Предел функции на бесконечности:
|f(x) - a| < ε
при |x| > N
Определение предела по Коши
Пусть функция f(x)
определена в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, при |x| > Число a
называется пределом функции
f(x)
при x
стремящемся к бесконечности (), если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε > 0
,
существует такое число N ε > K
,
зависящее от ε
,
что для всех x, |x| > N ε
,
значения функции принадлежат ε
- окрестности точки a
:
|f(x)
- a| < ε
.
Предел функции на бесконечности обозначается так:
.
Или при .
Также часто используется следующее обозначение:
.
Запишем это определение, используя логические символы существования и всеобщности:
.
Здесь подразумевается, что значения принадлежат области определения функции.
Односторонние пределы
Левый предел функции на бесконечности:
|f(x) - a| < ε
при x < -N
Часто встречаются случаи, когда функция определена только для положительных или отрицательных значений переменной x (точнее в окрестности точки или ). Также пределы на бесконечности для положительных и отрицательных значений x могут иметь различные значения. Тогда используют односторонние пределы.
Левый предел в бесконечно удаленной точке
или предел при x
стремящемся к минус бесконечности ()
определяется так:
.
Правый предел в бесконечно удаленной точке
или предел при x
стремящемся к плюс бесконечности ()
:
.
Односторонние пределы на бесконечности часто обозначают так:
;
.
Бесконечный предел функции на бесконечности
Бесконечный предел функции на бесконечности:
|f(x)| > M
при |x| > N
Определение бесконечного предела по Коши
Пусть функция f(x)
определена в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, при |x| > K
,
где K
- положительное число. Предел функции f(x)
при x
стремящемся к бесконечности (), равен бесконечности
, если для любого, сколь угодно большого числа M > 0
,
существует такое число N M > K
,
зависящее от M
,
что для всех x, |x| > N M
,
значения функции принадлежат окрестности бесконечно удаленной точки:
|f(x)
| > M
.
Бесконечный предел при x
стремящемся к бесконечности обозначают так:
.
Или при .
С помощью логических символов существования и всеобщности, определение бесконечного предела функции можно записать так:
.
Аналогично вводятся определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.
Определения односторонних пределов на бесконечности.
Левые пределы.
.
.
.
Правые пределы.
.
.
.
Определение предела функции по Гейне
Пусть функция f(x)
определена на некоторой окрестности бесконечно удаленной точки x 0
,
где или или .
Число a
(конечное или бесконечно удаленное) называется пределом функции f(x)
в точке x 0
:
,
если для любой последовательности {
x n }
,
сходящейся к x 0
:
,
элементы которой принадлежат окрестности ,
последовательность {
f(x n )}
сходится к a
:
.
Если в качестве окрестности взять окрестность бесконечно удаленной точки без знака: , то получим определение предела функции при x стремящемся к бесконечности, . Если взять левостороннюю или правостороннюю окрестность бесконечно удаленной точки x 0 : или , то получим определение предела при x стремящемся к минус бесконечности и плюс бесконечности, соответственно.
Определения предела по Гейне и Коши эквивалентны .
Примеры
Пример 1
Используя определение Коши показать, что
.
Введем обозначения:
.
Найдем область определения функции .
Поскольку числитель и знаменатель дроби являются многочленами, то функция определена для всех x
кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль. Найдем эти точки. Решаем квадратное уравнение . ;
.
Корни уравнения:
;
.
Поскольку ,
то и .
Поэтому функция определена при .
Это мы будем использовать в дальнейшем.
Выпишем определение конечного предела функции на бесконечности по Коши:
.
Преобразуем разность:
.
Разделим числитель и знаменатель на и умножим на -1
:
.
Пусть .
Тогда
;
;
;
.
Итак, мы нашли, что при ,
.
.
Отсюда следует, что
при ,
и .
Поскольку всегда можно увеличить, то возьмем .
Тогда для любого ,
при .
Это означает, что .
Пример 2
Пусть .
Используя определение предела по Коши показать, что:
1)
;
2)
.
1) Решение при x стремящемся к минус бесконечности
Поскольку ,
то функция определена для всех x
.
Выпишем определение предела функции при ,
равного минус бесконечности:
.
Пусть .
Тогда
;
.
Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что для любого положительного числа M
,
имеется число ,
так что при ,
.
Это означает, что .
2) Решение при x стремящемся к плюс бесконечности
Преобразуем исходную функцию. Умножим числитель и знаменатель дроби на и применим формулу разности квадратов:
.
Имеем:
.
