Урок разноуровневого обобщающего повторения на тему:
«Сложение и вычитание рациональных дробей »

Цели урока:

1. Образовательная - повторить, обобщить и систематизировать материал темы. Создать условия контроля(самоконтроля) усвоения знаний и умений.

2. Развивающая - способствовать формированию умений применять приёмы: обобщения, выделения главного, переноса знаний в жизненную ситуацию; развитию математического кругозора в решении задач, мышления и речи, внимания, памяти.

3 . Воспитательная - содействовать воспитанию интереса к математике, активности, общей культуры.

Тип урока – обобщение.

Форма урока – дидактическая игра «Математическое ралли»

Методы -Репродуктивный, частично-поисковый

Средства обучения:

Практические – Компьютер, экран, учебник, карточки

интеллектуальные средства- анализ, синтез

эмоциональные средства – интерес, радость, огорчение.

Виды деятельности:

По способу выполнения – слушали, рассказывали, писали, анализировали, обобщали, систематизировали.

По распределению задач – фронтальная, индивидуальная, групповая.

Ход урока:

Этапы

Время

Целепологание, организационный момент

( Самостоятельная работа)

Задание на дом. Карточки

1 этап урока – организационный (1 минута).

Добрый день, ребята! Появляется на экране изображение гонщиков на автомобилях и название «Математическое ралли». Тема урока «Сложение и вычитание рациональных дробей».

Как Вы думаете, чем мы сегодня будем заниматься? Сегодня у нас будет не простой урок по теме, а обобщающий урок- игра «Математическое ралли». На уроке мы повторим сложение, вычитание рациональных дробей.

В игре участвуют 6 экипажей. Сначала нам нужно подготовиться к гонкам.

Для этого с каждой гоночной трассы я приглашаю к доске по одному представителю экипажа для выбора автомобиля, на котором вы продолжите свой путь.(Трое учащихся решают у доски разноуровневые задания на скорость. Кто быстрее решит,тот получает самый высокоскоростной автомобиль.)

На «3» (Калмыков Михаил)

На «4» (Шевченко Александра)

На «5» (Шмальц Алина)

Каждому экипажу выдается путевой лист

ЭТАП

Результат

Подготовка экипажей к старту (устная работа)

Проверка местности (Заполни пропуски)

Гонки в городе (Математический диктант)

Авария,ремонт (ПИТ СТОП) (Найди ошибку)

Отдых на привале. Физкультминутка

Гонки по пересеченной местности ( Самостоятельная работа)

Итоги урока. Рефлексия. Выставление оценок

2 этап урока – ПОДГОТОВКА ЭКИПАЖЕЙ К СТАРТУ «Устная работа» (5 минут) Повторение теоретического материала по теме «Разложение многочлена на множители». Учитель: «Вспомним способы разложения многочленов на множители, так как это необходимо нам для усвоения основной темы нашего урока». Учащиеся в произвольной последовательности называют способы разложения многочленов на множители. Затем учащимся предлагается устно разложить на множители:

Разложи на множители

Ответ

Девиз

1) 4х + 8

2ав(2в+3а) ПИ

то

2) 3ав – 4ас

(5-у)(5+у) МЕ

ро

3) 4ав² + 6а²в

2(х-1)(х+1) ЛЕ

пи

4) х² - 9

(у+5) 2 НО

сь

5) 25 - у²

(х-3) 2 Д

ме

6) х² - 6х + 9

4(х+2) ТО

7) 2х² - 2

4(а-2)(а+2) Н

ле

8) 4а² - 16

а(3в-4с) РО

9) у² + 10у + 25.

(х-3)(х+3) СЬ

но

ОТВЕТ: «Торопись медленно!»
Учащиеся разлагают многочлен на множители и сразу указывают способ разложения . 3 этап урока- ПРОВЕРКА МЕСТНОСТИ (3 минут).
Задание: Заполни пропуски

Повторение теоретического материала по теме «Сложение и вычитание рациональных дробей».

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их …………………., а …………………..оставить тем же.

Дробь называется рациональной, если …………………содержит……………………..

Величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби……………….или ………………….на одно и то же выражение………………

Чтобы выполнить сложение или вычитание дробей с разными знаменателями, нужно …………………. эти дроби к общему ………………………

Чтобы сократить рациональную дробь надо ее ………………….и………………..

разложить на……………………….

Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из ……………. первой дроби вычесть …………………второй дроби, а ……………………оставить тем же

Деление числителя и знаменателя на их ….………………………………… называют………………..дроби

Учитель предлагает повторить эти правила несколько раз, включая в работу слабоуспевающих учащихся. 4 этап урока – ГОНКИ В ГОРОДЕ (Математический диктант)-7минут

1экипаж-словестный (да, нет)

2экипаж-цифровой (да-1,нет-0)

3экипаж-графический (да_, нет ^)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ:

1. ОДЗ дроби 5х/(х-3) все числа, кроме 3

2. Выражение 2х-5/12 является рациональной дробью

3. Данная дробь --16/х имеет смысл при любом значении х

4. Наименьший общий знаменатель данных дробей 7/(х-3) и 15х/(х+3) равен х 2 -9
5. Дробь 5а-10/20а является сократимой
6. Числитель и знаменатель данной дроби 7а-14а 2 /(а 2 -в 2 ) можно разложить, используя только ФСУ
7. Знаменатель дроби не может быть равным нулю
ОТВЕТЫ:

Урок в 8 классе

(снятый на видео для курсов)

Тема: « Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями.

Цели: 1) Развивающие:

Развивать логическое мышление;

Развивать умение контролировать свои действия;

Обучение действию по аналогии;

Развивать культуру речи;

Вырабатывать умение общения.

2) Образовательные:

Повторить теоретический материал по теме: « Алгебраические дроби»;

Описать способ сложения и вычитания дробей с разными знаменателями;

Отрабатывать навыки сложения и вычитания алгебраических дробей с

разными знаменателями;

Расширять кругозор учащихся.

3) Воспитывающие:

Вырабатывать умение преодолевать трудности.

Задачи: закрепить правила сложения и вычитания рациональных дробей с

одинарными знаменателями;

объяснить правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями;

формировать умение выполнять действия алгебраических дробей.

Ход урока

I. Повторение ранее изученного материала

Что мы изучали на прошлом уроке?

Давайте вспомним правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями

Посмотрим это на примерах

Ребята, посмотрите, что у нас интересного в 3-м примере. Мы не только выполняли действия с алгебраическими дробями, имеющие одинаковые знаменатели, но и выполняли сокращение получившейся дроби. Вынесли 3 за скобки. В числительном и знаменательном одинаковые множители на которые мы сократили.

Подготовка к изучению нового материала

- попробуем выполнить следующий пример замечательно!

А как у нас обстоят дела с последним примером? (Я затрудняюсь выполнить, т.к. здесь алгебраические дроби не с одним знаменателем, и в состав этих разных знаменателей входят переменные)

Что же нам еще надо уметь делать? (когда получиться складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями)

Я согласна с вами. Как же можно сформировать тему нашего сегодняшнего урока?

« Сложение и вычитание дробей с разными элементами»

Изучение нового материала.

Какую же цель мы сегодня поставим перед собой на уроке? (научиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями)

Что же нам необходимо для достижения цели урока (алгоритм проведения алгебраических дробей к общему знаменателю, чтобы потом действовать по привычному нам правилу сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями).

Рассмотрим некоторые случаи: (объяснить ход решения)

Как нашли общий знаменатель? Знаменатели дробей не имеют общих делителей. В этом случае находим произведение знаменателей

Итак: ели знаменатели не имеют общих делителей, то находим произведение знаменателей.

Случай (объяснить ход решения)

Как нашли общий знаменатель?

Знаменатель одной из дробей является делителем второй дроби.

;

В буквенном виде это записывается так:

Итак : если один знаменатель является делителем второй дроби, то он и есть общий знаменатель.

Знаменатели дробей имеют общие делители, но знаменатель одной из дроби не является делителем знаменателя другой дроби.

Итак : давайте сформулируем алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Привести дроби к одинаковым знаменателям как? а) перемножить знаменатели;

в) Разложить на множители найти НОК

2) Найти дополнительный множитель для каждой дроби (разделим новый знаменатель на старый)

3) Запишем получившиеся дроби умножением числителя и дополнительного множителя.

4) Складываем и вычитаем дроби с одинаковым знаменателем.

Закрепление изученного материала

Для того, чтобы закрепить нам новый алгоритм мы должны тренироваться в решении примеров (IIгр. № 73(а, в, д) у доски (г, д, е) у доски, № 75

I гр. № 76, 77

Самостоятельно с самопроверкой

Итог урока:

Какую цель мы поставили в начале урока?

Что мы составили для достижения цели?

Повторим алгоритм сложения и вычитания дробей разными знаменателями.

Дома Iгр. № 74, 76(а, в, д), 84(а, в, д)

IIгр. № 78, 85(а, в), 86(а, в)

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями выполняют по тому же алгоритму, что используется для сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множи-
телей, а затем складывают или вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями по правилу из § 3. Можно сформулировать алгоритм, охватывающий любые случаи сложения (вычитания) алгебраических дробей.

Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей

Пример 1. Выполнить действия:

Решение. Для каждой пары заданных здесь алгебраических дробей общий знаменатель был найден выше, в примере из § 2. Опираясь на указанный пример, получаем:

Самое трудное в приведенном алгоритме — это, конечно, первый шаг: отыскание общего знаменателя и приведение дробей к общему знаменателю. В примере 1 вы этой трудности, может быть, не ощутили, поскольку мы воспользовались готовыми результатами из § 2.

Чтобы выработать правило отыскания общего знаменателя, проанализируем пример 1.
Для дробей общий знаменатель есть число 15 оно делится и на 3 и на 5, является их общим кратным (даже наименьшим общим кратным).
Для дробей — общим знаменателем является одночлен 12b 3 . Он делится и на 4b 2 и на 6b 3 , т. е. на оба одночлена, служащие знаменателями дробей.

Обратите внимание: число 12 — наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. Переменная b входит в знаменатель первой дроби с показателем 2, в знаменатель
второй дроби — с показателем 3. Это наибольшее значение показателя 3 фигурирует в общем знаменателе.
Для дробей

общим знаменателем служит произведение (х + у)(х - у) — оно делится и на знаменатель х + у и на знаменатель х-у.

При отыскании общего знаменателя приходится, естественно, все заданные знаменатели разлагать на множители (если это не было подготовлено в условии). А далее следует провести работу по этапам: найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов (речь идет о целочисленных коэффициентах), определить для каждого несколько раз встречающегося буквенного множителя наибольший показатель степени, собрать все это в одно произведение.

Теперь можно оформить соответствующий алгоритм.

Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей

Прежде чем двигаться дальше, попробуйте применить этот алгоритм к обоснованию поиска общего знаменателя для алгебраических дробей из примера 1.
Замечание. На самом деле общих знаменателей для двух алгебраических дробей можно найти сколько угодно. Например, для дробей общим
знаменателем может быть и число 30, и число 60, и даже одночлен 15а2Ь. Дело в том, что и 30, и 60, и 15а 2 b можно разделить как на 3, так и на 5. Для
дробей —
общим знаменателем, кроме найденного выше одночлена 12b , может быть и 24b 3 и 48а 2 b 4 . Чем же одночлен 12b 3 лучше, чем 24b 3 , чем 48а 2 b 4 ? Он проще (по виду). Его иногда называют даже не общим знаменателем, а наименьшим общим знаменателем. Таким образом, приведенный алгоритм — это алгоритм
отыскания самого простого из общих знаменателей нескольких алгебраических дробей, алгоритм отыскания наименьшего общего знаменателя.

Снова вернемся к примеру 1, а. Чтобы сложить алгебраические дроби , надо было не только найти общий знаменатель (число 15), но и отыскать для каждой из дробей дополнительные множители, которые позволили бы привести дроби к общему знаменателю. Для дроби таким дополнительным мно-
жителем служит число 5 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 5), для дроби число 3 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 3).

Дополнительный множитель есть частное от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.
Обычно используют следующую запись:

Снова вернемся к примеру 1,6. Общим знаменателем для дробей является одночлен 12b 3 . Дополнительный множитель для первой дроби равен Зb (поскольку 12b 3: 4b 2 = З Ь), для второй дроби он равен 2 (поскольку 12b 3: 6b 3 = 2). Значит, решение примера 1,6 можно оформить так:

Выше был сформулирован алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей. Но опыт показывает, что этот алгоритм не всегда бывает понятен учащимся, поэтому мы дадим несколько видоизмененную формулировку.

Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю

Пример 2. Упростить выражение

Решение.
Первый этап. Найдем общий знаменатель и дополнительные множители.

Имеем
4а 2 - 1 = (2а - 1) (2а + 1),
2а 2 + а = а(2а + 1).
Первый знаменатель берем целиком, а из второго — добавляем множитель а, которого нет в первом знаменателе. Получим общий знаменатель

a(2a - 1) (2a +1).

Удобно расположить записи в виде таблицы:

Второй этап.
Выполним преобразования:

При наличии некоторого опыта первый этап можно не выделять, выполняя его одновременно со вторым этапом.

В заключение рассмотрим более сложный пример (для желающих).

Пример 3 . Упростить выражение

Решение.
Первый этап.
Разложим все знаменатели на множители:

1) 2а 4 + 4а 3 b + 2a 2 b 2 = 2а 2 (а 2 + 2аb + b 2) = 2а 2 (а + b) 2 ;

2) 3ab 2 - За 3 = За (b 2 - а 2) = За (b - а) (b + а);

3) 6а 4 -6а 3 b = 6а 3 (а- b).

