"Что такое аппроксимация?" – один из нередко задаваемых в сети интернет вопросов. Жаждущие получить ответ, обычно хотят его иметь в форме: точной, всеобъемлющей и короткой. О содержательности ответа как-то забывают.
Если спросить: "Что такое музыка?", то я, как дилетант, скажу, что музыка – это то, что приятно слушать. А профессионал возможно будет поставлен в тупик таким "простым" вопросом. Однако, ближе к теме.
Аппроксимация – это приближение. Приближение чего-то к чему-то с той или иной точностью. Более пространно: аппроксимация, как процесс, – это построение объекта, с той или иной точностью воспроизводящего те или иные свойства исходного, т.е. аппроксимируемого, объекта. Причем, построение объекта в том или ином отношении более удобного, чем исходный объект.
У аппроксимации может быть множество направлений и приложений. Я могу кратко рассказать о той аппроксимации, которой занимался десятки лет. Более всего, это относилось к процессам топливоиспользования на ТЭС. Десятки, а порой и сотни, разных графиков и таблиц, характеризующих работу энергетического оборудования, приходилось переводить в форму аппроксимирующих уравнений или формул. То есть, одни математические объекты – графики и таблицы – воспроизводились другими математическими объектами – аппроксимирующими формулами. После чего формулы заводились на ЭВМ или персональный компьютер, и по ним можно было получить все нужные выходные данные, не водя пальцем по исходным графикам или делая какие-то грубые оценки по таблицам.
Кроме этого, мне, как программисту (или алгоритмисту), приходилось создавать довольно сложные программы – модели, описывающие технологический процесс. Порой эти программы были весьма неудобны для обычного пользователя. Но полученные расчетным путем данные вполне удавалось воспроизвести достаточно точной и простой в обращении аппроксимирующей формулой.
Вы можете в Excel построить график и щелкнуть по нему правой кнопкой мыши. Появится запрос: Вставить линию тренда. Там же можно будет разместить на графике и уравнение тренда. Это и будет примером аппроксимирующей формулы. На нашем сайте вы также можете найти десятки примеров аппроксимации.
Но чтобы получить более или менее содержательное представление, скажем, о пилке дров, надо сначала обрести хотя бы какие-то навыки владения пилой. Тоже самое и с аппроксимацией.
P.S. Решил посмотреть как интерпретируется слово "аппроксимация" в сети интернет. Более других мне понравилась интерпретация в Большом Энциклопедическом Словаре (БЭС):
"АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximo - приближаюсь), замена одних математических объектов (напр., чисел или функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным (напр., кривых линий близкими к ним ломаными)".
Только "замена" – это, в моем понимании, нечто вторичное. А первичное – "приближение". Я, например, порой строил десятки аппроксимирующих формул, добиваясь наилучшего приближения к исходной таблице данных. А собственно "замена" в основном касалась замены одной аппроксимирующей формулы на другую, более удачную. Впрочем, пользователь уже мог использовать мою аппроксимирующую формулы "взамен" исходной таблицы.
В Большой Советской Энциклопедии (БСЭ) находим более развернутое определение:
"Аппроксимация (от лат. approximo - приближаюсь), замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии и топологии рассматриваются аппроксимации кривых, поверхностей, пространств и отображений. Некоторые разделы математики целиком посвящены аппроксимации; например, приближение и интерполирование функций, численные методы анализа. Роль аппроксимации в математике непрерывно возрастает. В настоящее время аппроксимация может рассматриваться как одно из основных понятий математики". С. Б. Стечкин.
Осталось только поинтересоваться что означают "диофантовы приближения" и прочие специальные термины и все станет окончательно понятно.
В Википедии (свободной энциклопедии) очень короткое определение:
"Аппроксимация, или приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми".
Позволю себе заметить, что "приближение" – это не есть "замена" или это "замена" в каком-то очень узком и специальном смысле, например в смысле "использование вместо".
В словаре бизнес-терминов находим весьма расплывчатое, на мой взгляд, определение:
"Аппроксимация – приближенное решение сложной функции с помощью более простых, что резко ускоряет и упрощает решение задач. В экономике целью аппроксимации часто является укрупнение характеристик моделируемых экономических объектов".
В философской энциклопедии:
"АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximare - приближаться) - метод сознательного упрощения "слишком точного" теоретического знания с целью привести его в соответствие с потребностями и возможностями практики. Например, использование числа "пи" с точностью до пятого знака после запятой достаточно для решения поставленной практической задачи. Аппроксимация первоначально использовалась в математике и затем распространилась на все науки. Аппроксимация противоположна идеализации". Г. Д. Левин.
