Решение уравнений по теореме безу онлайн. Теорема Безу и следствие из нее

Этьен Безу –

французский математик, член Парижской Академии Наук(с 1758 года), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.

С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.

Теорема Безу.

Остаток от деления полинома P n ( x )

на двучлен ( x - a ) равен значению

этого полинома при x = a .

P n (x ) – данный многочлен степени n ,

двучлен (x - a ) - его делитель,

Q n -1 (x ) – частное от деления P n (x ) на x - a (многочлен степени n-1) ,

R – остаток от деления (R не содержит переменной x как делитель первой степени относительно x ).

Доказательство:

Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать:

P n (x) = (x-a)Q n-1 (x) + R .

Отсюда при x = a :

P n (a) = (a-a)Q n-1 (a) + R =0*Q n-1 (a)+R=

=0+ R = R .

Значит, R = P n (a ) , т.е. остаток от деления полинома на (x - a ) равен значению этого

полинома при x = a , что и требовалось доказать.

Следствия из теоремы .

Следствие 1 :

Остаток от деления полинома P n ( x )

на двучлен ax + b равен значению

этого полинома при x = - b / a ,

т . е . R=P n (-b/a) .

Доказательство:

Согласно правилу деления многочленов:

P n (x)= (ax + b) * Q n-1 (x) + R .

Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Значит, R = Pn (-b/a) , что и требовалось доказать.

Следствие 2 :

Если число a является корнем

многочлена P ( x ) , то этот

многочлен делится на ( x - a ) без

остатка.

Доказательство:

По теореме Безу остаток от деления многочлена P (x ) на x - a равен P (a ) , а по условию a является корнем P (x ) , а это значит, что P (a ) = 0 , что и требовалось доказать .

Из данного следствия теоремы Безу видно, что задача решения уравнения P (x ) = 0 равносильна задаче выделения делителей многочлена P , имеющих первую степень (линейных делителей) .

Следствие 3 :

Если многочлен P ( x ) имеет

попарно различные корни

a 1 , a 2 , … , a n , то он делится на

произведение ( x - a 1 ) … ( x - a n )

без остатка .

Доказательство:

Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней. При n =1 утверждение доказано в следствии 2 . Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k , это значит, что P(x) делится без остатка на (x - a 1 )(x - a 2 ) … (x - a k ) , где

a 1 , a 2 , … , a k - егокорни.

Пусть P (x ) имеет k +1 попарно различных корней.По предположению индукции a 1 , a 2 , a k , … , a k +1 являются корнями многочлена, а, значит, многочлен делится на произедение (x - a 1 ) … (x - a k ) , откуда выходит, что

P(x) = (x-a 1 ) … (x-a k )Q(x).

При этом a k +1 – корень многочлена P (x ) , т. е. P (a k +1 ) = 0 .

Значит, подставляя вместо x a k +1 , получаем верное равенство:

P(a k+1 ) = (a k+1 -a 1 ) … (a k+1 -a k )Q(a k+1 ) =

Но a k +1 отлично от чисел a 1 , … , a k , и потому ни одно из чисел a k +1 - a 1 , … , a k +1 - a k не равно 0 . Следовательно, нулю равно Q (a k +1 ) , т. е. a k +1 – корень многочлена Q (x ) . А из следствия 2 выходит, что Q (x ) делится на x - a k + 1 без остатка.

Q (x ) = (x - a k +1 ) Q 1 (x ) , и потому

P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =

=(x - a 1 ) … (x - a k )(x - a k +1 ) Q 1 (x ) .

Это и означает, что P (x ) делится на (x - a 1 ) … (x - a k +1 ) без остатка.

Итак, доказано, что теорема верна при k =1 , а из её справедливости при n = k вытекает, что она верна и при n = k +1 . Таким образом, теорема верна при любом числе корней, что и требовалось доказать .

