В данной статье рассмотрим четыре задачи по стереометрии. Дана комбинация тел – конус и шар. Во всех заданиях речь идёт о конусе, который . Отмечу, что в условии взаимное расположение данных тел озвучено может быть по разному, например: «Конус вписан в шар» или «Около конуса описана сфера».
Суть одна – если сказать простым (нематематическим) языком, то конус находится «внутри» сферы, она содержит окружность его основания и вершину. Посмотрите на эскиз:
При решении необходимо знать формулы объёмов шара и конуса.
Объём шара:
Объём конуса:
*Эти формулы необходимо знать!
Площадь основания конуса является кругом, она равна:
Рассмотрим частный случай! Если высота конуса будет равна радиусу его основания, то формула объёма конуса будет иметь вид:
Эскиз:
Понятно, что центральным сечением такого конуса будет являться прямоугольный равнобедренный треугольник, причём высота проведённая из прямого угла разбивает его также на два прямоугольных равнобедренных треугольника:
Вспомним понятие образующей, оно часто используется в задачах с конусами, будет и в заданиях ниже.
Образующая конуса – это отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой его основания. На предыдущем эскизе она обозначена буквой l .
Напрашивается простой вывод: образующих у конуса имеется бесконечное количество и все они равны.
На блоге, кстати, уже есть пара статей с шарами, можете посмотреть их « » и « » .
Теперь рассмотрим задачи:
245351. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.
Так как сказано, что радиус основания конуса равен радиусу шара, то становится понятно, что основание конуса совпадает с плоскостью центрального сечения шара.
Построим эскиз данной комбинации для наглядности (это осевое сечение):
Сказано, что высота конуса равна радиусу его основания (и, разумеется, радиусу шара). Запишем формулы объёмов шара и конуса:
Так как объём шара известен (он равен 28), можем вычислить радиус. Вернее, нам понадобится не сам радиус, а его куб:
Таким образом, объём конуса будет равен:
*Можно было обойтись без вычислений. Посмотрите, если сопоставить две формулы:
то видно, что объём шара в 4 раза больше объёма конуса.
Значит объём конуса будет равен 28/4 = 7.
То есть, задача решается практически устно.
Ответ: 7
245352. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.
Задача обратная предыдущей, рисунок тот же.
Формулы:
Из формул понятно, что объём шара в 4 раза больше объёма конуса:
Таким образом, искомый объём равен 24.
Ответ: 24
316555. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна . Найдите радиус сферы.
Здесь условие звучит по-другому, но тела расположены относительно друг друга абсолютно также, как и в предыдущих задачах – конус вписан в сферу, основание конуса совпадает с центральным сечением сферы.
Эскиз тот же, отметим радиус, высоту равную радиусу и образующую:
Или сферой
.
Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, называется радиусом
.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром
.
Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.
Всякое сечение шара
плоскостью есть круг
. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра на секущую плоскость.
Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью
. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом
, а сечение сферы - большой окружностью
.
Любая диаметральная плоскость шара являются его плоскостью симметрии
. Центр шара является его центром симметрии
.
Плоскость, проходящая через точку шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной плоскостью
. Данная точка называется точкой касания
.
Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.
Прямая, проходящая через заданную точку шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной
.
Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причем все они лежат в касательной плоскости шара.
Шаровым сегментом
называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
Шаровым слоем
называется часть шара, расположенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.
Шаровой сектор
получается из шарового сегмента и конуса.
Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента.
Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется.
Основные формулы
Шар
(R = ОВ
- радиус):
S б = 4πR 2 ; V = 4πR 3 / 3.
Шаровой сегмент
(R = ОВ
- радиус шара, h = СК
- высота сегмента, r = КВ
- радиус основания сегмента):
V сегм = πh 2 (R - h / 3)
или V сегм = πh(h 2 + 3r 2) / 6
;
S сегм = 2πRh
.
Шаровой сектор
(R = ОВ
- радиус шара, h = СК
- высота сегмента):
V = V сегм ± V кон, «+»
- если сегмент меньше,«-» - если сегмент больше полусферы.
или V = V сегм + V кон = πh 2 (R - h / 3) + πr 2 (R - h) / 3
.
Шаровой слой
(R 1
и R 2
- радиусы оснований шарового слоя; h = СК
- высота шарового слоя или расстояние между основаниями):
V ш/сл = πh 3 / 6 + πh(R 1 2
+ R 2 2
) / 2
;
S ш/сл = 2πRh
.
Пример 1.
Объем шара равен 288π
см 3 . Найти диаметр шара.
Решение
V = πd 3 / 6
288π = πd 3 / 6
πd 3 = 1728π
d 3 = 1728
d = 12 см.
Ответ:
12.
Пример 2.
Три равных сферы радиусом r
касаются друг друга и некоторой плоскости. Определить радиус четвертой сферы, касающейся трех данных и данной плоскости.
Решение
Пусть О 1 , О 2 , О 3
- центры данных сфер и О
- центр четвертой сферы, касающейся трех данных и данной плоскости. Пусть А, В, С, Т
- точки касания сфер с данной плоскостью. Точки касания двух сфер лежат на линии центров этих сфер, поэтому О 1 О 2 = О 2 О 3 = О 3 О 1 = 2r
. Точки равноудалены от плоскости АВС
, поэтому АВО 2 О 1 , АВО 2 О 3 , АВО 3 О 1
- равные прямоугольники, следовательно, ∆АВС
- равносторонний со стороной 2r
.