В научной диалектике есть положение: "Истина всегда конкретна". Так и с аппроксимацией – нет аппроксимации "вообще". Ее содержательная часть – в конкретных приложениях и в конкретных областях. Я, например, занимался аппроксимацией графиков и табличных данных посредством подбора подходящих для этого формул с использованием метода наименьших квадратов, встроенного в электронные таблицы Quattro Pro и Excel. А способов подбора – десятки, и это уже не только наука, но и искусство. Ваш, Протасов Н.Г.
P.P.S. Вот еще информация, дополняющая в достаточно простой и понятной форме тему аппроксимации. Эта информация находится по адресу http://univer-nn.ru/ , а здесь я привожу ее в несколько сокращенном виде:
Задача аппроксимации (задача о приближении)
Пусть y = f(x) является функцией аргумента х. Нередко эта зависимость задается в табличном виде. В контрольных по математике на аппроксимацию также часто требуется найти некоторую аналитическую функцию, которая приближенно описывает заданную табличную зависимость. Кроме того, требуется определить значения функции в других точках, отличных от заданных табличных значений. Этой цели служит задача о приближении (аппроксимации). В этом случае находят некоторую функцию f(х), такую, чтобы отклонения ее от заданной табличной функции было наименьшим. Функция f(х) называется аппроксимирующей.
Вид аппроксимирующей функции существенным образом зависит от исходной табличной функции. В разных случаях функцию f(х) выбирают в виде экспоненциальной, логарифмической, степенной, синусоидальной и т.д. В каждом конкретном случае выбирают таким образом, чтобы достичь максимальной близости аппроксимирующей и табличной функций. Чаще всего, однако, функцию представляют в виде полинома по степеням х:
f(x) = ao + a1x + a2x2 + ... + anxn
Коэффициенты aj подбираются таким образом, чтобы достичь наименьшего отклонения полинома от заданной функции.
Таким образом, аппроксимация – замена одной функции другой, близкой к первой и достаточно просто вычисляемой".
Лично я редко пользуюсь полиномами в их классическом виде, как и другими стандартными представлениями, указанными в статье. Однако это уже нюансы технологии построения аппроксимирующих формул.
Еще раз – с пожеланиями успехов!
Аппроксимацией (приближением) функции называется нахождение такой функции (аппроксимирующей функции ) , которая была бы близка заданной. Критерии близости функций и могут быть различные.
Основная задача аппроксимации - построение приближенной (аппроксимирующей) функции, в целом наиболее близко проходящей около данных точек или около данной непрерывной функции. Такая задача возникает при наличии погрешности в исходных данных (в этом случае нецелесообразно проводить функцию точно через все точки, как в интерполяций) или при желании получить упрощенное математическое описание сложной или неизвестной зависимости.
Рис. 3.6 Метод Лагранжа
Концепция аппроксимации
Близость исходной и аппроксимирующей функций определяется числовой мерой
- критерием аппроксимации (близости). Наибольшее распространение получил квадратичный критерий, равный сумме квадратов отклонений расчетных значений от "экспериментальных" (т.е. заданных), - критерий близости в заданных точках:
Здесь у i - заданные табличные значения функции; у i расч - расчетные значения по аппроксимирующей функции; b i - весовые коэффициенты, учитывающие относительную важность i -и точки (увеличение b ,. приводит при стремлении уменьшить R к уменьшению, прежде всего отклонения в i - й точке, так как это отклонение искусственно увеличено за счет относительно большого значения весового коэффициента).
Квадратичный критерий обладает рядом "хороших" свойств, таких, как дифференцируемость, обеспечение единственного решения задачи аппроксимации при полиномиальных аппроксимирующих функциях.
Другим распространенным критерием близости является следующий:
Этот критерий менее распространен в связи с аналитическими и вычислительными трудностями, связанными с отсутствием гладкости функции и ее дифференцируемости.
Выделяют две основные задачи:
1) получение аппроксимирующей функции, описывающей имеющиеся данные, с погрешностью не хуже заданной;
2) получение аппроксимирующей функции заданной структуры с наилучшей возможной погрешностью.
Чаще всего первая задача сводится ко второй перебором различных аппроксимирующих функций и последующим выбором наилучшей.