Следствие 4 :

Многочлен степени n имеет не более

n различных корней.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен P n (x ) степени n имел бы более n корней - n + k (a 1 , a 2 , … , a n + k - его корни) , тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он

бы делился на произведение (x - a 1 ) … (x - a n + k ) , имеющее степень n + k , что невозможно.

Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен степени n не может иметь более, чем n корней, что и требовалось доказать.

Следствие 5 :

Для любого многочлена P ( x )

и числа a разность

( P ( x )- P ( a )) делится без

остатка на двучлен ( x - a ) .

Доказательство:

Пусть P (x ) – данный многочлен степени n , a - любое число.

Многочлен P n (x ) можно представить в виде: P n (x )=(x - a ) Q n -1 (x )+ R ,

где Q n -1 (x ) – многочлен, частное при делении P n (x ) на (x - a ) ,

R – остаток от деления P n (x ) на (x - a ) .

Причём по теореме Безу:

R = P n (a) , т.е.

P n (x)=(x-a)Q n-1 (x)+P n (a) .

Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,

а это и означает делимость без остатка (P n (x ) – P n (a ))

на (x - a ) , что и требовалось доказать .

Следствие 6 :

Число a является корнем

многочлена P ( x ) степени

не ниже первой тогда и

только тогда, когда

P ( x ) делится на ( x - a )

без остатка .

Доказательство:

Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия.

1. Необходимость .

Пусть a – корень многочлена P (x ) , тогда по следствию 2 P (x ) делится на (x - a ) без остатка.

Таким образом делимость P (x ) на (x - a ) является необходимым условием для того, чтобы a являлось корнем P (x ) , т.к. является следствием из этого.

2. Достаточность .

Пусть многочлен P (x ) делится без остатка на (x - a ) ,

тогда R = 0 , где R – остаток от деления P (x ) на (x - a ) , но по теореме Безу R = P (a ) , откуда выходит, что P (a ) = 0 , а это означает, что a является корнем P (x ) .

Таким образом делимость P (x ) на (x - a ) является и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P (x ) .

Делимость P (x ) на (x - a ) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P (x ) , что и требовалось доказать.

Многочлен, не имеющийй действи-

тельных корней, в разложении

на множители линейных множителей

не содержит.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: предполо-жим, что не имеющий корней многочлен P (x ) при разложении на множители содержит линейный множитель (x – a ) :

P(x) = (x – a)Q(x) ,

тогда бы он делился на (x – a ) , но по следствию 6 a являлось бы корнем P (x ) , а по условию он корней не содержит. Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен,

Теорема

Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен $P(a)$ .

Следствия из теоремы Безу

Число $a$ - корень многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда $P(x)$ делится без остатка на двучлен $x-a$ .

Отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена $P(x)$ тождественно множеству корней соответствующего уравнения $P(x)=0$ .

Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
Пусть $a$ - целый корень приведенного многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого $k$ число $P(k)$ делится на $a-k$ .

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого уже на единицу меньше: если $P(a)=0$, то заданный многочлен $P(x)$ можно представить в виде:

$$P(x)=(x-a) Q(x)$$

Таким образом, один корень найден и далее находятся уже корни многочлена $Q(x)$, степень которого на единицу меньше степени исходного многочлена. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни заданного многочлена.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Найти остаток от деления многочлена $f(x)=3 x^{2}-4 x+6$ на двучлен $(x-1)$

Решение. Согласно теореме Безу искомый остаток равен значению многочлена в точке $a=1$ . Найдем тогда $f(1)$, для этого значение $a=1$ подставим в выражение для многочлена $f(x)$ вместо $x$ . Будем иметь:

$$f(1)=3 \cdot 1^{2}-4 \cdot 1+6=3-4+6=5$$

Ответ. Остаток равен 5

Пример

Задание. С помощью теоремы Безу доказать, что многочлен $f(x)=17 x^{3}-13 x^{2}-4$ делится на двучлен $x=1$ без остатка.

