Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X.
Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции .
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
Линейное уравнение регрессии
имеет вид y = bx + a + ε
Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения ε i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям x i и y i можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε i , а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.
Для наших данных система уравнений имеет вид:
10a + 356b = 49
356a + 2135b = 9485
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 68.16, a = 11.17
Уравнение регрессии
:
y = 68.16 x - 11.17
1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии.
Среднеквадратическое отклонение
1.1. Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока :
0.1 < r xy < 0.3: слабая;
0.3 < r xy < 0.5: умеренная;
0.5 < r xy < 0.7: заметная;
0.7 < r xy < 0.9: высокая;
0.9 < r xy < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между признаком Y фактором X весьма высокая и прямая.
1.2. Уравнение регрессии
(оценка уравнения регрессии).
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 68.16 x -11.17
Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл. Коэффициент уравнения регрессии
показывает, на сколько ед. изменится результат при изменении фактора на 1 ед.
Коэффициент b = 68.16 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 68.16.
Коэффициент a = -11.17 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.
Но если х=0 находится далеко от выборочных значений x , то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения x , можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.
Связь между у и x определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.
1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.
Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты. Коэффициент эластичности находится по формуле:
Он показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%. Он не учитывает степень колеблемости факторов.
В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами - Х существенно влияет на Y.
Бета – коэффициент
показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:
Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего Y на 0.9796 среднеквадратичного отклонения этого показателя.
1.4. Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.
1.6. Коэффициент детерминации.
Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R 2 = 0.98 2 = 0.9596
т.е. в 95.96 % случаев изменения x приводят к изменению у. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 4.04 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.
| x | y | x 2 | y 2 | x y | y(x) | (y i -y cp) 2 | (y-y(x)) 2 | (x i -x cp) 2 | |y - y x |:y |
| 0.371 | 15.6 | 0.1376 | 243.36 | 5.79 | 14.11 | 780.89 | 2.21 | 0.1864 | 0.0953 |
| 0.399 | 19.9 | 0.1592 | 396.01 | 7.94 | 16.02 | 559.06 | 15.04 | 0.163 | 0.1949 |
| 0.502 | 22.7 | 0.252 | 515.29 | 11.4 | 23.04 | 434.49 | 0.1176 | 0.0905 | 0.0151 |
| 0.572 | 34.2 | 0.3272 | 1169.64 | 19.56 | 27.81 | 87.32 | 40.78 | 0.0533 | 0.1867 |
| 0.607 | 44.5 | .3684 | 1980.25 | 27.01 | 30.2 | 0.9131 | 204.49 | 0.0383 | 0.3214 |
| 0.655 | 26.8 | 0.429 | 718.24 | 17.55 | 33.47 | 280.38 | 44.51 | 0.0218 | 0.2489 |
| 0.763 | 35.7 | 0.5822 | 1274.49 | 27.24 | 40.83 | 61.54 | 26.35 | 0.0016 | 0.1438 |
| 0.873 | 30.6 | 0.7621 | 936.36 | 26.71 | 48.33 | 167.56 | 314.39 | 0.0049 | 0.5794 |
| 2.48 | 161.9 | 6.17 | 26211.61 | 402 | 158.07 | 14008.04 | 14.66 | 2.82 | 0.0236 |
| 7.23 | 391.9 | 9.18 | 33445.25 | 545.2 | 391.9 | 16380.18 | 662.54 | 3.38 | 1.81 |
2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=7 находим t крит:
t крит = (7;0.05) = 1.895
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
Если t набл > t критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t набл > t крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим
В парной линейной регрессии t 2 r = t 2 b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.
2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:
S 2 y = 94.6484 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).
S y = 9.7287 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
S a - стандартное отклонение случайной величины a.
S b - стандартное отклонение случайной величины b.
2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения.
Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.
Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.
(a + bx p ± ε)
где
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X p = 1
(-11.17 + 68.16*1 ± 6.4554)
(50.53;63.44)
Индивидуальные доверительные интервалы для
Y
при данном значении
X
.
(a + bx i ± ε)
где
| x i | y = -11.17 + 68.16x i | ε i | y min | y max |
| 0.371 | 14.11 | 19.91 | -5.8 | 34.02 |
| 0.399 | 16.02 | 19.85 | -3.83 | 35.87 |
| 0.502 | 23.04 | 19.67 | 3.38 | 42.71 |
| 0.572 | 27.81 | 19.57 | 8.24 | 47.38 |
| 0.607 | 30.2 | 19.53 | 10.67 | 49.73 |
| 0.655 | 33.47 | 19.49 | 13.98 | 52.96 |
| 0.763 | 40.83 | 19.44 | 21.4 | 60.27 |
| 0.873 | 48.33 | 19.45 | 28.88 | 67.78 |
| 2.48 | 158.07 | 25.72 | 132.36 | 183.79 |
С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.
2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Проверим гипотезу H 0 о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H 1 не равно) на уровне значимости α=0.05.
t крит = (7;0.05) = 1.895
Поскольку 12.8866 > 1.895, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
Поскольку 2.0914 > 1.895, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(b - t крит S b ; b + t крит S b)
(68.1618 - 1.895 5.2894; 68.1618 + 1.895 5.2894)
(58.1385;78.1852)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
(a - t a)
(-11.1744 - 1.895 5.3429; -11.1744 + 1.895 5.3429)
(-21.2992;-1.0496)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
2) F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с lang=EN-US>n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.
где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H 0:
R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:
где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=7, Fkp = 5.59
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).
Проверка на наличие автокорреляции остатков
.
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.
Автокорреляция (последовательная корреляция)
определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.
В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция
, нежели отрицательная автокорреляция
. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.
Отрицательная автокорреляция
фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).
Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию
, можно выделить следующие:
1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).
4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.
Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности : выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.
Обнаружение автокорреляции
1. Графический метод
Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения e i с моментами их получения i.
При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения e i (либо оценки отклонений).
Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скоре всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.
Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости e i от e i-1 .
Критерий Дарбина-Уотсона
.
Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.
При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой.
При этом проверяется некоррелированность соседних величин e i .
| y | y(x) | e i = y-y(x) | e 2 | (e i - e i-1) 2 |
| 15.6 | 14.11 | 1.49 | 2.21 | 0 |
| 19.9 | 16.02 | 3.88 | 15.04 | 5.72 |
| 22.7 | 23.04 | -0.3429 | 0.1176 | 17.81 |
| 34.2 | 27.81 | 6.39 | 40.78 | 45.28 |
| 44.5 | 30.2 | 14.3 | 204.49 | 62.64 |
| 26.8 | 33.47 | -6.67 | 44.51 | 439.82 |
| 35.7 | 40.83 | -5.13 | 26.35 | 2.37 |
| 30.6 | 48.33 | -17.73 | 314.39 | 158.7 |
| 161.9 | 158.07 | 3.83 | 14.66 | 464.81 |
| 662.54 | 1197.14 |
Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:
Критические значения d 1 и d 2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 9 и количества объясняющих переменных m=1.
Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:
d 1 < DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
Что такое регрессия?
Рассмотрим две непрерывные переменные x=(x 1 , x 2 , .., x n), y=(y 1 , y 2 , ..., y n).
Разместим точки на двумерном графике рассеяния и скажем, что мы имеем линейное соотношение
, если данные аппроксимируются прямой линией.
