Сферическая тригонометрия.

Сферическая тригонометрия

Сферические треугольники. На поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр шара. Вершины сферического треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара и сферической поверхности. Сторонами a , b , c сферического треугольника называют те углы между лучами, которые меньше (если один из этих углов равен , то сферический треугольник вырождается в полуокружность большого круга). Каждой стороне треугольника соответствует дуга большого круга на поверхности шара (см. рисунок).

Углы A , B , C сферического треугольника, противолежащие сторонам a , b , c соответственно, представляют собой, по определению, меньшие, чем , углы между дугами больших кругов, соответствующими сторонам треугольника, или углы между плоскостями, определяемыми данными лучами.

Сферическая тригонометрия занимается изучением соотношений между сторонами и углами сферических треугольников (например, на поверхности Земли и на небесной сфере). Однако физики и инженеры во многих задачах предпочитают использовать преобразования вращения, а не сферическую тригонометрию.

Свойства сферических треугольников. Каждая сторона и угол сферического треугольника по определению меньше .

Геометрия на поверхности шара является неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и , сумма углов заключена между и . В каждом сферическом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем плюс третий угол.

История этой демки такова: однажды один мой друг сделал для своей игры генератор карт планет и захотел, чтобы созданные таким образом карты показывались в виде вращающейся сферы. Однако, при этом он не хотел использовать 3D-графику, а вместо этого сгенерировал множество кадров с этой самой сферой, повёрнутой на разные углы. Количество используемой памяти было… скажем так, избыточным, ну а скорость генерации кадров (как и качество их исполнения) сильно страдала. Чуть подумав, мне удалось помочь ему оптимизировать этот процесс, но в целом меня не покидало справедливое ощущение того, что это задача для OpenGL, а вовсе не для 2D-графики.

И вот, однажды, когда меня мучила бессонница, я решил попробовать совместить эти два подхода: нарисовать вращающуюся сферу (с натянутой на неё картой планеты) через OpenGL, но при этом оставив её плоской.

И должен сказать, что у меня это получилось. Но обо всём по порядку.

Математика процесса

Для начала определимся с собственно задачей. Для каждой точки на экране у нас имеются две экранные координаты в декартовой системе координат, и нам необходимо найти для неё сферические координаты (фактически, широту и долготу), которые по сути и являются текстурными координатами для карты планеты.

Итак. Переход от декартовой системы координат к сферической задаётся системой уравнений (взято с Википедии):

а обратный переход - такими уравнениями:

Координату Z мы легко можем получить из X и Y , зная радиус, а сам радиус мы можем принять равным единице.
В дальнейшем договоримся о том, что приведённые выше уравнения мы слегка изменим, поменяв местами понятия Y (у нас это будет экранная вертикаль) и Z (это будет глубина сцены).

Техническая часть

Реализация идеи потребует от нас применения квада (я уже писал о том, как его использовать, поэтому повторяться не буду, тем более что ниже приведена ссылка на полный исходный код проекта), а также двух текстур: собственно карты планеты (я использовал текстуру Земли размера 2048x1024) и карты текстурных координат. Код генерации второй текстуры аккуратно повторяет математику преобразования из декартовых координат в сферические:

Int texSize = 1024; double r = texSize * 0.5; int pixels = new int; for (int row = 0, idx = 0; row < texSize; row++) { double y = (r - row) / r; double sin_theta = Math.sqrt(1 - y*y); double theta = Math.acos(y); long v = Math.round(255 * theta / Math.PI); for (int col = 0; col < texSize; col++) { double x = (r - col) / r; long u = 0, a = 0; if (x >= -sin_theta && x <= sin_theta) { double z = Math.sqrt(1 - y*y - x*x); double phi = Math.atan2(z, x); u = Math.round(255 * phi / (2 * Math.PI)); a = Math.round(255 * z); } pixels = (int) ((a << 24) + (v << 8) + u); } } GLES20.glGenTextures(1, genbuf, 0); offsetTex = genbuf; if (offsetTex != 0) { GLES20.glBindTexture(GLES20.GL_TEXTURE_2D, offsetTex); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_MIN_FILTER, GLES20.GL_NEAREST); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_MAG_FILTER, GLES20.GL_NEAREST); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_WRAP_S, GLES20.GL_NONE); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_WRAP_T, GLES20.GL_NONE); GLES20.glTexImage2D(GLES20.GL_TEXTURE_2D, 0, GLES20.GL_RGBA, texSize, texSize, 0, GLES20.GL_RGBA, GLES20.GL_UNSIGNED_BYTE, IntBuffer.wrap(pixels)); }

