Касательная - это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.
Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .
Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции.
y = kx + b .
В нём k - угловой коэффициент.
Отсюда получаем следующую запись:
y - y 0 = k (x - x 0 ) .
Значение производной f "(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .
Таким образом, можем заменить k на f "(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :
y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .
В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.
Теперь об уравнении нормали. Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :
(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0
Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет "холодным душем".
Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .
Пример 1.
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции 
, если абсцисса точки
касания .
Найдём производную функции:
Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем
В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:
На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.
Следующий пример - тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг - приведение уравнения к общему виду.
Пример 2.
Решение. Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):
Составляем уравнение нормали:
Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Находим уравнение касательной:
Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Найдём производную функции:
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали - не заметить, что функция, данная в примере, - сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры - уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).
Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
Внимание! Данная функция - сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции.
Касательная – это прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка (рис.1).
Другое определение : это предельное положение секущей при Δx →0.
Пояснение : Возьмем прямую, пересекающую кривую в двух точках: А и b (см.рисунок). Это секущая. Будем поворачивать ее по часовой стрелке до тех пор, пока она не обретет только одну общую точку с кривой. Так мы получим касательную.
Строгое определение касательной:
Касательная к графику функции f , дифференцируемой в точке x о , - это прямая, проходящая через точку (x о ; f (x о )) и имеющая угловой коэффициент f ′(x о ).
Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b . Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.
Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс:
|
Здесь угол α – это угол между прямой y =
kx +
b
и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой
(рис.1 и 2).
Если угол наклона прямой y =
kx +
b
острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1).
Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).
Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).
Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c , где c – некоторое действительное число (рис.4).
Уравнение касательной к графику функции y = f (x ) в точке x о :
Пример
: Найдем уравнение касательной к графику функции f
(x
) = x
3 – 2x
2 + 1 в точке с абсциссой 2.
Решение .
Следуем алгоритму.
1) Точка касания x о равна 2. Вычислим f (x о ):
f (x о ) = f (2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Находим f ′(x ). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х 2 = 2х , а х 3 = 3х 2 . Значит:
f ′(x ) = 3х 2 – 2 ∙ 2х = 3х 2 – 4х .
Теперь, используя полученное значение f ′(x ), вычислим f ′(x о ):
f ′(x о ) = f ′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Итак, у нас есть все необходимые данные: x о = 2, f (x о ) = 1, f ′(x о ) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:
у = f (x о ) + f ′(x о ) (x – x о ) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.
Ответ : у = 4х – 7.
Важные замечания!
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь:
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для
Ты уже знаешь что такое производная? Если нет, сперва прочти тему . Итак, ты говоришь, что знаешь производную. Сейчас проверим. Найди приращение функции при приращении аргумента, равном. Справился? Должно получиться. А теперь найди производную функции в точке. Ответ: . Получилось? Если в каком-нибудь из этих примеров возникли сложности, настоятельно рекомендую вернуться к теме и проштудировать ее еще раз. Знаю, тема очень большая, но иначе нет смысла идти дальше. Рассмотрим график какой-то функции:
Выберем на линии графика некую точку. Пусть ее абсцисса, тогда ордината равна. Затем выберем близкую к точке точку с абсциссой; ее ордината - это:
Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии). Обозначим угол наклона прямой к оси как. Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки. Какие значения может принимать угол? Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол - , а минимально возможный - . Значит, . Угол не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с, а логичнее выбирать меньший угол. Возьмем на рисунке такую точку, чтобы прямая была параллельна оси абсцисс, а - ординат:
По рисунку видно, что, а. Тогда отношение приращений:
(так как, то - прямоугольный).
Давай теперь уменьшать. Тогда точка будет приближаться к точке. Когда станет бесконечно малым, отношение станет равно производной функции в точке. Что же при этом станет с секущей? Точка будет бесконечно близка к точке, так что их можно будет считать одной и той же точкой. Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку - это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке - вблизи точки, но этого достаточно). Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение .
Угол наклона секущей к оси назовем. Тогда получится, что производная
то есть производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке.
