Задать функцию означает установить правило (закон) с помощью которого по данным значениям независимой переменной находим соответствующие им значения функции. Рассмотрим различные способы задания функции.
Эта запись определяет температуру Т как функцию от времени t:T=f(t). Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения функции сразу, без дополнительных изменений или вычислений. Недостатки: определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента; не дает наглядного изображения характера изменения функции с изменением аргумента.
2. Графический способ. Графиком функцииy=f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Это может быть некоторая кривая, в частности прямая, множество точек на плоскости.
Преимущество – наглядность, недостаток – нет возможности точно определить значения аргумента. В технике и физике часто он является единственно доступным способом задания функции, например, при пользовании самопишущими приборами, которые автоматически записывают изменение одной величины относительно другой (барограф, термограф и др.).
3. Аналитический способ. По этому способу функция задается аналитически, с помощью формулы. Такой способ дает возможность по каждому численному значению аргумента х найти соответствующее ему численное значение функции у точно или с некоторой точностью.
При аналитическом способе функция может быть задана и несколькими разными формулами. Например, функция
задана
в области определения [-
,
15] с помощью трех формул.
Если
зависимость между х и у задана
формулой, разрешенной относительно у,
т.е. имеет вид у = f(x)
, то говорят, что функция от х задана в
явном виде, например,.
Если же значения х и у связаны некоторым
уравнением видаF(x,y)
= 0, т.е. формула не разрешена относительно
у, то говорят, что функция задана неявно.
Например,.
Заметим, что не всякую неявную функцию
можно представить в виде у =f(x),
наоборот, любую явную функцию всегда
можно представить в виде неявной:
.
Еще одна разновидность аналитического
задания функции – параметрическое,
когда аргумент х и функция у являются
функциями третьей величины – параметраt:
,
где
,
Т – некоторый промежуток. Такой способ
широко применяется в механике, в
геометрии.
Аналитический способ является самым распространенным способом задания функции. Компактность, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа, возможность вычисления значений функции при любых значениях аргумента – его основные преимущества.
4. Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами. Например, функция Е(х) – целая часть числа х, функция Дирихле, функция Римана,n!,r(n) – число делителей натурального числаn.
5. Полуграфический способ. Здесь значения функции представляются в виде отрезков, а значения аргумента – в виде чисел, проставленных на концах отрезков, указывающих значения функции. Так, например, в термометре есть шкала с равными делениями, у которых проставлены числа. Эти числа являются значениями аргумента (температуры). Они стоят на том месте, которое определяет графическое удлинение столбца ртути (значения функции) в связи с ее объемным расширением в результате температурных изменений.
Функцией называется закон, по которому числу х из заданного множества Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут , при этом x называют аргументом функции, y называют значением функции.
Существуют разные способы задания функций.
1. Аналитический способ.
Аналитический способ
— это наиболее часто встречающийся способ задания функции.
Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у. Например .
Рассмотрим первый пример — . Здесь значению x = 1 соответствует , значению x = 3 соответствует и т. д.
Функция может быть задана на разных частях множества X разными функциями.
Например:
Во всех ранее приведенных примерах аналитического способа задания, функция была задана явно. То есть, справа стояла переменная y, а справа формула от переменной х. Однако, при аналитическом способе задания, функция может быть задана и неявно.
Например . Здесь, если мы задаем переменной x значение, то, чтобы найти значение переменной у (значение функции), мы должны решить уравнение. Например, для первой заданной функции при х = 3, будем решать уравнение:
. То есть, значение функции при х = 3 равно -4/3.
При аналитическом способе задания, функция может быть задана параметрически — это, когда х и у выражены через некоторый параметр t. Например,
Здесь при t = 2, x = 2, y = 4. То есть, значение функции при х = 2 равно 4.
2. Графический способ.
При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом . Пример:
3. Словесный способ.
Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле.
«Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число».
4. Табличный способ.
Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y.
Пример.
Аналитическое задание функции
Функция %%y = f(x), x \in X%% задана явным аналитическим способом , если дана формула, указывающая последовательность математических действий, которые надо выполнить с аргументом %%x%%, чтобы получить значение %%f(x)%% этой функции.
Пример
- %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb{R}%%;
- %% y = \frac{1}{x - 5}, x \neq 5%%;
- %% y = \sqrt{x}, x \geq 0%%.
Так, например, в физике при равноускоренном прямолинейном движении скорость тела определяется формулой %%v = v_0 + a t%%, а формула для перемещения %%s%% тела при равномерно ускоренном движении на промежутке времени от %%0%% до %%t%% записывается в виде: %% s = s_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2} %%.