Пусть х
- искомый радиус четвертой сферы. Тогда ОТ = х
. Следовательно, Аналогично 
Значит, Т
- центр равностороннего треугольника. Поэтому Отсюда
Ответ:
r / 3
.
Сфера, вписанная в пирамиду
В каждую правильную пирамиду можно вписать сферу. Центр сферы лежит на высоте пирамиды в точке ее пересечения с биссектрисой линейного угла при ребре основания пирамиды.
Замечание.
Если в пирамиду, необязательно правильную, можно вписать сферу, то радиус r
этой сферы можно вычислить по формуле r = 3V / S пп
, где V
- объем пирамиды, S пп
- площадь ее полной поверхности.
Пример 3.
Коническая воронка, радиус основания которой R
, а высота H
, наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар. Каким должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытесненный из воронки погруженной частью шара, был максимальным?
Решение
Проведем сечение через центр конуса. Данное сечение образует равнобедренный треугольник.
Если в воронке находится шар, то максимальный размер его радиуса будет равен радиусу вписанной в получившийся равнобедренный треугольник окружности.
Радиус вписанной в треугольник окружности равен:
r = S / p
, где S
- площадь треугольника, p
- его полупериметр.
Площадь равнобедренного треугольника равна половине высоты (H = SO
), умноженной на основание. Но поскольку основание - удвоенный радиус конуса, то S = RH
.
Полупериметр равен p = 1/2 (2R + 2m) = R + m
.
m
- длина каждой из равных сторон равнобедренного треугольника;
R
- радиус окружности, составляющей основание конуса.
Найдем m по теореме Пифагора: 
, откуда
Кратко это выглядит следующим образом:
Ответ:
Пример 4.
В правильной треугольной пирамиде с двугранным углом при основании, равным α
, расположены два шара. Первый шар касается всех граней пирамиды, а второй шар касается всех боковых граней пирамиды и первого шара. Найти отношение радиуса первого шара к радиусу второго шара, если tgα = 24/7
.
Решение
Пусть РАВС
- правильная пирамида и точка Н
- центр ее основания АВС
. Пусть М
- середина ребра ВС
. Тогда - линейный угол двугранного угла , который по условию равен α
, причем α < 90°
. Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН
в точке его пересечения с биссектрисой .
Пусть НН 1
- диаметр первого шара и плоскость, проходящая через точку Н 1
перпендикулярно прямой РН
, пересекает боковые ребра РА, РВ, РС
соответственно в точках А 1 , В 1 , С 1
. Тогда Н 1
будет центром правильного ∆А 1 В 1 С 1
, а пирамида РА 1 В 1 С 1
будет подобна пирамиде РАВС
с коэффициентом подобия k = РН 1 / РН
. Заметим, что второй шар, с центром в точке О 1
, является вписанным в пирамиду РА 1 В 1 С 1
и поэтому отношение радиусов вписанных шаров равно коэффициенту подобия: ОН / ОН 1 = РН / РН 1
. Из равенства tgα = 24/7
находим:
Пусть АВ = х
. Тогда
Отсюда искомое отношение ОН / О 1 Н 1 = 16/9.
Ответ:
16/9.
Сфера, вписанная в призму
Диаметр D
сферы, вписанной в призму, равен высоте Н
призмы: D = 2R = H
.
Радиус R
сферы, вписанной в призму, равен радиусу окружности, вписанной в перпендикулярное сечение призмы.
Если в прямую призму вписана сфера, то в основание этой призмы можно вписать окружность.
Радиус R
сферы, вписанной в прямую призму, равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы.
Теорема 1
Пусть в основание прямой призмы можно вписать окружность, и высота Н
призмы равна диаметру D
этой окружности. Тогда в эту призму можно вписать сферу диаметром D
. Центр этой вписанной сферы совпадает с серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, вписанных в основания призмы.
Доказательство
Пусть АВС…А 1 В 1 С 1 …
- прямая призма и О
- центр окружности, вписанной в ее основание АВС
. Тогда точка О
равноудалена от всех сторон основания АВС
. Пусть О 1
- ортогональная проекция точки О
на основание А 1 В 1 С 1
. Тогда О 1
равноудалена от всех сторон основания А 1 В 1 С 1
, и ОО 1 || АА 1
. Отсюда следует, что прямая ОО 1
параллельна каждой плоскости боковой грани призмы, а длина отрезка ОО 1
равна высоте призмы и, по условию, диаметру окружности, вписанной в основание призмы. Значит, точки отрезка ОО 1
равноудалены от боковых граней призмы, а середина F
отрезка ОО 1
, равноудаленная от плоскостей оснований призмы, будет равноудалена от всех граней призмы. То есть F
- центр сферы, вписанной в призму, и диаметр этой сферы равен диаметру окружности, вписанной в основание призмы. Теорема доказана.
Теорема 2
Пусть в перпендикулярное сечение наклонной призмы можно вписать окружность, и высота призмы равна диаметру этой окружности. Тогда в эту наклонную призму можно вписать сферу. Центр этой сферы делит высоту, проходящую через центр окружности, вписанной в перпендикулярное сечение, пополам.