Метод наименьших квадратов
Метод базируется на применении в качестве критерия близости суммы квадратов отклонений заданных и расчетных значений. При заданной структуре аппроксимирующей функции у i расч (х) необходимо таким образом подобрать параметры этой функции, чтобы получить наименьшее значение критерия близости, т.е. наилучшую аппроксимацию. Рассмотрим путь нахождения этих параметров на примере полиномиальной функции одной переменной:
Запишем выражение критерия аппроксимации при b i =1 (i =1, 2,…, n ) для полиномиального у i расч (х):
Искомые переменные а j можно найти из необходимого условия минимума R по этим переменным, т.е. dR / d а р = 0 (для р =0, 1,2,…,k). Продифференцируем по а р (р - текущий индекс):
После очевидных преобразований (сокращение на два, раскрытие скобок, изменение порядка суммирования) получим
Перепишем последние равенства
Получилась система n +1 уравнений с таким же количеством неизвестных а j , причем линейная относительно этих переменных. Эта система называется системой нормальных уравнений. Из ее решения находятся параметры а j аппроксимирующей функции, обеспечивающие minR , т.е. наилучшее возможное квадратичное приближение. Зная коэффициенты, можно (если нужно) вычислить и величину R (например, для сравнения различных аппроксимирующих функций). Следует помнить, что при изменении даже одного значения исходных данных (или пары значений х i , у i , или одного из них) все коэффициенты изменят в общем случае свои значения, так как они полностью определяются исходными данными. Поэтому при повторении аппроксимации с несколько изменившимися данными (например, вследствие погрешностей измерения, помех, влияния неучтенных факторов и т.п.) получится другая аппроксимирующая функция, отличающаяся коэффициентами. Обратим внимание на то, что коэффициенты а j полинома находятся из решения системы уравнений, т.е. они связаны между собой. Это приводит к тому, что если какой-то коэффициент вследствие его малости захочется отбросить, придется пересчитывать заново оставшиеся. Можно рассчитать количественные оценки тесноты связи коэффициентов. Существует специальная теория планирования экспериментов, которая
позволяет обосновать и рассчитать значения х i , используемые для аппроксимации, чтобы получить заданные свойства коэффициентов (несвязанность, минимальная дисперсия коэффициентов и т.д.) или аппроксимирующей функции (равная точность описания реальной зависимости в различных направлениях, минимальная дисперсия предсказания значения функции и т.д.).
Рис. 3.7 Влияние степени аппроксимирующего полинома М на точность аппроксимации
В случае постановки другой задачи - найти аппроксимирующую функцию, обеспечивающую погрешность не хуже заданной, - необходимо подбирать и структуру этой функции. Эта задача значительно сложнее предыдущей (найти параметры аппроксимирующей функции заданной структуры, обеспечивающей наилучшую возможную погрешность) и решается в основном путем перебора различных функций и сравнения получающихся мер близости. Для примера на рис. 3.7 приведены для визуального сравнения исходная и аппроксимирующие функции с различной степенью полинома, т.е. функции с различной структурой. Не следует забывать, что с повышением точности аппроксимации растет и сложность функции (при полиномиальных аппроксимирующих функциях), что делает ее менее удобной при использовании.
Рассмотрим решение задачи аппроксимации и интерполяции с шумом в
программе MathCAD (рисунок 3.8).
Пример 3.1.
В ходе проведения эксперимента были получены данные, представленные в таблице 3.1. Необходимо способом наименьших квадратов подобрать для заданных значений x
и y
квадратичную функцию 
. Построить на одной координатной плоскости экспериментальные данные и аппроксимирующую функцию.
Таблица 3.1 Данные эксперимента
Решение. Для определения коэффициентов квадратичной функции построим дополнительную таблицу 3.2.
Таблица 3.2 Дополнительная таблица
Строим систему уравнений
В нашем случае она будет иметь вид:
Из полученной системы уравнений находим
Искомая зависимость
Строим график экспериментальных данных и найденной зависимости.
Рис.3.8 Аппроксимация и интерполяция в задаче с помехами
Если требуется построить зависимость в виде показательной функции , то необходимо составить систему:
(3.7)
Для этого строится таблица
Аппроксимация опытных данных – это метод, основанный на замене экспериментально полученных данных аналитической функцией наиболее близко проходящей или совпадающей в узловых точках с исходными значениями (данными полученными в ходе опыта или эксперимента). В настоящее время существует два способа определения аналитической функции:
С помощью построения интерполяционного многочлена n-степени, который проходит непосредственно через все точки заданного массива данных. В данном случае аппроксимирующая функция представляется в виде: интерполяционного многочлена в форме Лагранжа или интерполяционного многочлена в форме Ньютона.