Кусочно-заданные функции
Иногда рассматриваемая функция может быть задана несколькими формулами, действующими на различных участках области ее определения, в которой изменяется аргумент функции. Например: $$ y = \begin{cases} x ^ 2,~ если~x < 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$
Функции такого вида иногда называют составными или кусочно-заданными . Примером такой функции является %%y = |x|%%
Область определения функции
Если функция задана явным аналитическим способом с помощью формулы, но область определения функции в виде множества %%D%% не указана, то под %%D%% будем всегда подразумевать множество значений аргумента %%x%%, при которых данная формула имеет смысл. Так для функции %%y = x^2%% областью определения служит множество %%D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)%%, поскольку аргумент %%x%% может принимать любые значения на числовой прямой . А для функции %%y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}%% областью определения будет множество значений %%x%% удовлетворяющих неравенству %%1 - x^2 > 0%%, т.е. %%D = (-1, 1)%%.
Преимущества явного аналитического задания функции
Отметим, что явный аналитический способ задания функции достаточно компактен (формула, как правило, занимает немного места), легко воспроизводим (формулу нетрудно записать) и наиболее приспособлен к выполнению над функциями математических действий и преобразований.
Некоторые из этих действий - алгебраические (сложение, умножение и др.) - хорошо известны из школьного курса математики, другие (дифференцирование, интегрирование) будем изучать в дальнейшем. Однако этот способ не всегда нагляден, так как не всегда четок характер зависимости функции от аргумента, а для нахождения значений функции (если они необходимы) требуются иногда громоздкие вычисления.
Неявное задание функции
Функция %%y = f(x)%% задана неявным аналитическим способом , если дано соотношение $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ связывающее значения функции %%y%% и аргумента %%x%%. Если задавать значения аргумента, то для нахождения значения %%y%%, соответствующего конкретному значению %%x%%, необходимо решить уравнение %%(1)%% относительно %%y%% при этом конкретном значении %%x%%.
При заданном значении %%x%% уравнение %%(1)%% может не иметь решения или иметь более одного решения. В первом случае заданное значение %%x%% не принадлежит области определения неявно заданной функции, а во втором случае задает многозначную функцию , имеющую при данном значении аргумента более одного значения.
Отметим, что если уравнение %%(1)%% удается явно разрешить относительно %%y = f(x)%%, то получаем ту же функцию, но уже заданную явным аналитическим способом. Так, уравнение %%x + y^5 - 1 = 0%%
и равенство %%y = \sqrt{1 - x}%% определяют одну и ту же функцию.
Параметрическое задание функции
Когда зависимость %%y%% от %%x%% не задана непосредственно, а вместо этого даны зависимости обоих переменных %%x%% и %%y%% от некоторой третьей вспомогательной переменной %%t%% в виде
$$ \begin{cases} x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end{cases} ~~~t \in T \subseteq \mathbb{R}, ~~~~~~~~~~(2) $$то говорят о параметрическом способе задания функции;
тогда вспомогательную переменную %%t%% называют параметром.
Если из уравнений %%(2)%% удается исключить параметр %%t%%, то приходят к функции, заданной явной или неявной аналитической зависимостью %%y%% от %%x%%. Например, из соотношений $$ \begin{cases} x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end{cases}, ~~~t \in \mathbb{R}, $$ исключением параметра %%t%% получим зависимость %%y = 2 x + 2%%, которая задает в плоскости %%xOy%% прямую.
Графический способ
Пример графического задания функции
Приведенные выше примеры показывают, что аналитическому способу задания функции соответствует ее графическое изображение , которое можно рассматривать как удобную и наглядную форму описания функции. Иногда используют графический способ задания функции, когда зависимость %%y%% от %%x%% задают линией на плоскости %%xOy%%. Однако при всей наглядности он проигрывает в точности, поскольку значения аргумента и соответствующие им значения функции можно получить из графика лишь приближенно. Возникающая при этом погрешность зависит от масштаба и точности измерения абсциссы и ординаты отдельных точек графика. В дальнейшем графику функции отведем роль только иллюстрации поведения функции и поэтому будем ограничиваться построением «эскизов» графиков, отражающих основные особенности функций.
Табличный способ
Отметим табличный способ задания функции, когда некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции в определенном порядке размещаются в таблице. Так построены известные таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.п. В виде таблицы обычно представляют зависимость между величинами, измеряемыми при экспериментальных исследованиях, наблюдениях, испытаниях.
