Стационарный процесс. Стационарные случайные процессы

Определение. Случайным процессом Х (t ) называется процесс, значение которого при любом значении аргумента t является случайной величиной.

На практике часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний существенно не изменяются с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными . Примерами стационарных случайных процессов могут служить колебания самолета на установившемся режиме горизонтального полета, колебания напряжения в электрической цепи, случайные шумы в радиоприемнике, процесс качки корабля, и т.д.

Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени непрерывно долго, и при исследовании стационарного процесса в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени. Исследуя стационарный процесс на любом участке времени, мы должны получить одни и те же его характеристики.

Как правило, случайный процесс в любой динамической системе начинается с нестационарной стадии, после чего система обычно переходит в установившийся режим, и тогда процессы, происходящие в ней, можно считать стационарными. В связи с этим получила широкое применение теория стационарных случайных процессов или, точнее, теория стационарных случайных функций (так как аргументом стационарной случайной функции в общем случае может быть и не время).

Определение . Случайная функция Х (t ) называется стационарной , если все ее вероятностные характеристики не зависят от t (точнее, не меняются при любом сдвиге аргументов, от которых они зависят, по оси t ).

В предыдущей главе при изучении случайных функций мы не пользовались такими вероятностными характеристиками, как законы распределения: изучались только математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция. Сформулируем определение стационарной случайной функции в терминах этих характеристик.



Так как изменение стационарной случайной функции должно протекать однородно по времени, естественно потребовать, чтобы ее математическое ожидание было постоянным:

m x (t ) = m x = const .

Обратим внимание, однако, на то, что это требование не является существенным: мы знаем, что от случайной функции Х (t ) всегда можно перейти к центрированной случайной функции , для которой математическое ожидание тождественно равно нулю. Таким образом, если случайный процесс нестационарен только за счет математического ожидания, то это не мешает изучать его как стационарный.

Второе условие, которому, очевидно, должна удовлетворять стационарная случайная функция, - это условие постоянства дисперсии:

D x (t ) = D x = const .

Теперь установим, какому условию должна удовлетворять корреляционная функция стационарной случайной функции. Рассмотрим случайную функцию Х (t ) и положим в выражении K x (t 1 , t 2) t 2 = t 1 + τ . Рассмотрим теперь K x (t 1 , t 1 + τ ) – корреляционный момент двух сечений случайной функции, разделенных интервалом времени τ . Очевидно, если случайный процесс действительно стационарен, то этот корреляционный момент не должен зависеть от того , где именно на оси 0t мы взяли участок τ , а только от длины этого участка. Т.е., корреляционная функция стационарного случайного процесса должна зависеть только от промежутка между первым и вторым аргументами

K x (t 1 , t 1 + τ ) = k x (τ ).

Т.о., корреляционная функция стационарного случайного процесса есть функция одного аргумента, что сильно упрощает операции над стационарными случайными функциями.

Заметим, что постоянство дисперсии является частным случаем приведенной формулы, т.к. D x (t ) = K x (t , t ) = k x (0) = const .

Таким образом, переформулируем с помощью вышеприведенных рассуждений определение стационарной случайной функции – это есть случайная функция Х (t ), математическое ожидание которой постоянно при всех значениях аргумента t и корреляционная функция которой зависит только от разности аргументов t 2 - t 1 . При этом корреляционная функция есть функция одного аргумента, а дисперсия равна значению корреляционной функции в начале координат (при τ = t 2 - t 1 = 0).

Свойства корреляционной функции стационарной функции .

1 0 . Корреляционная функция стационарной случайной функции – четная функция: k x (τ ) = k x (-τ ). Это следует из того, что K x (t 1 , t 2) = K x (t 2 , t 1).

2 0 . Абсолютная величина корреляционной функции стационарной случайной функции не превышает ее значения в начале координат: |k x (τ )| ≤ k x (0).

На практике вместо корреляционной функции k x (τ ) часто пользуются нормированной корреляционной функцией :

ρ x (τ ) = ,

где D x = k x (0) – постоянная дисперсия стационарного процесса. Очевидно, что ρ x (0) ≡ 1.