С помощью построения аппроксимирующего многочлена n-степени, который проходит в ближайшей близости от точек из заданного массива данных. Таким образом, аппроксимирующая функция сглаживает все случайные помехи (или погрешности), которые могут возникать при выполнении эксперимента: измеряемые значения в ходе опыта зависят от случайных факторов, которые колеблются по своим собственным случайным законам (погрешности измерений или приборов, неточность или ошибки опыта). В данном случае аппроксимирующая функция определяется по методу наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов (в англоязычной литературе Ordinary Least Squares, OLS) - математический метод, основанный на определении аппроксимирующей функции, которая строится в ближайшей близости от точек из заданного массива экспериментальных данных. Близость исходной и аппроксимирующей функции F(x) определяется числовой мерой, а именно: сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от аппроксимирующей кривой F(x) должна быть наименьшей.
Аппроксимирующая кривая, построенная по методу наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов используется:
Для решения переопределенных систем уравнений, когда количество уравнений превышает количество неизвестных;
Для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений;
Для аппроксимации точечных значений некоторой аппроксимирующей функцией.
Аппроксимирующая функция по методу наименьших квадратов определяется из условия минимума суммы квадратов отклонений расчетной аппроксимирующей функции от заданного массива экспериментальных данных. Данный критерий метода наименьших квадратов записывается в виде следующего выражения:
Значения расчетной аппроксимирующей функции в узловых точках ,
Заданный массив экспериментальных данных в узловых точках .
Квадратичный критерий обладает рядом "хороших" свойств, таких, как дифференцируемость, обеспечение единственного решения задачи аппроксимации при полиномиальных аппроксимирующих функциях.
В зависимости от условий задачи аппроксимирующая функция представляет собой многочлен степени m
Степень аппроксимирующей функции не зависит от числа узловых точек, но ее размерность должна быть всегда меньше размерности (количества точек) заданного массива экспериментальных данных.
∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=1, то мы аппроксимируем табличную функцию прямой линией (линейная регрессия).
∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=2, то мы аппроксимируем табличную функцию квадратичной параболой (квадратичная аппроксимация).
∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=3, то мы аппроксимируем табличную функцию кубической параболой (кубическая аппроксимация).
В общем случае, когда требуется построить аппроксимирующий многочлен степени m для заданных табличных значений, условие минимума суммы квадратов отклонений по всем узловым точкам переписывается в следующем виде:
- неизвестные коэффициенты аппроксимирующего многочлена степени m;
Количество заданных табличных значений.
Необходимым условием существования минимума функции является равенству нулю ее частных производных по неизвестным переменным . В результате получим следующую систему уравнений:
Преобразуем полученную линейную систему уравнений: раскроем скобки и перенесем свободные слагаемые в правую часть выражения. В результате полученная система линейных алгебраических выражений будет записываться в следующем виде:
Данная система линейных алгебраических выражений может быть переписана в матричном виде:
В результате была получена система линейных уравнений размерностью m+1, которая состоит из m+1 неизвестных. Данная система может быть решена с помощью любого метода решения линейных алгебраических уравнений (например, методом Гаусса). В результате решения будут найдены неизвестные параметры аппроксимирующей функции, обеспечивающие минимальную сумму квадратов отклонений аппроксимирующей функции от исходных данных, т.е. наилучшее возможное квадратичное приближение. Следует помнить, что при изменении даже одного значения исходных данных все коэффициенты изменят свои значения, так как они полностью определяются исходными данными.
Аппроксимация исходных данных линейной зависимостью
(линейная регрессия)
В качестве примера, рассмотрим методику определения аппроксимирующей функции, которая задана в виде линейной зависимости. В соответствии с методом наименьших квадратов условие минимума суммы квадратов отклонений записывается в следующем виде:
Координаты узловых точек таблицы;
Неизвестные коэффициенты аппроксимирующей функции, которая задана в виде линейной зависимости.
Необходимым условием существования минимума функции является равенству нулю ее частных производных по неизвестным переменным. В результате получаем следующую систему уравнений:
Преобразуем полученную линейную систему уравнений.
Решаем полученную систему линейных уравнений. Коэффициенты аппроксимирующей функции в аналитическом виде определяются следующим образом (метод Крамера):
Данные коэффициенты обеспечивают построение линейной аппроксимирующей функции в соответствии с критерием минимизации суммы квадратов аппроксимирующей функции от заданных табличных значений (экспериментальные данные).