Отметим, что координаты X и Y переводятся из диапазона в диапазон [-1..1], а текстурные координаты U и V переводятся из радианов в диапазон , после чего записываются соответственно в красную и зелёную компоненты 32-битной текстуры. Альфа-канал используется для сохранения «глубины» (координаты Z ), а синий пока остаётся незадействованным. Отключение билинейной фильтрации также не случайно: на данном этапе она не даёт какого-либо эффекта (соседние точки в любом случае имеют одни и те же значения, с довольно резкими скачками), а в том, что я собираюсь показать дальше, она и вовсе будет вредна. Но об этом ниже.

Private final String quadFS = "precision mediump float;n" + "uniform sampler2D uTexture0;n" + "uniform sampler2D uTexture1;n" + "uniform float uOffset;n" + "varying vec4 TexCoord0;n" + "void main() {n" + " vec4 vTex = texture2D(uTexture0, TexCoord0.xy);n" + " vec3 vOff = vTex.xyz * 255.0;n" + " float hiY = floor(vOff.y / 16.0);n" + " float loY = vOff.y - 16.0 * hiY;n" + " vec2 vCoord = vec2(n" + " (256.0 * loY + vOff.x) / 4095.0 + uOffset,n" + " (vOff.z * 16.0 + hiY) / 4095.0);n" + " vec3 vCol = texture2D(uTexture1, vCoord).rgb;n" + " gl_FragColor = vec4(vCol * vTex.w, (vTex.w > 0.0 ? 1.0: 0.0));n" + "}n";

Ну это же совсем другое дело! С небольшими изменениями (добавив масштабирование «щипком» и вращение пальцем) я эту программу показывал своим друзьям и колегам, и при этом спрашивал, сколько, по их мнению, в этой сцене треугольников. Результаты варьировались, да и сам вопрос вызывал подозрение в наличии подвоха (в этом случае респонденты шутили «один», что было недалеко от истины), но правильный ответ стабильно удивлял. И все, как один, спрашивали: а почему сферу можно крутить вокруг одной оси, но нельзя наклонять?.. Хм.

Наклон

А дело в том, что наклон в этой схеме реализовать существенно труднее. На самом деле, задача не является неразрешимой, и я с ней даже справился, но не обошлось без нюансов.

В сущности, задача сводится к тому, чтобы взять смещённую координату V , тогда как координата U не меняется: это происходит потому, что мы добавляем вращение вокруг оси X . План такой: преобразуем текстурные координаты в экранные (в диапазоне [-1..1]), применяем к ним матрицу поворота вокруг горизонтальной оси (для этого заранее запишем в новую константу uTilt синус и косинус угла наклона), а дальше воспользуемся новой координатой Y для выборки в нашей шаблонной текстуре. «Повёрнутая» координата Z нам тоже пригодится, с её помощью мы отзеркалим долготу для обратной стороны шарика). Экранную координату Z придётся посчитать явно, чтобы не делать две текстурных выборки из одной текстуры, заодно это повысит её точность.