Если мы полагаем, что y зависит от x , причём изменения в y вызываются именно изменениями в x , мы можем определить линию регрессии (регрессия y на x ), которая лучше всего описывает прямолинейное соотношение между этими двумя переменными.
Статистическое использование слова "регрессия" исходит из явления, известного как регрессия к среднему, приписываемого сэру Френсису Гальтону (1889).
Он показал, что, хотя высокие отцы имеют тенденцию иметь высоких сыновей, средний рост сыновей меньше, чем у их высоких отцов. Средний рост сыновей "регрессировал" и "двигался вспять" к среднему росту всех отцов в популяции. Таким образом, в среднем высокие отцы имеют более низких (но всё-таки высоких) сыновей, а низкие отцы имеют сыновей более высоких (но всё-таки довольно низких).
Линия регрессии
Математическое уравнение, которое оценивает линию простой (парной) линейной регрессии:
x
называется независимой переменной или предиктором.
Y - зависимая переменная или переменная отклика. Это значение, которое мы ожидаем для y (в среднем), если мы знаем величину x , т.е. это «предсказанное значение y »
- a - свободный член (пересечение) линии оценки; это значение Y , когда x=0 (Рис.1).
- b - угловой коэффициент или градиент оценённой линии; она представляет собой величину, на которую Y увеличивается в среднем, если мы увеличиваем x на одну единицу.
- a и b называют коэффициентами регрессии оценённой линии, хотя этот термин часто используют только для b .
Парную линейную регрессию можно расширить, включив в нее более одной независимой переменной; в этом случае она известна как множественная регрессия .
Рис.1. Линия линейной регрессии, показывающая пересечение a и угловой коэффициент b (величину возрастания Y при увеличении x на одну единицу)
Метод наименьших квадратов
Мы выполняем регрессионный анализ, используя выборку наблюдений, где a
и b
- выборочные оценки истинных (генеральных) параметров, α и β , которые определяют линию линейной регрессии в популяции (генеральной совокупности).
Наиболее простым методом определения коэффициентов a
и b
является метод наименьших квадратов
(МНК).
Подгонка оценивается, рассматривая остатки (вертикальное расстояние каждой точки от линии, например, остаток = наблюдаемому y
- предсказанный y
, Рис. 2).
Линию лучшей подгонки выбирают так, чтобы сумма квадратов остатков была минимальной.
Рис. 2. Линия линейной регрессии с изображенными остатками (вертикальные пунктирные линии) для каждой точки.
Предположения линейной регрессии
Итак, для каждой наблюдаемой величины остаток равен разнице и соответствующего предсказанного Каждый остаток может быть положительным или отрицательным.
Можно использовать остатки для проверки следующих предположений, лежащих в основе линейной регрессии:
- Остатки нормально распределены с нулевым средним значением;
Если допущения линейности, нормальности и/или постоянной дисперсии сомнительны, мы можем преобразовать или и рассчитать новую линию регрессии, для которой эти допущения удовлетворяются (например, использовать логарифмическое преобразование или др.).
Аномальные значения (выбросы) и точки влияния
"Влиятельное" наблюдение, если оно опущено, изменяет одну или больше оценок параметров модели (т.е. угловой коэффициент или свободный член).
Выброс (наблюдение, которое противоречит большинству значений в наборе данных) может быть "влиятельным" наблюдением и может хорошо обнаруживаться визуально, при осмотре двумерной диаграммы рассеяния или графика остатков.
И для выбросов, и для "влиятельных" наблюдений (точек) используют модели, как с их включением, так и без них, обращают внимание на изменение оценки (коэффициентов регрессии).
При проведении анализа не стоит отбрасывать выбросы или точки влияния автоматически, поскольку простое игнорирование может повлиять на полученные результаты. Всегда изучайте причины появления этих выбросов и анализируйте их.
Гипотеза линейной регрессии
При построении линейной регрессии проверяется нулевая гипотеза о том, что генеральный угловой коэффициент линии регрессии β равен нулю.
Если угловой коэффициент линии равен нулю, между и нет линейного соотношения: изменение не влияет на
Для тестирования нулевой гипотезы о том, что истинный угловой коэффициент равен нулю можно воспользоваться следующим алгоритмом:
Вычислить статистику критерия, равную отношению , которая подчиняется распределению с степенями свободы, где стандартная ошибка коэффициента
,
- оценка дисперсии остатков.
Обычно если достигнутый уровень значимости нулевая гипотеза отклоняется.
где процентная точка распределения со степенями свободы что дает вероятность двустороннего критерия
Это тот интервал, который содержит генеральный угловой коэффициент с вероятностью 95%.
Для больших выборок, скажем, мы можем аппроксимировать значением 1,96 (то есть статистика критерия будет стремиться к нормальному распределению)
Оценка качества линейной регрессии: коэффициент детерминации R 2
Из-за линейного соотношения и мы ожидаем, что изменяется, по мере того как изменяется
, и называем это вариацией, которая обусловлена или объясняется регрессией. Остаточная вариация должна быть как можно меньше.
Если это так, то большая часть вариации будет объясняться регрессией, а точки будут лежать близко к линии регрессии, т.е. линия хорошо соответствует данным.
Долю общей дисперсии , которая объясняется регрессией называют коэффициентом детерминации , обычно выражают через процентное соотношение и обозначают R 2 (в парной линейной регрессии это величина r 2 , квадрат коэффициента корреляции), позволяет субъективно оценить качество уравнения регрессии.
Разность представляет собой процент дисперсии который нельзя объяснить регрессией.
Нет формального теста для оценки мы вынуждены положиться на субъективное суждение, чтобы определить качество подгонки линии регрессии.
Применение линии регрессии для прогноза
Можно применять регрессионную линию для прогнозирования значения по значению в пределе наблюдаемого диапазона (никогда не экстраполируйте вне этих пределов).
Мы предсказываем среднюю величину для наблюдаемых, которые имеют определенное значение путем подстановки этого значения в уравнение линии регрессии.
Итак, если прогнозируем как Используем эту предсказанную величину и ее стандартную ошибку, чтобы оценить доверительный интервал для истинной средней величины в популяции.
Повторение этой процедуры для различных величин позволяет построить доверительные границы для этой линии. Это полоса или область, которая содержит истинную линию, например, с 95% доверительной вероятностью.
Простые регрессионные планы
Простые регрессионные планы содержат один непрерывный предиктор. Если существует 3 наблюдения со значениями предиктора P , например, 7, 4 и 9, а план включает эффект первого порядка P , то матрица плана X будет иметь вид
а регрессионное уравнение с использованием P для X1 выглядит как
Y = b0 + b1 P
Если простой регрессионный план содержит эффект высшего порядка для P , например квадратичный эффект, то значения в столбце X1 в матрице плана будут возведены во вторую степень:
а уравнение примет вид
Y = b0 + b1 P2
Сигма -ограниченные и сверхпараметризованные методы кодирования не применяются по отношению к простым регрессионным планам и другим планам, содержащим только непрерывные предикторы (поскольку, просто не существует категориальных предикторов). Независимо от выбранного метода кодирования, значения непрерывных переменных увеличиваются в соответствующей степени и используются как значения для переменных X . При этом перекодировка не выполняется. Кроме того, при описании регрессионных планов можно опустить рассмотрение матрицы плана X , а работать только с регрессионным уравнением.
