Вывод о симметричности графиков функций y=ax 2 и y=-ax2 (при ≠0) относительно оси абсцисс отдельно выделен на слайде 12 для запоминания и наглядно отображен на соответствующем графике. Далее понятие о графике квадратичной функции y=x 2 распространяется на более общий случай функции y=ax 2 , утверждая, что такой график также будет называться параболой.
На слайде 14 рассматриваются свойства квадратичной функции y=ax 2 при положительном. Отмечается, что ее график проходит через начало координат, а все точки, кроме, лежат в верхней полуплоскости. Отмечена симметричность графика относительно оси ординат, уточняя, что противоположным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции. Указано, что промежуток убывания данной функции (-∞;0], а возрастание функции выполняется на промежутке. Значения данной функции охватывают всю положительную часть действительной оси, нулю она равна в точке, а наибольшего значения не имеет.
На слайде 15 описываются свойства функции y=ax 2 , если отрицательный. Отмечается, что ее график также проходит через начало координат, но все его точки, кроме, лежат в нижней полуплоскости. Отмечена симметричность графика относительно оси, и противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. Возрастает функция на промежутке, убывает на. Значения данной функции лежат в промежутке, нулю она равна в точке, а наименьшего значения не имеет.
Обобщая рассмотренные характеристики, на слайде 16 выводится, что ветви параболы направлены вниз при, а вверх - при. Парабола симметрична относительно оси, а вершина параболы располагается в точке ее пересечения с осью. У параболы y=ax 2 вершина - начало координат.
Также важный вывод о преобразованиях параболы отображается на слайде 17. На нем представлены варианты преобразований графика квадратичной функции. Отмечено, что график функции y=ax 2 преобразуется симметричным отображением графика относительно оси. Также возможно сжатие или растяжение графика относительно оси.
На последнем слайде делаются обобщающие выводы о преобразованиях графика функции. Представлены выводы о том, что график функции получается симметрическим преобразованием относительно оси. А график функции получается из сжатием или растяжением исходного графика от оси. При этом растяжение от оси в раз наблюдается в случае, когда. Сжатием к оси в 1/a раз график образуется в случае.
Презентация «Функция y=ax 2 , ее график и свойства» может быть использована учителем в качестве наглядного пособия на уроке алгебры. Также данное пособие хорошо раскрывает тему, давая углубленное понимание предмета, поэтому может быть предложена для самостоятельного изучения учениками. Также данный материал поможет учителю дать объяснение в ходе дистанционного обучения.
Конспект урока по алгебре. 9 класс
Тема урока:
«Функция y=ax
2
, ее график и свойства»
Цель урока:
организовать деятельность учащихся по формированию умений построения графика функции y=ax² с помощью преобразований, изучению свойств функции y=ax² и применению их к решению задач.
Задачи урока:
Образовательная:
создать условия для формирования и закрепления навыков построения и чтения графика функции
y=аx
2
.
Развивающая:
создать условия для развития умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание.
Воспитательная:
создать условия для развития познавательного интереса,
способствовать развитию интеллектуальных способностей.
УУД:
Познавательные:
Регулятивные:
уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;
проговаривать последовательность действий на уроке;
работать по составленному плану;
планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей;
высказывать свое предположение.
Коммуникативные:
уметь выражать свои мысли в устной форме;
слушать и понимать речь других.
Личностные:
Тип урока:
урок «открытия» нового знания.
1. организационный
Цель:
Подготовка учащегося к работе.
Методы:
Словесные
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
Примечание
Здравствуйте!
Все знаете телевизионную игру на канале ТНТ «Где логика?»
ведущий
Поиграем.
Что общего?
Рис.1
Рис.2
Приветствуют учителя.
Ответ: Россия
Ответ: молоко
2. Актуализация знаний:
Цель:
Обеспечение мотивации к познавательной деятельности и подготовка к усвоению нового материала.
Методы:
словесные, наглядные.
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
Примечание
Ребята, попытайтесь изобразить траекторию движения снаряда, выпущенного и орудия, ствол которого направлен под углом 45 градусов к горизонту.
Посмотрите на картинку
Что общего можно заметить в них?
А что эти линии вам напоминают?
Вспомните, как они называются?
Графиком какой функции является парабола?
А какой формулой она задается?
Сегодня на уроке мы продолжим изучение квадратичной функции, рассмотренной в курсе 8 класса. И, чтобы узнать, как звучит тема нашего урока, посмотрите на следующие примеры функций. Что в них общего и чем они различаются?
