Система тестов для подготовки и самоподготовки к ОГЭ .Математика . Экзаменационные Работы ОГЭ - 2018 .СтатГрад : Тренировочная работа по математике 26.11.2014 с решениями: вариант МА90201.
ВПР в 11 классе . Варианты 2019. Мини тесты ЕГЭ. ОГЭ в 9 классе .ОГЭ по математике . Разбор всех заданий варианта СтатГрад от 27 сентября.Вариант Статград по обществознанию от 19 марта. Тренировочная работа СтатГрад по физике.
В этом разделе вы сможете бесплатно скачать демонстрационные варианты тестов ОГЭ (ГИА) 2019 года и прошлых лет по всем предметам: математике (алгебре), русскому языку, физикеДемонстрационные варианты тестов ОГЭ 2019: Демоверсии КИМ ОГЭ 2019 г., утвержденные...
Предэкзаменационная работа ОГЭ -2018 по математике . 2 варианта ОГЭ с ответами и критериями оценки.Каждый вариант содержит 25 заданий. Удобно использовать при подготовке к ОГЭ по математике . Целевая аудитория: для 9 класса .
ВПР 2018 -2019.сочинение контрольная работа английский язык впр задания и ответы обществознание ответы рабочая тетрадь расписание результаты русский язык русский язык 7 класс тренировочные варианты физика физика 11 класс .
Это огромная база вариантов ЕГЭ, ОГЭ (ГИА), олимпиад, вступительных экзаменов и других заданий по математике с такими возможностями, как просмотр ответов, решений и видеоразборов. Пробный вариант ОГЭ (ГИА) № МА90104 по математике от СтатГрад 2018 ...
Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения в 2018 году основного государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ .Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать: Скачать книгу ОГЭ 2018 , Математика , 9 класс ...
Разбор варианта ОГЭ Статград от 8 ноября 2018 (Все задания) . Разбор заданий Тренировочной работы по МАТЕМАТИКЕ 9 класса от 8 ноября 2018 года Вариант МА90103. Математикс. Математикс. 33 тыс. подписчиков. Подписаться.
Есть такое любопытное наблюдение: многие великие учёные, изобретатели и политики в школе отличались не только плохим поведением, но и обилием двоек. Черчилль, Маяковский, Бродский, Толстой и Янукович — все они не блистали положительными отметками в учебном заведении (миф о двоечнике Эйнштейне был надуманным). Но этот факт не даёт права халатно относиться к проблеме оценивания школьников, совершенствования их знаний и контроля над обучением. В наш лексикон ворвались термины ЕГЭ, ГИА, проверочные работы, тесты.
О СтатГраде
Время, когда учитель оценивал знания своего подопечного в устной беседе, ушли в прошлое. Сейчас появилось много новых технологий, имеющих свои положительные стороны. Яркий пример — «СтатГрад». Это свежая, передовая методика оценивания познаний школьников по определённым предметам. Её основная миссия — помочь и проверить готовность ребёнка к школьным экзаменам. Создателем «СтатГрада» является Московский институт открытого обучения. В совершенствовании активное участие принимал и принимает Центр постоянного обучения математики.
Но вся первоначальная инициатива исходила от «Роспотребнадзора». Эту технологию одобряют в Министерстве образования, хорошие отзывы поступают от организаторов предметных олимпиад. «СтатГрад» не имеет статуса «обязаловки», это личная инициатива школы или отдельных преподавателей. А сам проект считается пилотным.
Основные цели системы:
- Разработать новые методики обучения.
- Контролировать качество имеющихся знаний у школьников.
- Повышать чувство ответственности у детей.
- Помогать готовиться к экзаменам.
- Помогать оценить уровень преподавания определённой дисциплины.
- Находить пробелы в составлении школьной программы.
- Укреплять межпредметные связи.
«СтатГрад» работает в информационном ключе. Система рассылает задания, проверяет ответы, делает выводы, даёт рекомендации. Для начала необходимо зарегистрироваться в системе, получить логин, пароль. Ради спортивного интереса ознакомиться с сайтом не получится. Ресурс выдаёт информацию только реальным ученикам и преподавателям. Если Вы уже в системе, то знайте — летом 2017 года прошло очередное, регулярное обновление регистраций. Вам необходимо получить новые пароли и логины. Зарегистрироваться можно самостоятельно, но чаще это делается классом или всей школой.