Решение. Указанный многочлен делится на заданный двучлен без остатка, если число $x=1$ - корень данного многочлена, то есть имеет место равенство: $f(1)=0$ . Найдем значение многочлена в точке $x=1$ .

Городская открытая научно-практическая конференция

школьников и студентов

Тема: «ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРЕМЫ БЕЗУ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ n -Й СТЕПЕНИ, ПРИ n >2»

Выполнила:

Научный руководитель:

Введение

Этьен Безу

Теорема Безу

Доказательство теоремы 6

Следствия из теоремы:

Следствие 1

Следствие 2

Следствие 3

Следствие 4

Следствие 5

Следствие 6

Следствие 7

Применение теоремы

Заключение

Источники

Введение

Трудно решать уравнения третьей степени и выше. Разложение левой части уравнения на множители, если правая часть равна нулю, - самый распространенный метод решения самых различных уравнений. Здесь нет общих рецептов. Многое зависит от умения, сообразительности, наблюдательности и опыта.

Но такие уравнения не всегда можно разложить на множители. Одним из методов, которые помогли мне решать уравнения высоких степеней, является теорема Безу.

Цель моей работы: изучение теоремы Безу.

Для выполнения поставленной цели предполагалось выполнить следующие задачи:

· ознакомиться с биографией Этьена Безу;

· проанализировать определение и доказательство теоремы;

· обозначить и доказать следствия из теоремы Безу;

· показать конкретные примеры применения теоремы.

Этьен Безу

Этьен Безу - французский математик, член Парижской Академии Наук (с 1758 года).

Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шести томный “Курс математики “, который Безу писал пять лет с 1764 по 1769 год. Также, он развил метод неопределённых множителей: в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.

Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры, о которой будет говориться ниже.

Теорема Безу

При делении многочлена n-й степени относительно xна двучлен x-a остаток равен значению делимого при x=a. (Буква a может обозначать любое действительное или мнимое число, т.е. любое комплексное число.)

Прежде чем доказывать теорему, сделаю два пояснения.

1. Мы знаем, что существуют такие алгебраические выражения, которые теряют смысл при некоторых отдельных значениях входящих в него букв. Например, 1/xтеряет смысл при x=0; выражение 1/(x 2 -25) теряет смысл при x=5 и при x=-5.

Заметим, что многочлен любой целой положительной степени никогда не теряет смысла. При всяком значении переменной он принимает определенное значение.

2. Произведение двух множителей, из которых один обращается в нуль, а другой принимает определенное значение, всегда равно нулю. Если же один множитель обращается в нуль, а другой теряет смысл, то о таком произведении нельзя говорить, что оно равно нулю. О таком произведении ничего определенного сказать нельзя. В каждом отдельном случае необходимо особое исследование.

Рассмотрю произведение (1-x) *

. При x=1 первый множитель обращается в нуль, а второй теряет смысл. Нельзя утверждать, что это произведение при x=1 равно нулю. ] = Lim =1/2.

Итак, при x=1 само произведение (1-x) *

смысла не имеет. Но его предел имеет смысл, а именно равен ½, а не нулю, как это ошибочно можно было предположить.

Доказательство теоремы Безу

Пусть f(x) обозначает собой произвольный многочлен n-й степени относительно переменной x и пусть при его делении на двучлен (x-a) получилось в частном q(x), а в остатке R. Очевидно, что q(x) будет некоторый многочлен (n-1)-й степени относительно x, а остаток R будет величиной постоянной, т.е. не зависящей от x.

Если бы остаток R был многочленом хотя бы первой степени относительно x, то это означало бы, что деление не выполнено. Итак, R от x не зависит.

По определению деления (делимое равно произведению делителя на частное плюс остаток) получаю тождество

f(x) =(x-a)q(x)+R.

Это равенство справедливо при всяком значении x, значит, оно справедливо и при x=a.

