Корпускулярно-волновой дуализм влечет за собой важные следствия. Речь идет о возможности одновременного определения координаты микрообъекта и его импульса. Действительно, существует логическое противоречие между свойствами движущегося материального объекта (например, материальной точки), обладающего импульсом р, локализовать в пространстве который можно с любой, сколь угодно высокой точностью, и монохроматической волной де-Бройля (с длиной волны А,), которая по существу простирается от -ос до +оо и, таким образом, полностью делокализована в пространстве. По гипотезе де- Бройля этой же волне сопоставляется импульс, подобный импульсу материального объекта, допускающего абсолютную локализацию в пространстве. Количественное рассмотрение этого противоречия позволило В. Гейзенбергу в 1927 г. сформулировать принцип, который в современном виде звучит так: не существует таких состояний микрообъекта, когда его координата и импульс одновременно принимают определенные, абсолютно точные значения. Если при движении вдоль оси х характеризовать неопределенность координаты и импульса микрообъекта величинами Ах и Ар х, то соотношение Гейзенберга (для координаты и импульса) имеет вид

т.е. неопределенность в координате, умноженная на неопределенность в импульсе (его проекции для одномерного случая), не может быть меньше постоянной Планка И".

Можно привести еще одну интерпретацию соотношения неопределенностей. Известно, что волна только тогда может быть охарактеризована точным значением длины волны X, когда она простирается в пространстве от -оо до +оо. Известно также, что такая волна (как и материальная точка, впрочем) является математической абстракцией. Вместе с тем соответственно этой модели точное значение длины волны X определяет точное значение волнового вектора к и, следовательно, импульса р. Значит, в этом случае неопределенность в импульсе Ар должна быть равна нулю (рис. 8.3, а). При этом мы ничего не сможем сказать о положении частицы, т.е. неопределенность в координате Ах равна бесконечности. Если же мы захотим уменьшить неопределенность в положении частицы и наложим на нее условие, чтобы Лх стала равной конечной величине (рис. 8.3, б), это приведет к тому, что возникнет неопределенность в импульсе, которая станет больше, если мы еще более локализуем (т.е. уменьшим Ах) частицу (рис. 8.3, в).

Рис. 8.3. Иллюстрация соотношения неопределенностей для х и р х: чем точнее локализована частица, тем более неопределен ее импульс

Принцип неопределенности Гейзенберга делает принципиально неприменимыми некоторые положения классической механики. В частности, это касается такого важного понятия как траектория. В качестве примера рассмотрим атом водорода в рамках боровской модели.

Электрон в атоме обращается вокруг протона по круговой орбите. При известных массе и заряде электрона в рамках классической электродинамики можно определить по порядку величины, скорость его движения, она оказывается примерно 10 6 м/с. Тогда по Гейзенбергу (с использованием (8.4)) неопределенность в координате Ах определяется как м, т.е.

Ах по порядку величины совпадает с размером атома. Отсюда следует, что понятие траектории в данном случае (и в квантовой механике вообще) теряет смысл: неопределенность в координате электрона становится больше, чем размер области, в пределах которой он находится! Ясно, что нужны иные, чем в классической механике, подходы к описанию состояния микрообъектов.

Еще одно важное обстоятельство: само соотношение неопределенностей позволяет в некоторых случаях, не решая задачу точно, оценить характер будущего решения. В качестве такого примера рассмотрим состояние частицы, ограниченной в движении в пространстве (т.е. находящейся в потенциальной яме - в силовом поле, потенциальная энергия которого - см. подраздел 1.4.4, в зависимости от координаты напоминает по форме яму) величиной пространственной координаты L.

Зададимся вопросом, может ли в рассматриваемом случае энергия частицы принимать любые значения, в частности, «лечь на дно» (т.е. обладать точным нулевым значением энергии и, соответственно, точно определенным импульсом)? Для решения этой задачи зададимся неопределенностью в импульсе: примем эту неопределенность равной 100%, т.е. положим Ар ~р. Имея в виду связь энергии Е с импульсом, можно записать: р » Ар = 12тЕ. Неопределенность в координате Дх в условиях данной задачи равна ширине ямы L (т.е. Дх-L): мы знаем, что частица находится в потенциальной яме, но не знаем конкретно, в какой ее точке. В результате соотношение неопределенностей выглядит так: ДхДр х > ~]2тЕ L > И, отсюда

Это значит, что получен ответ на поставленные выше вопросы: частица на дно потенциальной ямы «лечь» не может (не может обладать нулевой энергией), а выражение представляет собой наименьшее значение энергии,

которой частица может обладать.

