Механическая система, состоящая из трех тел массами m1 , m2 , m3 , вращается относительно вертикальной оси с постоянной угловой скоростью
ω. Шарик 3 принять за материальную точку. Тела 1, 2 – однородные стержни.l
– длина стержня 1.
Используя принцип Даламбера, составить уравнения динамического
равновесия механической системы.
связи. Известны геометрические параметры системы. Под действием активных нагрузок механическая система движется из состояния покоя.
Дано: m1 , m2 , m3 – массы тел 1, 2, 3; Jc2x2 , Jc3x3 – моменты инерции тел 2,
3 относительно осей, проходящих через их центры масс; Р – активная сила.
Билет № 3
Теоретическая часть
Задание 1 . Сформулироватьтретий закон динамики (закон равенства действия и противодействия).
вынужденные колеба-
ния материальной точки?
Задание 3 . Записать основное уравнение динамики относительного движенияточки для случая, когда переносное движение есть поступательное неравномерное криволинейное движение, а относительное движение прямоли-
Задание 4 . Что являетсямерой инертности при поступательном дви-
жении твердого тела?
Задание 5 . Сформулировать второе следствие изтеоремы о движении центра масс механической системы .
Задание 6 . Сформулировать определение понятия «центральная си-
ла».
Задание 7 . Сформулировать определение понятия «кинетическая энергия ».
Задание 8 . Сформулировать определение понятия «возможные пере-
мещения несвободной механической системы». Задание 9 . Что изучает аналитическая механика?
Задание 10 . Сформулировать определение понятия «обобщенная си-
ла».
Практическая часть
Тело 1 вращается относительно оси О1 Z1 с постоянной угловой скоростьюe . По гладкому каналу, выполненному в теле 1, перемещается точка М массой m.
Движущаяся механическая система состоит из четырех тел. Центр масс
тела 1 имеет скорость V.
Определить кинетическую энергию тела 4 массой m4 в зависимости от
Используя принцип возможных перемещений, определить горизонтальную составляющую реакции внешней связи в точке В.
Механическая система, состоящая из трех тел массами m1 , m2 , m3 , враща-
ется относительно вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω. Тела 1, 2, 3 – однородные стержни.l 1 = l 3 = l – длины стержней 1, 3.
Используя принцип Даламбера, составить уравнения динамического рав-
новесия механической системы.
На механическую систему, состоящую из трех тел, наложены идеальные
связи. Известны геометрические параметры системы. Под действием активных
нагрузок механическая система движется из состояния покоя.
Дано: m1 , m2 , m3 – массы тел 1, 2, 3; Jc2x2 , Jc3x3 – моменты инерции тел 2, 3
относительно осей, проходящих через их центры масс; Р – активная сила; М3 – активный момент.
Составить общее уравнение динамики механической системы.
Билет № 4
Теоретическая часть
Задание 1 . Сформулировать определение понятия «инерциальная система отсчета ».
Задание 2 . Под действием каких сил происходятвынужденные колеба-
ния материальной точки?
Задание 3 . Записать дифференциальное уравнение движения точки,
происходящее под действием восстанавливающей силы, возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону, и силы сопротивления движению,
пропорциональной первой степени скорости.
Задание 4 . Что являетсямерой инертности при поступательном дви-
жении твердого тела?
Задание 5 . Записать формулу для определениямомента инерции те-
ла относительно вертикальной оси вращения.
Задание 6 . Сформулировать определение понятия «плечо вектора ко-
личества движения точки относительно произвольного центра».
Задание 7 . Записать формулу для определенияработы силы тяже-
сти.
Задание 8 . Записать формулы, выражающиепринцип Даламбера для несвободной неизменяемой механической системы в координатной фор-
Задание 9 . Сформулировать определение понятия «возможное пере-
мещение системы».
Задание 10 . Записать формулу, выражающуюпринцип возможных пе-
ремещений , в векторной форме.
Практическая часть
Тело 1 вращается относительно оси О1 Z1 с постоянной угловой скоростью
e . По гладкому каналу, выполненному в теле 1, перемещается точка М массой m.
Записать дифференциальное уравнение относительного движения точки М.
Движущаяся механическая система состоит из пяти тел. Геометрические
параметры тел известны. R3 , r3 , R5 – соответствующие радиусы тел 3, 5. Центр масс тела 1 имеет скорость V. Jc5x5 – момент инерции тела 5 относительно оси,
проходящей через его центр масс.