«СтатГрад» не только оценивает знания, но и даёт рекомендации, находит слабые места в качестве преподавания дисциплины. Дети, ориентированные на серьёзное обучение, кровно заинтересованы в участии и проверке своих знаний. Многие предметы являются ключевыми в определённой специальности или профессии. Любой думающий и сознательный ученик захочет проверить свои познания, получить независимую оценку. Наиболее востребованные дисциплины — русский язык, химия, история.
Дополнительные детали
Система далека до совершенства, но отзывов больше положительных, чем негативных. В проверке максимально заинтересованы школьники, которые посещают 9 класс или 11 класс. Ведь это выпускные классы, которые ждут ответственных экзаменов. А ещё — это время выбора своей профессии. Задания по биологии помогут тем, кто решил стать врачом, а задачки по математике пригодятся будущим программистам и инженерам.
Тестирование проходит централизовано по всей стране. Стандартное местное время — 14:00 (после окончания всех уроков). На решение тестов выдаётся 45 минут. Большинство заданий требуют лишь указания правильного ответа значком на бланке установленного образца. Реже бывают творческие ответы. В таком случае ребёнку надо написать несколько предложений.
Перспективы 2017-2018 года
Никаких предпосылок для отмены этих проверочных заданий нет. Никто не обязывает участвовать в системе, результаты тестов не отражаются на итоговых оценках и перспективах хорошо устроиться в жизни. Это дополнительная возможность убедиться и оценить свои собственные знания, качество преподавания в школе. Власти страны не будут настаивать на обязательном прохождении «СтатГрада», ведь это потребует финансовых затрат, вызовет волну недовольства. К подобной проверке лучше отнестись как к игре.
Если преподаватель рекомендует участвовать, то делайте это ради уважения и личной самооценки. Система характеризуется справедливостью и объективностью. Возможно, Ваш учитель занижает Ваши отметки. «СтатГрад» покажет его субъективное отношение, даст уверенности в будущем.
Современная оценка знаний российских детей часто не выдерживает никакой критики. Введённая сравнительно недавно система тестов иногда морально калечит интеллект подрастающего поколения. Вот что об этом говорят думающие люди:
| Ожидаемое число школьников к 2025 году: | 17 миллионов |
| Количество учащихся в РФ: | 14 миллионов |
| Доля школ в аварийном состоянии: | 11% |
| Количество учебных четвертей | 4 |
| Праздник, совместимый с зимними каникулами: | Новый год |
| Дисциплина, по которой редко задают домашнее задание: | физкультура |
| Число школ в Москве (2010 год): | 1727 |
| Число надомных школ в Москве для инвалидов: | 14 |
На эпиграф:
Лучшая награда для педагога — это когда ученик превзойдёт учителя по обучаемому предмету!
Задание 1
Задачу №13 правильно решили 399 человек, что составляет \(19\%\) выпускников города. Сколько всего выпускников в этом городе?
Так как 399 человек – это \(19\%\) , то \(1\%\) – это \(399:19=21\) человек. Следовательно, \(100\%\) – это \(21\cdot 100=2100\) человек.
Ответ: 2100
Задание 2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Ялте за каждый месяц 1990 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по приведенной диаграмме наименьшую среднемесячную температуру во второй половине 1990 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Вторая половина года – это все месяцы с июля по декабрь. Из диаграммы видно, что наименьшая температура была в декабре и равнялась \(2^\circ C\) .
Ответ: 2
Задание 3
На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\)
изображен треугольник \(ABC\)
. Найдите длину его биссектрисы, проведенной из вершины \(B\)
.
Из рисунка видно, что треугольник равнобедренный (\(BA=BC\)
). Следовательно, биссектриса, опущенная из вершины \(B\)
, будет также являться медианой и высотой. Тогда биссектриса \(BH\)
равна \(3\)
:
Ответ: 3
Задание 4
Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 75 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 12 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?
Найдем, сколько выступлений должно состояться в третий день. В первый день 12 выступлений, всего 75, следовательно, в последние три дня \(75-12=63\)
выступления. Следовательно, в третий день \(63:3=21\)
выступление.