Алгоритм реализации метода наименьших квадратов
1. Начальные данные:
Задан массив экспериментальных данных с количеством измерений N
Задана степень аппроксимирующего многочлена (m)
2. Алгоритм вычисления:
2.1. Определяются коэффициенты для построения системы уравнений размерностью
Коэффициенты системы уравнений (левая часть уравнения)
- индекс номера столбца квадратной матрицы системы уравнений
Свободные члены системы линейных уравнений (правая часть уравнения)
- индекс номера строки квадратной матрицы системы уравнений
2.2. Формирование системы линейных уравнений размерностью .
2.3. Решение системы линейных уравнений с целью определения неизвестных коэффициентов аппроксимирующего многочлена степени m.
2.4.Определение суммы квадратов отклонений аппроксимирующего многочлена от исходных значений по всем узловым точкам
Найденное значение суммы квадратов отклонений является минимально-возможным.
Аппроксимация с помощью других функций
Следует отметить, что при аппроксимации исходных данных в соответствии с методом наименьших квадратов в качестве аппроксимирующей функции иногда используют логарифмическую функцию, экспоненциальную функцию и степенную функцию.
Логарифмическая аппроксимация
Рассмотрим случай, когда аппроксимирующая функция задана логарифмической функцией вида:
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Введение
Аппроксимация (от латинского "approximate" -"приближаться")- приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов.
Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом. При изучении количественных зависимостей различных показателей, значения которых определяются эмпирически, как правило, имеется некоторая их вариабельность. Частично она задается неоднородностью самих изучаемых объектов неживой и, особенно, живой природы, частично обуславливается погрешностью наблюдения и количественной обработке материалов. Последнюю составляющую не всегда удается исключить полностью, можно лишь минимизировать ее тщательным выбором адекватного метода исследования и аккуратностью работы. Поэтому при выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей, этой или иной степени замаскированных неучтенностью вариабельности значений. Для этого и применяется аппроксимация - приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости (или ее "тренд").
При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. аппроксимация алгебраический интерполяционный полином
Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, много параметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных. Гораздо важнее уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции. Таким образом, выбирая метод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае целесообразно и уместно "пожертвовать" деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных. Наряду с выявлением закономерностей, замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важных задач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо, экстраполяции.
1. Теоретическое описание задачи
Получить аналитическое описание графически заданных зависимостей концентрации дырок р-типа от температуры в образцах кремния с примесью бора (график 1 и 2) методами Лагранжа, Ньютона, Форсайта и сравнить точности каждого из методов при решении данной задачи.
Исходные данные для выполнения курсовой работы:
Рис.1. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора.
2. Теоретическое описание методов решения
Аппроксимацией (приближением) функции f(X) называется нахождение такой функции g(X) (аппроксимирующей функции ) , которая была бы близка заданной. Критерии близости функций f(X) и g(X) могут быть различные.
В том случае, когда приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной. В том случае, когда аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной . Примером такой аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, то есть замена некоторой функции степенным многочленом.
Наиболее часто встречающим видом точечной аппроксимации является интерполяция (в широком смысле).
Пусть задан дискретный набор точек X i (i=0,1,…,n), называемых узлами интерполяции , причем среди этих точек нет совпадающих, а также значения функции Y(X) в этих точках. Требуется построить функцию g(X), проходящую через все заданные узлы. Таким образом, критерием близости функции является g(X i)=y i . В качестве функции g(X) обычно выбирается полином, который называют интерполяционным полиномом .
В том случае, когда полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная . В тех случаях, когда между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции .
Найдя интерполяционный полином, мы можем вычислить значения функции f(X) между узлами (провестиинтерполяцию в узком смысле слова ), а также определить значение функции f(X) даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию ). Следует иметь в виду, что точность экстраполяции обычно очень невелика особенно при удалении от заданного интервала.
Аппроксимация функций с помощью алгебраических интерполяционных полиномов.
Задача аппроксимации функции с помощью алгебраического интерполяционного полинома формулируется следующим образом. Пусть аналитическое выражение функции Y=f(X) неизвестно, заданы только ее значения Y 1 ...Y N в точках X 1 ...X N некоторого отрезка . Необходимо найти полином степени n
для которого выполняются условия:
Так как в точках X j значение функции Y j и значение полинома P n (X j) должны совпадать между собой, то неизвестные коэффициенты полинома можно найти путем решения системы уравнений (1.2)
Интерполяционная формула Лагранжа.
Одну из простейших формул интерполяции позволяет построить метод Лагранжа. По условию находим полином P N -1 (X) степени (N-1), который в N точках совпадает с N значениями функции f(X). Если найти систему полиномов {ц j (X)}, каждый из которых в точке Xj равен единице, а в остальных точках равен нулю, то интерполяционный полином можно представить в виде
Это следует из того, что
Последовательность функций {ц j (X)} такого типа называется фундаментальной системой полиномов.