Пример: простой регрессионный анализ
Этот пример использует данные, представленные в таблице:
Рис. 3. Таблица исходных данных.
Данные составлены на основе сравнения переписей 1960 и 1970 в произвольно выбранных 30 округах. Названия округов представлены в виде имен наблюдений. Информация относительно каждой переменной представлена ниже:
Рис. 4. Таблица спецификаций переменных.
Задача исследования
Для этого примера будут анализироваться корреляция уровня бедности и степень, которая предсказывает процент семей, которые находятся за чертой бедности. Следовательно мы будем трактовать переменную 3 (Pt_Poor ) как зависимую переменную.
Можно выдвинуть гипотезу: изменение численности населения и процент семей, которые находятся за чертой бедности, связаны между собой. Кажется разумным ожидать, что бедность ведет к оттоку населения, следовательно, здесь будет отрицательная корреляция между процентом людей за чертой бедности и изменением численности населения. Следовательно мы будем трактовать переменную 1 (Pop_Chng ) как переменную-предиктор.
Просмотр результатов
Коэффициенты регрессии
Рис. 5. Коэффициенты регрессии Pt_Poor на Pop_Chng.
На пересечении строки Pop_Chng и столбца Парам. не стандартизованный коэффициент для регрессии Pt_Poor на Pop_Chng равен -0.40374 . Это означает, что для каждого уменьшения численности населения на единицу, имеется увеличение уровня бедности на.40374. Верхний и нижний (по умолчанию) 95% доверительные пределы для этого не стандартизованного коэффициента не включают ноль, так что коэффициент регрессии значим на уровне p<.05 . Обратите внимание на не стандартизованный коэффициент, который также является коэффициентом корреляции Пирсона для простых регрессионных планов, равен -.65, который означает, что для каждого уменьшения стандартного отклонения численности населения происходит увеличение стандартного отклонения уровня бедности на.65.
Распределение переменных
Коэффициенты корреляции могут стать существенно завышены или занижены, если в данных присутствуют большие выбросы. Изучим распределение зависимой переменной Pt_Poor по округам. Для этого построим гистограмму переменной Pt_Poor .
Рис. 6. Гистограмма переменной Pt_Poor.
Как вы можете заметить, распределение этой переменной заметно отличается от нормального распределения. Тем не менее, хотя даже два округа (два правых столбца) имеют высокий процент семей, которые находятся за чертой бедности, чем ожидалось в случае нормального распределения, кажется, что они находятся "внутри диапазона."
Рис. 7. Гистограмма переменной Pt_Poor.
Это суждение в некоторой степени субъективно. Эмпирическое правило гласит, что выбросы необходимо учитывать, если наблюдение (или наблюдения) не попадают в интервал (среднее ± 3 умноженное на стандартное отклонение). В этом случае стоит повторить анализ с выбросами и без, чтобы убедиться, что они не оказывают серьезного эффекта на корреляцию между членами совокупности.
Диаграмма рассеяния
Если одна из гипотез априори о взаимосвязи между заданными переменными, то ее полезно проверить на графике соответствующей диаграммы рассеяния.
Рис. 8. Диаграмма рассеяния.
Диаграмма рассеяния показывает явную отрицательную корреляцию (-.65 ) между двумя переменными. На ней также показан 95% доверительный интервал для линии регрессии, т.е., с 95% вероятностью линия регрессии проходит между двумя пунктирными кривыми.
Критерии значимости
Рис. 9. Таблица, содержащая критерии значимости.
Критерий для коэффициента регрессии Pop_Chng подтверждает, что Pop_Chng сильно связано с Pt_Poor , p<.001 .
Итог
На этом примере было показано, как проанализировать простой регрессионный план. Была также представлена интерпретация не стандартизованных и стандартизованных коэффициентов регрессии. Обсуждена важность изучения распределения откликов зависимой переменной, продемонстрирована техника определения направления и силы взаимосвязи между предиктором и зависимой переменной.
В предыдущих заметках предметом анализа часто становилась отдельная числовая переменная, например, доходность взаимных фондов, время загрузки Web-страницы или объем потребления безалкогольных напитков. В настоящей и следующих заметках мы рассмотрим методы предсказания значений числовой переменной в зависимости от значений одной или нескольких других числовых переменных.
Материал будет проиллюстрирован сквозным примером. Прогнозирование объема продаж в магазине одежды. Сеть магазинов уцененной одежды Sunflowers на протяжении 25 лет постоянно расширялась. Однако в настоящее время у компании нет систематического подхода к выбору новых торговых точек. Место, в котором компания собирается открыть новый магазин, определяется на основе субъективных соображений. Критериями выбора являются выгодные условия аренды или представления менеджера об идеальном местоположении магазина. Представьте, что вы - руководитель отдела специальных проектов и планирования. Вам поручили разработать стратегический план открытия новых магазинов. Этот план должен содержать прогноз годового объема продаж во вновь открываемых магазинах. Вы полагаете, что торговая площадь непосредственно связана с объемом выручки, и хотите учесть этот факт в процессе принятия решения. Как разработать статистическую модель, позволяющую прогнозировать годовой объем продаж на основе размера нового магазина?
Как правило, для предсказания значений переменной используется регрессионный анализ. Его цель - разработать статистическую модель, позволяющую предсказывать значения зависимой переменной, или отклика, по значениям, по крайней мере одной, независимой, или объясняющей, переменной. В настоящей заметке мы рассмотрим простую линейную регрессию - статистический метод, позволяющий предсказывать значения зависимой переменной Y по значениям независимой переменной X . В последующих заметках будет описана модель множественной регрессии, предназначенная для предсказания значений независимой переменной Y по значениям нескольких зависимых переменных (Х 1 , Х 2 , …, X k ).
Скачать заметку в формате или , примеры в формате
Виды регрессионных моделей
где ρ 1 – коэффициент автокорреляции; если ρ 1 = 0 (нет автокорреляции), D ≈ 2; если ρ 1 ≈ 1 (положительная автокорреляции), D ≈ 0; если ρ 1 = -1 (отрицательная автокорреляции), D ≈ 4.
На практике применение критерия Дурбина-Уотсона основано на сравнении величины D с критическими теоретическими значениями d L и d U для заданного числа наблюдений n , числа независимых переменных модели k (для простой линейной регрессии k = 1) и уровня значимости α. Если D < d L , гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция); если D > d U , гипотеза не отвергается (то есть автокорреляция отсутствует); если d L < D < d U , нет достаточных оснований для принятия решения. Когда расчётное значение D превышает 2, то с d L и d U сравнивается не сам коэффициент D , а выражение (4 – D ).
Для вычисления статистики Дурбина-Уотсона в Excel обратимся к нижней таблице на рис. 14 Вывод остатка . Числитель в выражении (10) вычисляется с помощью функции =СУММКВРАЗН(массив1;массив2), а знаменатель =СУММКВ(массив) (рис. 16).
Рис. 16. Формулы расчета статистики Дурбина-Уотсона
В нашем примере D = 0,883. Основной вопрос заключается в следующем - какое значение статистики Дурбина-Уотсона следует считать достаточно малым, чтобы сделать вывод о существовании положительной автокорреляции? Необходимо соотнести значение D с критическими значениями (d L и d U ), зависящими от числа наблюдений n и уровня значимости α (рис. 17).