Таким образом, вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день, равна \[\dfrac{21}{75}=\dfrac7{25}=0,28\]
Ответ: 0,28
Задание 6
Острый угол \(B\)
прямоугольного треугольника \(ABC\)
равен \(55^\circ\)
. Найдите угол между высотой \(CH\)
и медианой \(CM\)
, проведенными из вершины прямого угла \(C\)
. Ответ дайте в градусах.
Так как медиана, опущенная из вершины прямого угла треугольника, равна половине гипотенузы, то \(\triangle BMC\)
– равнобедренный, то есть \(BM=CM\)
. Следовательно, \(\angle BCM=\angle B=55^\circ\)
.
\(\angle BCH=90^\circ-\angle B=35^\circ\)
. Следовательно, \(\angle
HCM=55^\circ-35^\circ=20^\circ\)
.
Ответ: 20
Задание 7
На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\)
и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\)
. Найдите значение производной функции \(f(x)\)
в точке \(x_0\)
.
Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox. Рассмотрим \(\triangle ABC\)
:
Угол наклона касательной равен \(180^\circ-\angle ABC\)
. Из \(\triangle
ABC\)
видно, что \(\mathrm{tg}\,\angle ABC=10:8=1,25\)
. Так как \(\mathrm{tg}\,(180^\circ-\angle ABC)=-\mathrm{tg}\,\angle ABC\)
, то ответ: \(-1,25\)
.
Ответ: -1,25
Задание 8
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны \(6\)
, а высота равна \(4\sqrt3\)
.
Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник. Площадь правильного треугольника со стороной \(a\) равна \(S=\dfrac{\sqrt3}4a^2\) . Следовательно, \(S=9\sqrt3\) . Тогда объем равен \(V=\frac13Sh=\frac13\cdot 9\sqrt3\cdot 4\sqrt3=36\) .
Ответ: 36
Задание 9
Найдите значение выражения \[\dfrac{-10\sin 97^\circ\cdot \cos 97^\circ}{\sin 194^\circ}\]
Заметим, что \(97^\circ\cdot 2=194^\circ\) . Следовательно: \[\dfrac{-10\sin 97^\circ\cdot \cos 97^\circ}{\sin (2\cdot 97^\circ)}= \dfrac{-10\sin 97^\circ\cdot \cos 97^\circ}{2\sin 97^\circ\cdot \cos97^\circ}=-5\]
Ответ: -5
Задание 10
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \ где \(p\) – давление в газе в паскалях, \(V\) – объем газа в кубических метрах, \(k=\frac43\) . Найдите, какой объем \(V\) (в куб. м) будет занимать газ при давлении \(p\) , равном \(2\cdot 10^5\) Па.
Подставим данные в формулу: \
Ответ: 125
Задание 11
Расстояние между городами A и B равно 403 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоцикл, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда мотоцикл вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до С. Ответ дайте в километрах.
Пусть \(x\)
км/ч – скорость автомобиля. Пусть \(y\)
км – расстояние от города A до города C. Тогда время, которое затратил автомобиль на путь AC, равно \(\dfrac yx\)
(ч). Время, которое затратил мотоцикл на этот же путь, равно \(\dfrac y{90}\)
(ч).
Так как мотоцикл выехал на час позже, то он затратил на 1 час меньше времени, следовательно, \[\dfrac yx-1=\dfrac y{90}\]
Это первое уравнение.
На весь путь от A до B автомобиль затратил \(\dfrac{403}x\)
(ч). Мотоцикл затратил на путь из C в A столько же времени, сколько на путь из A в C (так как обратно он ехал с той же скоростью, что и в C). Следовательно, на путь от A до C и обратно мотоцикл затратил \(\dfrac {2y}{90}\)
. Заметим, что в сумме мотоцикл двигался также на 1 час меньше времени, чем автомобиль: \[\dfrac{403}x-1=\dfrac{2y}{90}\]
Это второе уравнение. Составим систему: \[\begin{cases}
\dfrac yx-1=\dfrac y{90}\\
\dfrac{403}x-1=\dfrac{2y}{90} \end{cases}\]
Выразим \(x\)
из первого уравнения: \(x=\dfrac{90y}{90+y}\)
и подставим во второе уравнение, получим: \
Дискриминант \(D=313^2+2\cdot 4\cdot 403\cdot 90=388\,129\)
. Извлечем корень из данного числа. Так как \(600^2=360\,000\)
, а \(700^2=490\,000\)
, то \(600<\sqrt{388\,129}<700\)
. Так как \(61^2=3721\)
, \(62^2=3844\)
, \(63^2=3969\)
, то \(620<\sqrt{388\,129}<630\)
. Подберем последнюю цифру: на конце дают \(9\)
следующие цифры, возведенные в квадрат: \(3\)
и \(7\)
(\(3^2=9, 7^2=49\)
). Проверим: \(623^2=388\,129\)
. Таким образом, \(\sqrt{D}=623\)
.