Доказательство
Пусть АВС…А 1 В 1 С 1 …
- наклонная призма и F
- центр окружности радиусом FK
, вписанной в ее перпендикулярное сечение. Поскольку перпендикулярное сечение призмы перпендикулярно каждой плоскости ее боковой грани, то радиусы окружности, вписанной в перпендикулярное сечение, проведенные к сторонам этого сечения, являются перпендикулярами к боковым граням призмы. Следовательно, точка F
равноудалена от всех боковых граней.
Проведем через точку F
прямую ОО 1
, перпендикулярную плоскости оснований призмы, пересекающую эти основания в точках О
и О 1
. Тогда ОО 1
- высота призмы. Поскольку по условию ОО 1 = 2FK
, то F
- середина отрезка ОО 1
:
FK = ОО 1 / 2 = FО = FО 1
, т.е. точка F
равноудалена от плоскостей всех без исключения граней призмы. Значит, в данную призму можно вписать сферу, центр которой совпадает с точкой F
- центром окружности, вписанной в то перпендикулярное сечение призмы, которое делит высоту призмы, проходящую через точку F
, пополам. Теорема доказана.
Пример 5.
В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса 1. Найдите объем параллелепипеда.
Решение
Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. Вы увидите одно и то же - круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом, а параллелепипед будет кубом. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара.
АВ = 2
, а следовательно, объем куба равен 8.
Ответ:
8.
Пример 6.
В правильной треугольной призме со стороной основания, равной , расположены два шара. Первый шар вписан в призму, а второй шар касается одного основания призмы, двух ее боковых граней и первого шара. Найти радиус второго шара.
Решение
Пусть АВСА 1 В 1 С 1
- правильная призма и точки Р
и Р 1
- центры ее оснований. Тогда центр шара О
, вписанного в эту призму, является серединой отрезка РР 1
. Рассмотрим плоскость РВВ 1
. Поскольку призма правильная, то РВ
лежит на отрезке BN
, который является биссектрисой и высотой ΔАВС
. Следовательно, плоскость и является биссекторной плоскостью двугранного угла при боковом ребре ВВ 1
. Поэтому любая точка этой плоскости равноудалена от боковых граней АА 1 ВВ 1
и СС 1 В 1 В
. В частности, перпендикуляр ОК
, опущенный из точки О
на грань АСС 1 А 1
, лежит в плоскости РВВ 1
и равен отрезку ОР
.
Заметим, что KNPO
- квадрат, сторона которого равна радиусу шара, вписанного в данную призму.
Пусть О 1
- центр шара, касающегося вписанного шара с центром О
и боковых граней АА 1 ВВ 1
и СС 1 В 1 В
призмы. Тогда точка О 1
лежит плоскости РВВ 1
, а ее проекция Р 2
на плоскость АВС
лежит на отрезке РВ
.
По условию сторона основания равна
Чтобы легко справиться с решением задач на шар, вписанный в пирамиду, полезно разобрать небольшой теоретический материал.
Шар вписан в пирамиду (или сфера вписана в пирамиду) — значит, шар (сфера) касаются каждой грани пирамиды. Плоскости, содержащие грани пирамиды, являются касательными плоскостями шара. Отрезки, соединяющие центр шара с точками касания, перпендикуляры к касательным плоскостям. Их длины равны радиусу шара. Центр вписанного в пирамиду шара — точка пересечения бисекторных плоскостей двугранных углов при основании (то есть плоскостей, делящих эти углы пополам).
Чаще всего в задачах речь идет о шаре, вписанном в правильную пирамиду. Шар можно вписать в любую правильную пирамиду. Центр шара в этом случае лежит на высоте пирамиды. При решении задачи удобно провести сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды.
Если пирамида четырехугольная или шестиугольная, сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — апофемы, а основание — диаметр вписанной в основание окружности.
Если пирамида треугольная или пятиугольная, достаточно рассмотреть лишь часть этого сечения — прямоугольный треугольник, катеты которого — высота пирамиды и радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а гипотенуза — апофема.
В любом случае, в итоге приходим к рассмотрению соответствующего прямоугольного треугольника и других связанных с ним треугольников.
Итак, в прямоугольном треугольнике SOF катет SO=H — высота пирамиды, катет OF=r — радиус вписанной в основание пирамиды окружности, гипотенуза SF=l — апофема пирамиды. O1- центр шара и, соответственно, окружности, вписанной в треугольник, полученный в сечении (мы рассматриваем его часть). Угол SFO — линейный угол двугранного угла между плоскостью основания и плоскостью боковой грани SBC. Точки K и O — точки касания, следовательно, O1K перпендикулярен SF. OO1=O1K=R — радиусу шара.
Прямоугольные треугольники OO1F и KO1F равны (по катетам и гипотенузе). Отсюда KF=OF=r.
Прямоугольные треугольники SKO1 и SOF подобны (по острому углу S), откуда следует, что
В треугольнике SOF применим свойство биссектрисы треугольника:
Из прямоугольного треугольника OO1F
При решении задач на шар, вписанный в правильную пирамиду, будет полезным еще одно рассуждение.
Теперь найдем отношение объема пирамиды к площади ее поверхности.
Опыт работы в старших классах показал недостаточность многосторонности задач по геометрии и итогом решением этой проблемы стал задачник по геометрии (порядка 4000 задач), в котором 24 главы. Цель этой статьи - одна из глав книги: “Вписанный и описанный шар” .