Значит, мы будем рассматривать функции, которые отличаются от функции y=x
2
на коэффициент перед x
2
. Обозначим этот коэффициент буквой а. Итак, какой формулой тогда будут заданы такие функции?
Тема нашего урока:
Какие цели поставим перед собой?
Сегодня на уроке мы выясним, как выглядят графики функций вида y=аx
2
, узнаем их особенности и рассмотрим их свойства.
Каждый делает рисунок в тетради и сравнивает его с рисунком на доске или слайде.
Похожие формы линий
Параболы
Квадратичной
y=x
2
Везде есть переменная x
2
, но перед x
2
стоят разные числа
y=аx
2
Записывают тему урока
Узнать, как строится график функции y=аx
2
, выяснить свойства функции
у;.
Тема урока:
«Функция y=ax
2
, ее график и свойства»
3. Постановка учебной задачи.
Цель:
Постановка учебной задачи путем использования ранее выработанных навыков применительно к новой ситуации
Методы:
словесные, наглядные.
Одной из важных функций является квадратичная функция.
Квадратичной называется функция вида у=
аx
2
+bx+c, где х - независимая переменная, a, b, c - некоторые числа, а не равно 0. Изучение квадратичной функции начнем с частного случая - функции y=аx
2
, (это случай, когда коэффициенты b и c квадратичной функции равны 0).
При а=1, функция примет вид y=x
2
,которую мы уже изучали в прошлом году. Как мы знаем, ее графиком является парабола.
Для того, чтобы выяснить свойства и особенности графиков функции y=аx
2
в зависимости от коэффициента а, рассмотрим следующие примеры.
Слушают учителя
Функция
y=аx
2
-частный случай квадратичной функции у=
аx
2
+bx+c.
4. «Открытие» нового знания.
Цель:
Отработка алгоритма построения графика функции
y=ax
2
.
Методы:
Словесные, объяснительно-иллюстративные.
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
Примечание
Рассмотрим графики функций
y=x
2
,
y=2x
2
,
y=1/2x
2
и исследуем их свойства.
Для этого построим в одной системе координат их графики.
Внимательно посмотрим на значения всех трех функций в таблице и на построенные графики функций. Что в них общего? В чем отличия?
Давайте попробуем сформулировать выводы и свойства функции
y=аx
2
. Причем, отметим, что коэффициент а>0.
Но сначала на следующем рисунке посмотрим, как параболы с коэффициентом
а>1
расположены по одну сторону от графика функции
у=
x
2
, а параболы с коэффициентом 0<а<1 - по другую.
Вывод:
График функции у=a
x
2
2
растяжением его от оси Ох в a раз, если а>1.
Вывод:
График функции у=a
x
2
можно получить из графика функции у=x
2
сжатием его к оси Ох в 1/a раз, если 0<а<1.
Свойства функции
у=a
x
2
, если коэффициент а> 0.
Теперь построим в одной системе координат графики функций
y= - 1/2x
2
и
y=1/2x
2
.
Что заметили общего и чем параболы отличаются?
График функции у=-1/2х
2
симметричен графику функции у=1/2х
2
относительно оси Ох.
вывод:
График функции у=ах
2
(а<0) симметричен графику функции у=ах
2
(а>0) относительно оси Ох.
можем сделать вывод, что в зависимости от знака коэффициента а зависит направление ветвей параболы. Если а>0, то ветви параболы направлены вверх, а если а<0, то ветви параболы направлены вниз.
Итак, мы рассмотрели особенности и свойства графиков
функции y=аx
2
в зависимости от коэффициента а.
Ученики строят в тетради графики по значениям из таблицы в учебнике в одной системе координат и подписывает каждую параболу. Параллельно ученики комментируют свои действия.
Все три параболы проходят через точку с координатами (0; 0), расположены вверх от оси Ох. Все значения функции
y=2x
2
в 2 раза больше, чем у функции
y=x
2
, а все значения функции
y=1/2x
2
в 2 раза меньше, чем у функции
y=x
2
).
Записывают в таблицу
Читают в учебнике
Выполняют построение.
Обе функции проходят через начало координат, параболы имеют одинаковую форму, но расположены по разные стороны относительно оси Ох
Записывают в тетрадь
Ученики слушают объяснения свойств функции
у=a
x
2
и отвечают на вопросы учителя
Прием технологии развития критического мышления
Сводная таблица
y=аx
2
а>
1
y=аx
2
Выполняют тест
8. Домашнее задание.