Рис. 17. Критические значения статистики Дурбина-Уотсона (фрагмент таблицы)
Таким образом, в задаче об объеме продаж в магазине, доставляющем товары на дом, существуют одна независимая переменная (k = 1), 15 наблюдений (n = 15) и уровень значимости α = 0,05. Следовательно, d L = 1,08 и d U = 1,36. Поскольку D = 0,883 < d L = 1,08, между остатками существует положительная автокорреляция, метод наименьших квадратов применять нельзя.
Проверка гипотез о наклоне и коэффициенте корреляции
Выше регрессия применялась исключительно для прогнозирования. Для определения коэффициентов регрессии и предсказания значения переменной Y при заданной величине переменной X использовался метод наименьших квадратов. Кроме того, мы рассмотрели среднеквадратичную ошибку оценки и коэффициент смешанной корреляции. Если анализ остатков подтверждает, что условия применимости метода наименьших квадратов не нарушаются, и модель простой линейной регрессии является адекватной, на основе выборочных данных можно утверждать, что между переменными в генеральной совокупности существует линейная зависимость.
Применение t -критерия для наклона. Проверяя, равен ли наклон генеральной совокупности β 1 нулю, можно определить, существует ли статистически значимая зависимость между переменными X и Y . Если эта гипотеза отклоняется, можно утверждать, что между переменными X и Y существует линейная зависимость. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0: β 1 = 0 (нет линейной зависимости), Н1: β 1 ≠ 0 (есть линейная зависимость). По определению t -статистика равна разности между выборочным наклоном и гипотетическим значением наклона генеральной совокупности, деленной на среднеквадратичную ошибку оценки наклона:
(11) t = (b 1 – β 1 ) / S b 1
где b
1
– наклон прямой регрессии по выборочным данным, β1 – гипотетический наклон прямой генеральной совокупности, 
, а тестовая статистика t
имеет t
-распределение с n – 2
степенями свободы.
Проверим, существует ли статистически значимая зависимость между размером магазина и годовым объемом продаж при α = 0,05. t -критерий выводится наряду с другими параметрами при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к t-статистике – на рис. 18.
Рис. 18. Результаты применения t
Поскольку число магазинов n = 14 (см. рис.3), критическое значение t -статистики при уровне значимости α = 0,05 можно найти по формуле: t L =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,025;12) = –2,1788, где 0,025 – половина уровня значимости, а 12 = n – 2; t U =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = +2,1788.
Поскольку t -статистика = 10,64 > t U = 2,1788 (рис. 19), нулевая гипотеза Н 0 отклоняется. С другой стороны, р -значение для Х = 10,6411, вычисляемое по формуле =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(D3;12;ИСТИНА), приближенно равно нулю, поэтому гипотеза Н 0 снова отклоняется. Тот факт, что р -значение почти равно нулю, означает, что если бы между размерами магазинов и годовым объемом продаж не существовало реальной линейной зависимости, обнаружить ее с помощью линейной регрессии было бы практически невозможно. Следовательно, между средним годовым объемом продаж в магазинах и их размером существует статистически значимая линейная зависимость.
Рис. 19. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, и 12 степенях свободы
Применение F -критерия для наклона. Альтернативным подходом к проверке гипотез о наклоне простой линейной регрессии является использование F -критерия. Напомним, что F -критерий применяется для проверки отношения между двумя дисперсиями (подробнее см. ). При проверке гипотезы о наклоне мерой случайных ошибок является дисперсия ошибки (сумма квадратов ошибок, деленная на количество степеней свободы), поэтому F -критерий использует отношение дисперсии, объясняемой регрессией (т.е. величины SSR , деленной на количество независимых переменных k ), к дисперсии ошибок (MSE = S Y X 2 ).
По определению F -статистика равна среднему квадрату отклонений, обусловленных регрессией (MSR), деленному на дисперсию ошибки (MSE): F = MSR / MSE , где MSR = SSR / k , MSE = SSE /(n – k – 1), k – количество независимых переменных в регрессионной модели. Тестовая статистика F имеет F -распределение с k и n – k – 1 степенями свободы.
При заданном уровне значимости α решающее правило формулируется так: если F > F U , нулевая гипотеза отклоняется; в противном случае она не отклоняется. Результаты, оформленные в виде сводной таблицы дисперсионного анализа, приведены на рис. 20.
Рис. 20. Таблица дисперсионного анализа для проверки гипотезы о статистической значимости коэффициента регрессии
Аналогично t -критерию F -критерий выводится в таблицу при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к F -статистике – на рис. 21.
Рис. 21. Результаты применения F -критерия, полученные с помощью Пакета анализа Excel
F-статистика равна 113,23, а р -значение близко к нулю (ячейка Значимость F ). Если уровень значимости α равен 0,05, определить критическое значение F -распределения с одной и 12 степенями свободы можно по формуле F U =F.ОБР(1-0,05;1;12) = 4,7472 (рис. 22). Поскольку F = 113,23 > F U = 4,7472, причем р -значение близко к 0 < 0,05, нулевая гипотеза Н 0 отклоняется, т.е. размер магазина тесно связан с его годовым объемом продаж.
Рис. 22. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, с одной и 12 степенями свободы
Доверительный интервал, содержащий наклон β 1 . Для проверки гипотезы о существовании линейной зависимости между переменными можно построить доверительный интервал, содержащий наклон β 1 и убедиться, что гипотетическое значение β 1 = 0 принадлежит этому интервалу. Центром доверительного интервала, содержащего наклон β 1 , является выборочный наклон b 1 , а его границами - величины b 1 ± t n –2 S b 1
Как показано на рис. 18, b 1 = +1,670, n = 14, S b 1 = 0,157. t 12 =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = 2,1788. Следовательно, b 1 ± t n –2 S b 1 = +1,670 ± 2,1788 * 0,157 = +1,670 ± 0,342, или + 1,328 ≤ β 1 ≤ +2,012. Таким образом, наклон генеральной совокупности с вероятностью 0,95 лежит в интервале от +1,328 до +2,012 (т.е. от 1 328 000 до 2 012 000 долл.). Поскольку эти величины больше нуля, между годовым объемом продаж и площадью магазина существует статистически значимая линейная зависимость. Если бы доверительный интервал содержал нуль, между переменными не было бы зависимости. Кроме того, доверительный интервал означает, что каждое увеличение площади магазина на 1 000 кв. футов приводит к увеличению среднего объема продаж на величину от 1 328 000 до 2 012 000 долларов.
Использование t -критерия для коэффициента корреляции. был введен коэффициент корреляции r , представляющий собой меру зависимости между двумя числовыми переменными. С его помощью можно установить, существует ли между двумя переменными статистически значимая связь. Обозначим коэффициент корреляции между генеральными совокупностями обеих переменных символом ρ. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0 : ρ = 0 (нет корреляции), Н 1 : ρ ≠ 0 (есть корреляция). Проверка существования корреляции:
где r = + , если b 1 > 0, r = – , если b 1 < 0. Тестовая статистика t имеет t -распределение с n – 2 степенями свободы.
В задаче о сети магазинов Sunflowers r 2 = 0,904, а b 1 - +1,670 (см. рис. 4). Поскольку b 1 > 0, коэффициент корреляции между объемом годовых продаж и размером магазина равен r = +√0,904 = +0,951. Проверим нулевую гипотезу, утверждающую, что между этими переменными нет корреляции, используя t -статистику:
При уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу следует отклонить, поскольку t = 10,64 > 2,1788. Таким образом, можно утверждать, что между объемом годовых продаж и размером магазина существует статистически значимая связь.