Для составления многовариантных заданий при изучении темы “Вписанный и описанный шар” решены задачи в общем виде:
1. Шар вписан в правильную пирамиду – рассматриваются R шар , r - радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, r сеч – радиус окружности касания боковой поверхности пирамиды и шара, h - высота пирамиды, h 1 – апофема, с – длина бокового ребра, a - угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды – с учетом когда известны две величины, находятся остальные – всего рассмотрено 15 вариантов:
(r, R ш), (r, h 1), (r, h), (r, a), (r, r сеч), (R ш, h 1), (R ш, h), (R ш, a), (h 1 , h), (h 1 , a), (h 1 , r сеч), (h, a), (h, r сеч), (a , r сеч).
2. Шар вписан в пирамиду, боковые грани которой, равнонаклонены к плоскости основания пирамиды – рассмотрены варианты, когда основание – треугольник, ромб, трапеция – в этих случаях приведена таблица конкретных данных.
3. Сфера описана около правильной пирамиды - рассматриваются, R сферы - радиус сферы, R опис.окр -радиус окружности описанной около основания, h 1 – апофема боковой грани правильной пирамиды, h - высота пирамиды; с – длина бокового ребра; a - угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды, b - угол между боковым ребром и плоскостью основания.
4. Сфера описана около пирамиды боковые ребра которой равны или равнонаклонены к плоскости основания – приведены таблица данных на R шар , R - радиус окружности, описанной около основания пирамиды, h - высота пирамиды, h 1 – апофема, a - угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.
5. Шар вписан в конус – рассматриваются R шар , R кон - радиус основания конуса, r сеч – радиус окружности касания боковой поверхности пирамиды и шара, h - высота конуса, l – образующая конуса, a - угол между образующей и плоскостью основания конуса – с учетом когда известны две величины, находятся остальные – всего рассмотрено 15 вариантов - (R кон, R шар), (R кон, a), (R кон, l), (R кон, h), (R кон, r сеч), (R шар,a), (R шар, l), (R шар, h), (R шар, r сеч), (l, a), (h, a), (r сеч, a), (l, h), (l, r сеч), (h, r сеч).
6. Конус вписан в сферу - рассматриваются R шар , R кон - радиус основания конуса, d – расстояние от центра сферы до плоскости основания конуса, h - высота конуса, l – образующая конуса, a - угол между образующей и плоскостью основания конуса – с учетом когда известны две величины, находятся остальные – всего рассмотрены пары (R кон, R шар), (R кон, a), (R кон, l), (R кон, h), (R кон, d, положение центра шара относительно конуса), (R шар, a), (R шар, l), (R шар, h), (R шар, d), (l, a), (h, a), (d, a), (l, h), (l, d), (h, d).
7. Шар вписан в усеченный конус - рассматриваются R шар , R, r – радиусы нижнего и большего оснований усеченного конуса, l – образующая конуса, a - угол между образующей и плоскостью основания конуса, r сеч – радиус окружности касания боковой поверхности конуса и шара; с учетом когда известны две величины, находятся остальные – всего рассмотрены пары - (r, R), (R шар, R), (R, l), (r сеч, R), (R, a), (R шар, l), (R шар, l), (R шар, r сеч), (R шар, a), (l, r сеч), (l, a), (r сеч, a) ; составлена таблица конкретных числовых данных, в которой участвуют радиус шара, радиусы оснований, образующая, синус угла между образующей и плоскостью основания, поверхность и объем шара и усеченного конуса.
8. Сфера описана около усеченного конуса - рассматриваются R сферы , R, r – радиусы нижнего и большего оснований усеченного конуса, l – образующая конуса, a - угол между образующей и плоскостью основания конуса, в отдельных задача вводится положение центра сферы относительно конуса; с учетом когда известны три величины, находятся остальные – всего рассмотрены тройки - (r,R,h), (R, r, a), (r, R, l), (r, R, R шар, положение центра сферы), (h, R, R шар, положение центра сферы) , (l, R, R шар, положение центра сферы), (a , R, R шар , положение центра сферы ), (h, R, l), (a , R, h), (a , R, l), (l, h, R шар), (a , h, R шар), (a , l, R сф ).
На основе полученных таблиц был составлена одна из глав задачника по геометрии, которая называется: Глава 24. Шар и другие тела. Глава состоит из пунктов, в которой в свою очередь есть подпункты.
24.1. Шар вписан в цилиндр
24.1.02. В цилиндр вписан шар. Найти отношение объемов цилиндра и шара.
24.1.03. В цилиндр вписан шар. Найти отношение полной поверхности цилиндра и поверхности шара.
24.2. Сфера описана около цилиндра
24.2.01. В шар объемом V шар вписан цилиндр, образующая которого видна из центра шара под углом a . Найти объем цилиндра.
24.2.03. Вокруг цилиндра объемом V описан шар. Найдите зависимость радиуса шара от высоты цилиндра и высоту цилиндра, при которой площадь поверхности шара будет наименьшей.
24.3. Сфера и цилиндр
24.3.01. Металлический цилиндр с диаметром основания D цил и высотой h цил переплавлен в шар. Вычислить радиус этого шара.
24.3.03. В цилиндрический сосуд, радиус основания которого R цил , помещен шар с радиусом R шара . В сосуд наливается вода так, что свободная поверхность ее касается поверхности шара (шар при этом не всплывает). Определить толщину того слоя воды, который получится, если шар из сосуда вынуть.