Введем еще одно понятие, связанное со стационарностью.

Определение . Две случайные функции называются стационарно связанными , если их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов.

Обратим внимание на то, что не всякие две стационарные функции стационарно связаны; с другой стороны, две нестационарные функции могут быть стационарно связаны.

Стационарным случайным процессом называется такой процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Все плотности вероятностей не меняются при любом сдвиге рассматриваемого участка процесса во времени, т. е. при сохранении постоянной разности.

Можно сказать, что стационарный случайный процесс в какой-то мере аналогичен обычным стационарным или установившимся процессам в автоматических системах. Например, при рассмотрении обычных установившихся периодических колебаний ничего не изменится, если перенести начало отсчета на какую-нибудь величину. При этом сохранят свои значения такие характеристики, как частота, амплитуда, среднеквадратичное значение и т. п.

В стационарном случайном процессе закон распределения один и тот же для каждого момента времени, т. е. плотность вероятности не зависит от времени:

Отсюда получаем вдоль всего случайного процесса. Следовательно, в стационарном случайном процессе средняя линия, в отличие от общего случая (см. рис. 11.12), будет прямая (рис. 11.13), подобно постоянному смещению средней линии обычных периодических

колебаний. Рассеяние значений переменной х в стационарном случайном процессе, определяемое также будет все время одинаковым, подобно постоянному значению среднеквадратичного отклонения обычных установившихся колебаний от средней линии.

Аналогичным образом и двумерная плотность вероятности также будет «дна и та же для одного и того же промежутка времени - между любыми (рис. 11.13), т. е.

и также для -мерной плотности вероятности.

Задание всех этих функций распределения плотности определяет случайный процесс. Однако более удобно иметь дело с некоторыми осредненными и характеристиками процесса.

Прежде чем перейти к ним, отметим два важных для практики свойства.

1. Ограничиваясь только стационарными случайными процессами, можно будет определить только установившиеся (стационарные) динамические ошибки автоматических систем при случайных воздействиях. Такой прием применялся и ранее при рассмотрении регулярных воздействий, когда определялись динамические свойства систем регулирования по величине динамических ошибок в установившемся периодическом режиме.

2. Стационарные случайные процессы обладают замечательным свойством, которое известно под названием эргодической гипотезы.

Для стационарного случайного процесса с вероятностью, равной единице (т. е. практически достоверно), всякое среднее по множеству равно соответствующему среднему по времени, в частности

В самом деле, поскольку вероятностные характеристики стационарного случайного процесса с течением времени не меняются (например, то длительное наблюдение случайного процесса на одном объекте (среднее но времени) дает в среднем такую же картину, как и большое число наблюдений, сделанное в один и тот же момент времени на большом числе одинаковых объектов (среднее по множеству).

Для многих случаев существует математическое доказательство этого свойства. Тогда оно сводится к эргодической теореме.

Итак, среднее значение (математическое ожидание) для стационарного процесса будет

Аналогичным образом могут быть записаны моменты более высоких порядков - дисперсия, среднеквадратичное отклонение и т. п.

Эргодическая гипотеза позволяет сильно упрощать все расчеты и эксперименты. Она позволяет для определения вместо параллельного испытания многих однотипных систем в один и тот же момент времени, пользоваться одной кривой полученной при испытании одной системы в течение длительного времени.

Таким образом, важное свойство стационарного случайного процесса состоит в том, что отдельная его реализация на бесконечном промежутке времени полностью определяет собой весь случайный процесс со всеми бесчисленными возможными его реализациями. Этим свойством не обладает никакой другой тип случайного процесса.

Понятие стационарного случайного процесса. Характеристики стационарной случайной функции. Спектральная плотность ССФ. Эргодическое свойство ССФ.

Рассмотрение на примерах свойств ССФ;

Определение КФ и спектральной плотности ССФ;

Рассмотрение свойств стационарного белого шума.

Вопросы

Примеры

Пояснение. Стационарно связанными называются две случайные функции X (t ) и Y (t ) , взаимная корреляционная функция которых зависит только от разности аргументов
:
.