При обсуждении выводов, касающихся наклона генеральной совокупности, доверительные интервалы и критерии для проверки гипотез являются взаимозаменяемыми инструментами. Однако вычисление доверительного интервала, содержащего коэффициент корреляции, оказывается более сложным делом, поскольку вид выборочного распределения статистики r зависит от истинного коэффициента корреляции.
Оценка математического ожидания и предсказание индивидуальных значений
В этом разделе рассматриваются методы оценки математического ожидания отклика Y и предсказания индивидуальных значений Y при заданных значениях переменной X .
Построение доверительного интервала. В примере 2 (см. выше раздел Метод наименьших квадратов ) регрессионное уравнение позволило предсказать значение переменной Y X . В задаче о выборе места для торговой точки средний годовой объем продаж в магазине площадью 4000 кв. футов был равен 7,644 млн. долл. Однако эта оценка математического ожидания генеральной совокупности является точечной. для оценки математического ожидания генеральной совокупности была предложена концепция доверительного интервала. Аналогично можно ввести понятие доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X :
где 
, =
b
0
+
b
1
X i
– предсказанное значение переменное Y
при X
= X i
, S YX
– среднеквадратичная ошибка, n
– объем выборки, X
i
- заданное значение переменной X
, µ
Y
| X
=
X
i
– математическое ожидание переменной Y
при Х
= Х i
, SSX = 
Анализ формулы (13) показывает, что ширина доверительного интервала зависит от нескольких факторов. При заданном уровне значимости возрастание амплитуды колебаний вокруг линии регрессии, измеренное с помощью среднеквадратичной ошибки, приводит к увеличению ширины интервала. С другой стороны, как и следовало ожидать, увеличение объема выборки сопровождается сужением интервала. Кроме того, ширина интервала изменяется в зависимости от значений X i . Если значение переменной Y предсказывается для величин X , близких к среднему значению , доверительный интервал оказывается уже, чем при прогнозировании отклика для значений, далеких от среднего.
Допустим, что, выбирая место для магазина, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для среднего годового объема продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4000 кв. футов:
Следовательно, средний годовой объем продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4 000 кв. футов, с 95% -ной вероятностью лежит в интервале от 6,971 до 8,317 млн. долл.
Вычисление доверительного интервала для предсказанного значения. Кроме доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X , часто необходимо знать доверительный интервал для предсказанного значения. Несмотря на то что формула для вычисления такого доверительного интервала очень похожа на формулу (13), этот интервал содержит предсказанное значение, а не оценку параметра. Интервал для предсказанного отклика Y X = Xi при конкретном значении переменной X i определяется по формуле:
Предположим, что, выбирая место для торговой точки, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для предсказанного годового объема продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов:
Следовательно, предсказанный годовой объем продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов, с 95%-ной вероятностью лежит в интервале от 5,433 до 9,854 млн. долл. Как видим, доверительный интервал для предсказанного значения отклика намного шире, чем доверительный интервал для его математического ожидания. Это объясняется тем, что изменчивость при прогнозировании индивидуальных значений намного больше, чем при оценке математического ожидания.
Подводные камни и этические проблемы, связанные с применением регрессии
Трудности, связанные с регрессионным анализом:
- Игнорирование условий применимости метода наименьших квадратов.
- Ошибочная оценка условий применимости метода наименьших квадратов.
- Неправильный выбор альтернативных методов при нарушении условий применимости метода наименьших квадратов.
- Применение регрессионного анализа без глубоких знаний о предмете исследования.
- Экстраполяция регрессии за пределы диапазона изменения объясняющей переменной.
- Путаница между статистической и причинно-следственной зависимостями.
Широкое распространение электронных таблиц и программного обеспечения для статистических расчетов ликвидировало вычислительные проблемы, препятствовавшие применению регрессионного анализа. Однако это привело к тому, что регрессионный анализ стали применять пользователи, не обладающие достаточной квалификацией и знаниями. Откуда пользователям знать об альтернативных методах, если многие из них вообще не имеют ни малейшего понятия об условиях применимости метода наименьших квадратов и не умеют проверять их выполнение?
Исследователь не должен увлекаться перемалыванием чисел - вычислением сдвига, наклона и коэффициента смешанной корреляции. Ему нужны более глубокие знания. Проиллюстрируем это классическим примером, взятым из учебников. Анскомб показал, что все четыре набора данных, приведенных на рис. 23, имеют одни и те же параметры регрессии (рис. 24).
Рис. 23. Четыре набора искусственных данных
Рис. 24. Регрессионный анализ четырех искусственных наборов данных; выполнен с помощью Пакета анализа (кликните на рисунке, чтобы увеличить изображение)
Итак, с точки зрения регрессионного анализа все эти наборы данных совершенно идентичны. Если бы анализ был на этом закончен, мы потеряли бы много полезной информации. Об этом свидетельствуют диаграммы разброса (рис. 25) и графики остатков (рис. 26), построенные для этих наборов данных.
Рис. 25. Диаграммы разброса для четырех наборов данных
Диаграммы разброса и графики остатков свидетельствуют о том, что эти данные отличаются друг от друга. Единственный набор, распределенный вдоль прямой линии, - набор А. График остатков, вычисленных по набору А, не имеет никакой закономерности. Этого нельзя сказать о наборах Б, В и Г. График разброса, построенный по набору Б, демонстрирует ярко выраженную квадратичную модель. Этот вывод подтверждается графиком остатков, имеющим параболическую форму. Диаграмма разброса и график остатков показывают, что набор данных В содержит выброс. В этой ситуации необходимо исключить выброс из набора данных и повторить анализ. Метод, позволяющий обнаруживать и исключать выбросы из наблюдений, называется анализом влияния. После исключения выброса результат повторной оценки модели может оказаться совершенно иным. Диаграмма разброса, построенная по данным из набора Г, иллюстрирует необычную ситуацию, в которой эмпирическая модель значительно зависит от отдельного отклика (Х 8 = 19, Y 8 = 12,5). Такие регрессионные модели необходимо вычислять особенно тщательно. Итак, графики разброса и остатков являются крайне необходимым инструментом регрессионного анализа и должны быть его неотъемлемой частью. Без них регрессионный анализ не заслуживает доверия.
Рис. 26. Графики остатков для четырех наборов данных
Как избежать подводных камней при регрессионном анализе:
- Анализ возможной взаимосвязи между переменными X и Y всегда начинайте с построения диаграммы разброса.
- Прежде чем интерпретировать результаты регрессионного анализа, проверяйте условия его применимости.
- Постройте график зависимости остатков от независимой переменной. Это позволит определить, насколько эмпирическая модель соответствует результатам наблюдения, и обнаружить нарушение постоянства дисперсии.
- Для проверки предположения о нормальном распределении ошибок используйте гистограммы, диаграммы «ствол и листья», блочные диаграммы и графики нормального распределения.
- Если условия применимости метода наименьших квадратов не выполняются, используйте альтернативные методы (например, модели квадратичной или множественной регрессии).
- Если условия применимости метода наименьших квадратов выполняются, необходимо проверить гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии и построить доверительные интервалы, содержащие математическое ожидание и предсказанное значение отклика.