Подставляя в левую и правую части равенство вместо переменной x число a, получаю:

f(a)=(a-a)q(a)+R. (1)

Здесь символ f(a) обозначает собой уже не f(x), т.е. не многочлен относительно x, а значение этого многочлена при x=a. q(a) обозначает значение q(x) при x=a.

Остаток R остался таким, каким он был раньше, так как R от x не зависит.

Произведение (a-a)q(a) равно нулю, так как множитель (a-a) равен нулю, а множитель q(a) есть определенное число. (Многочлен q(x) ни при каком определенном значении x не теряет смысла.)

Поэтому из равенства (1) получим:

что и требовалось доказать.

Следствия из теоремы

Следствие 1.

Остаток от деления полинома f(x) на двучлен (ax+b) равен значению

этого полинома при x=-b/a, т.е. R=f(-b/a).

Доказательство:

Согласно правилу деления многочленов:

f(x)= (ax+b)*q(x)+R.

f(-b/a)=(a(-b/a)+b)q(-b/a)+R=R. Значит, R=f(-b/a),

что и требовалось доказать.

Следствие 2:

Если число aявляется корнем многочлена f(x), то этот многочлен делится на (x-a) без остатка.

Доказательство:

По теореме Безу остаток от деления многочлена f(x) на (x-a) равен f(a), а по условию aявляется корнем f(x), а это значит, что f(a)=0, что и требовалось доказать.

Из данного следствия теоремы Безу видно, что задача решения уравнения f(x)=0 равносильна задаче выделения делителей многочлена f, имеющих первую степень (линейных делителей).

Следствие 3:

Если многочлен f(x) имеет попарно различные корни a 1 , a 2 ,… ,a n ,то он делится на произведение (x-a 1)…(x-a n) без остатка.

Доказательство:

Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней. При n=1 утверждение доказано в следствии 2. Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k, это значит, что f(x) делится без остатка на

(x-a 1)(x-a 2)…(x-a k), гдеa 1 , a 2 ,…, a k - егокорни.

Пусть f(x) имеет (k+1) попарно различных корней. По предположению индукции a 1 , a 2 , a k ,…, (a k +1) являются корнями многочлена, а, значит, многочлен делится на произведение (x-a 1)…(x-a k), откуда выходит, что

f(x)=(x-a 1)…(x-a k)q(x).

При этом (a k +1) – корень многочлена f(x), т.е.

Значит, подставляя вместо x (a k +1), получаем верное равенство:

f(a k+1)=(a k+1 -a 1)…(a k+1 -a k)q(a k+1)=0.

Но (a k +1) отлично от чисел a 1 ,…, a k , и потому ни одно из чисел (a k +1 -a 1),…, (a k +1 -a k) не равно 0. Следовательно, нулю равно q(a k +1), т.е. (a k +1) – корень многочлена q(x). А из следствия 2 выходит, что q(x) делится на (x-a k + 1) без остатка.

q(x)=(x-a k +1)q 1 (x), и потому

f(x)=(x-a 1)…(x-a k)q(x)=(x-a 1)…(x-a k)(x-a k+1)q 1 (x).

Это и означает, что f(x) делится на (x-a 1)…(x-a k +1) без остатка.

Итак, доказано, что теорема верна при k=1, а из её справедливости при n=k вытекает, что она верна и при n=k+1. Таким образом, теорема верна при любом числе корней, что и требовалось доказать.

Следствие 4:

Многочлен степени n имеет не более n различных корней.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен f(x) степени n имел бы более n корней - n+k (a 1 , a 2 ,..., a n+k - его корни), тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он бы делился на произведение (x-a 1)...(x-a n+k), имеющее степень (n+k), что невозможно.

Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно, и многочлен степени n не может иметь более, чем n корней, что и требовалось доказать.

Следствие 5:

Для любого многочлена f(x) и числа a разность (f(x)-f(a)) делится без остатка на двучлен (x-a).

Доказательство:

Пусть f(x) - данный многочлен степени n, a - любое число.