Недостаток этого способа состоит в невозможности непосредственного определения значений функции для значений аргумента, не входящих в таблицу. Если есть уверенность, что непредставленные в таблице значения аргумента принадлежат области определения рассматриваемой функции, то соответствующие им значения функции могут быть вычислены приближенно при помощи интерполяции и экстраполяции.
Пример
| x | 3 | 5.1 | 10 | 12.5 |
| y | 9 | 23 | 80 | 110 |
Алгоритмический и словесный способы задания функций
Функцию можно задать алгоритмическим (или программным ) способом, который широко используют при вычислениях на ЭВМ.
Наконец, можно отметить описательный (или словесный ) способ задания функции, когда правило соответствия значений функции значениям аргумента выражено словами.
Например, функцию %%[x] = m~\forall {x \in . А если бы речь шла об отыскании области определения аналитически заданной функции Тогда пришлось бы, как мы это делали в § 7, тратить время и силы на решение неравенства Потому-то обычно и стараются работать одновременно и с аналитическим, и с графическим способами задания функций. Впрочем, за два года изучения курса алгебры в школе вы к этому уже привыкли.
Кроме аналитического и графического, на практике применяют табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, в которой указаны значения функции (иногда точные, иногда приближенные) для конечного множества значений аргумента. Примерами табличного задания функции могут служить таблицы квадратов чисел, кубов чисел, квадратных корней и т.д.
Во многих случаях табличное задание функции является удобным. Оно позволяет найти значение функции для имеющихся в таблице значений аргумента без всяких вычислений.
Аналитический, графический, табличный - наитабличный, более простые, а потому наиболее популярные словесный задания функции, для наших нужд этих способов вполне достаточно. На самом деле в математике имеется довольно много различных способов задания функции, но мы познакомим вас еще только с одним способом, который используется в весьма своеобразных ситуациях. Речь идет о словесном способе, когда правило задания функции описывается словами. Приведем примеры.
Пример 1.
Функция у = f(х) задана на множестве всех неотрицательных чисел с помощью следующего правила: каждому числу х > 0 ставится в соответствие первый знак после запятой в десятичной записи числа х. Если, скажем, х = 2,534, то f(х) = 5 (первый знак после запятой - цифра 5); если х = 13,002, то f(х) = 0; если то, записав в виде бесконечной десятичной дроби 0,6666..., находим f(х) = 6. А чему равно значение f(15)? Оно равно 0, так как 15 = 15,000... , и мы видим, что первый десятичный знак после запятой есть 0 (вообще-то верно и равенство 15 = 14,999... , но математики договорились не рассматривать бесконечные периодические десятичные дроби с периодом 9).
Любое неотрицательное число х можно записать в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной), а потому для каждого значения х можно найти определенное значение первого знака после запятой, так что мы можем говорить о функции, хотя и несколько необычной. У этой функции 
Пример 2.
Функция у = f(х) задана на множестве всех действительных чисел с помощью следующего правила: каждому числу х ставится в соответствие наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят х. Иными словами, функция у = f(х) определяется следующими условиями:
а) f(х) - целое число;
б) f(х) < х (поскольку f(х) не превосходит х);
в) f(х) + 1 > х (поскольку f(х) - наибольшее целое число, не превосходящее х, значит, f(х) + 1 уже больше, чем г). Если, скажем, х = 2,534, то f(х) = 2, поскольку, во-первых, 2 - целое число, во-вторых, 2 < 2,534 и, в-третьих, следующее целое число 3 уже больше, чем 2,534. Если х = 47, то /(х) = 47, поскольку, во-первых, 47 - целое число, во-вторых, 47< 47 (точнее, 47 = 47) и, в-третьих, следующее за числом 47 целое число 48 уже больше, чем 47. А чему равно значение f(-0,(23))? Оно равно -1. Проверяйте: -1 - наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят числа -0,232323....
У этой функции (множество целых чисел).
Функцию, о которой шла речь в примере 2, называют целой частью числа; для целой части числа х используют обозначение [х]. Например, = 2, = 47, [-0,(23)] = -1. Очень своеобразно выглядит график функции у = [х] (рис. 54).
Функция и способы ее задания.
Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Рассмотрим некоторые способы задания функций.
Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.
При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.
Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.
Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.
Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.
Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.
Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.
Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.
Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.
Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.
Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа - основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.
Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.
Пример 1: функция E(x) - целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r - целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке = r.
Пример 2:
функция y = {x} - дробная часть числа.
Точнее y ={x} = x - [x], где [x] - целая часть
числа x. Эта функция определена для всех
x. Если x - произвольное число, то
представив его в виде x = r + q (r = [x]), где
r - целое число и q лежит в интервале }