Private final String quadFS = "precision mediump float;n" + "uniform sampler2D uTexture0;n" + "uniform sampler2D uTexture1;n" + "uniform float uOffset;n" + "uniform vec2 uTilt;n" + "varying vec4 TexCoord0;n" + "void main() {n" + " float sx = 2.0 * TexCoord0.x - 1.0;n" + " float sy = 2.0 * TexCoord0.y - 1.0;n" + " float z2 = 1.0 - sx * sx - sy * sy;n" + " if (z2 > 0.0) {;n" + " float sz = sqrt(z2);n" + " float y = (sy * uTilt.y - sz * uTilt.x + 1.0) * 0.5;n" + " float z = (sy * uTilt.x + sz * uTilt.y);n" + " vec4 vTex = texture2D(uTexture0, vec2(TexCoord0.x, y));n" + " vec3 vOff = vTex.xyz * 255.0;n" + " float hiY = floor(vOff.y / 16.0);n" + " float loY = vOff.y - 16.0 * hiY;n" + " vec2 vCoord = vec2(n" + " (256.0 * loY + vOff.x) / 4095.0,n" + " (vOff.z * 16.0 + hiY) / 4095.0);n" + " if (z < 0.0) { vCoord.x = 1.0 - vCoord.x; }n" + " vCoord.x += uOffset;n" + " vec3 vCol = texture2D(uTexture1, vCoord).rgb;n" + " gl_FragColor = vec4(vCol * sz, 1.0);n" + " } else {n" + " gl_FragColor = vec4(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);n" + " }n" + "}n";

Ура, наклон удался! Вот только странный шум на границе полушарий немного смущает. Увы, с этим мне пока не удалось справиться. Очевидно, проблема кроется в недостаточной точности адресации в граничных точках (точки на самой окружности соответствуют слишком большому диапазону координат, один тексель расползается на интервал довольно заметной длины), и с этим вряд ли что-то можно поделать. Что ж, зато можно приближать и скроллить шарик почти так же, как в Google Earth. С тем отличием, что здесь - всего-навсего два треугольника.

Давно посещали меня мысли о строительстве собственного дома, но как-то в виде интересных идей, которые замечал у других в жизни или СМИ. Представил тут, как выглядел бы дом, воплощающий все эти идеи - лисья нора (землянка), переходящая в зеркальную сферу, висящую на дереве:D. В общем, идейный трансформер что снаружи что внутри.

Сейчас увлекся геодезическими куполами и технологиями применения этих принципов для строительства жилых домов и других полезных и производственных сооружений (например, навесов, бань, теплиц, сараев, цехов, мастерских, ангаров).

Этим летом (2011) довелось живьем наблюдать, и даже немного помог в строительстве жилого геодезического купола (фото слева).

А сейчас наткнулся на интересную информацию по ним, зарылся, и решил писать статью на будущее… своеобразную шпаргалку, чтобы быстро можно было вспомнить и найти. Так что по мере поступления информации буду статью дополнять. Уверен и читателям сайта будет полезно.

Вот такие они бывают:






Вкратце об истории и что значит "геодезический" .

Как обычно все новое - это хорошо забытое старое.

Гео - наш земной шар Земля

Остаток на Д … - делить (древние греки делили и измеряли ее… и не только они)

Так что, если не вдаваться в пространственную и дифферинциальную геометрию искривленных пространств))), то - это купол из части сферы, вернее сферического многогранника, так как измеряют землю по точкам, на ее поверхности, которые в нашем случае являются вершинами этого многогранника. Важной особенностью является оптимально-распределенное расположение вершин и граней стремящихся к идеальной сфере. Строится обычно на основе икосаэдра (20 треугольных граней) или додекаэдра (12 пятиугольных граней).


Продолжение на следующей странице.
1      


[комментарии/обсуждение]