Многочлен f(x) можно представить в виде: f(x)=(x-a)q(x)+R, где q(x) - многочлен, частное при делении f(x) на (x-a), R - остаток от деления f(x) на (x-a).

Причём по теореме Безу:

f(x)=(x-a)q(x)+f(a).

f(x)-f(a)=(x-a)q(x),

а это и означает делимость без остатка (f(x)-f(a))

на (x-a), что и требовалось доказать.

Следствие 6:

Число a является корнем многочлена f(x) степени не ниже первой только тогда, когда f(x) делится на (x-a) без остатка.

Доказательство:

1. Необходимость.

Пусть a - корень многочлена f(x), тогда по следствию 2 f(x) делится на (x-a) без остатка.

Таким образом делимость f(x) на (x-a) является необходимым условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), т.к. является следствием из этого.

2. Достаточность.

Пусть многочлен f(x) делится без остатка на (x-a),

тогда R=0, где R - остаток от деления f(x) на (x-a), но по теореме Безу R=f(a), откуда выходит, что f(a)=0, а это означает, что a является корнем f(x).

Класс: 11

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока:

способствовать развитию навыков деления многочлена на многочлен и использованию схемы Горнера;
закрепить навыки работы в электронных таблицах OpenOffice.org Calc;
организовать деятельность учащихся по восприятию, осмысливанию и первичному запоминанию новых знаний;
разобрать и доказать теорему Безу при решении проблемной ситуации: можно ли разложить многочлен третьей степени на множители;
рассмотреть использование теорему Безу для решения уравнений высших степеней;
содействовать развитию логического мышления, внимания, речи и умения работать самостоятельно.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование: мультимедиа проектор, презентация к уроку, компьютерный класс.

«Для того, чтобы совершенствовать ум, надо больше рассуждать, чем заучивать».
Декарт (1596 -1650). Французский математик, физик, филолог, философ.

Ход урока

I . Организационный момент

Наша задача сегодня в совместной деятельности подтвердить слова Декарта (слайд 1). Тема нашего урока (слайд 2) «Теорема Безу» настолько значима, что даже используется в заданиях ЕГЭ и различных олимпиадах. Теорема Безу облегчает решение многих заданий, содержащих уравнения высших степеней. К сожалению, она изучается только на профильном уровне.

II . Возникновение проблемной ситуации

На этом уроке мы научимся решать уравнения высших степеней, а алгоритм решения выведем сами.

Решить уравнение: x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0 (Слайд 3). Возникает проблема: Мы понимаем, что было бы удобно представить левую часть уравнения в виде произведения, и так как произведение равно нулю, то приравнять к нулю каждый множитель. Для этого надо разложить многочлен 3-ей степени на множители. Но как? Можно ли сгруппировать или вынести общий множитель за скобку в нашем случае? (Нет).

III . Актуализация опорных знаний

Вспомним, как разложить на множители многочлен х 2 - 5х - 6? (Слайд 4).

(По формуле разложения на множители квадратного трехчлена:

ах 2 + bх + с = a(x – x 1)(x-x 2), где х 1 и х 2 корни трехчлена).

Найдите корни трехчлена двумя способами. Какими?

(по формуле корней квадратного уравнения и по теореме Виета).

Решают на доске от каждой группы по одному ученику. Остальные учащиеся в тетрадях. Получили: х 2 - 5х - 6 = (х - 6) (х + 1).

Это значит, что трехчлен делится на каждый из двучленов: х – 6 и х + 1.

Обратите внимание на свободный член нашего трехчлена и найдите его делители (±1, ±2, ±3, ±6).

Какие из делителей являются корнями трехчлена? (-1 и 6)

Какой вывод можно сделать? (Корни трехчлена являются делителями свободного члена).

IV . Выдвижение гипотезы

Так какой же одночлен поможет подобрать корни многочлена?

Р(х) = x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0 ?