Определить кинетическую энергию тела 5 массой m5 в зависимости от
скорости V и геометрических параметров этой системы.
На плоскую механическую систему, состоящую из двух тел, действуют активные нагрузки Р1 , Р2 , q, М.
Используя принцип возможных перемещений, определить вертикальную
составляющую реакции внешней связи в точке А.
Механическая система, состоящая из трех тел массами m1 , m2 , m3 , вращается относительно горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью ω.
Тела 1, 2, 3 – однородные стержни.
Дано: m1 , m2 , m3 , m4 – массы тел; Jc2x2 , Jc3x3 – моменты инерции тел 2, 3 относительно осей, проходящих через их центры масс.
Составить общее уравнение динамики механической системы.
Билет № 5
Теоретическая часть
Задание 1 . Записать основное уравнение динамикинесвободной ма-
териальной точки в векторном виде.
Задание 2 . Сформулировать определение понятия «циклическая час-
тота свободных колебаний точки».
Задание 3 . Сформулировать определение понятия «внутренние си-
лы».
Задание 4 . Записать формулу для определенияглавного вектора ре-
акций внешних связей.
Задание 5 . Сформулироватьтеорему Штейнера .
Задание 6 . Записатьтеорему импульсов в векторной форме.
Задание 7 . Сформулировать определение понятия «работа постоян-
ной силы на прямолинейном перемещении точки ее приложения».
Задание 8 . Записать формулу для определениясилы инерции мате-
риальной точки.
Задание 9 . Сформулировать определение понятия «возможная (эле-
ментарная) работа силы».
Задание 10 . Записать уравнение Лагранжа второго рода.
Практическая часть
Тележка 1 совершает поступательное горизонтальное движение по закону y1 = 4t3 + 2t2 + t + 1, м. В гладком наклонном канале тележки перемещается шарик M массой m.
Записать дифференциальное уравнение относительного движения
Движущаяся механическая система состоит из шести тел. Геометриче-
ские параметры тел известны. R2 , r2 , R3 – соответственно радиусы тел 2 и 3. Jc3x3 – момент инерции тела 3 относительно оси, проходящей через его центр
масс. Центр масс тела 1 имеет скорость V.
Определить кинетическую энергию тела 3 в зависимости от скорости V и геометрических параметров механизма.
На плоскую механическую систему, состоящую из двух тел, действуют
активные нагрузки Р1 , Р2 , q, М.
Используя принцип возможных перемещений, определить вертикальную составляющую реакции внешней связи в точке А.
Механическая система, состоящая из двух однородных стержней 1, 2 массами m1 , m2 и невесомой нити 3, вращается относительно горизонтальной
оси с постоянной угловой скоростью ω.
Используя принцип Даламбера, составить уравнения динамического равновесия механической системы.
На механическую систему, состоящую из четырех тел, наложены идеальные связи. Известны геометрические параметры системы. Под действием активных нагрузок механическая система движется из состояния покоя.
Дано: m1 , m2 , m3 , m4 – массы тел; Jc2x2 , Jc3x3 – моменты инерции тел 2, 3 относительно осей, проходящих через их центры масс; Р – активная сила.
Составить общее уравнение динамики механической системы.
Саша, Коля и Дима приняли участие в соревнованиях по бегу на дистанцию L = 200 м. На старте друзья располагались на соседних дорожках. Саша, стартовавший на первой дорожке, финишировал первым через t = 40 с, а Дима на третьей дорожке отстал от победителя на Δt = 10 с. Определите скорость Коли на второй дорожке, если известно, что в момент финиша Саши все три бегуна располагались на одной прямой. Скорости бега спортсменов можно считать постоянными на всей дистанции, а беговую дорожку прямой.
Возможное решение
Найдём скорость Саши: V 1 = L / t и скорость Димы: V 3 = L/(t + Δt)
В момент времени t Дима отстал от Саши на расстояние Δl = (V 1 – V 3)t .