Владимир (20:06 05.10.2016)
Андрей, благодарю за интересную идею и полезные советы! По образованию - геолог - геофизик, иногда рисую картины и режу по дереву. Вот такой домик-мастерская, освещенная со всех сторон, пожалуй и подойдет лучше всего! И кристалл напоминает. Вечерами, глядя на звезды, можно будет и помечтать о полетах на собственном "НЛО" в какой-нибудь следующей жизни. :-))
Вячеслав (18:10 14.11.2015)
Ищу работу!
Опыт работы в малоэтажном строительстве 10 лет. Проектирование и строительство необычных по форме сооружений (геодезические купола). По самостоятельным проектам было построено три дома, один из которых построил себе сам. Проектирование инженерных коммуникаций (электрика, водопровод, канализация, кровля, утепление). Очень интересуют альтернативные источники энергии, и автономность жилых домов. Быстро обучаем. Коммуникабельный. Пунктуальный. Мобилен. Имеется портфолио!
radius (02:20 28.11.2014)
для интересующихся - самый емкий русскоязычный ресурс по куполам forum.domesworld.ru
Andrew (19:46 03.12.2013)
to Михаил
Добрый день. Вижу три причины:
+ в основном геодезиками увлекаются люди, предпочитающие использовать по возможности натуральные материалы и продукты, при строительстве Эко-дома ППУ - нонсенс (ППУ считается вредным полимером и надо знать, как строить безопасно с его использованием), ;
+ некоторые технологические трудности и бОльшие финансовые затраты;
+ для такой парилки нужно использовать грамотную вентиляцию, по мнению большинства - принудительную
Михаил (12:47 03.12.2013)
Добрый день! Меня поражает тот факт, что просмотрев множество фото-отчетов о постройке купольных домов, я ни разу не обнаружил применение напыления ППУ. Напротив, все мучаются, запихивают эту не треугольную мин. вату в треугольники и пр. мучаются с топорщащейся на округлой поверхности пароизоляцией. Не могу понять почему так. В простом каркасном строительстве ППУ применяется повсеместно, а тут такое пренебрежение. Хотя коннекторы некоторые пенят баллонами и окна с дверями ставят на пену))) Мне кажется ППУ и купольное домостроение должны быть "не разлей вода" Или есть какие-то особенности и невозможность применения напвляемого ППУ?
Andrew (08:38 24.09.2013)
Треугольники собираются из досок на саморезы, а треугольники собираются между собой на болты.
Амир (10:09 23.09.2013)
... тот геодезический купол, в строительстве которого вы помогали, на самой первой фотографии в статье - объясните, или может сможете выслать на мой электронный адрес информацию по способам стыкования (крепления) каркасных элементов купола. Буду очень благодарен.
adam gagarin (13:14 30.10.2012)
Гравитониум ру мы не продлеваем уже давно, но вся информация о куполах доступна на www.valpak.ru & www.cupulageodesica.com/ru

Мы пришли к использованию тонкой стальной термоотражающей фольги, наклеиваемой прямо на внутренние поверхности фанерных треугольников. Эффект термоса, вес как на МКС, и жар и холод отражаются 99%.

C радостью поделимся информацией по всем вопросам

С Уважением,
Адам Гагарин

Andrew (20:31 18.02.2012)
Вот что пишут в Timberline FAQs:
"The most common choices are fiberglass or rigid foam. Timberline"s 2" x 6" framing members allow for 5 1/2" of insulation, sufficient for most climatic conditions. Other options include spray-in expanding foam which is very effective."
"By using an expanding spray in foam insulation, it seals up the dome so well that no interior vapor barrier is needed."
http://www.domehome.com/faqs.html
Так что конкретно по пене не изучал вопрос.

Да, это тот геодом.

staging (08:53 18.02.2012)
Спасибо за ответ. Пеной очень не хотелось. Лучше минватой. Но если пеной то какой? И еще вот фото http://www.zidar.ru/2011/09/stroim-kryishu-chast-vtoraya/#more-203 и то что у вас где рейки прямые в вензазоре это с одного объекта?
Andrew (03:56 08.02.2012)
- обычно Timberline Geodesics использует стекловату и "строительную" пену;
- при использовании ребер 2*6 дюйма (примерно 50*150 мм) вентзазор не делают и заполняют все пустоты пеной, и говорят что при этом конденсат не образуется и пароизоляция не требуется;
- при использовании ребер бОльших сечений (50*200/300), в качестве опции, предлагают делать пропилы, похожие на Natural Spaces Domes;
- кровля состоит из треугольных граней, покрытых подкровельным ковром и сверху битумная/деревянная/металлическая черепица или используют специальное напыление.