(Свободный член).

Выпишите его делители: ±1; ±2; ±4.

Найдите значения многочлена для каждого делителя. С помощью электронных таблиц и непосредственно:

1 группа вычисляет в тетради, вторая за компьютерами в OpenOffice.org Calc.

Р(1)= -3
Р(-1)=7
Р(2)=-8
Р(-2)=0
Р(4)=12
Р(-4)=-68

(При вычислении в электронных таблицах в ячейку В2 ученики вводят формулу: =А1^3-2*A1^2-6*A1+4. С помощью маркера автозаполнения получают значения многочлена во всем столбце).

Какой из делителей является корнем многочлена? (-2)

Таким образом, один из множителей в разложении будет х-(-2) = x + 2.

Как найти другие множители?

(Разделить «в столбик» на двучлен х + 2 )

А как еще можно? (по схеме Горнера). (Слайд 5)

Что такое схема Горнера? (Схема Горнера – это алгоритм деления многочленов, записанный для частного случая, когда делитель равен двучлену x–a ).

Выполняем деление: первая группа «в столбик», вторая – по схеме Горнера.

Разделили без остатка.

Вернемся к уравнению: x 3 - 2x 2 - 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2)=0

x 2 -2x+2=0 - квадратное уравнение. Решите его:

D 1 = 4 – 2 = 2;

Ответ: -2, .

А мог получиться остаток при делении? Ответим на этот вопрос позднее. А сейчас назовите значение многочлена при х = - 2. (Значение равно нулю).

Прошу обратить ваше внимание, что x = - 2 является корнем многочлена и остаток от деления многочлена на х-(-2) равен 0.

Рассмотримх=1 - не является корнем уравнения.

Попробуем разделить многочлен на х-1 . Вторая группа выполняет деление «в столбик». Первая – по схеме Горнера дополняет таблицу ещё одной строкой.

Итак, x 3 - 2x 2 - 6x + 4 = (х – 1)∙(x 2 - х – 7) – 3.

Отметим, что x=1 не является корнем многочлена и остаток от деления многочлена на (х-1) равен значению многочлена при х=1.

Вот и ответ на вопрос об остатке. Да, остаток получился, при таком значении х, которое не является корнем многочлена.

Давайте продолжим схему Горнера для остальных делителей свободного члена. Теперь пусть первая группа вычисляет за компьютером, а вторая в тетрадях.

V . Доказательство гипотезы

(Слайд 6) Вы заметили закономерность об остатке. Какую? (остаток получился, при таком значении х, которое не является корнем многочлена).

А давайте запишем эту закономерность в общем виде.

Пусть Р(х) - многочлен, а - некоторое число.

Докажем утверждение: Остаток от деления Р(х) на (x - а) равен Р(а).

Доказательство. Разделим Р(х) c остатком на (x - а).

Получим Р(х)= (x - а)Q(х) + R; по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени (x - a), т.е. меньшую 1. Но степень многочлена меньше 1 только в случае, когда она равна 0, и поэтому в обоих случаях R на самом деле является числом – нулем или отличным от нуля.

Подставив теперь в равенство Р(х)= (x - а)Q(х) + R значение x = a, мы получим Р(a)= (a - а)Q(х) + R, P(a) = R, так что действительно R = P(a).

Эту закономерность отметил и математик Безу.

Сообщение ученицы

(Слайд 7) Этьенн Безу - французский математик, член Парижской Академии Наук (с 1758 года), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьенна Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений.

В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках.

Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный "Курс математики", написанный им в 1764-69 годах.

Безу развил метод неопределённых множителей. В элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе.

Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.

Именем ученого названа одна из основных теорем алгебры.

Следствие

Какой должен быть остаток, чтобы многочлен Р(х) делился нацело на двучлен (х – а)? (равен 0).

Получаем следствие из теоремы Безу: Для того, чтобы многочлен Р(х) делился нацело на двучлен (х – а), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Р(а) = 0.