Выпишем определение правого предела функции при :
.
Введем обозначение: .
Преобразуем разность:
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.
Пусть
.
Тогда
;
.
Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
при и .
Поскольку это выполняется для любого положительного числа ,
то
.
Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству
|x n - a| < ε. (6.1)
Записывают это следующим образом: или x n → a.
Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
a- ε < x n < a + ε, (6.2)
которое означает, что точки x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- ε, a+ ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае - расходящейся .
Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .
Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.
Это определение называют определением предел функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.
Определение 2
. Постоянное число А называется предел
функции
f(x) при
x→
a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε
, можно найти такое δ
>0 (зависящее от ε
), что для всех x
, лежащих в
ε-окрестности числа а
, т.е. для x
, удовлетворяющих неравенству
0 <
x-a
< ε
, значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е.
|f(x)-A|
<
ε.
Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ “.
Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде
. (6.3)
В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:
Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.
Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .
Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.
Теорема 1 . Если существует каждый предел
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.
Теорема 2. (6.7)
т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, 
;
(6.8)
(6.9)
Теорема 3.
(6.10)
(6.11)
где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.
Используются на практике и следствия формулы (6.11):
(6.12)
(6.13)
(6.14)
в частности предел,
Eсли x
→ a и при этом x > a, то пишут x
→a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→
a и при этом x
и называются соответственно предел справа
и предел слева
функции
f(x) в точке
а
. Чтобы существовал предел функции f(x) при x→
a необходимо и достаточно, чтобы 
. Функция f(x) называется непрерывной
в точке
x 0 , если предел
. (6.15)
Условие (6.15) можно переписать в виде:
,
то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.
Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел
,
и непрерывной слева в точке x o, если предел
Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.
1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .
2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .
Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.
Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана
, дающий интерпретацию числа e
в задаче о сложных процентах. Число e
есть предел 
. В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100
×
1,5 = 150, а еще через полгода - в 150
×
1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100
×
(1 +1/3)
3
»
237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел
Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.
Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n N имеет место неравенство |x n -1| < ε.
Возьмем любое e > 0. Так как ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n< e . Отсюда n>1/ e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ e , N = E(1/ e ). Мы тем самым доказали, что предел .
Пример 3
.2
. Найти предел последовательности, заданной общим членом 
.
Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:
.
Пример 3.3
. 
. Найти .
Решение.
.
Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.
Пример 3
.4
. Найти (
).
Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞ . Преобразуем формулу общего члена:
.
Пример 3 .5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.
Решение.
Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел 
Выберем теперь в качестве x n
последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. 
Поэтому предел не существует.
Пример 3 .6 . Доказать, что предел не существует.
Решение.
Пусть x 1 , x 2 ,..., x n ,... - последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞
Если x n =
p
n, то sin x n = sin
p
n = 0 при всех n
и предел Если же
x n =2
p
n+
p
/2, то sin x n = sin(2
p
n+
p
/2) = sin
p
/2 = 1 для всех n
и следовательно предел . Таким образом, не существует.
Виджет для вычисления пределов on-line
В верхнем окошке вместо sin(x)/x введите функцию, предел которой надо найти. В нижнее окошко введите число, к которому стремится х и нажмите кнопку Calcular, получите искомый предел. А если в окне результата нажмете на Show steps в правом верхнем углу, то получите подробное решение.
Правила ввода функций: sqrt(x)- квадратный корень, cbrt(x) - кубический корень, exp(x) - экспонента, ln(x) - натуральный логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan(x) - тангенс, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - арксинус, arccos(x) - арккосинус, arctan(x) - арктангенс. Знаки: * умножения, / деления, ^ возведение в степень, вместо бесконечности Infinity. Пример: функция вводится так sqrt(tan(x/2)).