24.4. Шар вписан в конус
24.4.01. В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найти радиус шара, если радиус основания конуса равен R кон
24.4.05. В конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник, вписан шар, объем которого равен V шара . Найти высоту конуса, если:
24.4.07. В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найти объем конуса, если объем шара равен V ш .
24.4.09 В прямой круговой конус с радиусом основания R кон вписан шар радиуса R шар . Вычислить объем конуса.
24.4.14. В конус объемом V вписан шар. Найти радиус окружности касания шаровой и конической поверхности, если радиус основания конуса равен R кон .
24.4.16. В конус вписан шар. Площадь поверхности шара относится к площади основания конуса, как m:n . Найти угол при вершине конуса.
24.4.24. Площадь основания конуса S осн . Площадь боковой поверхности конуса S бок . Найти радиус вписанной в конус сферы.
24.4.25. Площадь основания конуса равна S осн , а площадь его полной поверхности равна S полн . Найти радиус шара, вписанного в конус.
24.4.28. В конус вписан шар. Найти радиус окружности касания шаровой и конической поверхности, если радиус основания конуса равен R кон , образующая - l .
24.4.34. Около шара радиуса R шар описан конус, высота которого h . Найти радиус основания конуса и радиус окружности касания шаровой и конической поверхности.
24.4.38. В конус вписан шар. Радиус окружности, по которой касаются конус и шар, равен r сеч . Найти объем конуса, если радиус шара равен R шара .
24.4.43. Образующая прямого конуса равна l кон , радиус окружности касания конической и шаровой поверхности равен r сеч . Найти площадь боковой поверхности конуса.
24.5. Сфера описана около конуса
24.5.02. Около конуса описана сфера. Найти радиус сферы, если известны радиус основания конуса - R кон и угол a между образующей и плоскостью основания конуса.
24.5.03. Определить радиус сферы, описанной около конуса, у которого радиус основания равен R кон , а образующая равна l:
24.5.04. Определить поверхность сферы, описанной около конуса, у которого радиус основания равен R кон , а высота равна h:
24.5.06. В сферу вписан конус, объем которого в t раза меньше объема шара. Высота конуса равна h . Найти объем шара.
24.5.07. В сферу вписан конус. Найти высоту и образующую конуса, если известен радиус основания конуса R кон ирасстояние d от центра сферы до плоскости основания конуса.
24.5.12. Сфера радиуса R сф описана около конуса. Найти площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна h :
24.5.16. Сфера описана около конуса. Найти радиус сферы, если угол между образующей конуса и его плоскостью основания равен a и расстояние от центра сферы до плоскости основания равен d :
24.5.17. Сфера описана около конуса, высота которого равна h , образующая - l . Найти расстояние от центра сферы до плоскости основания.
24.5.18. Сфера описана около конуса. Найти радиус сферы и основания конуса, если образующая конуса равна l и расстояние от центра сферы до плоскости основания d , причем известно положение центра сферы по отношению к конусу.
24.5.19. Сфера описана около конуса. Найти радиус основания конуса, если высота конуса равна h и расстояние от центра сферы до плоскости основания равен d .
24.6. Шар и конус
24.6.03. Тело состоит из двух конусов, имеющих общее основание и расположенных по разные стороны от плоскости основания. Найти радиус шара, вписанного в тело, если радиусы оснований конусов равны R кон , а высоты h 1 и h 2 .
24.6.04. Конус высотой h и углом между образующей и высотой, равным a , рассекается сферической поверхностью с центром в вершине конуса на две части. Каким должен быть радиус этой сферы, чтобы конус разбивался этой сферой на две равновеликие части?
24.7. Шар вписан в усеченный конус
24.7.02. Сфера вписана в усеченный конус, радиусы оснований которого R и r . Найти отношение площади сферы к площади боковой поверхности усеченного конуса.
24.7.03. Около шара описан усеченный конус. Найти радиус сечения сферической поверхности и боковой поверхности конуса, если радиус большего основания конуса R и образующая равна l /
24.7.05. Около шара описан усеченный конус. Радиус большего основания конуса R и радиус сечения сферической поверхности и боковой поверхности конуса равен r сеч . Найти радиус шара и радиус верхнего основания усеченного конуса.
24.7.10. Шар, поверхность которого равна S , вписан в усеченный конус. Угол между образующей конуса и его большим основанием равен a . Вычислить боковую поверхность этого конуса.
24.7.11. Около шара описан усеченный конус. Образующая конуса равна l и радиус сечения сферической поверхности и боковой поверхности конуса равен r сеч . Найти радиус шара и радиусы оснований усеченного конуса.
24.8. Сфера описана около усеченного конуса
24.8.01. Шар описан около усеченного конуса. Найти объем шара и соответствующих шаровых сегментов ограниченных основаниями конуса, если радиусы основания конуса R и r , высота конуса - h .
24.8.04. Сфера описана около усеченного конуса. Найти объем усеченного конуса, если радиусы основания конуса R и r , радиус сферы – R cф (рассмотреть два случая).
24.8.06. Известно, что центр сфера описаной около усеченного конуса расположен вне конуса. Найти объем усеченного конуса, если радиус большего основания конуса R , образующая конуса l , радиус сферы – R cф .