VI . Усвоение изученного

(Слайд 8) Решить уравнение: х 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 = 0 .

Целые корни многочлена Р(х) = х 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 должны быть делителями свободного члена, так что это могут быть числа -1, 1, 3, -3.

Подберем корень по схеме Горнера:

VII . Итог:

Итак, что дает нам Теорема Безу? (Слайд 9)

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если Р(а) = 0, то Р(х)= (x - а)Q(x), и остается решить уравнение Q(x) = 0. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни многочлена.

Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на

Пусть _ корень многочлена, т.е. Разделим на, где степень меньше степени, которая равна Значит, степень равна, т.е. . Значит, . Так как, то из последнего равенства следует, что т.е. .

Обратно, пусть делит, т.е. . Тогда.

Следствие. Остаток от деления многочлена на равен.

Многочлены первой степени называются линейными многочленами. Теорема Безу показывает, что разыскание корней многочлена равносильно разысканию его линейных делителей со старшим коэффициентом 1.

Многочлен можно разделить на линейный многочлен с помощью алгоритма деления с остатком, но существует более удобный способ деления, известный под названием схемы Горнера.

Пусть и пусть, где. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной с левой и правой частях последнего равенства, имеем:

Число называется корнем кратности многочлена, если делит, но уже не делит.

Чтобы поверить, будет ли число корнем многочлена и какой кратности, можно воспользоваться схемой Горнера. Сначала делится на затем, если остаток равен нулю, полученное частное делится на и т.д. до получения не нулевого остатка.

Число различных корней многочлена не превосходит его степени.

Большое значение имеет следующая основная теорема.

Основная теорема . Всякий многочлен с числовыми коэффициентами ненулевой степени имеет хотя бы один корень (может быть комплексный).

Следствие. Всякий многочлен степени имеет в C (множестве комплексный чисел) столько корней, какова его степень, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

где _ корни, т.е. во множестве C всякий многочлен разлагается в произведение линейных множителей. Если одинаковые множители собрать вместе, то:

где уже различные корни, _ кратность корня.

Если многочлен, с действительными коэффициентами имеет корень, то число также корень

Значит, у многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни входят парами.

Следствие. Многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет нечетное число действительных корней.

Пусть и корни Тогда делится на и но так как у и нет общих делителей, то делится на прозведение.

Утверждение 2. Многочлен с действительными коэффициентами степени всегда разлагается на множестве действительных чисел в произведение линейных многочленов, отвечающих его вещественным корням, и многочленов 2-ой степени, отвечающих паре сопряженных комплексных корней.

При вычислении интегралов от рациональных функций нам понадобится представление рациональной дроби в виде суммы простейших.

Рациональной дробью называется дробь где и _ многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде, где и - некоторые многочлены, а - правильная рациональная дробь.

Лемма 1. Если - правильная рациональная дробь, а число является вещественным корнем кратности многочлена, т.е. и, то существует вещественное число и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь также является правильной.

При этом несложно показать, что полученное выражение является рациональной дробью с вещественными коэффициентами.

Лемма 2. Если - правильная рациональная дробь, а число (и - вещественные,) является корнем кратности многочлена, т.е. и, и если, то существуют вещественные числа и и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь также является правильной.

Рациональные дроби вида, _ трехчлен с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней, называются простейшими (или элементарными) дробями.

Всякая правильная рациональная дробь представима единственным образом в виде суммы простейших дробей.

При практическом получении такого разложения оказывается удобным так называемый метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в следующем:

· Для данной дроби пишется разложение, в котором коэффициенты считаются неизвестными;
· После этого обе части равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты.

При этом если степень многочлена равна, то в числителе после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени, т.е. многочлен с коэффициентами.

Число неизвестных также равняется: .

Таким образом, получается система уравнений с неизвестными. Существование решения у этой системы следует из приведенной выше теоремы.