Не всякие две стационарные функции стационарно связаны; две нестационарные функции могут быть стационарно связанными.

Пример 1 . Задана случайная функция
, где- случайная величина, распределенная равномерно в интервале
.

Доказать, что
- стационарная функция.

Решение .

По формуле МО непрерывной случайной величины имеем:

,

т.е.
.

По формуле КФ случайной функции
(см. Тему 10), учитывая, что

МО второго слагаемого равно нулю, поэтому окончательно

Таким образом, МО функции
постоянно при всех значениях аргумента, а КФ зависит только от разности аргументов.

Следовательно,
- стационарная случайная функция.

Пример 2. Заданы две ССФ:
и
, где- случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2).

Доказать, что заданные функции стационарно связаны.

Решение. В соответствии с решением предыдущего примера
.

По формуле взаимной КФ двух СФ
и
. (см. пример 2, Тема 10) имеем.

МО второго слагаемого равно нулю, поэтому окончательно .

Так как взаимная КФ зависит только от разности аргументов, то функции X (t ) и Y (t ) являются стационарно связанными.

Пример 3. Нормированная спектральная плотность норм
случайной функцииX (t ) постоянна в интервале частот ,и равна нулю вне этого интервала.

Определить нормированную корреляционную функцию случайной функции X (t ).

Решение. Значение норм
при
норм
при
определяется из условия, что площадь, ограниченная кривой
норм
, рана единице.

норм

Далее по формуле Винера – Хинчиа (в действительной форме) определяем нормированную КФ
случайной функцииX(t):

Общие виды функций
и
представлены на рис.1 и рис. 2. Конкретные виды графиков зависят от значений,.

В пределе при
т.е. при
спектр случайной функции обращается в дискретный с одной единственной линией, соответствующей частоте; при этом корреляционная функция обращается в обычную косинусоиду:
.

Замечание. При дискретном спектре с одной линией спектральное разложение ССФ
имеет вид:
, гдеи- некоррелированные случайные величины с МО, равными нулю, и равными дисперсиями:
.

Пример 4. Найти спектральную плотность, ССФ
, если задана её корреляционная функция
.

Решение. По формуле спектральной плоскости ССФ

.

Общие виды функций
и
представлены на рис. 3 и 4.

При уменьшении корреляционная функция будет убывать медленнее; характер изменения случайной функции становится более плавным, в спектре больший «удельной вес» приобретают малые частоты: кривая спектральной плотности вытягивается вверх, сжимаясь с боков; в пределе при
случайная функция выродится в обычную случайную величину с дискретным спектром, состоящим из единственной линии с частотой
.

При увеличении корреляционная функция убывает быстрее, колебания случайной функции становятся более резкими и беспорядочными; в спектре преобладание малых частот становится все менее выраженным; в пределе при
спектр случайной функции приближается к равномерному, так называемому белому спектру, в котором нет преобладания каких – либо частот.

Пример 5. Найти корреляционную функцию стационарного белого шума – стационарной случайной функции с постоянной спектральной плотностью
.

Решение. По формуле Винера – Хинчина

.

Учитывая, что
, где
-дельта функция,

имеем
.

Тогда окончательно
.

Пояснение. Формально дельта – функцией
называется такая функция, которая равна бесконечности, когда её аргумент равен нулю, и равна нулю при остальных значениях аргумента, причем интеграл от дельта – функции, распространенный на сколь угодно малый отрезок, включающий особую точку, равен единице.

Задачи

1. Найти дисперсию ССФ
, зная её спектральную плотность
.

2. Найти спектральную плотность ССФ
, зная её КФ
при
; КФ равна нулю при
.

Тема 12

Стационарные случайные функции(ССФ)

Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой.

Практическое занятие включает:

Определение МО, спектральной плотности и дисперсии ССФ на выходе стационарной линейной системы в установившемся режиме.

Вопросы

1. Дайте определение линейного однородного оператора динамической системы. Перечислите его свойства.