Из того, что все три друга в этот момент находились на одной прямой, следует, что Коля отстал от Саши на расстояние Δl /2. С другой стороны Δl/ 2 = (V 1 – V 2)t , где V 2 – скорость Коли. Решая записанную систему уравнений, получим: ÷
Критерии оценивания
- Найдены скорости Саши и Димы (по 1 баллу за каждую): 2 балла
- Найдено расстояние, на которое Дима отстал от Саши в момент времени t : 2 балла
- Использовано, что друзья расположены на одной прямой, и получена связь между расстояниями, на которые Дима и Коля отстали от Саши: 2 балла
- Записано выражение для расстояния, на которое Коля отстал от Саши в момент времени t , через скорость Коли: 2 балла
- Получено выражение для скорости Коли: 1 балл
- Получено численное значение скорости Коли: 1 балл
Максимум за задачу – 10 баллов .
Задача 2
Система, состоящая из двух однородных стержней разной плотности, находится в равновесии. Масса верхнего стержня m 1 = 3,6 кг. Трение пренебрежимо мало. Определите, при какой массе m 2 нижнего стержня возможно такое равновесие.
Возможное решение
Запишем уравнение моментов для нижнего стержня относительно его центра тяжести: 5T 1 – 2T 2 = 0, где T 1 – сила реакции со стороны левой нити, T 2 – сила реакции со стороны правой нити.
Условие равновесия нижнего стержня:
T 1 + T 2 = m 2 g
Из этих двух уравнений находим:
T 1 = 2/7 *m 2 g,
– T 2 = 5/7*m 2 g.
Запишем уравнение моментов для верхнего стержня относительно точки крепления левой (верхней) нити:
Критерии оценивания
- 5T 1 – 2T 2 = 0: 2 балла
- T 1 + T 2 = m 2 g: 1 балл
- T 1 = 2/7*m 2 g и T 2 = 5/7m 2 g (по 1 баллу за каждую силу): 2 балла
- Уравнение моментов: 4 балла
- m 2 = 2.1 кг: 1 балл
Максимум за задачу – 10 баллов.
Задача 3
Тело, привязанное нитью ко дну сосуда, погружено в жидкость на 2/3 своего объёма. Сила натяжения нити при этом равна T 1 = 12 Н. Для того чтобы вынуть это тело из жидкости на 2/3 объёма, нужно отвязать тело ото дна и приложить к нему сверху направленную вертикально вверх силу T 2 = 9 Н. Определите отношение плотностей жидкости и тела.
Возможное решение
Запишем условие равновесия тела в первом случае:
где ρ Т – плотность тела, ρ Ж – плотность жидкости, ܸV– объём тела.
Поделим одно уравнение на другое:
Критерии оценивания
- Сила Архимеда в виде ρ Ж gV погр: 1 балл
- Условие равновесия тела в первом случае: 4 балла
- Условие равновесия тела во втором случае: 4 балла
- ρ Ж /ρ T = 2.1: 1 балл
Максимум за задачу – 10 баллов
Задача 4
Для поддержания в доме постоянной температуры T = +20 ºС в печку всё время подкладывают дрова. При похолодании температура воздуха на улице понижается на Δt = 15 ºС, и для поддержания в доме прежней температуры приходится подкладывать дрова в 1,5 раза чаще. Определите температуру воздуха на улице при похолодании. Какая температура установилась бы в доме, если бы дрова подкладывали с прежней частотой? Считайте, что мощность передачи теплоты от комнаты к улице пропорциональна разности их температур.
Возможное решение
Пусть температура воздуха на улице до похолодания была равна,ݐа епловая мощность, поступающая в дом за счёт сжигания дров, была равна P . Тогда до похолодания:
где α – некоторый постоянный коэффициент пропорциональности.
После похолодания:
1,5ܲP = α(T – (t – Δt))
Поделим одно уравнение на другое:
Если бы дрова подкладывали с прежней частотой, то:
Критерии оценивания
- P = α(T – t): 3 балла
- 1,5P = α(T – (t – ∆t)): 3 балла
- t – ∆t = – 25°C: 1 балл
- T‘ = 5°C: 3 балла
Максимум за задачу – 10 баллов .
Задача 5
Во сколько раз изменятся показания идеального амперметра при замыкании ключа, если на входные клеммы участка цепи подаётся постоянное напряжение?
Критерии оценивания
- Общее сопротивление до замыкания ключа:3 балла
- I = 7U/12R: 1,5 балла
- Общее сопротивление после замыкания ключа: 3 балла
- I′=12U/17R: 1,5 балла
- I′/I= 144/119 ≈ 1.2: 1 балл
Максимум за задачу – 10 баллов .