Цель:
Обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.
Методы: Объяснение.
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
Примечание
Для закрепления темы в качестве домашнего задания следующее:
1. Запомнить записи в тетради.
2. Выполнить упражнение № 95 из учебника.
Записывают домашнее задание
9. Рефлексия
Цель:
Подведение итогов урока, анализ и оценка деятельности.
Деятельность учителя
Деятельность учащегося
Примечание
Составим синквейн
(метод развития критического мышления)
Составляют и озвучивают
синквейн
Функция у=a
x
2
Квадратичная, симметричная, практичная
Возрастает, убывает, принимает
Частный случай
у=
аx
2
+bx+c.
Парабола.
Презентация и урок на тему:
"График функции $y=ax^2+bx+c$. Свойства"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Пособие к учебнику Дорофеева Г.В.
Пособие к учебнику Никольского С.М.
Ребята, на последних уроках мы строили большое количество графиков, в том числе много парабол. Сегодня мы обобщим полученные знания и научимся строить графики этой функции в самом общем виде.
Давайте рассмотрим квадратный трехчлен $a*x^2+b*x+c$. $а, b, c$ называются коэффициентами. Они могут быть любыми числами, но $а≠0$. $a*x^2$ называется старшим членом, $а$ – старшим коэффициентом. Стоит заметить, что коэффициенты $b$ и $c$ могут быть равными нулю, то есть трехчлен будет состоять из двух членов, а третий равен нулю.
Давайте рассмотрим функцию $y=a*x^2+b*x+c$. Это функция называется "квадратичной", потому что старшая степень вторая, то есть квадрат. Коэффициенты такие же, как определено выше.
На прошлом уроке в последнем примере, мы разобрали построение графика схожей функции.
Давайте докажем, что любую такую квадратичную функцию можно свести к виду: $y=a(x+l)^2+m$.
График такой функции строится с использованием дополнительной системы координат.
В большой математике, числа встречаются довольно редко. Практически любую задачу требуется доказать в самом общем случае. Сегодня мы разберем одно из таких доказательств. Ребята, вы сможете, увидеть всю силу математического аппарата, но так же и его сложность.
Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac{b}{a}*x)+c=$
$=a(x^2+2\frac{b}{2a}*x+\frac{b^2}{4a})-\frac{b^2}{4a}+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$.
Мы получили, то что хотели.
Любую квадратичную функцию можно представить в виде:
$y=a(x+l)^2+m$, где $l=\frac{b}{2a}$, $m=\frac{4ac-b^2}{4a}$.
Для построения графика $y=a(x+l)^2+m$ нужно построить график функции $y=ax^2$. Причем вершина параболы будет находиться в точке с координатами $(-l;m)$.
Итак, наша функция $y=a*x^2+b*x+c$ - парабола.
Осью параболы будет являться прямая $x=-\frac{b}{2a}$, причем координаты вершины параболы по оси абсцисс, как мы можем заметить, вычисляется формулой: $x_{в}=-\frac{b}{2a}$.
Для вычисления координаты вершины параболы по оси ординат, вы можете:
- воспользоваться формулой: $y_{в}=\frac{4ac-b^2}{4a}$,
- напрямую подставить в исходную функцию координату вершины по $х$: $y_{в}=ax_{в}^2+b*x_{в}+c$.
Как вычислять ординату вершины? Опять же выбор за вами, но обычно вторым способом посчитать будет проще.
Если требуется описать какие-то свойства или ответить на какие-то определенные вопросы, не всегда нужно строить график функции. Основные вопросы, на которые можно ответить без построения, рассмотрим в следующем примере.Пример 1.
Без построения графика функции $y=4x^2-6x-3$ ответьте на следующие вопросы:
Решение.
а) Осью параболы служит прямая $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2*4}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
б) Абсциссу вершины мы нашли выше $x_{в}=\frac{3}{4}$.
Ординату вершины найдем непосредственной подстановкой в исходную функцию:
$y_{в}=4*(\frac{3}{4})^2-6*\frac{3}{4}-3=\frac{9}{4}-\frac{18}{4}-\frac{12}{4}=-\frac{21}{4}$.
в) График, требуемой функции, получится параллельным переносом графика $y=4x^2$. Его ветви смотрят вверх, а значит и ветви параболы исходной функции также будет смотреть вверх.