Так что можете попробовать все задуть пеной или сделать по классической максимальной схеме с вентзазором:
- пароизоляция (не пропускает воздух и влагу... заклеивать стыки скотчем обязательно... в идеале чтобы "герметично" было... NSD, вроде, проверяют на малейшие отверстия специальным агрегатом... и все электрические коробки и входы/выходы в каркас герметизируют);
- утеплитель;
- ветрозащита (мембрана, пропускающая воздух и препятствующая "выдуванию" тепла из утеплителя);
- вентзазор;
- гидроизоляция (пропускает влажный воздух из утеплителя и не пропускает влагу со стороны крыши купола);
- вентзазор;
- кровля

staging (00:48 08.02.2012)
Интересует готовое решение вентиляция подкровельного пространства и утепление. Кровельный пирог. Каркас 3v 5/8 TIMBERLINE.

Сферический треугольник и его применение.

Сферический треугольник - геометрическая фигура на поверхности сферы, образованная пересечением трёх больших кругов. Три больших круга на поверхности сферы, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, называется эйлеровым.

Сторона сферического треугольника измеряется величиной опирающегося на неё центрального угла. Угол сферического треугольника измеряется величиной двугранного угла между плоскостями, в которых лежат стороны этого угла. Соотношения между элементами сферических треугольников изучает сферическая тригонометрия.

Свойства сферического треугольника:

  1. Помимо трёх признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников верен ещё один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны.
  2. Для сторон сферического треугольника выполняются 3 неравенства треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности.
  3. Сумма всех сторон a + b + c всегда меньше 2πR.
  4. Величина 2πR − (a + b + c) называется сферическим дефектом
  5. Сумма углов сферического треугольника s = α + β + γ всегда меньше 3π и больше π
  6. Величина называется сферическим избытком или сферическим эксцессом
  7. Площадь сферического треугольника определяется по формуле.
  8. В отличие от плоского треугольника, у сферического треугольника может быть два, и даже три угла по 90° каждый.

Среди всех сферических многоугольников наибольший интерес представляет сферический треугольник. Три больших окружности, пересекаясь попарно в двух точках, образуют на сфере восемь сферических треугольников. Зная элементы (стороны и углы) одного из них, можно определить элементы все остальных, поэтому рассматривают соотношения между элементами одного из них, того, у которого все стороны меньше половины большой окружности. Стороны треугольника измеряются плоскими углами трехгранного угла ОАВС, углы треугольника – двугранными углами того же трехгранного угла см на рис.

Свойства сферических треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости. Так, к известным трем случаям равенства прямолинейных треугольников добавляется еще и четвертый: два треугольника АВС и А`В`С` равны, если равны соответственно три угла РА = РА`, РВ = РВ`, РС = РС`. Таким образом, на сфере не существует подобных треугольников, более того, в сферической геометрии нет самого понятия подобия, т.к. не существует преобразований, изменяющих все расстояния в одинаковое (не равное 1) число раз. Эти особенности связаны с нарушением евклидовой аксиомы о параллельных прямых и также присущи геометрии Лобачевского. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называются симметричными, таковы, например, треугольники АС`С и ВСС`

Сумма углов всякого сферического треугольника всегда больше 180°. Разность РА+РВ +РС – p = d (измеряемая в радианах) – величина положительная и называется сферическим избытком данного сферического треугольника. Площадь сферического треугольника: S = R2 d где R – радиус сферы, а d – сферический избыток. Эта формула впервые была опубликована голландцем А.Жираром в 1629 и названа его именем.

Если рассматривать двуугольник с углом a, то при 226 = 2p/n (n – целое число) сферу можно разрезать ровно на п копий такого двуугольника, а площадь сферы равна 4пR2 = 4p при R = 1, поэтому площадь двуугольника равна 4p/n = 2a. Эта формула верна и при a = 2pт/п и, следовательно, верна для всех a. Если продолжить стороны сферического треугольника АВС и выразить площадь сферы через площади образующихся при этом двуугольников с углами А, В, С и его собственную площадь, то можно прийти к вышеприведенной формуле Жирара.