Найдем корни: \
Так как \(y\)
– расстояние, то есть величина неотрицательная, то подходит только корень \(y=234\)
.
Ответ: 234
Задание 12
Найдите точку максимума функции \
1 способ.
Заметим, что \
Следовательно, \(y=\sqrt{-(x+9)^2+2}\)
. Так как \((x+9)^2\geqslant 0\)
, то \(-(x+9)^2+2\leqslant 2\)
.
Заметим, что при \(x<-9\)
функция \(y(x)\)
является возрастающей, так как при увеличении \(x\)
значение \(y(x)\)
также растет. А при \(x>-9\)
функция является убывающей. Следовательно, \(x=-9\)
– точка максимума.
2 способ.
Найдем производную функции, чтобы схематично построить график этой функции.
\
Найдем нули производной: \
Заметим, что \(x=-9\)
подходит по ОДЗ (\(-79-18x-x^2\geqslant 0\)
). Найдем знаки производной справа и слева от точки \(x=-9\)
:
Таким образом, по определению точка \(x=-9\)
является точкой максимума.
Ответ: -9
Задание 13
а) Решите уравнение \
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left.\)
а) По формулам приведения \(\sin(\pi+x)=-\sin x, \ \sin\left(\dfrac{\pi}2+x\right)=\cos x\) . Тогда уравнение примет вид \[-2\sin x\cos x=\sin x\quad\Leftrightarrow\quad \sin x(1+2\cos x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\&\cos x=-\dfrac12\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Корнями уравнений будут являться \(x=\pi n\) и \(x=\pm\dfrac{2\pi}3+2\pi k\) , \(n,k\in\mathbb{Z}\) .
б) Отберем корни. \(2\pi\leqslant \pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad 2\leqslant n\leqslant 3,5\quad\Rightarrow\quad n=2;3\quad\Rightarrow\quad x=2\pi; 3\pi\) \(2\pi\leqslant \dfrac{2\pi}3+2\pi k\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac23\leqslant k\leqslant \dfrac{17}{12}\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{8\pi}3\) \(2\pi\leqslant -\frac{2\pi}3+2\pi k\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad \Leftrightarrow\quad \dfrac43\leqslant k\leqslant \dfrac{25}{12}\quad\Rightarrow\quad k=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{10\pi}3\)
Ответ:
а) \(\pi n, \ \pm \dfrac{2\pi}3+2\pi k, \ n,k\in\mathbb{Z}\)
б) \(2\pi, \ \dfrac{8\pi}3, \ 3\pi, \ \dfrac{10\pi}3\)
Задание 14
В основании правильной пирамиды \(PABCD\)
лежит квадрат \(ABCD\)
со стороной \(6\)
. Сечение пирамиды проходит через вершину \(B\)
и середину ребра \(PD\)
перпендикулярно этому ребру.
а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к ее основанию равен \(60^\circ\)
.
б) Найдите площадь сечения пирамиды.
а) По свойству правильной пирамиды \(PD=PB\) . Так как \(PD\) перпендикулярно плоскости \(\alpha\) сечения, то оно перпендикулярно любой прямой из плоскости \(\alpha\) . Следовательно, \(PD\perp BK\) . Тогда \(BK\) – медиана и высота в \(\triangle BPD\) , следовательно, этот треугольник равнобедренный и \(BP=BD\) . Следовательно, \(\triangle BPD\) – равносторонний и \(\angle PDB=60^\circ\) . Но это и есть угол между боковым ребром \(PD\) и плоскостью основания, чтд.
б) Проведем еще одну прямую, пересекающую \(BK\)
и перпендикулярную \(PD\)
. Тогда плоскость, проходящая через эту прямую и прямую \(BK\)
, и будет плоскостью \(\alpha\)
.
Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, то \(AC\perp BD\)
. Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная \(PD\)
также будет перпендикулярна \(AC\)
.