В случае, если решение какой-либо задачи отличается от авторского, эксперт (учитель) сам составляет критерии оценивания в зависимости от степени и правильности решения задачи.
При правильном решении, содержащем арифметическую ошибку, оценка снижается на 1 балл.
Всего за работу – 50 баллов .
При определении условий равновесия системы твердых тел, находящихся во взаимодействии, задача о равновесии может быть разрешена для каждого тела в отдельности. Силы реакции (взаимодействия), возникающие в точках соприкосновения, удовлетворяют третьему закону Ньютона. В соответствии с этим мы обязаны принять условие, что действие одного тела на другое равно и противоположно по направлению действию этого другого тела на первое.
Если при решении задачи о равновесии выбирать один и тот же центр приведения для всех тел системы, то для каждою из тел получим следующие условия равновесия:
где соответственно результирующая сила и момент результирующей пары всех сил, действующих на данное тело, кроме сил взаимодействия между отдельными телами (внутренних реакций). - соответственно результирующая сила и момент результирующей пары сил внутренних реакций, действующих на данное тело. Производя теперь формальное суммирование и принимая во внимание, что для внутренних сил взаимодействия выполняются условия
получим следующие необходимые условия равновесия системы твердых тел:
где суммирование уже распространяется на все точки взаимодействующих тел.
Пример 35. Система состоит из двух однородных стержней длиной длиной и весом Р. Оба стержня могут вращаться в одной вертикальной плоскости: стержень вокруг своей середины О, а стержень вокруг шарнира О, расположенного на одной вертикали с О на расстоянии
К концу D стержня подвешен груз весом Груз Q посредством стержня отклоняет стержень от вертикального положения.
Определить угол в положении равновесия системы, а также реакцию в точке О (рис. 99).
Решение. Рассматриваемая система состоит из двух твердых стержней, находящихся под действием плоской системы сил.
Условия равновесия первого стержня
можно переписать в виде
Последнее уравнение первой группы свидетельствует о том, что единственная сила реакции расположена в плоскости чертежа. Следовательно, момент результирующей пары направлен вдоль оси перпендикулярной к плоскости Рассматривая условия равновесия стержня заметим, что и реакция в точке О расположена в плоскости чертежа, а условия равновесия каждого из стержней состоят из трех уравнений. В результате получим шесть уравнений равновесия системы для определения угла и реакции в точках . Для определения положения равновесия системы необходимо найти только одну величину - угол
При составлении уравнений равновесия можно заметить, что они содержат по нескольку неизвестных величин (параметр и неизвестные реакции). В зависимости
симости от выбора центра приведения эти уравнения будут иметь более или менее сложный вид.
Рассмотрим сначала равновесие стержня выбирая за центр приведения точку О. Условием равновесия является равенство нулю суммы моментов пар от приведения сил Q и к точке О (здесь N сила реакции, действующая со стороны стержня ОА на стержень CD)
Перейдем теперь к исследованию равновесия стержня За центр приведения выберем точку О, так что условие равновесия (равенство нулю суммы моментов пар при приведении к точке О) получит вид
ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ
8 класс
1. На работу!
Инженер ежедневно приезжал на станцию в одно и то же время, и в то же время за ним с завода приезжала машина, на которой он ехал на этот завод работать. Однажды инженер приехал на станцию на 55 мин раньше обычного, сразу пошел навстречу машине и приехал на завод на 10 мин раньше обычного. Какова скорость машины, если скорость инженера 5 км/ч?
1. Так как в этом случае инженер приехал на завод на 10 мин раньше (а машина выехала как обычно), то машина проехала бы путь от места встречи до станции за 5 мин.
2. Инженер пешком это же расстояние прошел за 50 мин (он прибыл на станцию на 55 мин раньше, чем пришла бы машина).
3. Таким образом, одно и то же расстояние (от станции до места встречи) машина проехала, затратив в 10 раз меньше времени, чем инженер. Следовательно, ее скорость в 10 раз больше, т.е. равна 50 км/ч.
2. Система в механическом равновесии
Система состоит из двух однородных стержней, трех невесомых нитей, одна из которых перекинута через неподвижный блок. Трение в оси блока отсутствует, а все нити вертикальны. Масса верхнего стержня m 1 = 0,5 кг. Определите массу m 2 нижнего стержня.