Еще раз подчеркнем, что эти выводы получены исходя только из соотношения неопределенностей, без использования основных атрибутов квантовой механики.

Соотношение неопределенностей распространяется также на энергию Е микрообъекта и время т жизни системы в этом энергетическом состоянии: произведение неопределенности в энергии ДЕ на время жизни системы в этом состоянии т не может быть меньше h

Для основного состояния микрообъекта, который может существовать в этом состоянии бесконечно долго (т -» оо), неопределенность в энергии АЕ стремится к нулю, т.е. энергия основного состояния может быть определена абсолютно точно. Вместе с тем для возбужденных состояний со временем жизни, скажем 10 -8 с (характерные времена жизни в возбужденном состоянии атомных систем), неопределенность в энергии АЕ ~ 10 -34 /10 -8 = 10 -26 Дж а 10 -7 эВ. Это очень малая величина, но в некоторых случаях она играет важную роль в физических процессах. На рисунке 8.4 приведена иллюстрация расширения спектральной линии за счет учета соотношения неопределенностей (для энергии и времени). Ширина линии, задаваемая исключительно уширением энергетического уровня за счет эффекта неопределенностей Гейзенберга (т.е. не подверженная влиянию внешних условий или измерительного прибора), называется естественной шириной спектральной линии.

Рис. 8.4. Иллюстрация принципа неопределенностей для энергии и времени (ДEx > А). Слева изображены два уровня энергии без учета соотношения неопределенностей: оба уровня «бесконечно тонкие» (т -> оо), спектральная линия (внизу) также бесконечно тонка. Учет соотношения неопределенностей для т = const (верхний уровень) приводит к уширению возбужденного уровня, и спектральная линия за этот счет становится уширенной (Г = АЕ = Л/т - естественная ширина спектральной линии)

Соотношение неопределенностей не накладывает никаких ограничений на возможность одновременного существования совершенно точных значений координат и импульсов, относящихся к разным координатным осям. Иными словами, произведения ДуАр х и ДхДр, могут быть равными нулю, т.е. соответствующие значения пар координат и проекций импульсов могут быть определены со сколь угодно малой погрешностью.

Соотношение неопределенностей в форме (8.4) и (8.6) можно рассматривать как аналитическое выражение философского представления о существовании материи в пространстве и во времени. Действительно, если допустить отсутствие пространства (длина Дх равна нулю) и времени (время т равно нулю), то мы получаем абсурдные результаты: импульс и энергия частицы (материального тела) оказываются бесконечными.

• Соотношения (8.4) и далее (8.6) носят оценочный характер и поэтому в правой части неравенства вместо А может стоять или А/2 (что иногда встречается в учебной и научной литературе).

пучками. Из рис. 2 видно, что угол между падающим электронным пучком и системой отражающих атомных плоскостей

Поэтому если отражение от этой системы атомных плоскостей соответствует дифракционному максимуму n-го порядка, то выполняется условие (?? ) Вульфа-Брэгга 2d sin θ = nλБ , которое можно записать в виде

			√ 2m0 eU

Отсюда находим искомое межплоскостное расстояние

					2m0 eU

Выполняя расчёт по этой формуле, получаем d = 2,1 · 10−10 м.

2 Соотношения неопределенностей Гейзенберга

В 1927 г. В. ГЕЙЗЕНБЕРГ установил, что при наличии у частиц волновых свойств существует связь между неопределенностями координат и соот-

ветствующими неопределенностями компонент импульса частицы. Эта связь имеет вид неравенств1 :

	px ≥ ~ ,
	py ≥ ~ ,
	pz ≥ ~ .

Эти соотношения играют важную роль, позволяя очертить границы применимости классической механики, в которой, в отличие от квантовой механики, пренебрегают волновыми свойствами частиц.