2. Приведите примеры линейных однородных операторов.

3. Дайте характеристику стационарной линейной динамической системы.

4. Что называется передаточной функцией и частотной характеристикой линейной динамической системы?

5. Напишите соотношение, связывающее входную и выходную функции спектральной плотности линейной динамической системы.

Примеры

Пример 1. На вход линейной стационарной динамической системы описываемой уравнением , подается ССФ
с
. Найти МО
на выходе системы в установившемся режиме (после затухания переходного процесса).

Решение. , или

Так как X(t) и Y(t) – стационарные функции, а МО производной стационарной функции равно нулю, то 2
, откуда
.

Пример 2 . На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , подается ССФ
с

Решение. 1). Используя решение примера 4 предыдущего занятия при
и
, получим.

2). Для нахождения передаточной функции запишем заданное дифференциальное уравнение в операторной форме: , или,

Следовательно, передаточная функция .

3). Частотная характеристика системы получается из передаточной функции при
:.

4). Спектральная плотность
на выходе системы определяется по формуле

5). Искомая дисперсия находится по формуле

Представив подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, имеем

.

Задачи

1. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , подается ССФ
с математическим ожиданием
. Найти МО случайной функции
на выходе системы в установившемся режиме.

2. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением
, поступает ССФ
с постоянной спектральной плотностью(белый шум).

Найти дисперсию случайной функции
на выходе системы в установившемся режиме.

3. На вход линейной стационарной динамической системы с передаточной функцией поступает ССФ Х со спектральной плотностью
. Найти дисперсию случайной функции
на выходе системы в установившемся режиме.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

1.
.

8.
.

2.
,
.

9.
.

3.
.

10.

4.
.

11.
.

5.
.

12.
.

6.
.

13.
.

7.
.

14.
.

Стационарный случайный процесс

важный специальный класс случайных процессов, часто встречающийся в приложениях теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники. Случайный процесс X (t) называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются с течением времени t (так что, например, распределение вероятностей величины X (t) при всех t является одним и тем же, а совместное распределение вероятностей величин X (t

    зависит только от продолжительности промежутка времени t2≈t1, т. е. распределения пар величин {X (t1), X (t2)} и {X (t1 + s), X (t2 + s)} одинаковы при любых t1, t2и s и т.д.).

    Схема С. с. п. с хорошим приближением описывает многие реальные явления, сопровождающиеся неупорядоченными флуктуациями. Так, например, пульсации силы тока или напряжения в электрической цепи (электрический «шум») можно рассматривать как С. с. п., если цепь эта находится в стационарном режиме, т. е. если все её макроскопические характеристики и все условия, вызывающие протекание через неё тока, не меняются во времени; пульсации скорости в точке турбулентного течения представляют собой С. с. п., если не меняются общие условия, порождающие рассматриваемое течение (т. е. течение является установившимся), и т.д. Эти и другие примеры С. с. п., встречающиеся в физике (в частности, гео- и астрофизике), механике и технике, стимулировали развитие исследований в области С. с. п.; при этом существенными оказались также и некоторые обобщения понятия С. с. п. (например, понятия случайного процесса со стационарными приращениями заданного порядка, обобщённого С. с. п. и однородного случайного поля).

    В математической теории С. с. п. основную роль играют моменты распределении вероятностей значений процесса X (t), являющиеся простейшими числовыми характеристиками этих распределений. Особенно важны моменты первых двух порядков: среднее значение С. с. п. EX (t) = m ≈ математическое ожидание случайной величины X (t) и корреляционная функция С. с. п. EX (t1) X (t2)= B (t2≈t1) ≈ математическое ожидание произведения X (t1) X (t2) (просто выражающееся через дисперсию величин X (t) и коэффициент корреляции между X (t1) и X (t2); см. Корреляция). Во многих математических исследованиях, посвященных С. с. п., вообще изучаются только те их свойства, которые полностью определяются одними лишь характеристиками m и В (t) (т. н. корреляционная теория С. с. п.). В этой связи случайные процессы X (t), имеющие постоянное среднее значение EX (t) = m и корреляционную функцию В (t2, t1) = EX (t1) X (t2), зависящую только от t2 ≈ t1, часто называют С. с. п. в широком смысле (а более частные случайные процессы, все характеристики которых не меняются с течением времени, в таком случае называются С. с. п. в узком смысле).