1. Расставим силы, действующие на каждый из стержней. Учтем, что силы, приложенные в одной точке, одинаковы. И неподвижный блок не дает выигрыша в силе, поэтому силы, действующие на нить, перекинутую через блок, с обоих сторон так же одинаковы.
2. Оба стержня находятся в равновесии, не вращаясь. И оба стержня не перемещаются, оставаясь в покое. Потому применяем сначала правило моментов для каждого стержня. Т.к. стержни находятся в покое, то равнодействующая приложенных сил равна 0.
В U-образную трубку наливают воду так, чтобы расстояние от уровня воды до верха трубки было 40 см. В одно колено трубки доливают доверху масло. На сколько поднимется уровень воды во втором колене трубки? Плотность масла 800 кг/м 3 , плотность воды 1000 кг/м 3 .
1. Расстояние между уровнями 1 и 2 равно 40 см. Когда в левое колено доливают масло, уровень воды в нем опускается на расстояние х (расстояние между уровнями 2 и 3). В правом колене вода на столько же поднимается, т.к. жидкости несжимаемы и объем воды, вышедший из левого колена, равен объему воды, перешедшему в правое колено (сечения трубок одинаковы).
2. По закону Паскаля давление на одном уровне должно быть одинаковым. Выясним давление в каждом колене на уровне 3:
В стакан налита вода при комнатной температуре 20°С до половины объема. Потом в этот стакан доливают еще столько же воды при температуре 30°С. После установления теплового равновесия температура в стакане оказалась равной 23°С. В другой такой же стакан наливают воду при температуре 20°С до 1/3 объема и доливают горячей воды с температурой 30°С доверху. Какая температура установится в этом стакане? Потерями тепла за время установления равновесия пренебречь.
1. Обозначим: С - теплоемкость стакана, с - теплоемкость воды, t 0 = 20 о С, t = 30 о С, t 1 = 23 о С, t 2 - искомая величина.
2. Запишем уравнения теплового баланса для каждого случая:
5. Расход топлива
Расход топлива в автобусе (a) зависит от его скорости (v) так, как показано на первом графике. Из города А в город В автобус движется в соответствии с графиком движения (второй график). Узнайте, получится ли у водителя
доехать до пункта назначения без дозаправки, если в баке у машины 25 л топлива?
Определим по первому графику расход топлива при скоростях 20 км/ч и 80 км/ч. Так как зависимость расхода топлива от скорости линейная, то справедливы пропорции:
Учтем, что со скоростью 80 км/ч автобус проехал 80 км, на которые истратил объем бензина
V 1 = a 1 s 1 = (11/60) · 80 = 44/3 л. Со скоростью 20 км/ч автобус проехал 40 км, на которые истратил
V 2 = a 2 s 2 = (13/60) · 40 = 26/3 л. Всего автобус израсходовал 70/3 л, что меньше 25 л. Поэтому топлива хватит на проезд до пункта назначения без дозаправки.
Аэронавт, путешествуя на воздушном шаре, внезапно увидел, что равномерно движется вниз. Тогда он сбросил 60 кг балласта, припасенного как раз для этого случая. Воздушный шар после освобождения от балласта стал подниматься вверх с вдвое меньшей скоростью. Считая силу сопротивления воздуха прямо пропорциональной скорости шара, определите эту силу во время спуска.
Расставим силы, действующие на воздушный шар, когда он летит вверх и вниз:
Так как в обоих случаях движение равномерное, то равнодействующая всех приложенных сил равна нулю. Тогда для движения вниз имеем F сопр + F арх = m 1 g, а для движения вверх F арх = m 2 g + F сопр /2. Здесь мы учли, что архимедова сила не меняется (плотность воздуха и объем шара одинаковы), а сила сопротивления при движении вверх станет в 2 раза меньше, т.к. по условию она пропорциональна скорости движения и скорость при движении вверх в 2 раза меньше, чем при движении вниз. Сброшенный груз имеет массу m 1 - m 2 , то получаем, что 3/2 F сопр = (m 1 - m 2)g. Отсюда F сопр = 400 Н.
Однородный ровный стальной прут длиной 1 м согнули пополам под углом 90°. На каком расстоянии от вершины прямого угла нужно подвесить прут, чтобы стороны получившегося угла были ориентированы по вертикали и горизонтали?