Следовательно, если провести через точку пересечения \(PO\)
и \(BK\)
прямую \(MN\)
параллельно \(AC\)
, то \(MN\perp PD\)
. Проведем:
Таким образом, \(BMKN\)
– искомое сечение.
Заметим, что аналогично по теореме о трех перпендикулярах \(BK\perp
MN\)
. Следовательно, \(S_{BMKN}=\frac12BK\cdot MN\cdot \sin\angle
BQN\)
, а \(\sin\angle BQN=1\)
, следовательно, \
Рассмотрим \(\triangle BKD\)
. \(BD=6\sqrt2\)
, \(KD=0,5PD=0,5BD=3\sqrt2\)
. Следовательно, по теореме Пифагора \
Так как \(PO\)
и \(BK\)
– медианы в \(\triangle BPD\)
, то \(PQ:QO=2:1\)
, следовательно, \(PQ:PO=2:3\)
.
Так как \(\triangle APC\sim MPN\)
, то \
Следовательно, \
Ответ:
б) \(12\sqrt3\)
Задание 15
Решите неравенство \[\log_{(x+4)^2}\left(3x^2-x-1\right)\leqslant 0\]
Выпишем ОДЗ неравенства: \[\begin{cases} (x+4)^2>0\\
(x+4)^2\ne 1\\3x^2-x-1>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x\in
(-\infty;-5)\cup(-5;-4)\cup(-4;-3)\cup\left(-3;\dfrac{1-\sqrt{13}}6\right)
\cup\left(\dfrac{1+\sqrt{13}}6;+\infty\right)\]
Решим неравенство на ОДЗ. Воспользуемся методом рационализации: \[((x+4)^2-1)\cdot (3x^2-x-1-1)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad
(x+3)(x+5)(x-1)(3x+2)\leqslant 0\]
Решим данное неравенство методом интервалов:
Следовательно, \\cup\left[-\dfrac23;1\right]\]
Пересечем полученный ответ с ОДЗ и найдем итоговый ответ: \\]
Ответ:
\((-5;-4)\cup(-4;-3)\cup\left[-\dfrac23;\dfrac{1-\sqrt{13}}6\right) \cup\left(\dfrac{1+\sqrt{13}}6;1\right]\)
Задание 16
Окружность с центром \(O\)
проходит через вершины \(B\)
и \(C\)
большей боковой стороны прямоугольной трапеции \(ABCD\)
и касается боковой стороны \(AD\)
в точке \(K\)
.
а) Докажите, что угол \(BOC\)
вдвое больше угла \(BKC\)
.
б) Найдите расстояние от точки \(K\)
до прямой \(BC\)
, если основания трапеции \(AB\)
и \(CD\)
равны 4 и 9 соответственно.
а) Угол \(BOC\)
– центральный, опирающийся на дугу \(BC\)
; угол \(BKC\)
– вписанный и опирающийся на ту же дугу, следовательно, \(\angle
BOC=2\angle BKC\)
, чтд.
б) Проведем \(KH\perp BC\)
. Так как угол между касательной и хордой, выходящей из точки касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то \(\angle DKC=0,5\buildrel\smile\over{KC}=\angle KBC\)
. Аналогично \(\angle AKB=\angle KCB\)
:
Следовательно, \(\triangle AKB\sim \triangle KHC, \triangle KDC\sim
\triangle KHB\)
как прямоугольные по острому углу. Тогда: \[\begin{aligned}
&\dfrac{KB}{KC}=\dfrac{KH}{CD}\\
&\dfrac{KC}{KB}=\dfrac{KH}{AB}\end{aligned}\]
Отсюда \
Ответ:
Задание 17
В июле планируется взять кредит на сумму \(69\,510\)
рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на \(10\%\)
по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?