Калькулятор пределов онлайн на сайт для полноценного закрепления студентами и школьниками пройденного материала и тренировки своих практических навыков. Как использовать калькулятор пределов онлайн на нашем ресурсе? Делается это даже очень запросто, нужно лишь всего-навсего вписать исходную функцию в имеющееся поле, выбрать из селектора необходимое предельное значение для переменной и нажать на кнопку "Решение". Если в некоторой точке нужно вычислить предельное значение, тогда Вам необходимо вписать значение этой самой точки - или числовое, или символьное. Калькулятор пределов онлайн поможет найти в заданной точке, предельной в интервале определения функции, значение предела, и эта величина, куда устремляется значение исследуемой функции при устремлении её аргумента к данной точке, есть решение предела. По онлайн калькулятору пределов на нашем ресурсе сайт можем сказать следующее - существует огромное количество аналогов в сети интернет, можно найти достойные из них, нужно с трудом этой поискать. Но тут столкнетесь с тем, что один сайт другому сайту - рознь. Многие из них совсем не предлагают калькулятор пределов онлайн, в отличие от нас. Если в любой известной поисковой системе, будь-то Яндекс или Google, вы будете искать сайты по фразе "Калькулятор пределов онлайн", то сайт окажется на первых строчках в поисковой выдаче. Это означает, что нам доверяют эти поисковики, и на нашем сайте только качественный контент, а главное полезный для учеников школ и вузов! Продолжим разговор о калькуляторах пределов и вообще о теории предельного перехода. Очень часто в определении предела функции формулируется понятие окрестностей. Здесь пределы от функций, а также решение этих пределов, Изучаются только в точках, являющихся предельными для области определения функций, ведая, что в каждой окрестности такой точки имеются точки из области определения этой функции. Это позволяет говорить о стремлении переменной функции к заданной точке. Если в некоторой точке области определения функции существует предел и калькулятор пределов онлайн выдает подробное предельное решение функции в данной точке, то функция оказывается непрерывной в этой точке. Пусть наш калькулятор пределов онлайн с решением даст какой-нибудь положительный результат, а мы проверим его на других сайтах. Этим самым можно доказать качество нашего ресурса, а оно, как известно уже многим, на высоте и заслуживает высочайшей оценки. Наряду с этим, есть возможность пределы онлайн калькулятор с подробным решением изучать и самостоятельно, но под пристальным контролем профессионального преподавателя. Зачастую такое действие приведет к ожидаемым результатам. Все студенты просто мечтают, чтобы калькулятор пределов онлайн с решением подробно расписал их сложную задачку, заданную преподавателем еще в начале семестра. Но не так все просто. Нужно сначала изучить теорию, а потом пользоваться бесплатным калькулятором. Как и пределы онлайн, калькулятор подробным образом выдаст нужные записи, и вы останетесь довольны результатом. Но предельная точка области определения может и не принадлежать этой самой области определения и это доказывается подробным вычислением калькулятором пределов онлайн. Пример: можно рассматривать предел функции на концах открытого отрезка, на котором определена наша функция. При этом сами границы отрезка в область определения и не входят. В этом смысле система окрестностей этой точки есть частный случай такой базы подмножеств. Калькулятор пределов онлайн с подробным решением производится в режиме реального времени и для него применяются формулы в заданном явном аналитическом виде. Предел функции с применением калькулятора пределов онлайн с подробным решением является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится. В общем то говоря, теория предельного перехода - это основное понятие всего математического анализа. Всё базируется именно на предельных переходах, то есть подробное решение пределов заложено в основу науки математического анализа, а калькулятор пределов онлайн закладывает базу в обучение студентов. Калькулятор пределов онлайн с подробным решением на сайте сайт - это уникальный сервис для получения точного и мгновенного ответа в режиме реального времени. Не редко, а точнее очень часто, у студентов сразу возникают сложности в решении пределов при начальном изучении математического анализа. Мы гарантируем, что решение калькулятором пределов онлайн на нашем сервисе - залог точности и получения качественного ответа.. Ответ на подробное решение предела калькулятором получите в считанные секунды, можно сказать даже мгновенно. Если вы укажете некорректные данные, то есть символы, недопустимые системой, - ничего страшного, сервис автоматически сообщит вам об ошибке. Исправите введённую ранее функцию (или предельную точку) и получите верное подробное решение калькулятором предела онлайн. Доверьтесь нам, и мы вас не подведем никогда. Вы сможете легко пользоваться сайтом и калькулятор пределов онлайн с решением подробно распишет пошаговые действия по вычислению задачи. Нужно всего лишь подождать несколько секунд и получите заветный ответ. Для решения пределов онлайн калькулятором с подробным решением применяются все возможные приёмы, особенно очень часто используется метод Лопиталя, так как он универсален и приводит к ответу быстрее, чем другие способы вычисления предела функции. Часто онлайн подробное решение калькулятором предела требуется для вычисления суммы числовой последовательности. Как известно, для нахождения суммы числовой последовательности, надо лишь верно выразить частичную сумму этой последовательности, а дальше всё просто, применяя наш бесплатный сервис сайт, так как вычисление предела с помощью нашего калькулятора пределов онлайн от частичной суммы это и будет итоговая сумма последовательности числовой. Подробное решение калькулятором пределов онлайн с помощью сервиса сайт представляет студентам видеть ход решения задач, что делает понимание теории пределов легким и доступным практически каждому. Будьте сосредоточены