Из соотношений Гейзенберга (?? ) следует, что из-за наличия у частицы волновых свойств нельзя одновременно точно измерить координату

и px → 0. Но это противоречит неравенствам (?? ). Отсюда следует, в частности, что в квантовой механике для описания движения частицы нельзя использовать представление о движении частицы по определённой траектории, так как такое движение предполагает возможность одновременного точного определения и координат, и импульса (скорости) частицы.

Аналогичные соотношения неопределённостей в квантовой механике записываются и для других пар физических величин. Так, например,

Ограничения на информацию о движении частицы и её состоянии, вытекающие из соотношений неопределённостей, оказываются несущественными для лабораторных макроскопических масштабов. Однако эти ограничения становятся существенными для малых масштабов расстояний, импульсов, энергий и времён жизни частиц, с которыми мы сталкиваемся в атомной и ядерной физике и в физике элементарных частиц.

2.1 Примеры решения задач

Задача. 2.1. Определите с помощью соотношений неопределённо-

1 Иногда в правой части неравенств(2.20) записывают не ~, а1 2 ~ или 2π~. В силу того, что эти соотношения используются как оценочные, принципиального различия между такими формами записи нет.

стей минимальную кинетическую энергию электрона, движущегося в области, размер которой L = 10−10 м соответствует характерному размеру атомов.

Решение. Для оценочных расчётов будем считать движение частицы одномерным и величину неопределённости координаты положим равной размеру области движения частицы, т.е. x = L. При оценке неопределённости импульса примем, что физически разумная неопределённость импульса не должна превышать значения самого импульса, т.е. положим px = p. Тогда из соотношения неопределённостей x · px = ~ получим, что при движении электрона в рассматриваемой области пространства Lp > ~, т.е. импульс частицы не может быть меньше чем

	p min=

Это означает, в частности, что в квантовой механике частица не может иметь нулевой импульс, т.е. не может находиться в состоянии покоя.

Используя связь между импульсом p и кинетической энергией E для

√ K

нерелятивистской частицы в виде p = 2m0 EK запишем теперь следующее оценочное соотношение значения кинетической энергии частицы:

			2m0 L2

Подставляя в эту формулу массу электрона m0 = 9.1 · 10−31 кг и размер области движения L = 10−10 м, находим EK min = 6 · 10−19 Дж = 3.9 эВ. Чтобы электрон с такой кинетической энергией удержать в области движения, необходима энергия связи такого же порядка. Этот вывод согласуется с опытными данными для энергий связи электронов в атомах.

Задача. 2.2. Используя соотношения неопределённостей, покажите, что в ядре атома не могут находиться электроны. Считать, что линейный размер ядра составляет L = 5 · 10−15 м.

Решение. Как и в задаче 2.1, на основании соотношения неопределённостей можно оценить минимальное значение импульса электрона

релятивистскую формулу связи импульса p с кинетической энергией EK частицы

pc = EK 2 + 2EK E0 ,

получаем квадратное уравнение для расчёта минимальной кинетической энергии электрона в ядре

(EK )

2E0 EK

Положительный корень этого уравнения

E K min= v

E0 2

определяет искомое значение кинетической энергии электрона, движущегося в ядре. Учитывая, что энергия покоя электрона E0 = m0 c2 = 8,19 · 10−14 Дж =0,51 МэВ, находим окончательно значение EK min = 6,2 · 10−22 Дж = 38,7 МэВ.

Как показывают экспериментальные данные, энергия связи частиц в ядре не превышает 10 МэВ. Следовательно, силы, действующие в ядре, не смогут удержать в нём электрон с кинетической энергией, равной 38,7 МэВ. Поэтому электрон не может быть составной частицей ядра атома.

Задача. 2.3. Используя соотношения неопределённостей Гейзенберга, получите оценочное соотношение, определяющее границы применимости классической механики для описания движения частицы в некоторой области пространства с характерным линейным размером L.

Решение. Очевидно, что понятие траектории можно использовать для описания механического движения частицы только в том случае, если неопределённость её координаты мала по сравнению с характерным размером области движения, т.е. x L.

Из соотношений неопределённостей, полагая px = p, получаем для

где λБ - длина волны де Бройля для рассматриваемой частицы.

Следовательно, условие, при выполнении которого для описания движения частицы можно использовать законы классической механики, пренебрегая квантовыми эффектами, можно записать в виде

λБ L .