По предположению полином ц j (X) в точках X k при k?j обращается в нуль, поэтому его можно представить в виде
где С J - некоторая постоянная. Учитывая, что ц j (X j)=1, получим
Отсюда следует, что интерполяционный полином Лагранжа имеет вид
Формула Лагранжа при N?4 становится громоздкой при практическом использовании, так как в нее входит произведение П(х). Рассмотрим случай выбора узлов интерполяции, когда формула значительно упрощается.
Предположим, что функция Y=f(X) задана на отрезке [-1,1]. Далее полученные результаты обобщим на случай произвольного отрезка . Сначала введем полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода. По определению полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода задаются с помощью формул:
Если узлами интерполяции являются нули полинома T N (X), то интерполяционный полином Лагранжа можно представить в виде
Предположим, что узлами интерполяции являются нули полинома Чебышева 2-го рода U N (X). В этом случае интерполяционную формулу Лагранжа можно представить в виде
Интерполяционная формула Ньютона.
На практике для аппроксимации функции часто используется интерполяционный полином Ньютона. Этот полином вводится с помощью разделенных разностей различных порядков, найденных по значениям функцииY1,…,Y N в точках X 1 ,…,X N .
По определению разделенные разности первого порядка равны
Разности 2-го порядка определяются с помощью разностей 1-го порядка:
Разделенные разности n-го порядка можно представить в виде
Отсюда следует, что разделенная разность является симметричной функцией относительно узлов X j , т.е. не зависят от порядка расположения входящих в нее переменных X j .
Построим интерполяционный полином Ньютона. Пусть X-произвольная точка отрезка . Рассмотрим разность первого порядка
Из этого выражения находим значение функции в точке:
Разность второго порядка имеет вид
Подставив это выражение в (1.15) получим
Разность 3-го порядка
позволяет представить (1.19) в виде
Продолжая процесс подстановки, получим выражение
которое можно представить в следующей форме
Полином P N -1 (X) является интерполяционным, так как имеют место равенства
Этот полином называется интерполяционным полиномом Ньютона , а R N -1 (X) - остаточным членом формулы Ньютона. Так как по значениям функции в некоторых точках можно единственный интерполяционный полином, то полином Ньютона путем перегруппировки его членов можно преобразовать в интерполяционный полином Лагранжа, для которого каждое из слагаемых суммы (1.18) зависит от всех узлов интерполяции, произвольный m-й член полинома Ньютона зависит только от m первых узлов. Поэтому для полинома Ньютона добавление новых узлов интерполяции приводит лишь к появлению новых слагаемых полинома, без изменения первоначальных.
На практике часто используется интерполяционный полином Ньютона, представленный в виде
который называется формулой Ньютона интерполирования назад.
Метод наименьших квадратов с помощью ортогональных полиномов, интерполяционная формула Форсайта
Рассмотренные выше методы позволяют аппроксимировать функции, заданные экспериментальными данными, с помощью интерполяционных многочленов. На практике интерполяционные формулы применяются в тех случаях, когда ошибки в данных можно не учитывать и число N точек X j является малым. При больших N эти формулы становятся громоздкими, а также возникают трудности, связанные с неустойчивостью интерполяционного процесса на концах отрезка .
В реальных задачах ошибки в экспериментальных данных необходимо учитывать. Если зависимости между параметрами являются достаточно гладкими, то даже при больших N часто нет необходимости выбирать для аппроксимации функций можно использовать метод наименьших квадратов (VYR)/
Предположим, что функция Y=f(X) задана на отрезке экспериментальными значениями
где е j - некоррелируемые случайные величины, имеющие нулевое математическое ожидание и дисперсию у 2 . При аппроксимации функции Y=f(X) алгебраическим полиномом (1.28) с помощью МНК по экспериментальным данным необходимо оценить коэффициенты a k полинома таким образом, чтобы сумма квадратов
была минимальной.
Алгебраический полином (1.28) является частным случаем общей линейной модели
Оценка коэффициентов общей линейной модели сводится к решению системы нормальных уравнений X T Xa = X T Y, которая для приближения (1.28) имеет вид
Оценки коэффициентов.
Решение системы (1.31) существует, если определитель Дn+1 ? 0.