Пусть \(A\) – сумма кредита в рублях. Пусть \(x\) – платеж в рублях в случае, если кредит взят на три года, \(y\) – платеж в рублях в случае, если кредит взят на два года. Так как по условию платежи аннуитетные, то, если кредит взят на три года, то в конце третьего года долг будет равен \ Если кредит взят на два года, то в конце второго года долг будет равен \ Если вы не понимаете, почему так, можете ознакомиться с теорией по ссылке https://сайт/theory/44 В первом случае клиент выплатит банку за все года \(3x\) рублей, во втором – \(2y\) рублей. Следовательно, нужно найти \(3x-2y\) . Найдем: \(3x-2y=\dfrac{3\cdot 1,1^3\cdot A}{1,1^2+1,1+1}-\dfrac{2\cdot 1,1^2\cdot A} {1,1+1}=\) \(=1,1^2\cdot A\cdot \dfrac{3\cdot 1,1^2+3\cdot 1,1-2\cdot 1,1^2-2\cdot 1,1-2}{2,1\cdot 3,31}=1,1^2\cdot A\cdot \dfrac{0,31}{2,1\cdot 3,31}=\) \(=\dfrac{11\cdot 11\cdot 6951\cdot 31}{21\cdot 331}=11\cdot 11\cdot 31=3\,751\) .
Ответ: 3751
Задание 18
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end{cases}\]
имеет ровно два решения.
1) Рассмотрим первое уравнение системы как квадратное относительно \(x\)
: \
Дискриминант равен \(D=9y^2\)
, следовательно, \
Тогда уравнение можно переписать в виде \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\]
Следовательно, всю систему можно переписать в виде \[\begin{cases}
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=2x\\
&y=0,5x\end{aligned}\end{gathered}\right.\\
(x-a)^2+(y-a)^2=5a^4\end{cases}\]
Совокупность задает две прямые, второе уравнение системы задает окружность с центром в \((a;a)\)
и радиусом \(R=\sqrt5a^2\)
. Чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы окружность пересекала график совокупности ровно в двух точках. Вот чертеж, когда, например, \(a=1\)
:
Заметим, что так как координаты центра окружности равны, то центр окружности “бегает” по прямой \(y=x\)
.
2) Так как у прямой \(y=kx\)
тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси \(Ox\)
равен \(k\)
, то тангенс угла наклона прямой \(y=0,5x\)
равен \(0,5\)
(назовем его \(\mathrm{tg}\,\alpha\)
), прямой \(y=2x\)
– равен \(2\)
(назовем его \(\mathrm{tg}\,\beta\)
). Заметим, что \(\mathrm{tg}\,\alpha\cdot
\mathrm{tg}\,\beta=1\)
, следовательно, \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mathrm{ctg}\,\beta=\mathrm{tg}\,(90^\circ-\beta)\)
. Следовательно, \(\alpha=90^\circ-\beta\)
, откуда \(\alpha+\beta=90^\circ\)
. Это значит, что угол между \(y=2x\)
и положительным направлением \(Oy\)
равен углу между \(y=0,5x\)
и положительным направлением \(Ox\)
:
А так как прямая \(y=x\)
является биссектрисой I координатного угла (то есть углы между ней и положительными направлениями \(Ox\)
и \(Oy\)
равны по \(45^\circ\)
), то углы между \(y=x\)
и прямыми \(y=2x\)
и \(y=0,5x\)
равны.
Все это нам нужно было для того, чтобы сказать, что прямые \(y=2x\)
и \(y=0,5x\)
симметричны друг другу относительно \(y=x\)
, следовательно, если окружность касается одной из них, то она обязательно касается и второй прямой.
Заметим, что если \(a=0\)
, то окружность вырождается в точку \((0;0)\)
и имеет лишь одну точку пересечения с обеими прямыми. То есть этот случай нам не подходит.
Таким образом, для того, чтобы окружность имела 2 точки пересечения с прямыми, нужно, чтобы она касалась этих прямых:
Видим, что случай, когда окружность располагается в третьей четверти, симметричен (относительно начала координат) случаю, когда она располагается в первой четверти. То есть в первой четверти \(a>0\)
, а в третьей \(a<0\)
(но такие же по модулю).
Поэтому рассмотрим только первую четверть.
Заметим, что \(OQ=\sqrt{(a-0)^2+(a-0)^2}=\sqrt2a\)
, \(QK=R=\sqrt5a^2\)
. Тогда \
Тогда \[\mathrm{tg}\,\angle
QOK=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}}\]
Но, с другой стороны, \[\mathrm{tg}\,\angle QOK=\mathrm{tg}\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac{\mathrm{tg}\,
45^\circ-\mathrm{tg}\,\alpha}{1+\mathrm{tg}\,45^\circ\cdot
\mathrm{tg}\,\alpha}\]
следовательно, \[\dfrac{1-0,5}{1+1\cdot 0,5}=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}}
\quad\Leftrightarrow\quad a=\pm \dfrac15\]
Таким образом, мы уже сразу получили и положительное, и отрицательное значение для \(a\)
. Следовательно, ответ: \
. Тогда: \
Если взять, например, \(x=2\)
, \(y=1\)
, то получим последовательность: \(2, 1, 3, 4, 7, \dots\)
Следовательно, такое возможно.