Под сферическим треугольником подразумевается треугольник на поверхности сферы, составленный из дуг больших кругов – т. е. таких окружностей, центром которых является центр сферы. Углы сферического треугольника – это углы между касательными к его сторонам, проведенными в его вершинах. Как и углы обычного треугольника, они меняются от 0 до 180°. В отличие от плоского треугольника, у сферического сумма углов не равна 180°, а больше: в этом нетрудно убедиться, рассмотрев, например, треугольник, образованный дугами двух меридианов и экватора на глобусе: хотя меридианы сходятся в полюсе, оба они перпендикулярны экватору, а значит, у этого треугольника два прямых угла!

У сферического треугольника может быть два прямых угла

Уже у индийца Варахамихиры (V–VI вв.), у арабских математиков и астрономов начиная с IX в. (Сабит ибн Корра, ал-Баттани), а у западных математиков начиная с Региомонтана (XV в.) встречается в различных формулировках замечательная теорема о сферических треугольниках. Вот как она может быть сформулирована в современных обозначениях:

cosa = cosbcosc + sinbsinccosA. Сферическая теорема косинусов очень важна и для астрономии, и для географии. Эта теорема позволяет по координатам двух городов A и B находить расстояние между ними. Кроме того, математикам стран ислама сферическая теорема косинусов помогала в решении другой практической задачи: в городе с данными координатами находить направление на священный город Мекку (всякий правоверный мусульманин должен пять раз день молится в направлении Мекки). При решении этой задачи, считая город B Меккой, требовалось найти угол A того же треугольника.

Страница из «Собрания правил науки астрономии», XI в., автор неизвестен.

В астрономии сферическая теорема косинусов позволяет переходить из одной системы координат на небесной сфере в другую. Чаще всего используются три такие системы: у одной экватором служит небесный экватор, а полюсами – полюсы мира, вокруг которых происходит видимое суточное вращение светил; у другой экватором является эклиптика – круг, по которому в течение года совершается видимое движение Солнца на фоне звезд; у третьей роль экватора выполняет горизонт, а роль полюсов – зенит и надир. В частности, благодаря сферической теореме косинусов можно вычислять высоту Солнца над горизонтом в разные моменты времени и в разные дни в году.

Паруса в архитектуре - сферический треугольник, обеспечивающий переход от квадратного в плане подкупольного пространства к окружности купола. Па́рус, пандати́в (от фр. pendentif) - часть свода, элемент купольной конструкции, посредством которого осуществляется переход от прямоугольного основания к купольному перекрытию или его барабану. Парус имеет форму сферического треугольника, вершиной опущенной вниз, и заполняет пространство между подпружными арками, соединяющими соседние столпы подкупольного квадрата. Основания сферических треугольников парусов в сумме образуют окружность и распределяют нагрузку купола по периметру арок.

Купол на парусах Роспись паруса

ДжорджНельсон (George Nelson)

"Дизайнер может несколько расслабиться и развлечься; в результате может возникнуть шутка, забава. Удивительно, как часто это бывает очень значительная забава" Джордж Нельсон

Джордж Нельсон – американский дизайнер, архитектор, критик и теоретик дизайна. (1908, Хартфорд, Коннектикут – 1986, Нью-Йорк)

Проектировал осветительную арматуру, часы, мебель, упаковку, занимался выставочным дизайном.

Наиболее известные дизайн проекты Джорджа Нельсона представляют собой виртуозную стилизацию геометрических форм в духе оп-арта или геометрического абстракционизма.

Форму своего знаменитого черного стула дизайнер строит на основе сферического треугольника, широко использовавшегося в архитектурных конструкциях купольных сооружений. В частности в византийских и русских храмах такой сферический треугольник назывался «парус». Благодаря «парусу» осуществлялся плавный переход от подкупольной опоры к куполу.

ДжорджНельсон (George Harold Nelson, 1908-1986 гг.)