Поскольку касательная - это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:
За что отвечает коэффициент? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент . Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью! То есть вот что получается:
Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей? Посмотрим: 
Теперь углы и тупые. А приращение функции - отрицательное. Снова рассмотрим: . С другой стороны, . Получаем: , то есть все, как и в прошлый раз. Снова устремим точку к точке, и секущая примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке. Итак, сформулируем окончательно полученное правило:
Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:
Это и есть геометрический смысл производной.
Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:
На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции в точке. 
Решение.
Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс: . Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной. На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной! 
Угол наклона касательной к оси - это. Найдем тангенс этого угла: . Таким образом, производная функции в точке равна.
Ответ:
. Теперь попробуй сам:
Ответы:
Зная геометрический смысл производной
, можно очень просто объяснить правило, что производная в точке локального максимума или минимума равна нулю. Действительно, касательная к графику в этих точках «горизонтальна», то есть параллельна оси абсцисс: 
А чему равен угол между параллельными прямыми? Конечно, нулю! А тангенс нуля тоже равен нулю. Вот и производная равна нулю:
Более подробно об этом читай в теме «Монотонность функций. Точки экстремума».
А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных. Предположим, у нас есть какая-то функция, например, . Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке. Например, в точке. Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:
Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости? Поскольку прямая - это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты и в уравнении
Но ведь мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:
В нашем примере будет так:
Теперь остается найти. Это проще простого: ведь - значение при. Графически - это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь во всех точках оси):
Проведём (так, что - прямоугольный). Тогда (тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны и? По рисунку явно видно, что, а. Тогда получаем:
Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:
Теперь реши сам:
- Найди уравнение касательной к функции в точке.
- Касательная к параболе пересекает ось под углом. Найди уравнение этой касательной.
- Прямая параллельна касательной к графику функции. Найдите абсциссу точки касания.
- Прямая параллельна касательной к графику функции. Найдите абсциссу точки касания.
Решения и ответы:
УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Производная функции в конкретной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или угловому коэффициенту этой касательной:
Уравнение касательной к графику функции в точке:
Алгоритм действий для нахождения уравнения касательной:
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Эта математическая программа находит уравнение касательной к графику функции \(f(x) \) в заданной пользователем
точке \(a \).
Программа не только выводит уравнение касательной, но и отображает процесс решения задачи.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вам нужно найти производную функции, то для этого у нас есть задача Найти производную.
Если вы не знакомы с правилами ввода функций, рекомендуем с ними ознакомиться.
Введите выражение функции \(f(x)\) и число \(a\) Найти уравнение касательной Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Угловой коэффициент прямой
Напомним, что графиком линейной функции \(y=kx+b\) является прямая. Число \(k=tg \alpha \) называют угловым коэффициентом прямой , а угол \(\alpha \) - углом между этой прямой и осью Ox
Если \(k>0\), то \(0 Если \(kУравнение касательной к графику функции
Если точка М(а; f(a)) принадлежит графику функции у = f(x) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то из геометрического смысла производной следует, что угловой коэффициент касательной равен f"(a). Далее мы выработаем алгоритм составления уравнения касательной к графику любой функции.
Пусть даны функция у = f(x) и точка М(а; f(a)) на графике этой функции; пусть известно, что существует f"(a). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид y = kx + b, поэтому задача состоит в нахождении значений коэффициентов k и b.
С угловым коэффициентом k все понятно: известно, что k = f"(a). Для вычисления значения b воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f(a)). Это значит, что если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: \(f(a)=ka+b \), т.е. \(b = f(a) - ka \).
Осталось подставить найденные значения коэффициентов k и b в уравнение прямой:
Нами получено уравнение касательной к графику функции \(y = f(x) \) в точке \(x=a \).
Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции \(y=f(x) \)
1. Обозначить абсциссу точки касания буквой \(a \)
2. Вычислить \(f(a) \)
3. Найти \(f"(x) \) и вычислить \(f"(a) \)
4. Подставить найденные числа \(a, f(a), f"(a) \) в формулу \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)