- Избегайте предсказывать значения зависимой переменной за пределами диапазона изменения независимой переменной.
- Имейте в виду, что статистические зависимости не всегда являются причинно-следственными. Помните, что корреляция между переменными не означает наличия причинно-следственной зависимости между ними.
Резюме. Как показано на структурной схеме (рис. 27), в заметке описаны модель простой линейной регрессии, условия ее применимости и способы проверки этих условий. Рассмотрен t -критерий для проверки статистической значимости наклона регрессии. Для предсказания значений зависимой переменной использована регрессионная модель. Рассмотрен пример, связанный с выбором места для торговой точки, в котором исследуется зависимость годового объема продаж от площади магазина. Полученная информация позволяет точнее выбрать место для магазина и предсказать его годовой объем продаж. В следующих заметках будет продолжено обсуждение регрессионного анализа, а также рассмотрены модели множественной регрессии.
Рис. 27. Структурная схема заметки
Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 792–872
Если зависимая переменная является категорийной, необходимо применять логистическую регрессию.
Во время учебы студенты очень часто сталкиваются с разнообразными уравнениями. Одно из них - уравнение регрессии - рассмотрено в данной статье. Такой тип уравнения применяется специально для описания характеристики связи между математическими параметрами. Данный вид равенств используют в статистике и эконометрике.
Определение понятия регрессии
В математике под регрессией подразумевается некая величина, описывающая зависимость среднего значения совокупности данных от значений другой величины. Уравнение регрессии показывает в качестве функции определенного признака среднее значение другого признака. Функция регрессии имеет вид простого уравнения у = х, в котором у выступает зависимой переменной, а х - независимой (признак-фактор). Фактически регрессия выражаться как у = f (x).
Какие бывают типы связей между переменными
В общем, выделяется два противоположных типа взаимосвязи: корреляционная и регрессионная.
Первая характеризуется равноправностью условных переменных. В данном случае достоверно не известно, какая переменная зависит от другой.
Если же между переменными не наблюдается равноправности и в условиях сказано, какая переменная объясняющая, а какая - зависимая, то можно говорить о наличии связи второго типа. Для того чтобы построить уравнение линейной регрессии, необходимо будет выяснить, какой тип связи наблюдается.
Виды регрессий
На сегодняшний день выделяют 7 разнообразных видов регрессии: гиперболическая, линейная, множественная, нелинейная, парная, обратная, логарифмически линейная.
Гиперболическая, линейная и логарифмическая
Уравнение линейной регрессии применяют в статистике для четкого объяснения параметров уравнения. Оно выглядит как у = с+т*х+Е. Гиперболическое уравнение имеет вид правильной гиперболы у = с + т / х + Е. Логарифмически линейное уравнение выражает взаимосвязь с помощью логарифмической функции: In у = In с + т* In x + In E.
Множественная и нелинейная
Два более сложных вида регрессии - это множественная и нелинейная. Уравнение множественной регрессии выражается функцией у = f(х 1 , х 2 ...х с)+E. В данной ситуации у выступает зависимой переменной, а х - объясняющей. Переменная Е - стохастическая, она включает влияние других факторов в уравнении. Нелинейное уравнение регрессии немного противоречиво. С одной стороны, относительно учтенных показателей оно не линейное, а с другой стороны, в роли оценки показателей оно линейное.
Обратные и парные виды регрессий
Обратная - это такой вид функции, который необходимо преобразовать в линейный вид. В самых традиционных прикладных программах она имеет вид функции у = 1/с + т*х+Е. Парное уравнение регрессии демонстрирует взаимосвязь между данными в качестве функции у = f (x) + Е. Точно так же, как и в других уравнениях, у зависит от х, а Е - стохастический параметр.
Понятие корреляции
Это показатель, демонстрирующий существование взаимосвязи двух явлений или процессов. Сила взаимосвязи выражается в качестве коэффициента корреляции. Его значение колеблется в рамках интервала [-1;+1]. Отрицательный показатель говорит о наличии обратной связи, положительный - о прямой. Если коэффициент принимает значение, равное 0, то взаимосвязи нет. Чем ближе значение к 1 - тем сильнее связь между параметрами, чем ближе к 0 - тем слабее.
Методы
Корреляционные параметрические методы могут оценить тесноту взаимосвязи. Их используют на базе оценки распределения для изучения параметров, подчиняющихся закону нормального распределения.
Параметры уравнения линейной регрессии необходимы для идентификации вида зависимости, функции регрессионного уравнения и оценивания показателей избранной формулы взаимосвязи. В качестве метода идентификации связи используется поле корреляции. Для этого все существующие данные необходимо изобразить графически. В прямоугольной двухмерной системе координат необходимо нанести все известные данные. Так образуется поле корреляции. Значение описывающего фактора отмечаются вдоль оси абсцисс, в то время как значения зависимого - вдоль оси ординат. Если между параметрами есть функциональная зависимость, они выстраиваются в форме линии.
В случае если коэффициент корреляции таких данных будет менее 30 %, можно говорить о практически полном отсутствии связи. Если он находится между 30 % и 70 %, то это говорит о наличии связей средней тесноты. 100 % показатель - свидетельство функциональной связи.
Нелинейное уравнение регрессии так же, как и линейное, необходимо дополнять индексом корреляции (R).
Корреляция для множественной регрессии
Коэффициент детерминации является показателем квадрата множественной корреляции. Он говорит о тесноте взаимосвязи представленного комплекса показателей с исследуемым признаком. Он также может говорить о характере влияния параметров на результат. Уравнение множественной регрессии оценивают с помощью этого показателя.
Для того чтобы вычислить показатель множественной корреляции, необходимо рассчитать его индекс.
Метод наименьших квадратов
Данный метод является способом оценивания факторов регрессии. Его суть заключается в минимизировании суммы отклонений в квадрате, полученных вследствие зависимости фактора от функции.
Парное линейное уравнение регрессии можно оценить с помощью такого метода. Этот тип уравнений используют в случае обнаружения между показателями парной линейной зависимости.
Параметры уравнений
Каждый параметр функции линейной регрессии несет определенный смысл. Парное линейное уравнение регрессии содержит два параметра: с и т. Параметр т демонстрирует среднее изменение конечного показателя функции у, при условии уменьшения (увеличения) переменной х на одну условную единицу. Если переменная х - нулевая, то функция равняется параметру с. Если же переменная х не нулевая, то фактор с не несет в себе экономический смысл. Единственное влияние на функцию оказывает знак перед фактором с. Если там минус, то можно сказать о замедленном изменении результата по сравнению с фактором. Если там плюс, то это свидетельствует об ускоренном изменении результата.
Каждый параметр, изменяющий значение уравнения регрессии, можно выразить через уравнение. Например, фактор с имеет вид с = y - тх.