В рамках современной математики задача аппроксимации с помощью полинома (1.28) формулируется как задача оценки коэффициентов модели, представляющей собой комбинацию функций некоторой подсистемы Lm системы базисных функций L={1,X,X 2 ,…,X n ,…}. Влияние плохой обусловленности значительно уменьшается, если вместо модели (1.28) рассматривается модель
представляющая собой линейную комбинацию элементов подсистемы Lm системы ортогональных полиномов L={1,ц 1 (X), ц 2 (X),…, ц n (X),…}.
Система полиномов
ортогональна на в следующем смысле
В настоящее время разработано несколько подходов к построению ортогональных полиномов. Одной из наиболее простых является система полиномов Чебышева. На практике удобной является так же система ортогональных полиномов Форсайта
где и и выбираются из условия ортогональности.
Если аппроксимирующая функция имеет вид (1.34), то
Эту систему уравнений можно представить в матричной форме
с - (n+1)-мерный вектор-столбец неизвестных параметров модели (1.34). Из условия ортогональности матрица системы нормальных уравнений является диагональной:
Из линейной алгебры известно, что матрица, обратная к диагональной, также является диагональной., причем ее элементы равны обратным величинам диагональных элементов исходной матрицы. Поэтому учитывая, что решение нормальной системы уравнений можно найти по формуле
получим оценки коэффициентов модели (1.34)
Оценки коэффициентов не коррелированны между собой и имеют дисперсии
где - дисперсия случайных ошибок эксперимента.
При решении практических задач степень аппроксимирующего полинома обычно неизвестна. Если функция Y=f(X) аппроксимируется с помощью полинома (1.28), то выбор его степени часто осуществляется следующим образом. Начиная с некоторого малого числа n 0 , выбирается возрастающая последовательность целых чисел n 1 ,n 2 ,n 3 ,…,n p ,… и для этих степеней путем решения системы (X T X)a=X T y вычисляются коэффициенты полинома. Для каждого значения n с помощью найденных оценок вычисляются остаточные дисперсии
При увеличении n остаточная дисперсия сначала обычно убывает, а позже наступает момент, когда она начинает возрастать. Поэтому степень полинома n выбирается равной значению n, при котором остаточная дисперсия является минимальной.
Система нормальных уравнений взвешенного метода наименьших квадратов имеет вид (1.29), где
Задачу аппроксимации функции взвешенным методом наименьших квадратов можно также решить, используя ортогональные полиномы. При этом коэффициенты модели (1.34) выбираются из условия минимума функции
Если полиномы образуют ортогональную систему функций, то матрица нормальной системы является диагональной, а решение системы имеет вид
Ортогональные полиномы можно найти с помощью рекуррентных формул
3. Расчёт и графики по каждому методу аппроксимации
Результат работы программы расчета по методу Лагранжа:
Для кривой 1: Для кривой 2:
Рис.2. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора, полученная по результатам метода Лагранжа.
Результат работы программы расчета по методу Ньютона:
Для кривой 1:Для кривой 2:
Рис.3. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора, полученная по результатам метода Ньютона.
Результат работы программы расчета по методу Форсайта:
Степень алгебраического полинома М=2
Для кривой 1:
Для кривой 2:
Рис.4. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора, полученная по результатам метода Форсайта.
Степень алгебраического полинома М=3
Для кривой 1:
Для кривой 2:
Рис.5. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора, полученная по результатам метода Форсайта.
Степень алгебраического полинома М=4
Для кривой 1:
Для кривой 2:
Рис.6. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора, полученная по результатам метода Форсайта.
4. Сводный график
Рис.7. Сводный график.
1 - заданный график для «1»
2 - заданный график для «2»
3 - аппроксимированный график по методу Лагранжа для «1»
4 - аппроксимированный график по методу Лагранжа для «2»
5 - аппроксимированный график по методу Ньютона для «1»
6 - аппроксимированный график по методу Ньютона для «2»
7 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 2 для «1»
8 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 2 для «2»
9 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 3 для «1»
10 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 3 для «2»
11 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 4 для «1»
12 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 4 для «2»
5. Анализ точности
Аппроксимация по методу Лагранжа
Погрешность составляет 0,13 %
Погрешность составляет 0,05 %
Аппроксимация по методу Ньютона
Погрешность составляет 0,15 %
Погрешность составляет 0,06 %
Аппроксимация по методу Форсайта со степенью 2
Погрешность составляет 0,71%
Погрешность составляет 0,62 %
Аппроксимация по методу Форсайта со степенью 3
Погрешность составляет 1,21%
Погрешность составляет 0,5 %
Аппроксимация по методу Форсайта со степенью 4
Погрешность составляет 0,12 %
Погрешность составляет 0,05%
Заключение
В своей практике инженер часто сталкивается с необходимостью аналитически описать экспериментально полученные зависимости, представленные графически или таблично. Для этого используются методы аппроксимации, соответствующее алгоритмическое и программное обеспечение.