    Большое место в математической теории С. с. п. занимают исследования, опирающиеся на разложение случайного процесса X (t) и его корреляционной функции B (t2 ≈t1) = В (t) в интеграл Фурье, или Фурье ≈ Стилтьеса (см. Фурье интеграл). Основную роль при этом играет теорема Хинчина, согласно которой корреляционная функция С. с. п. X (t) всегда может быть представлена в виде

    где F (l) ≈ монотонно неубывающая функция l (а интеграл справа ≈ это интеграл Стилтьеса); если же В (t) достаточно быстро убывает при |t|╝¥ (как это чаще всего и бывает в приложениях при условии, что под X (t) понимается на самом деле разность X (t) ≈ m), то интеграл в правой части (1) обращается в обычный интеграл Фурье:

    где f (l) = F▓(l) ≈ неотрицательная функция. Функция F (l) называемая спектральной функцией С. с. п. X (t), а функция F (l) [в случаях, когда имеет место равенство (2)] ≈ его спектральной плотностью. Из теоремы Хинчина вытекает также, что сам процесс X (t) допускает спектральное разложение вида

    где Z (l) ≈ случайная функция с некоррелированными приращениями, а интеграл справа понимается как предел в среднем квадратичном соответствующей последовательности интегральных сумм. Разложение (3) даёт основание рассматривать любой С. с. п. X (t) как наложение некоррелированных друг с другом гармонических колебаний различных частот со случайными амплитудами и фазами; при этом спектральная функция F (l) и спектральная плотность f (l) определяют распределение средней энергии входящих в состав X (t) гармонических колебаний по спектру частот l (в связи с чем в прикладных исследованиях функция f (l) часто называется также энергетическим спектром или спектром мощности С. с. п. X (t)).

    Выделение понятия С. с. п. и получение первых относящихся к нему математических результатов являются заслугой Е. Е. Слуцкого и относятся к концу 20-х и началу 30-х гг. 20 в. В дальнейшем важные работы по теории С. с. п. были выполнены А. Я. Хинчиным, А. Н. Колмогоровым, Г. Крамером, Н. Винером и др.

    Лит.: Слуцкий Е. Е., Избр. тр., М., 1960; Хинчин А. Я., Теория корреляции стационарных стохастических процессов, «Успехи математических наук», 1938, в. 5, с, 42≈51; Розанов Ю. А., Стационарные случайные процессы, М., 1963; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей. (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы), 2 изд., М., 1973; Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1, М., 1971; Хеннан Э., Многомерные временные ряды, пер. с англ., М., 1974.