б) Аналогично пункту а): \ Следовательно, один из \(x\) или \(y\) должен быть отрицательным (оба они не могут быть равны \(0\) , так как последовательность состоит из натуральных чисел). Но это невозможно, так как последовательность состоит из натуральных чисел. Следовательно, ответ: нет.
в) Отметим основные свойства последовательности, где \(a_{n+1}=a_n+a_{n-1}\)
при натуральных \(n\geqslant 2\)
. Заметим, что первые два элемента этой последовательности задаются произвольно, а вот каждый следующий, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Следовательно, так как последовательность состоит из натуральных чисел, то каждый элемент, начиная с третьего, больше предыдущего, то есть \(a_{n+1}:a_n>1\)
при \(n\geqslant 2\)
.
Это же свойство можно переформулировать по-другому: каждый элемент, начиная со второго, меньше следующего: \(a_n:a_{n+1}<1\)
при \(n\geqslant 2\)
.
Но тогда \[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1+\dfrac{a_{n-1}}{a_n}<1+1=2, \quad n\geqslant 3\]
(каждый элемент, начиная с 4-ого, менее чем в два раза больше предыдущего)
Предположим, что равенство \(6na_{n+1}=(n^2+24)a_n\)
вплоть до какого-то большого \(n\)
(то есть \(n\geqslant 3\)
). Тогда \[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n^2+24}{6n}<2\]
Решим неравенство: \[\dfrac{n^2+24}{6n}<2\quad\Rightarrow\quad n^2-12n+24<0
\quad\Leftrightarrow\quad n\in (6-\sqrt{12};6+\sqrt{12})\]
Так как \(n\)
– натуральное, а \(9<6+\sqrt{12}<10\)
, то \(n\leqslant 9\)
.
Следовательно, наибольший элемент, для которого может быть выполнено равенство из пункта в), это \(a_{10}\)
.
Попробуем привести пример. Для этого нам понадобиться равенство \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\)
использовать в виде \(a_n=a_{n+2}-a_{n+1}\)
, а также то, что каждый элемент последовательности, начиная с третьего, должен быть больше предыдущего.
Пусть \(n=9\) . Тогда \[\begin{aligned} &6\cdot 9\cdot a_{10}=105a_9\\ &18a_{10}=35a_9\quad\Rightarrow\\ &a_{10}=35k\\ &a_9=18k\\ &a_8=17k\\ &a_7=k\\ &a_6=16k\end{aligned}\] Получили, что \(a_6>a_7\) – противоречие.
Пусть \(n=8\) . Тогда \[\begin{aligned} &6\cdot 8\cdot a_9=88a_8\\ &6a_9=11a_8\quad\Rightarrow\\ &a_9=11k\\ &a_8=6k\\ &a_7=5k\\ &a_6=k\\ &a_5=4k\end{aligned}\] Получили противоречие.
Пусть \(n=7\) . Тогда \[\begin{aligned} &6\cdot 7\cdot a_8=73a_7\quad\Rightarrow\\ &a_8=73k\\ &a_7=42k\\ &a_6=31k\\ &a_5=11k\\ &a_4=20k\end{aligned}\] Получили противоречие.
Пусть \(n=6\) . Тогда \[\begin{aligned} &6\cdot 6\cdot a_7=60a_6\\ &3a_7=5a_6\quad\Rightarrow\\ &a_7=5k\\ &a_6=3k\\ &a_5=2k\\ &a_4=k\\ &a_3=k\end{aligned}\] Получили противоречие.
Пусть \(n=5\) . Тогда \[\begin{aligned} &6\cdot 5\cdot a_6=49a_5\quad\Rightarrow\\ &a_6=49k\\ &a_5=30k\\ &a_4=19k\\ &a_3=11k\\ &a_2=8k\\ &a_1=3k\end{aligned}\] Противоречия нет, следовательно, наибольшее возможное \(n\) – это \(n=5\) . Пример: \(3; 8; 11; 19; 30; 49\) .