и не позвольте неверным действиям доставлять себе неприятности в виде неудовлетворительных оценок. Как всякое подробное решение калькулятором пределов онлайн сервисом, задача будет представлена в удобном и понятном виде, с подробным решением, с соблюдением всех норм и правил получения решения.. При этом вы сможете экономить время и деньги, так как мы не просим за это абсолютно ничего. На нашем сайте подробное решение калькуляторов пределов онлайн доступно двадцать четыре часа в сутки всегда. В сути все калькуляторы пределов онлайн с решением могут и не подробно выдавать ход поэтапного решения, об этом нужно не забывать и всем следить. Как только пределы онлайн калькулятор с подробным решением предлагает вам нажать на кнопку "Решение", то сначала будьте добры все проверьте. то есть проверьте введенную функцию, также предельное значение и только тогда продолжайте действие. Это избавит вас от мучительных переживаний за неуспешные вычисления. И затем пределы онлайн калькулятор подробным законом выдаст правильное факторное представление пошагового действия. Если же подробное решение калькулятор пределов онлайн вдруг не выдал, то может быть несколько причин этому. Во-первых, проверьте записанное функциональное выражение. Оно должно содержать переменную "x", иначе вся функция будет воспринята системой как константа. Дальше проверьте предельное значение, если указали заданную точку или символьное значение. Оно также должно содержать только латинские буквы - это важно! Затем можно заново попробовать найти подробное решение пределов онлайн на нашем великолепном сервисе, и воспользоваться полученным результатом. Как только говорят, что пределы решение онлайн подробно это очень сложно - не верьте, а главное не паникуйте, всё разрешаемо в рамках учебного курса. Рекомендуем Вам без паники уделить всего несколько минут нашему сервису и проверить заданное упражнение. Если все-таки пределы решение онлайн подробно невозможно решить, значит, вы допустили опечатку, так как в противном случае сайт решает практически любую задачу без особых сложностей. Но не нужно думать, что без труда и без вложенных усилий сможете получить желаемый результат сразу. По любому нужно уделить достаточно времени на изучение материала. Можно каждый калькулятор пределов онлайн с решением подробно выдаться на этапе построения выставленного решения и предположить обратное. Но не суть как это выразить, так как нас беспокоит сам процесс научного подхода. В итоге покажем, как калькулятор пределов с решением онлайн подробно базируется на фундаментальном аспекте математики как науке. Выделить пять основных принципов, и начать дальнейшие действия. Вас спросят о том, что доступно ли решение калькулятором пределов онлайн с подробным решением каждому, и вы ответите - да, это так и есть! Возможно, в этом смысле нет особой нацеленности на результат, однако в предел онлайн подробно заложен немного иной смысл, чем может казаться на первых порах изучения дисциплины. При взвешенном подходе, с должной расстановкой сил, можно в кратчайший срок предел онлайн подробно вывести самому.! В реальности будет так, что калькулятор пределов онлайн с решением подробно начнет быстрее пропорционально представлять все шаги пошагового вычисления.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции . Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс вычисления предела.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Введите выражение функцииВычислить предел
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Предел функции при х->х 0
Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \)
Возьмем из X последовательность точек, отличных от х 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.
Определение . Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х 0 (или при х -> x 0), если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x 0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.
$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$
Функция f(x) может иметь в точке x 0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
{f(x n)}
имеет только один предел.
Существует другое определение предела функции.
Определение
Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x 0 , если для любого числа \(\varepsilon > 0 \)
существует число \(\delta > 0 \) такое, что для всех \(x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \(|x-x_0| Используя логические символы, это определение можно записать в виде
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Отметим, что неравенства \(x \neq x_0, \; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением
«на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \(\varepsilon - \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более
удобно при решении той или иной задачи.
Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)» - определением предела функции по Коши.
Предел функции при x->x 0 - и при x->x 0 +
В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.
Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x 0 , если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1), элементы x n которой больше (меньше) x 0 , соответствующая последовательность (2) сходится к А.
Символически это записывается так:
$$ \lim_{x \to x_0+} f(x) = A \; \left(\lim_{x \to x_0-} f(x) = A \right) $$
Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)»:
Определение
число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x 0 , если для любого
\(\varepsilon > 0 \) существует \(\delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам
\(x_0
Символические записи:
Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала - самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim - от английского limit - предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача - найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Еще один вид неопределенностей: 0/0
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос "как решать пределы в высшей математике". Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.