Отметим, что в это условие входит размер области движения частицы, который обычно задаётся условием решаемой задачи. Анализ показывает, что полученное условие нарушается для частиц с малой массой, т.е. микрочастиц, движущихся в областях пространства порядка атомных размеров.

Задача. 2.4. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет τ = 10−8 с. Оцените минимальное значение неопределённости частоты излучения атома.

Решение. Частота излучения, соответствующая переходу атома из возбуждённого состояния с энергией E2 в основное состояние с энергией E1 , определяется из соотношения

~ω = E1 − E2 .

Из соотношения неопределённостей (?? ) следует, что неопределённости энергий E1 и E2 зависят от времени жизни атома в основном и возбуждённом состояниях, причём

Так как в основном состоянии атом может находиться неограниченно долго, то следует полагать, что t1 → ∞. Время жизни атома в возбуждённом состоянии t2 = τ по условию задачи. Поэтому E1 = 0, а

E2 = ~/τ.

Тогда для оценки неопределённости частоты излучения атома получаем соотношение

Именно это значение определяет минимальную ширину спектральных линий излучения атомов. Реальная ширина спектральных линий увеличивается за счёт теплового движения излучающих атомов и других факторов.

Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя. Естественно, что необходимо внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.

В классической механике состояние материальной точки (классической частицы) определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т.д. (перечисленные величины называются динамическими переменными). Строго говоря, микрообъекту не могут быть приписаны указанные динамические переменные. Однако, информацию о микрочастицах мы получаем, наблюдая их взаимодействие с приборами, представляющими собой макроскопические тела. Поэтому результаты измерений поневоле выражаются в терминах, разработанных для характеристики макротел, т.е. через значения динамических характеристик. В соответствии с этим измеренные значения динамических переменных приписываются микрочастицам. Например, говорят о состоянии электрона, в котором он имеет такое-то значение энергии, и т.д.

Волновые свойства частиц и возможность задать для частицы лишь вероятность ее пребывания в данной точке пространства приводят к тому, что сами понятия координаты частицы и ее скорости (или импульса ) могут применяться в квантовой механике в ограниченной мере . В этом, вообще говоря, нет ничего удивительного. В классической физике понятие координаты в ряде случаев тоже непригодно для определения положения объекта в пространстве. Например, не имеет смысла говорить о том, что электромагнитная волна находится в данной точке пространства или что положение фронта волновой поверхности на воде характеризуется координатами x , y , z .

Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц, изучаемых в квантовой механике, приводит к тому, что в ряде случаев оказывается невозможным , в классическом смысле, одновременно характеризовать частицу ее положением в пространстве (координатами ) и скоростью (или импульсом ). Так, например, электрон (и любая другая микрочастица) не может иметь одновременно точных значений координаты x и компоненты импульса . Неопределенности значений x и удовлетворяют соотношению:

.

(4.2.1)

Из (4.2.1) следует, что чем меньше неопределенность одной величины (x или ), тем больше неопределенность другой. Возможно, такое состояние, в котором одна их переменных имеет точное значение (), другая переменная при этом оказывается совершенно неопределенной ( – ее неопределенность равна бесконечности), и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний , в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения . Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременного измерения координаты и импульса микрообъекта с любой наперед заданной точностью.

Соотношение, аналогичное (4.2.1), имеет место для y и , для z и , а также для других пар величин (в классической механике такие пары называются канонически сопряженными ). Обозначив канонически сопряженные величины буквами A и B , можно записать:

.

(4.2.2)

Соотношение (4.2.2) называется соотношением неопределенностей для величин A и B . Это соотношение ввёл в 1927 году Вернер Гейзенберг.

Утверждение о том, что произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку меньше постоянной Планка h , называется соотношением неопределенностей Гейзенберга .

Энергия и время являются канонически сопряженными величинами . Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенностей:

.

(4.2.3)

Это соотношение означает, что определение энергии с точностью должно занять интервал времени, равный, по меньшей мере,

Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличии у нее волновых свойств. Т.к. в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Соотношение неопределенностей указывает, в какой мере возможно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам, в частности с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Движение по траектории характеризуется вполне определенными значениями координат и скорости в каждый момент времени. Подставив в (4.2.1) вместо произведение , получим соотношение:

.