гравюра Эшера

Концентрические сферы.1935г.Торцовая гравюра 24 на 24 см.

Четыре полые концентрические сферы освещены центральным источником света. Каждая сфера состоит из сетки, образованной девятью большими пересекающимися кольцами; они членят сферическую поверхность на 48 подобных сферических треугольников. Ма́уриц Корне́лис Э́шер (нидерл. Maurits Cornelis 17 июня 1898, Леуварден, Нидерланды - 27 марта 1972, Ларен, Нидерланды) - нидерландский художник-график.

Применение сферического треугольника:

  1. Использование в трехмерной графике сферических треугольников
  2. В астрономии
  3. В географии. Теорема сферического треугольника позволяет по координатам двух городов A и B находить расстояние между ними.
  4. В архитектруе
  5. В дизайне в виде стула от Джорджа Нельсона
  6. В гравюре

Сферические треугольники.

На поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр шара. Вершины сферического треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара, и сферической поверхности. Сторонами а, b, с сферического треугольника называют те углы между лучами, которые меньше 180°. Каждой стороне треугольникасоответствует дуга большого круга на поверхности шара (рис. 1). Углы A, В, С сферического треугольника, противолежащие сторонам а, b, с соответственно, представляют собой, по определению, меньшие, чем 180°, углы между дугами больших кругов, соответствующими сторонам треугольника, или углы между плоскостями, определяемыми данными лу-чами.

Свойства сферических треу-гольников.

Каждая сторона и угол сфери-ческого треугольника по определению мень-ше 180°. Геометрия на поверхности шара являет-ся неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и 360°, сумма углов заключена между 180° и 540°. В каждом сферическом треуголь-нике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180° плюс третий угол.

Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии):

  • тремя сторонами,
  • тремя углами,
  • двумя сторонами и заключенным между ними углом,
  • стороной и двумя прилежащими к ней углами.

Решение сферических треугольников (Таблица)

(смотрите формулы ниже и рис. 1 выше)

Формулы для вычисления

Условия существования решения
1

Три стороны

а, Ь, с

А, В, С

Сумма двух сторон должна быть больше третьей
2

А, В, С

а, Ь, с из (8) и циклической перестановки

Сумма двух углов должна быть меньше 180° плюс третий угол
3

Две стороны и заключенный между ними угол

b, с, А

из (6), затем В и С ; а из (7), (8) или (4)
4

Два угла и заключенная между ними сторона

В, С, а

из (6), затем b и с; А из (7), (8) или (5)
5

Две стороны и противолежащий одной из них угол

Ь, с, В

С из (3); А и а из (6)

sin с sin В ≤ sin b .

Сохраняются те из величин с , для которых А - В и а - b имеют одинаковый знак;

A + B - 180°

и а + b - 180°

6

Два угла и противолежащая одному из них сторона

В, С, b

с из (3); А и а из (6)

Задача имеет одно или два решения, если

sin b sin С ≤ sin В .

Сохраняются те из величин с , для которых A - В и а - b имеют одинаковый знак;

A + В - 180°

и а + Ь - 180°

также должны быть одного знака

Формулы для решения сферических треугольников

В следующих ниже соотношениях А, В, С являются углами, противолежащими соответственно сторонам а, b, с сферического треугольника. «Радиусы» описанного и вписанного конусов обозначены соответственно через г и р. Формулы, не включенные в перечень, могут быть получены одновременной циклической перестановкой А, В, С и а, Ь, с . Таблица выше позволяет вы-числять стороны и углы любого сферического треугольника потрем подходящим образом заданным сторонам и/или углам. Неравенства, отмеченные в начале п. 2, должны быть приняты во внимание, для того чтобы исключить посторонние результаты при решении треугольников.

теорема синусов

теорема косинусов для сторон

теорема косинусов для углов

аналогии Непера

аналогии Деламбра и Гаусса

Таким образом, если имеются в наличии таблицы функции hav, то для решения сфе-рических треугольников можно использовать эти формулы:

Другие аналогичные соотношения можно получить циклической перестановкой