Первый знаменатель берем целиком, из второго возьмем недостающие множители 3 и b - а (или a — b), из третьего — недостающий множитель а (поскольку третий знаменатель содержит множитель а 3).

Алгебраические дроби

Заметим, что если у дополнительного множителя появляется знак «-», то его обычно ставят перед всей дробью, т. е. перед второй дробью придется поменять знак.

Второй этап.
Выполним преобразования:

Отметим, что замена выражения, данного в примере 3, той алгебраической дробью, которая получилась в результате, есть тождественное преобразование при допустимых значениях переменных. В данном случае допустимыми являются любые значения переменных а и Ь, кроме a = 0, a = b, a = - b (в этих
случаях знаменатели обращаются в нуль).

Цель урока:

образовательная - обобщить и систематизировать знания учащихся по темам: «Алгебраическая дробь и ее свойства. Сложение и вычитание алгебраических дробей», закрепить вычислительные навыки;

развивающая – развивать познавательную деятельность учащихся, формировать навыки самостоятельной работы, побуждать любознательность

воспитательная - воспитание внимания, тренировка памяти, развитие сообразительности, находчивости, товарищества

Оборудование: интерактивная доска, компьютер(презентация)

Ход урока:

1. Организационный момент. Тема урока записана на доске.

2. Ребята, сегодня у нас необычный урок. Мы с вами совершим небольшое путешествие в страну РАЦИОНАЛЬНЫХ (АЛГЕБРАИЧЕСКИХ) ДРОБЕЙ. Сегодня на уроке нужно быть очень внимательным и много трудиться. Только тогда удача будет наградой за труд, иначе можно попасть в очень неприятную историю. Впереди вас ждут станции, где вам надо будет показать свои знания, находчивость, смекалку. Маршрут путешествия мы будем выбирать, используя карту (слайд 2). Класс наш поделится на 3 команды (по рядам).Итак, в путь!

1.Поляна «Теоретическая»

Каждой команде предлагается ответить на 2 вопроса

На экране 6 подсолнухов, в каждом содержится вопрос. Команда выбирает вопрос и отвечает, за правильный ответ получают очки.

Сформулируйте основное свойство дробей.

Какая дробь называется алгебраической?

3.Сформулируйте правило изменения знака перед дробью?

4. Когда алгебраическая дробь равна нулю?

5. Когда алгебраическая дробь не имеет смысла?

6. Что называется сокращением дроби?

2.Замок алгоритмов

Сформулируйте алгоритм сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Сформулируйте алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями

Типы задач

Сумма (разность ) дробей, знаменатели которых одинаковы.

Сумма (разность ) дробей, знаменатели которых одночлены, имеющие общие множители.

Сумма (разность ) дробей, знаменатели которых многочлены.

1) Выписать числители дробей, поставив между ними знак

2) Знаменатель оставить без изменения

3) преобразовать числитель новой дроби (раскрыть скобки, привести подобные, разложить на множители, сократить дробь, если возможно)

1) записать в знаменатель НОК коэффициентов одночленов.

2) выписать переменные, входящие в каждый из одночленов, с наибольшим показателем

3) составить произведение полученных множителей;

4)найти дополнительные множители для этого общий знаменатель разделить на знаменатель каждой дроби

5) записать числитель новой дроби, для этого дополнительный множитель каждой дроби умножить на соответствующий числитель, поставив между произведениями знак между дробями

6)

1)разложить на множители знаменатели дробей;

2) Найти НОЗ и записать в знаменатель

3) найти дополнительные множители

4) записать числитель новой дроби, для этого дополнительный множитель каждой дроби умножить на соответствующий числитель, поставить между произведениями знак между дробями

5) преобразовать числитель новой дроби

После повторения правил рассматриваются решения примеров на слайде.

I II III

1) 1)
1)

2)
2)
2)

3)
3)
3)

3.Исторический городок

Выполнив задания, найдите ответы. Каждому ответу соответствует буква,составьте слово, о происхождении которого вы узнаете из следующего слайда.

49+14у+у 2

а 3 – 125

(3с-2) 2

Слово алгебра произошло от слова алджабра , взятого из названия книги узбекского математика, астронома и географа Мухамеда Ал-Хорезми «Краткая книга об исчислениях ал-джабры и ва-л-мукабалы».

4.Загадочный лабиринт

Каждой команде по 4 находки в лабиринте, правильные ответы щелчком мышки попадают на свои места, неправильные покидают поле.

5.Остров ошибок.

6.Сказочный лес

Какой из героев сказок спрятал верный ответ? Определите зто, кликнув по изображению

1) Найдите дробь

2) При каких х выражение не имеет смысла?