24.8.07. Cфера описана около усеченного конуса. Определить положение центра сферы, если радиус большего основания конуса R , образующая конуса l , высота конуса – h .
24.8.08. Найти радиус сферы описаной около усеченного конуса, если радиус большего основания конуса R , образующая конуса l , угол между образующей и плоскостью основания равен a .
24.8.09. Найти радиусы оснований усеченного конуса, если образующая конуса l , высота h , причем радиус сферы описанной около этого конуса равен R сф .
24.8.10. Найти объем усеченного конуса, вписанного в сферу, если образующая конуса l , угол между образующей и плоскостью основания равен a , радиус сферы описанной около этого конуса равен R сф .
24.9. Шар вписан в пирамиду
В задачах 24.9.01 – 24.9.19 . будут известны два из R шар, а , с , h , h 1 , a , b , r сеч и необходимо найти остальные (кроме углов).
24.9.01. Известны r и R шар .
24.9.02. Известны r и h 1 .
24.9.03. Известны r и h .
24.9.20. Найти полную поверхность шара, вписанную в треугольную пирамиду, все ребра которой равны а .
24.9.22. Шар радиусом R вписан в правильную треугольную пирамиду. Найти объем пирамиды, если известно, что апофема видна из центра шара под угло a .
24.10. Сфера описана около пирамиды
В задачах 24.10.01 – 24.10.16 . будут известны два из R сферы, а (R опис.окр) , с , h , h 1 , a , b и необходимо найти остальные (кроме углов).
24.10.01. Известны R опис.окр и R сферы .
24.10.09. Известны R сферы и h .
24.10.14. Известны h 1 и b .
24.10.17. Около правильной треугольной пирамиды с боковым ребром с описана сфера. Найти радиус сферы, если сторона основания равна а . Выяснить положение центра сферы по отношению к пирамиде.
24.10.18. Около правильной треугольной пирамиды описана сфера. Найти радиус сферы, если апофема равна h 1 и высота пирамиды равна h .
24.10.19. Около правильной треугольной пирамиды с боковым ребром с описан шар. Найти площадь поверхности шара и объем пирамиды, если боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания пирамиды угол b .
24.10.20. Найти радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, если ее объем равен V пир , а высота h .
24.10.21. В сферу, радиус которой равен R сфера , вписана правильная треугольная пирамида. Высота пирамиды в t больше стороны основания. Найти сторону основания и объем пирамиды.
22.10.45. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, равен R сферы r шар . Найти высоту, стороны основания, боковое ребро и апофему данной пирамиды.
24.10.46. Радиус сферы описанной около правильной четырехугольной пирамиды равен R сферы , радиус вписанного шара равен r шара . Найти высоту, ребра и объем пирамиды, угол между апофемой и плоскостью основания, если центр сферы и шара совпадают.
Боковые ребра равны или равнонаклонены к плоскости основания
24.10.48. В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами а и в , а все боковые ребра наклонены к плоскости основания под равными углами. Радиус сферы, описанной вокруг данной пирамиды равен R сферы . Найдите высоту пирамиды.
24.10.49. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник со стороной а . Одна из боковых граней представляет собой такой же треугольник, при этом она перпендикулярна плоскости основания. Найдите радиус сферы, описанной вокруг пирамиды.
Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания
24.10.53. Основанием пирамиды МАВС является треугольник. Найти высоту пирамиды, если радиус сферы, описанной около пирамиды равен R сферы и одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.
24.10.54. В основании пирамиды лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом а . Одна из боковых граней представляет собой такой же треугольник, к тому же она перпендикулярна плоскости основания. Две другие грани также являются прямоугольными треугольниками. Найдите радиус шара, описанного вокруг пирамиды.
24.10.56. В сферу радиуса R сфера вписана правильная шестиугольная усеченная пирамида, у которой плоскость нижнего основания проходит через центр шара, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°. Определить объем пирамиды
24.10.58. Основанием пирамиды МАВСD является трапеция. Найти объем пирамиды, если радиус сферы, описанной около пирамиды равен R сферы и одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.
24.11. Сфера и пирамида (другие случаи)
24.11.01. Шар касается двух граней и одного ребра правильного тетраэдра с ребром в . Найдите радиус шара.
24.11.02. Около шара описана правильная четырехугольная усеченная пирамида, у которой стороны оснований относятся, как т: п . Определить отношение объемов пирамиды и шара.
Тема “Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар” является одной из самых сложных в курсе геометрии 11 класса. Перед тем, как решать геометрические задачи, обычно изучают соответствующие разделы теории, на которые ссылаются при решении задач. В учебнике С.Атанасяна и др. по данной теме (стр. 138) можно найти только определения многогранника, описанного около сферы, многогранника, вписанного в сферу, сферы, вписанной в многогранник, и сферы, описанной около многогранника. В методических рекомендациях к этому учебнику (см. книгу “Изучение геометрии в 10–11-х классах” С.М.Саакяна и В.Ф.Бутузова, стр.159) сказано, какие комбинации тел рассматриваются при решении задач № 629–646, и обращается внимание на то, что “при решении той или иной задачи прежде всего нужно добиться того, чтобы учащиеся хорошо представляли взаимное расположение указанных в условии тел”. Далее приводится решение задач №638(а) и №640.
