычесть 3: 8-3=5.
Но как объяснить, почему здесь использовано вычитание чисел, а не другое действие? Представим условие задачи наглядно, изобразив каждое дерево, посаженное около школы, кружком.
Среди посаженных деревьев 3 березы – на рисунке выделим их, зачеркнув каждый кружок, изображающий березу. Тогда остальные деревья рябины. Их столько, сколько будет, если из 8 вычесть 3, т.е.5.
Видим, что решение данной задачи тесно связано с выделением из данного множества подмножества и нахождением числа элементов в дополнении этого подмножества, т.е. вычитание чисел оказывается связанным с операцией дополнением подмножества.
Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется число элементов в дополнении множества B до множества A при условии, что n(A)=a, n(B)=b и B A.
Пример. Объясним, используя данное определение, что 7-4=3. 7 –это число элементов множества B, которое является подмножеством множества A. Возьмем, например, множества A= {x, y, z, t, p, r, s}, B={x, y, z, t}. Найдем дополнение множества В до множества А: А\В={p, r, s}. Получаем, что n(А\В) = 3. Следовательно, 7-4 = 3.
Очевидно, в качестве таких множеств Аи В, что п(А) = 7, п (В) = 4 и B A,можно было выбрать множества, отличные от рассматриваемых, поскольку разность а - в не зависит от выбора множеств А и В,удовлетворяющих условиям п (А) = а, п(В) - в и B A.
№17.Определение разности двух целых неотрицательных чисел. Существование разности и её единственность.
Действие, при помощи которого находят разность а - в, называется вычитанием, число а - уменьшаемым, число b - вычитаемым.
Часто, чтобы проверить правильность выполнения действия вычитания, мы обращаемся к сложению. Почему? Очевидно потому, что существует связь между действиями вычитания и сложения.
Пусть даны целые неотрицательные числа аи в, такие, что а= п (А),в- п (В)и В А, и пусть разность этих чисел есть число элементов дополнения множества Вдо множества А, т. е. а - в = п (А\В).
На кругах Эйлера множества А, В, А\Визображаются так:
Известно, что A = B (A\B),откуда п (А) = п (В (А\В)).Так как В∩(А\В)= Ø, то имеем п (А) = п (В(А\В)) = п (В) + (А\В)= в +(а - в ). Следовательно, получаем, что а = в + (а - в), т. е. разность а - в есть такое число, сумма которого и числа в равна числу а.
Установленный факт дает возможность по-другому дать определение разности.
Определение. Разностью целых неотрицательных чисел а и в называется такое целое неотрицательное число с, сумма которого и числа в равна а.
Теорема. Если разность целых неотрицательных чисел a и b существует, то она единственна.
Доказательство. Предположим, что существуют два значения разности a-b: a-b=c1 и a-b=c2. Тогда по определению разности имеем a=b+c1 и a=b+c2. Отсюда следует b+c1=d+c2 и, значит, c1=c2.
Теорема. Разность целых неотрицательных чисел а и b существует тогда и только тогда, когда b < или = а.
Доказательство. Если а=b, то а-b=0, и, следовательно, разность а-b cсуществует.
Если b<а, то по определению отношения «меньше» существует такое натуральное число с, что а=b+с. Тогда по определению разности с=а-b, т.е. разность а-b существует. Если разность а-b существует, то по определению разности найдется такое целое неотрицательное число с, что а=b+с. Если с=0, то а=b, если с>0, то b <а по определению меньше. Итак, b<или = а.
«Числовые промежутки» - Строгое неравенство. Какое из данных чисел на числовой прямой находится левее. Числовые промежутки. Отрезки. Устная работа. Ввести понятие «луч». Назовите числа. Утверждение. Таблица числовых промежутков. Лучи. Нестрогое неравенство.