В данной курсовой работе мы на практике знакомились с различными методами аппроксимации, соответствующим алгоритмическим и программным обеспечением.
Проведя все расчеты можно сделать вывод, что из рассмотренных методов аппроксимации, метод наименьших квадратов со степенью 4 является самым точным.
Список литературы
1. Бронштейн и Семендяев Справочник по математике для ВТУЗов. - М., 1986г.
2. Шафрин Ю.А. Информационные технологии.- М., Лаборатория базовых знаний, 2000г.
3. Конева Н.Е. Информационные технологии в электронике. Методические указания к лабораторному практикуму для студентов специальности 210105 - Электронные приборы и устройства. МГОУ, 2009г.
4. Норенков И.П. Системы автоматизированного проектирования. Учебное пособие, Высшая школа, Москва, 1986г.
5. Вллах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем. - М., Радио и связь, 1988г.
6. Чау Л.О., Пен-Ман Лиин. Машинный анализ электронных схем. - М.,Мир.
7. Шур Т. Решение инженерных задач на ЭВМ, - М., 1982г.
8. Чахмахсазян Е.А., Бармаков Ю.Н., Голденберг А.Э. Машинный анализ интегральных схем. - М., Советское радио, 1974г.
9. Бахвалов Н.С., Лапин А.Р., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. - М., Высшая школа, 2000г.
10. Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Поспелов В.В. Сборник задач по методам вычислений. - М.,Издательство МГУ,1989г.
11. Конева Н.Е. Информационные технологии в электронике. Методические указания к курсовой работе для студентов специальности 210105 - Электронные приборы и устройства. МГОУ, 2009г.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Проведение аппроксимации данных с помощью Excel, расчет площадей (отдельно для выпуклой и вогнутой кривых периферического, серединного и корневого сечения) и целевой функции V с целью нахождения полного объема бетонной строительной конструкции.
контрольная работа , добавлен 26.01.2010
Определение уравнений динамики и передаточных функций элементов системы автоматического управления. Дискретизация последовательного корректирующего звена методом аппроксимации операции интегрирования. Анализ устойчивости автоматической системы управления.
курсовая работа , добавлен 27.02.2014
Балансировка ротора машин и балансировка гибких роторов как задача оценивания дисбалансов. Условие допустимости одной статической балансировки. Оценивание методом наименьших квадратов. Целевая функция метода наименьших квадратов и численные эксперименты.
дипломная работа , добавлен 18.07.2011
Материальный баланс и расход абсорбента. Определение коэффициента диффузии ацетона в воде. Поверхность массопередачи, формула для её расчета. Определение геометрических параметров абсорбера с помощью уравнения массопередач и через высоту единиц переноса.
курсовая работа , добавлен 05.11.2012
Исследование влияния скорости печати на качество оттисков по совмещению красок при многокрасочной флексографской печати. Математическое моделирование как приближённое описание реальных объектов с помощью математических выражений, его главные этапы.
контрольная работа , добавлен 14.04.2011
Нагрев металла перед прокаткой. Автоматизация процесса нагрева металла. Выбор системы регулирования давления. Первичный измерительный преобразователь перепада давления. Метод наименьших квадратов. Измерение и регистрация активного сопротивления.
курсовая работа , добавлен 25.06.2013
Особенности статической настройки, использование пробных заготовок с помощью рабочего калибра. Настройка по пробным заготовкам с помощью универсального измерительного инструмента. Ее проведение с учетом переменных систематических погрешностей и без них.
презентация , добавлен 26.10.2013
Разработка и компоновочные схемы токарных многоцелевых станков. Привод главного движения. Обработка фасонной поверхности с помощью копира. Управление фрикционными муфтами с помощью кулачка. Регулирование подачи с помощью конуса Нортона и гидропривода.
реферат , добавлен 02.07.2015
Получение тонкопленочных покрытий в вакууме, термическое и магнетронное испарение. Конструирование жидкофазного магнетрона с помощью AutoCAD. Методы исследования параметров тонких пленок. Измерение толщины тонкопленочных покрытий с помощью профилометра.
дипломная работа , добавлен 15.06.2012
Усовершенствование шлифовальной операции технологического процесса обработки хвостовой части метчика с помощью методов технического творчества. Совершенствование шлифования цилиндрической поверхности с помощью мозгового штурма и метода проб и ошибок.