  1. 5.Порядок оценивания линейной эконометрической модели из изолированного уравнения в Excel. Смысл выходной статистической информации сервиса Регрессия. (10) стр 41
  2. 6.Спецификация и оценивание мнк эконометрических моделей нелинейных по параметрам. (30) стр.24-25,
  3. 7. Классическая парная регресионная модель. Спецификация модели. Теорема Гаусса-Маркова.
  4. 8. Метод наименьших квадратов: алгоритм метода, условия применения.
  5. 9.Идентификация отдельных уравнений системы одновременных уравнений: порядковое условие. (30)
  6. Необходимое условие идентифицируемости
  7. 10.Оценка параметров парной регрессионной модели методом наименьших квадратов. (10)
  8. 11.Фиктивные переменные: определение, назначение, типы.
  9. 12.Автокорреляция случайного возмущения. Причины. Последствия.
  10. 13.Алгоритм проверки значимости регрессора в парной регрессионной модели.
  11. 14.Интервальная оценка ожидаемого значения зависимой переменной в парной регрессионной модели.
  12. 15. Тест Чоу на наличие структурных изменений в регрессионной модели. (20) стр. 59,60
  13. 16. Алгоритм проверки адекватности парной регрессионной модели. (20) стр. 37, 79
  14. 17. Коэффициент детерминации в парной регрессионной модели.
  15. 18. Оценка параметров множественной регрессионной модели методом наименьших квадратов.
  16. 20. Гетероскедастичность случайного возмущения. Причины. Последствия. Тест gq(20)
  17. 21.Фиктивная переменная наклона: назначение; спецификация регрессионной модели с фиктивной переменной наклона; значение параметра при фиктивной переменной. (20) стр.65
  18. 22..Алгоритм теста Дарбина-Уотсона на наличие (отсутствие) автокорреляции случайных возмущений. (20) стр 33
  19. 23. Структурная и приведённая формы спецификации эконометрических моделей.
  20. 24. Гетероскедастичность случайного возмущения. Причины. Последствия. Алгоритм теста Голдфельда-Квандта на наличие или отсутствие гетероскедастичности случайных возмущений.
  21. Алгоритм теста Голдфелда-Квандта на наличие (отсутствие) гетероскедастичности случайных возмущений.
  22. 25. Спецификация и оценивание мнк эконометрических моделей нелинейных по параметрам.
  23. 26. Способы корректировки гетероскедастичности. Метод взвешенных наименьших квадратов
  24. 27.Проблема мультиколлинеарности в моделях множественной регрессии.Признаки мультиколлениарности.
  25. 28.Что такое логит,тобит,пробит.
  26. 29. Что такое Метод наибольшего правдоподобия стр. 62.
  27. 30. Что такое стационарный процесс?
  28. 31.Свойства временных рядов.
  29. 32.Модели ar и var .
  30. 33. Идентифицируемость системы.
  31. 34. Настройка модели с системой одновременных уравнений.
  32. 35.Что такое метод Монте-Карло стр 53
  33. 36.Оценить качество модели по f, gq, dw (линейнные).Стр.33, 28-29
  34. 37. Оценка погрешностей параметров эконометрической модели методом Монте-Карло.
  35. 38. Отражение в модели влияния неучтённых факторов. Предпосылки теоремы Гаусса-Маркова.
  36. 39.Модели временных рядов. Свойства рядов цен акций на бирже (20) с.93.
  37. 40. Ожидаемое значение случайной переменной, её дисперсия и среднее квадратическое отклонение. (20) с.12-21
  38. 41. Оценка параметров парной регрессионной модели методом наименьших квадратов с использованием сервиса Поиск решения.
  39. 42. Проверка статистических гипотез, t-статистика Стьюдента, доверительная вероятность и доверительный интервал, критические значения статистики Стьюдента. Что такое “толстые хвосты”?
  40. 43.Проблема мультиколлинеарности в моделях множественной регрессии. Признаки мультиколлинеарности
  41. 44. Частные коэффициенты детерминации.
  42. 46. Экономический смысл коэффициентов линейного и степенного уравнений регрессии.
  43. 47.Оценка коэффициентов модели Самуэльсона-Хикса
  44. 48. Ошибки от включения в модель незначимых переменных или исключения значимых.С.80
  45. 49. Исследование множественной регрессионной модели с.74-79.
  46. 50. Мультиколлинеарность: чем плоха, как обнаружить и как бороться.
  47. 51. Признаки стационарности стохастического процесса. Что такое «Белый шум»? с.100
  48. 52. Структурная и приведённая формы спецификации эконометрических моделей.
  49. 53. Алгоритм проверки значимости регрессора в парной регрессионной модели. По t-статистике, по f-статистике.
  50. 54.Свойства рядов цен на фондовом рынке. Принципы построения портфеля Марковица с.93,102
  51. 55.Динамическая модель из одновременных линейных уравнений (привести пример) с.105.
  52. 56. Метод наибольшего правдоподобия: принципы и целесообразность использования
  53. 57. Этапы исследования модели множественной регрессии с.74-79.

    54. 30. Что такое стационарный процесс?