Вообще, если коэффициент $а>0$, то ветви смотрят вверх, если коэффициент $a
Пример 2.
Построить график функции: $y=2x^2+4x-6$.
Решение.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_{в}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{4}=-1$.
$y_{в}=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Отметим координату вершины на оси координат. В этой точке, как будто в новой системе координат построим параболу $y=2x^2$.
Существует множество способов, упрощающих построение графиков параболы.
- Мы можем найти две симметричные точки, вычислить значение функции в этих точках, отметить их на координатной плоскости и соединить их с вершиной кривой, описывающей параболу.
- Мы можем построить ветвь параболы правее или левее вершины и потом ее отразить.
- Мы можем строить по точкам.
Пример 3.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=-x^2+6x+4$
на отрезке $[-1;6]$.
Решение.
Построим график данной функции, выделим требуемый промежуток и найдем самую нижнюю и самую высокую точки нашего графика.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_{в}=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{-2}=3$.
$y_{в}=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
В точке с координатами $(3;13)$ построим параболу $y=-x^2$.
Выделим требуемый промежуток.
Самая нижняя точка имеет координату -3, самая высокая точка - координату 13.
$y_{наим}=-3$; $y_{наиб}=13$.
Задачи для самостоятельного решения
1. Без построения графика функции $y=-3x^2+12x-4$ ответьте на следующие вопросы:
а) Укажите прямую, служащую осью параболы.
б) Найдите координаты вершины.
в) Куда смотрит парабола (вверх или вниз)?
2. Построить график функции: $y=2x^2-6x+2$.
3. Построить график функции: $y=-x^2+8x-4$.
4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=x^2+4x-3$ на отрезке $[-5;2]$.
Урок по теме «Функция y=ax^2, ее график и свойства» изучается в курсе алгебры 9 класса в системе уроков по теме «Функции». Данный урок требует тщательной подготовки. А именно, таких методов и средств обучения, которые дадут поистине хорошие результаты.
Автор данного видеоурока позаботился о том, чтобы помочь учителям при подготовке к урокам по этой теме. Он разработал видеоурок с учетом всех требований. Материал подобран по возрасту школьников. Он не перегружен, но достаточно емок. Автор подробно рассказывает материал, останавливаясь на более важных моментах. Каждый теоретический пункт сопровождается примером, чтобы восприятие учебного материала было гораздо эффективнее и качественнее.
Урок может быть использован учителем на обычном уроке алгебры в 9 классе в качестве определенного этапа урока - объяснение нового материала. Учителю не придется в этот период ничего говорить или рассказывать. Ему достаточно включить этот видеоурок и следить за тем, чтобы обучающиеся внимательно слушали и записывали важные моменты.
Урок может использоваться и школьниками при самостоятельной подготовке к уроку, а также для самообразования.
Длительность урока составляет 8:17 минут. В начале урока автор замечает, что одной из важных функций является квадратичная функция. Затем вводится квадратичная функция с математической точки зрения. Дается ее определение с пояснениями.
Далее автор знакомит обучающихся с областью определения квадратичной функции. На экране появляется правильная математическая запись. После этого автор рассматривает пример квадратичной функции на реальной ситуации: за основу взята физическая задача, где показано, как зависит путь от времени при равноускоренном движении.
После этого автор рассматривает функцию y=3x^2. На экране появляется построение таблицы значений этой функции и функции y=x^2. Согласно данным этих таблиц строятся графики функций. Здесь же в рамке появляется пояснение, как получается график функции y=3x^2 из y=x^2.
Рассмотрев два частных случая, примера функции y=ax^2, автор приходит к правилу, как получается график этой функции из графика y=x^2.
Далее рассматривается функция y=ax^2, где a<0. И, подобно тому, как строились графики функций до этого, автор предлагает построить график функции y=-1/3 x^2. При этом он строит таблицу значений, строит графики функций y=-1/3 x^2 и, замечая при этом закономерность расположения графиков между собой.
Затем из свойств выводятся следствия. Их четыре. Среди них появляется новое понятие - вершины параболы. Далее следует замечание, где говорится, какие преобразования возможны для графика данной функции. После этого говорится о том, как получается график функции y=-f(x) из графика функции y=f(x), а также y=af(x) из y=f(x).
На этом урок, содержащий учебный материал заканчивается. Остается его закрепить, подобрав соответствующие задания в зависимости от способностей обучающихся.