«Рациональные числа» - Ревуны. Рациональные числа. Какие числа называются рациональными? Бесконечные дроби: 2/3=0.66666......=0.(6) 5/11=0.45454…..=0.(45). Если a, b и c – любое рациональное число, то. Десятичные дроби: 1.45 -5.32 23.5 -89.7 3.674 -5.375 0.23 -0.7 23.32 -45.54. Самостоятельная работа. Из оставшихся букв вы получите название самых шумных животных:
««Модуль числа» 6 класс» - Какие координаты имеют точки А,В и С. Значение выражения. Чему равен модуль числа 0. Найдите модуль каждого из чисел. Найдите значения выражения. Вопросы. Модуль числа. Повторение. Найдите координаты точек А,В,С. Запишите все числа, имеющие модуль. Укажите число, противоположное данному. Модулем числа A называют расстояние.
«Модуль 6 класс» - Помогаем друг другу, уважаем друг друга. Урок изучения нового материала с элементами проблемного метода. 7 класс. Межпредметные связи. Разработки уроков с использованием дифференцированного подхода. Дифференцированный подход в обучении. Ход урока. 1. Подготовительный этап. «Кодекс дружбы»: Все время вместе.
«Математика «Отрицательные числа»» - Отрицательные числа в наши дни. Расстояние от точки А(а) до начала отсчета, т.е. до точки О(о). Свойства отрицательных чисел. Отрицательные числа. Основные правила. Математика – виват. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Отрицательное число. Историческая справка. Спасибо за внимание.
«Сложение на координатной прямой» - Запишите с помощью сложения. Найдем сумму чисел. Число. Сравните результат. Закончите предложения. Найдем сумму. Сумма двух противоположных чисел. Температура. Сложение чисел с помощью координатной прямой. Заполните пропуски. Повторение. Решение примеров. Столбик термометра. Слагаемое. Первое слагаемое.
Всего в теме 24 презентации
Определение 1. Если два числа 1) a и b при делении на p дают один и тот же остаток r , то такие числа называются равноостаточными или сравнимыми по модулю p .
Утверждение 1. Пусть p какое нибудь положительное число. Тогда всякое число a всегда и притом единственным способом может быть представлено в виде
Но эти числа можно получить задав r равным 0, 1, 2,..., p −1. Следовательно sp+r=a получит всевозможные целые значения.
Покажем, что это представление единственно. Предположим, что p можно представить двумя способами a=sp+r и a=s 1 p +r 1 . Тогда
 |
 | (2) |
Так как r 1 принимает один из чисел 0,1, ..., p −1, то абсолютное значение r 1 −r меньше p . Но из (2) следует, что r 1 −r кратно p . Следовательно r 1 =r и s 1 =s .
Число r называется вычетом числа a по модулю p (другими словами, число r называется остатком от деления числа a на p ).
Утверждение 2. Если два числа a и b сравнимы по модулю p , то a−b делится на p .
Действительно. Если два числа a и b сравнимы по модулю p , то они при делении на p имеют один и тот же остаток p . Тогда
делится на p , т.к. правая часть уравнения (3) делится на p .
Утверждение 3. Если разность двух чисел делится на p , то эти числа сравнимы по модулю p .
Доказательство. Обозначим через r и r 1 остатки от деления a и b на p . Тогда
 |
Примеры 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).
Из первого примера следует, что 25 при делении на 7 дает тот же остаток, что и 39. Действительно 25=3·7+4 (остаток 4). 39=3·7+4 (остаток 4). При рассмотрении второго примера нужно учитывать, что остаток должен быть неотрицательным числом, меньшим, чем модуль (т.е. 4). Тогда можно записать: −18=−5·4+2 (остаток 2), 14=3·4+2 (остаток 2). Следовательно −18 при делении на 4 дает остаток 2, и 14 при делении на 4 дает остаток 2.
Свойства сравнений по модулю
Свойство 1. Для любого a и p всегда
не всегда следует сравнение
где λ это наибольший общий делитель чисел m и p .
Доказательство. Пусть λ наибольший общий делитель чисел m и p . Тогда
Так как m(a−b) делится на k , то
Следовательно
и m является один из делителей числа p , то
где h=pqs.
Заметим, что можно допустить сравнения по отрицательным модулям, т.е. сравнение a≡b mod (p ) означает и в этом случае, что разность a−b делится на p . Все свойства сравнений остаются в силе и для отрицательных модулей.