    Стационарность - свойство процесса не менять свои характеристики со временем. Имеет смысл в нескольких разделах науки. Стационарность случайного процесса означает неизменность во времени его вероятностных закономерностей

    Временной ряд – это конечная реализация стохастического процесса: генерации набора случайных переменных Y(t).

    Стохастический процесс может быть стационарным и нестационарным. Процесс является стационарным, если

    1. Математическое ожидание значений переменных не меняется.

    2. Математическое ожидание дисперсий переменных не меняется.

    3. Нет периодических флуктуаций.

    Распознавание стационарности:

    1. График: систематический рост или убывание, волны и зоны высокой волатильности (дисперсии) в длинном ряде сразу видны.

    2. Автокорреляция (убывает при росте лага)

    3. Тесты тренда: проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента при t.

    4. Специальные тесты, включённые в пакеты компьютерных программ Stata,

    31.Свойства временных рядов.

    Эконометрическую модель можно построить, используя три типа исходных данных:

    Данные, характеризующие совокупность различных объек­тов в определенный момент (период) времени: cross sectional data , “пространственные”;

    Данные, характеризующие один объект за ряд последова­тельных моментов

    (периодов) времени: временные ряды, time series ;

      данные, характеризующие совокупность различных объек­тов за ряд последова­тельных моментов времени: panel data , “панельные”.

    Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов (периодов) времени. Он формируется под воздействием большого числа факторов, которые можно условно подразделить на три группы:

      факторы, формирующие тенденцию (тренд ) ряда;

      факторы, формирующие циклические колебания ряда, например сезонный, недельный; для рядов цен на фондовом рынке характерны непериодические колебания;

      случайные факторы.

    Модели, которые построены по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных периодов, называются моделями временных рядов.

    Каждый уровень временного ряда может формироваться их трендовой (Т), циклической или сезонной компоненты (S), а также случайной (E) компоненты.

    Модели, где временной ряд представлен в виде суммы перечисленных компонентов называются аддитивными, если в виде произведения – мультипликативными моделями.

    Аддитивная модель имеет вид : Y=T+S+E

    Мультипликативная модель имеет вид : Y=T*S*E

    Построение модели временного ряда :

      производят выравнивание временного ряда (например методом скользящей средней); 2. Рассчитывают значения сезонной компоненты; 3. Устраняют сезонную компоненту и получают выровненный ряд; 4. Проводят аналитическое выравнивание уровней (T и E) и расчет значений Е с использованием полученного уравнения тренда; 5. Расчитывают значения Т и Е; 6. Расчитывают абсолютные и относительные ошибки.

    Построение аналитической функции при моделировании тренда в любой задаче по эконометрике на временные ряды называют аналитическим выравниванием временного ряда и в основном применяются функции: линейная, степенная, гиперболическая, параболическая и т.д.

    Параметры тренда определяются как и в случае линейной регрессии методом МНК, где в качестве независимой переменной выступает время, а в качестве зависимой переменной – уровни временного ряда. Критерием отбора наилучшей формы тренда служит наибольшее значение коэффициента детерминации, критерии Фишера и Стьюдента.

    Автокорреляция в остатках – корреляционная зависимость между значениями остатков за текущий и предыдущие моменты времени. Для определения автокорреляции остатков используется критерий Дарбина-Уотсона:

    Временной ряд – это датированная целочисленными моментами времени t экономическая переменная. Эта переменная служит количественной характеристикой некоторого экономического объекта, поэтому изменение этой переменной во времени определяется факторами, оказывающими воздействие на данный объект с ходом времени.

    Все факторы делятся на 3 класса. 1 класс: факторы («вековые» воздействия), результирующее влияние которых на данный объект на протяжении длительного отрезка времени не изменяют своего направления. Они порождают монотонную составляющую (тенденцию или тренд). 2 класс: факторы (циклические воздействия), результирующее влияние которых на объект совершает законченный круг в течение некоторого фиксированного промежутка времени T. 3 класс: факторы (случайные воздействия),результирующее влияние которых на объект с высокой скоростью меняет направление и интенсивность. 3 Класс факторов позволяют интерпретировать величину в каждый период времени как случайную переменную