(4.2.4)

Из этого соотношения следует, что чем больше масса частицы , тем меньше неопределенности ее координаты и скорости , следовательно тем с большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Так, например, уже для пылинки массой кг и линейными размерами м, координата которой определена с точностью до 0,01 ее размеров ( м), неопределенность скорости, по (4.2.4),

т.е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинка может двигаться.

Таким образом, для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли ; координаты и скорости могут быть измерены достаточно точно. Это означает, что для описания движения макротел с абсолютной достоверностью можно пользоваться законами классической механики.

Предположим, что пучок электронов движется вдоль оси x со скоростью м/с, определяемой с точностью до 0,01% ( м/с). Какова точность определения координаты электрона?

По формуле (4.2.4) получим:

.

Таким образом, положение электрона может быть определено с точностью до тысячных долей миллиметра. Такая точность достаточна, чтобы можно было говорить о движении электронов по определенной траектории иными словами, описывать их движения законами классической механики.

Применим соотношение неопределенностей к электрону, двигающемуся в атоме водорода. Допустим, что неопределенность координаты электрона м (порядка размеров самого атома), тогда, согласно (4.2.4),

.

Используя законы классической физики, можно показать, что при движении электрона вокруг ядра по круговой орбите радиуса приблизительно м его скорость м/с. Таким образом, неопределенность скорости в несколько раз больше самой скорости. Очевидно, что в данном случае нельзя говорить о движении электронов в атоме по определенной траектории. Иными словами, для описания движения электронов в атоме нельзя пользоваться законами классической физики.

Нельзя приписывать микрочастицам либо все свойства частиц, либо все свойства волны.

Необходимо ввести ограничения к микромиру понятий классической физики. В классической физике каждая частица движется по определённой траектории и в любой момент времени можно точно определить её координату и её импульс (всегда). Микрочастица из-за наличия волновых свойств отличается от классических частиц, и основное различие состоит в том, что нельзя говорить о движении частиц по определённой траектории, а также нельзя одновременно точно определить координату частицы им её импульс.

Понятие длины волны в(0) вообще не имеет смыла. Поэтому частица имея точный импульс, не можнт иметь точной координаты и наоборот.

В 1927 году Гейзенберг ввёл соотношение неопределённостей:

произведение неопределённостей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше Ћ.

∆z∆p z ≥Ћ

Пусть поток электронов проходит через узкую щель величиной ∆x, т.к. электрон обладает волновыми свойствами, то при прохождении через щель, размер которой сопоставим с волной Де Бройляλ Б, на экране наблюдается дифракционная картина с главным максимумом. До щели электроны движутся вдоль осиyи проекция их импульса на осьx=0 (p x =0 и∆x=0(до щели)) абсолютно не определена. В момент прохождения щели положение электрона на осиxопределяется размером щели∆x. В этот же момент из-за дифракции электронов они отклоняются на угол 2φ, гдеφ-угол соответствующий первому дифракционному максимуму на щели. Появляется неопределённость для проекции импульса для осиx.

∆ p x =p·Sinφ=(2πЋ/λ Б) ·Sinφ

По условию первого дифракционного максимума на щели Δx·Sinφдолжен быть равен чётному числу полуволн.

На первом минимуме это λ.

∆x·Sinφ=λ; ∆x= λ/ Sinφ;

Тогда ∆x·∆p x = (λ/ Sinφ)·(2πЋ/λ Б) ·Sinφ=2πЋ

Существует также другое соотношение:

∆E-это неопределённость энергии в системы в момент измерения этой энергии.

∆t-неопределённость длительности процесса измерения.

Система. имеющая время жизни Δt, не может быть охарактеризована определённым значением энергии.

Неопределённость по времени –это то время в течение которого система пребывает в состоянии с неопределённой энергией. Например, испускание телом цуга волн(тогда измерить энергию невозможно).

Оценка с помощью соотношения неопределенностей основного состояния.

Частицы находятся в потенциальной яме шириной L, где она может находиться только во второй области и не может зайти в первую и третью, т.к. яма обладает непроходимыми для частицы стенками(на границах потенциальной ямыU=∞)

Неопределённость по импульсу 100%.