Учитывая все выше сказанное, и то, что наиболее трудными для учащихся являются задачи на комбинацию шара с другими телами, необходимо систематизировать соответствующие теоретические положения и сообщить их учащимся.
Определения.
1. Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник описанным около шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника.
2. Шар называется описанным около многогранника, а многогранник вписанным в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника.
3. Шар называется вписанным в цилиндр, усеченный конус (конус), а цилиндр, усеченный конус (конус) – описанным около шара, если поверхность шара касается оснований (основания) и всех образующих цилиндра, усеченного конуса (конуса).
(Из этого определения следует, что в любое осевое сечение этих тел может быть вписана окружность большого круга шара).
4. Шар называется описанным около цилиндра, усеченного конуса (конуса), если окружности оснований (окружность основания и вершина) принадлежат поверхности шара.
(Из этого определения следует, что около любого осевого сечения этих тел может быть описана окружность большего круга шара).
Общие замечания о положении центра шара.
1. Центр шара, вписанного в многогранник, лежит в точке пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Он расположен только внутри многогранника.
2. Центр шара, описанного около многогранника, лежит в точке пересечения плоскостей, перпендикулярных ко всем ребрам многогранника и проходящих через их середины. Он может быть расположен внутри, на поверхности и вне многогранника.
Комбинация шара с призмой.
1. Шар, вписанный в прямую призму.
Теорема 1. Шар можно вписать в прямую призму в том и только в том случае, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.
Следствие 1. Центр шара, вписанного в прямую призму, лежит в середине высоты призмы, проходящей через центр окружности, вписанной в основание.
Следствие 2. Шар, в частности, можно вписать в прямые: треугольную, правильную, четырехугольную (у которой суммы противоположных сторон основания равны между собой) при условии Н = 2r, где Н – высота призмы, r – радиус круга, вписанного в основание.
2. Шар, описанный около призмы.
Теорема 2. Шар можно описать около призмы в том и только в том случае, если призма прямая и около ее основания можно описать окружность.
Следствие 1 . Центр шара, описанного около прямой призмы, лежит на середине высоты призмы, проведенной через центр круга, описанного около основания.
Следствие 2. Шар, в частности, можно описать: около прямой треугольной призмы, около правильной призмы, около прямоугольного параллелепипеда, около прямой четырехугольной призмы, у которой сумма противоположных углов основания равна 180 градусов.
Из учебника Л.С.Атанасяна на комбинацию шара с призмой можно предложить задачи № 632, 633, 634, 637(а), 639(а,б).
Комбинация шара с пирамидой.
1. Шар, описанный около пирамиды.
Теорема 3. Около пирамиды можно описать шар в том и только в том случае, если около ее основания можно описать окружность.
Следствие 1. Центр шара, описанного около пирамиды лежит в точке пересечения прямой, перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр окружности, описанной около этого основания, и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведенной через сере дину этого ребра.
Следствие 2. Если боковые ребра пирамиды равны между собой (или равно наклонены к плоскости основания), то около такой пирамиды можно описать шар.Центр этого шара в этом случае лежит в точке пересечения высоты пирамиды (или ее продолжения) с осью симметрии бокового ребра, лежащей в плоскости бокового ребра и высоты.
Следствие 3. Шар, в частности, можно описать: около треугольной пирамиды, около правильной пирамиды, около четырехугольной пирамиды, у которой сумма противоположных углов равна 180 градусов.
2. Шар, вписанный в пирамиду.
Теорема 4. Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар.
Следствие 1. Центр шара, вписанного в пирамиду, у которой боковые грани одинаково наклонены к основанию, лежит в точке пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла любого двугранного угла при основании пирамиды, стороной которого служит высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды.
Следствие 2. В правильную пирамиду можно вписать шар.
Из учебника Л.С.Атанасяна на комбинацию шара с пирамидой можно предложить задачи № 635, 637(б), 638, 639(в),640, 641.
Комбинация шара с усеченной пирамидой.
1. Шар, описанный около правильной усеченной пирамиды.
Теорема 5. Около любой правильной усеченной пирамиды можно описать шар. (Это условие является достаточным, но не является необходимым)
2. Шар, вписанный в правильную усеченную пирамиду.
Теорема 6. В правильную усеченную пирамиду можно вписать шар в том и только в том случае, если апофема пирамиды равна сумме апофем оснований.
На комбинацию шара с усеченной пирамидой в учебнике Л.С.Атанасяна есть всего лишь одна задача (№ 636).
Комбинация шара с круглыми телами.
Теорема 7. Около цилиндра, усеченного конуса (прямых круговых), конуса можно описать шар.
Теорема 8. В цилиндр (прямой круговой) можно вписать шар в том и только в том случае, если цилиндр равносторонний.
Теорема 9. В любой конус (прямой круговой) можно вписать шар.
Теорема 10. В усеченный конус (прямой круговой) можно вписать шар в том и только в том случае, если его образующая равна сумме радиусов оснований.
Из учебника Л.С.Атанасяна на комбинацию шара с круглыми телами можно предложить задачи № 642, 643, 644, 645, 646.
Для более успешного изучения материала данной темы необходимо включать в ход уроков устные задачи:
1. Ребро куба равно а. Найти радиусы шаров: вписанного в куб и описанного около него. (r = a/2, R = a3).