Сгруппированные данные
Бывают такие условия задачи, в которых вся информация группируется по признаку x, но при этом для определенной группы указываются соответствующие средние значения зависимого показателя. В таком случае средние значения характеризуют, каким образом изменяется показатель, зависящий от х. Таким образом, сгруппированная информация помогает найти уравнение регрессии. Ее используют в качестве анализа взаимосвязей. Однако у такого метода есть свои недостатки. К сожалению, средние показатели достаточно часто подвергаются внешним колебаниям. Данные колебания не являются отображением закономерности взаимосвязи, они всего лишь маскируют ее «шум». Средние показатели демонстрируют закономерности взаимосвязи намного хуже, чем уравнение линейной регрессии. Однако их можно применять в виде базы для поиска уравнения. Перемножая численность отдельной совокупности на соответствующую среднюю можно получить сумму у в пределах группы. Далее необходимо подбить все полученные суммы и найти конечный показатель у. Чуть сложнее производить расчеты с показателем суммы ху. В том случае если интервалы малы, можно условно взять показатель х для всех единиц (в пределах группы) одинаковым. Следует перемножить его с суммой у, чтобы узнать сумму произведений x на у. Далее все суммы подбиваются вместе и получается общая сумма ху.
Множественное парное уравнение регрессии: оценка важности связи
Как рассматривалось ранее, множественная регрессия имеет функцию вида у = f (x 1 ,x 2 ,…,x m)+E. Чаще всего такое уравнение используют для решения проблемы спроса и предложения на товар, процентного дохода по выкупленным акциям, изучения причин и вида функции издержек производства. Ее также активно применяют в самых разнообразным макроэкономических исследованиях и расчетах, а вот на уровне микроэкономики такое уравнение применяют немного реже.
Основной задачей множественной регрессии является построение модели данных, содержащих огромное количество информации, для того чтобы в дальнейшем определить, какое влияние имеет каждый из факторов по отдельности и в их общей совокупности на показатель, который необходимо смоделировать, и его коэффициенты. Уравнение регрессии может принимать самые разнообразные значения. При этом для оценки взаимосвязи обычно используется два типа функций: линейная и нелинейная.
Линейная функция изображается в форме такой взаимосвязи: у = а 0 + a 1 х 1 + а 2 х 2 ,+ ... + a m x m . При этом а2, a m , считаются коэффициентами «чистой» регрессии. Они необходимы для характеристики среднего изменения параметра у с изменением (уменьшением или увеличением) каждого соответствующего параметра х на одну единицу, с условием стабильного значения других показателей.
Нелинейные уравнения имеют, к примеру, вид степенной функции у=ах 1 b1 х 2 b2 ...x m bm . В данном случае показатели b 1 , b 2 ..... b m - называются коэффициентами эластичности, они демонстрируют, каким образом изменится результат (на сколько %) при увеличении (уменьшении) соответствующего показателя х на 1 % и при стабильном показателе остальных факторов.
Какие факторы необходимо учитывать при построении множественной регрессии
Для того чтобы правильно построить множественную регрессию, необходимо выяснить, на какие именно факторы следует обратить особое внимание.
Необходимо иметь определенное понимание природы взаимосвязей между экономическими факторами и моделируемым. Факторы, которые необходимо будет включать, обязаны отвечать следующим признакам:
- Должны быть подвластны количественному измерению. Для того чтобы использовать фактор, описывающий качество предмета, в любом случае следует придать ему количественную форму.
- Не должна присутствовать интеркорреляция факторов, или функциональная взаимосвязь. Такие действия чаще всего приводят к необратимым последствиям - система обыкновенных уравнений становится не обусловленной, а это влечет за собой ее ненадежность и нечеткость оценок.
- В случае существования огромного показателя корреляции не существует способа для выяснения изолированного влияния факторов на окончательный результат показателя, следовательно, коэффициенты становятся неинтерпретируемыми.
Методы построения
Существует огромное количество методов и способов, объясняющих, каким образом можно выбрать факторы для уравнения. Однако все эти методы строятся на отборе коэффициентов с помощью показателя корреляции. Среди них выделяют:
- Способ исключения.
- Способ включения.
- Пошаговый анализ регрессии.
Первый метод подразумевает отсев всех коэффициентов из совокупного набора. Второй метод включает введение множества дополнительных факторов. Ну а третий - отсев факторов, которые были ранее применены для уравнения. Каждый из этих методов имеет право на существование. У них есть свои плюсы и минусы, но они все по-своему могут решить вопрос отсева ненужных показателей. Как правило, результаты, полученные каждым отдельным методом, достаточно близки.
Методы многомерного анализа
Такие способы определения факторов базируются на рассмотрении отдельных сочетаний взаимосвязанных признаков. Они включают в себя дискриминантный анализ, распознание обликов, способ главных компонент и анализ кластеров. Кроме того, существует также факторный анализ, однако он появился вследствие развития способа компонент. Все они применяются в определенных обстоятельствах, при наличии определенных условий и факторов.
При линейном типе связи между двумя изучаемыми признаками кроме расчета корреляций применяется расчет коэффициента регрессии.
В случае прямолинейной корреляционной связи каждому из изменений одного признака соответствует вполне определенное изменение другого признака. Однако коэффициент корреляции показывает эту связь лишь в относительных величинах - в долях единицы. С помощью же регрессионного анализа эту величину связи получают в именованных единицах. Та величина, на которую в среднем изменяется первый признак при изменении второго на единицу измерения, называется коэффициентом регрессии.
В отличие от корреляционного регрессионный анализ дает более широкую информацию, поскольку вычислением двух коэффициентов регрессии Rx/y и Rу/х возможно определить как зависимость первого признака от второго, так и второго от первого. Выражение регрессионной связи с помощью уравнения позволяет по определенному значению одного признака установить значение другого признака.
Коэффициент регрессии R представляет собой произведение коэффициента корреляции на отношение квадратических отклонений, вычисленных для каждого признака. Рассчитывается он по формуле
где, R - коэффициент регрессии; SХ - среднее квадратическое отклонение первого признака, который изменяется в связи с изменением второго; SУ - среднее квадратическое отклонение второго признака в связи с изменением которого изменяется первый признак; r - коэффициент корреляции между этими признаками; х - функция; у -аргумент.
По этой формуле определяется величина значения х при изменении у на единицу измерения. При необходимости обратного расчета можно найти величину у при изменении х на единицу измерения по формуле:
В этом случае активная роль в изменении одного признака по отношению к другому меняется, по сравнению с предыдущей формулой аргумент становится функцией и наоборот. Величины SX и SY принимаются в именованном выражении.
Между значениями г и R имеется четкая взаимосвязь, выражающаяся в том, что произведение регрессии х по у на регрессию у по х равно квадрату коэффициента корреляции, т. е.
Rx/y * Ry/x = r2
Это свидетельствует, что коэффициент корреляции представляет собой среднюю геометрическую из обоих значений коэффициентов регрессии данной выборки. Данная формула может быть использована для проверки правильности расчетов.
При обработке цифрового материала на счетных машинах могут применяться развернутые формулы коэффициента регрессии:
R или
Для коэффициента регрессии может быть рассчитана его ошибка репрезентативности. Ошибка коэффициента регрессии равна ошибке коэффициента корреляции, умноженной на отношение квадратических отношений:
Критерий достоверности коэффициента регрессии вычисляется по обычной формуле:
в итоге он равен критерию достоверности коэффициента корреляции:
Достоверность величины tR устанавливается по таблице Стьюдента при = n - 2, где n - число пар наблюдений.
Криволинейная регрессия.