Тогда ΔxΔp x ≥Ћ

L 2 Δp x 2 ≥Ћ 2

Δp x =m∆v x =p x

L 2 m 2 ∆v x 2 ≥Ћ 2 , тогда L 2 m 2 v x 2 ≥Ћ 2

L 2 (m 2 ∆v x 2 /2m)≥Ћ 2 /2m(в скобках энергия)

E= Ћ 2 /2mL 2 -энергия основного состояния

Отсюда следует, что частица, находящаяся в потенциальной яме, никогда не может “лечь” на дно этой ямы, потому что был бы нарушен принцип неопределенностей, в этом случае была бы известна и координата и импульс.

Оценка естественной ширины спектральной линии.

Ширина- это разброс по энергиям.

В не возбужденном состоянии система может находиться в течении времени τ=∞.

В возбужденном состоянии система находится τ=10-8 с.

В соответствии с принципом неопределенностей энергия возбужденного состояния не может быть точно определена и ∆E·∆t≥Ћ всегда остаётся.

Для основного состояния при τ=∞.

∆E 0 =Ћ/∞=0

поэтому основное состояние- это бесконечно узкий основной уровень.

Для возбужденного состояния:

∆E В =Ћ/τ=Ћ/10 -8 = 10 -26 Дж = 10 -7 Эв

Возбужденное состояние это уже интервал ∆E В.

∆E В - ширина спектральной линии.

Оба соотношения Гейзенберга можно приравнять:

∆E·∆t= ΔxΔp x , тогда нас интересует сама ширина спектральной линии по длинам волн.

∆E=(-2πЋc/λ 2)·∆λ; ∆λ=∆Eλ 2 /2πЋc(“-” можно убрать)

При λ=600 нм(видимый свет), а ∆E=10 -7 Эв, тогда ∆λ=10 -4 –такова неточность, такова ширина реально.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга

В классической механике каждая частица движется по определенной траектории, то есть в любой момент времени она имеет определенную координату и импульс. Микрочастицы из-за наличия у них волновых свойств существенно отличаются от классических частиц. Одно из основных различий заключается в том, что нельзя говорить о движении частиц по определенной траектории, то есть нельзя одновременно точно определить значение координаты и импульса.

Для того, чтобы рассмотреть эту важнейшую особенность микрочастиц будем исходить из явления их дифракции. Согласно гипотезе де Бройля . Слева стоит длина волны, но она не является функцией координат. Выражение «длина волны в точке равна » - бессмысленно, но так как импульс выражается через длину волны, то он тоже не должен зависеть от координаты. Отсюда следует, что микрочастица с определенным импульсом имеет полностью неопределенную координату. Выражение «импульс частицы в точке равен » в квантовой механике не имеет смысла.

Положение, что микрочастица не имеет одновременно вполне точные значения координаты и импульса выражено в соотношение неопределенностей Гейзенберга:

Из соотношения неопределенностей следует, что если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты (), то в этом состоянии соответствующая проекция ее импульса оказывается совершенно неопределенной (), и наоборот.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга можно пояснить на примере дифракции электронов. Пусть поток электронов проходит через узкую щель шириной , расположенную перпендикулярно направлению их движения (рис. 1).

Рис.1.

Так как электроны обладают волновыми свойствами, то при их прохождении через щель, размер которой сравним с длиной волны де Бройля для электрона, наблюдается дифракция. Дифракционная картина, наблюдаемая на экране, характеризуется главным максимумом, расположенным симметрично оси , и побочными максимумами по обе стороны от главного (мы их не рассматриваем, так как основная доля интенсивности приходится на главный максимум).

До прохождения через щель электроны двигались вдоль оси , поэтому составляющая импульса , так что , а координата частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения электронов через щель их положение в направлении оси определяется с точностью до ширины щели, то есть с точностью . В тот же момент вследствие дифракции электроны отклоняются от первоначального направления, и будут двигаться в пределах угла . Появляется неопределенность в значении составляющей импульса вдоль оси , которая равна, как следует из рис.1.:

Условие максимума при дифракции на щели , для первого минимума , . То есть

Из этих формул получим:

Если учесть, что часть электронов попадает за предела главного максимума, то величина , то есть