2. Можно ли описать сферу (шар) около: а) куба; б) прямоугольного параллелепипеда; в) наклонного параллелепипеда, в основании которого лежит прямоугольник; г) прямого параллелепипеда; д) наклонного параллелепипеда? (а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) нет)
3. Справедливо ли утверждение, что около любой треугольной пирамиды можно описать сферу? (Да)
4. Можно ли описать сферу около любой четырехугольной пирамиды? (Нет, не около любой четырёхугольной пирамиды)
5. Какими свойствами должна обладать пирамида, чтобы около нее можно было описать сферу? (В её основании должен лежать многоугольник, около которого можно описать окружность)
6. В сферу вписана пирамида, боковое ребро которой перпендикулярно основанию. Как найти центр сферы? (Центр сферы – точка пересечения двух геометрических мест точек в пространстве. Первое – перпендикуляр, проведённый к плоскости основания пирамиды, через центр окружности, описанной около него. Второе – плоскость перпендикулярная данному боковому ребру и проведённая через его середину)
7. При каких условиях можно описать сферу около призмы, в основании которой – трапеция? (Во-первых, призма должна быть прямой, и, во-вторых, трапеция должна быть равнобедренной, чтобы около неё можно было описать окружность)
8. Каким условиям должна удовлетворять призма, чтобы около нее можно было описать сферу? (Призма должна быть прямой, и её основанием должен являться многоугольник, около которого можно описать окружность)
9. Около треугольной призмы описана сфера, центр которой лежит вне призмы. Какой треугольник является основанием призмы? (Тупоугольный треугольник)
10. Можно ли описать сферу около наклонной призмы? (Нет, нельзя)
11. При каком условии центр сферы, описанной около прямой треугольной призмы, будет находится на одной из боковых граней призмы? (В основании лежит прямоугольный треугольник)
12. Основание пирамиды – равнобедренная трапеция.Ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания – точка, расположенная вне трапеции. Можно ли около такой трапеции описать сферу? (Да, можно. То что ортогональная проекция вершины пирамиды расположена вне её основания, не имеет значения. Важно, что в основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция – многоугольник, около которого можно описать окружность)
13. Около правильной пирамиды описана сфера. Как расположен ее центр относительно элементов пирамиды? (Центр сферы находится на перпендикуляре, проведенном к плоскости основания через его центр)
14. При каком условии центр сферы, описанной около прямой треугольной призмы, лежит: а) внутри призмы; б) вне призмы? (В основании призмы: а) остроугольный треугольник; б) тупоугольный треугольник)
15. Около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 1 дм, 2 дм и 2 дм, описана сфера. Вычислите радиус сферы. (1,5 дм)
16. В какой усеченный конус можно вписать сферу? (В усечённый конус, в осевое сечение которого можно вписать окружность. Осевым сечением конуса является равнобедренная трапеция, сумма её оснований должна равняться сумме её боковых сторон. Другими словами, у конуса сумма радиусов оснований должна равняться образующей)
17. В усеченный конус вписана сфера. Под каким углом образующая конуса видна из центра сферы? (90 градусов)
18. Каким свойством должна обладать прямая призма, чтобы в нее можно было вписать сферу? (Во-первых, в основании прямой призмы должен лежать многоугольник, в который можно вписать окружность, и, во-вторых, высота призмы должна равняться диаметру вписанной в основание окружности)
19. Приведите пример пирамиды, в которую нельзя вписать сферу? (Например, четырёхугольная пирамида, в основании которой лежит прямоугольник или параллелограмм)
20. В основании прямой призмы лежит ромб. Можно ли в эту призму вписать сферу? (Нет, нельзя, так как около ромба в общем случае нельзя описать окружность)
21. При каком условии в прямую треугольную призму можно вписать сферу? (Если высота призмы в два раза больше радиуса окружности, вписанной в основание)
22. При каком условии в правильную четырехугольную усеченную пирамиду можно вписать сферу? (Если сечением данной пирамиды плоскостью, проходящей через середину стороны основания перпендикулярно ей, является равнобедренная трапеция, в которую можно вписать окружность)
23. В треугольную усеченную пирамиду вписана сфера. Какая точка пирамиды является центром сферы? (Центр вписанной в данную пирамиду сферы находится на пересечении трёх биссектральных плоскостей углов, образованных боковыми гранями пирамиды с основанием)
24. Можно ли описать сферу около цилиндра (прямого кругового)? (Да, можно)
25. Можно ли описать сферу около конуса, усеченного конуса (прямых круговых)? (Да, можно, в обоих случаях)
26. Во всякий ли цилиндр можно вписать сферу? Какими свойствами должен обладать цилиндр, чтобы в него можно было вписать сферу? (Нет, не во всякий: осевое сечение цилиндра должно быть квадратом)
27. Во всякий ли конус можно вписать сферу? Как определить положение центра сферы, вписанной в конус? (Да, во всякий. Центр вписанной сферы находится на пересечении высоты конуса и биссектрисы угла наклона образующей к плоскости основания)
Автор считает, что из трех уроков, которые отводятся по планированию на тему “Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар”, два урока целесообразно отвести на решение задач на комбинацию шара с другими телами. Теоремы, приведенные выше, из-за недостаточного количества времени на уроках доказывать не рекомендуется. Можно предложить учащимся, которые владеют достаточными для этого навыками, доказать их, указав (по усморению учителя) ход или план доказательства.