РЕГРЕССИЯ, КРИВОЛИНЕЙНАЯ . Любая нелинейная регрессия, в которой уравнение регрессии для изменений в одной переменной (у) как функции t изменений в другой (х) является квадратичным, кубическим или уравнение более высокого порядка. Хотя математически всегда возможно получить уравнение регрессии, которое будет соответствовать каждой "загогулине" кривой, большинство этих пертурбаций возникает в результате ошибок в составлении выборки или измерении, и такое "совершенное" соответствие ничего не дает. Не всегда легко определить, соответствует ли криволинейная регрессия набору данных, хотя существуют статистические тесты для определения того, значительно ли увеличивает каждая более высокая степень уравнения степ совпадения этого набора данных.
Аппроксимация кривой выполняется тем же путем с использованием метода наименьших квадратов, что и выравнивание по прямой линии. Линия регрессии должна удовлетворять условию минимума суммы квадратов расстояний до каждой точки корреляционного поля. В данном случае в уравнении (1) у представляет собой расчетное значение функции, определенное при помощи уравнения выбранной криволинейной связи по фактическим значениям х j. Например, если для аппроксимации связи выбрана парабола второго порядка, то y = а + b x + cx2, (14) .а разность между точкой, лежащей на кривой, и данной точкой корреляционного поля при соответствующем аргументе можно записать аналогично уравнению (3) в виде yj = yj (a + bx + cx2) (15) При этом сумма квадратов расстояний от каждой точки корреляционного поля до новой линии регрессии в случае параболы второго порядка будет иметь вид: S 2 = yj 2 = 2 (16) Исходя из условия минимума этой суммы, частные производные S 2 по а, b и с приравниваются к нулю. Выполнив необходимые преобразования, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными для определения a, b и с. , y = m a + b x + c x 2 yx = a x + b x 2 + c x 2. yx2 = a x 2 + b x 3 + c x4 . (17). Решая систему уравнений относительно a, b и с, находим численные значения коэффициентов регрессии. Величины y, x, x2, yx, yx2, x3, x4.находятся непосредственно по данным производственных измерений. Оценкой тесноты связи при криволинейной зависимости служит теоретическое корреляционное отношение xу, представляющее собой корень квадратный из соотношения двух дисперсий: среднего квадрата р2 отклонений расчетных значений y" j функции по найденному уравнению регрессии от среднеарифметического значения Y величины y к среднему квадрату отклонений y2 фактических значений функции y j от ее среднеарифметического значения: xу = { р2 / y2 } 1/2 = { (y" j - Y)2 / (y j - Y)2 } 1/2 (18) Квадрат корреляционного отношения xу2 показывает долю полной изменчивости зависимой переменной у, обусловленную изменчивостью аргумента х. Этот показатель называется коэффициентом детерминации. В отлично от коэффициента корреляции величина корреляционного отношения может принимать только положительные значения от 0 до 1. При полном отсутствии связи корреляционное отношение равно нулю, при наличии функциональной связи оно равно единице, а при наличии регрессионной связи различной тесноты корреляционное отношение принимает значения между нулем и единицей. Выбор типа кривой имеет большое значение в регрессионном анализе, поскольку от вида выбранной взаимосвязи зависит точность аппроксимации и статистические оценки тесноты связи. Наиболее простой метод выбора типа кривой состоит в построении корреляционных полей и в подборе соответствующих типов регрессионных уравнений по расположению точек на этих полях. Методы регрессионного анализа позволяют отыскивать численные значения коэффициентов регрессии для сложных видов взаимосвязи параметров, описываемых, например, полиномами высоких степеней. Часто вид кривой может быть определен на основе физической сущности рассматриваемого процесса или явления. Полиномы высоких степеней имеет смысл применять для описания быстро меняющихся процессов в том случае, если пределы колебания параметров этих процессов значительные. Применительно к исследованиям металлургического процесса достаточно использовать кривые низших порядков, например параболу второго порядка. Эта кривая может иметь один экстремум, что, как показала практика, вполне достаточно для описания различных характеристик металлургического процесса. Результаты расчетов параметров парной корреляционной взаимосвязи были бы достоверны н представляли бы практическую ценность в том случае, если бы используемая информация была получена для условий широких пределов колебаний аргумента при постоянстве всех прочих параметров процесса. Следовательно, методы исследования парной корреляционной взаимосвязи параметров могут быть использованы для решения практических задач лишь тогда, когда существует уверенность в отсутствии других серьезных влияний на функцию, кроме анализируемого аргумента. В производственных условиях вести процесс таким образом продолжительное время невозможно. Однако если иметь информацию об основных параметрах процесса, влияющих на его результаты, то математическим путем можно исключить влияние этих параметров и выделить в “чистом виде” взаимосвязь интересующей нас функции и аргумента. Такая связь называется частной, или индивидуальной. Для ее определения используется метод множественной регрессии.
Корреляционное отношение.
Корреляционное отношение и индекс корреляции - это числовые характеристики, тесно связанные понятием случайной величины, а точнее с системой случайных величин. Поэтому для введения и определения их значения и роли необходимо пояснить понятие системы случайных величин и некоторые свойства присущие им.
Два или более случайные величины, описывающих некоторое явление называют системой или комплексом случайных величин.
Систему нескольких случайных величин X, Y, Z, …, W принято обозначать через (X, Y, Z, …, W).
Например, точка на плоскости описывается не одной координатой, а двумя, а в пространстве - даже тремя.
Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных случайных величин, входящих в систему, а включают также взаимные связи (зависимости) между случайными величинами. Поэтому при изучении системы случайных величин следует обращать внимание на характер и степень зависимости. Эта зависимость может быть более или менее ярко выраженной, более или менее тесной. А в других случаях случайные величины оказаться практически независимыми.
Случайная величина Y называется независимой от случайной величины Х, если закон распределения случайной величины Y не зависит от того какое значение приняла величина Х.
Следует отметить, что зависимость и независимость случайных величин есть всегда явление взаимное: если Y не зависит от Х, то и величина Х не зависит от Y. Учитывая это, можно привести следующее определение независимости случайных величин.
Случайные величины Х и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины Х и Y называются зависимыми.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Понятие "зависимости" случайных величин, которым пользуются в теории вероятностей, несколько отличается от обычного понятия "зависимости" величин, которым пользуются в математике. Так, математик под "зависимостью" подразумевает только один тип зависимости - полную, жесткую, так называемую функциональную зависимость. Две величины Х и Y называются функционально зависимыми, если, зная значение одного из них, можно точно определить значение другой.
В теории вероятностей встречаются несколько с иным типом зависимости - вероятностной зависимостью. Если величина Y связана с величиной Х вероятностной зависимостью, то, зная значение Х, нельзя точно указать значение Y, а можно указать её закон распределения, зависящий от того, какое значение приняла величина Х.
Вероятностная зависимость может быть более или менее тесной; по мере увеличения тесноты вероятностной зависимости она все более приближается к функциональной. Т.о., функциональную зависимость можно рассматривать как крайний, предельный случай наиболее тесной вероятностной зависимости. Другой крайний случай - полная независимость случайных величин. Между этими двумя крайними случаями лежат все градации вероятностной зависимости - от самой сильной до самой слабой.
Вероятностная зависимость между случайными величинами часто встречается на практике. Если случайные величины Х и Y находятся в вероятностной зависимости, то это не означает, что с изменением величины Х величина Y изменяется вполне определенным образом; это лишь означает, что с изменением величины Х величина Y имеет тенденцию также изменяться (возрастать или убывать при возрастании Х). Эта тенденция соблюдается лишь в общих чертах, а в каждом отдельном случае возможны отступления от неё.