Решение простых линейных уравнений. Линейные уравнения

Уравнение - это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

В уравнениях неизвестное обычно обозначается строчной латинской буквой. Чаще всего используют буквы « x » [икс] и « y » [игрек].

Корень уравнения - это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.
Решить уравнение - значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Решив уравнение, всегда после ответа записываем проверку.

Информация для родителей

Уважаемые родители, обращаем ваше внимание на то, что в начальной школе и в 5 классе дети НЕ знают тему «Отрицательные числа».

Поэтому они должны решать уравнения, используя только свойства сложения, вычитания, умножения и деления. Методы решения уравнений для 5 класса приведены ниже.

Не пытайтесь объяснить решение уравнений через перенос чисел и букв из одной части уравнения в другую с изменением знака.

Освежить знания по понятиям, связанным со сложением, вычитанием, умножением и делением вы можете в уроке «Законы арифметики».

Решение уравнений на сложение и вычитание

Как найти неизвестное
слагаемое

Как найти неизвестное
уменьшаемое

Как найти неизвестное
вычитаемое

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x = 6
Проверка

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Проверка

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Проверка

Решение уравнений на умножение и деление

Как найти неизвестный
множитель

Как найти неизвестное
делимое

Как найти неизвестный
делитель

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

y · 4 = 12
y = 12: 4
y = 3
Проверка

y: 7 = 2
y = 2 · 7
y = 14
Проверка

8: y = 4
y = 8: 4
y = 2
Проверка

Уравнение - это равенство, содержащее букву, знамение которой нужно найти. Решение уравнения - это тот набор значений букв, при котором уравнение превращается в верное равенство:

Напомним, что для решения уравнении надо слагаемые с неизвестным перенести в одну часть равенства, а числовые слагаемые в другую, привести подобные и получить такое равенство:

Из последнего равенства определим неизвестное по правилу: «один из множителей равен частному, деленному на второй множитель».

Так как рациональные числа а и Ь могут иметь одинаковые и разные знаки, то знак неизвестного определяется по правилам деления рациональных чисел.

Порядок решения линейных уравнений

Линейное уравнение необходимо упростить, раскрыв скобки и выполнив действия второй ступени (умножение и деление).

Перенести неизвестные в одну сторону от знака равенства, а числа - в другую сторону от знака равенства, получив тождественное заданному равенство,

Привести подобные слева и справа от знака равенства, получив равенство вида ax = b .

Вычислить корень уравнения (найти неизвестное х из равенства x = b : a ),

Выполнить проверку, подставив неизвестное в заданное уравнение.

Если получим тождество в числовом равенстве, то уравнение решено верно.

Особые случаи решения уравнений

Если уравнение задано произведением, равным 0, то для его решения используем свойство умножения: «произведение равно нулю, если один из сомножителей или оба сомножителя равны нулю».

27 (x - 3) = 0
27 не равно 0, значит x - 3 = 0

У второго примера два решения уравнения, так как
это уравнение второй степени:

Если коэффициенты уравнения являются обыкновенными дробями, то прежде всего надо избавиться от знаменателей. Для этого:

Найти общий знаменатель;

Определить дополнительные множители для каждого члена уравнения;

Умножить числители дробей и целые числа на дополнительные множители и записать все члены уравнения без знаменателей (общий знаменатель можно отбросить);

Перенести слагаемые с неизвестными в одну часть уравнения, а числовые слагаемые - в другую от знака равенства, получив равносильное равенство;

Привести подобные члены;

Основные свойства уравнений

В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.

Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

Обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же число, кроме 0.

В примере выше для решения уравнения были использованы все его свойства.

Правило решений простых уравнений

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. »)

Линейные уравнения.

Линейные уравнения — не самая сложная тема школьной математики. Но есть там свои фишки, которые могут озадачить даже подготовленного ученика. Разберёмся?)

Обычно линейное уравнение определяется, как уравнение вида:

Ничего сложного, правда? Особенно, если не замечать слова: «где а и b – любые числа» . А если заметить, да неосторожно задуматься?) Ведь, если а=0, b=0 (любые же числа можно?), то получается забавное выражение:

Но и это ещё не всё! Если, скажем, а=0, а b=5, получается совсем уж что-то несусветное:

Что напрягает и подрывает доверие к математике, да.) Особенно на экзаменах. А ведь из этих странных выражений ещё и икс найти надо! Которого нету вообще. И, что удивительно, этот икс очень просто находится. Мы научимся это делать. В этом уроке.

Как узнать линейное уравнение по внешнему виду? Это, смотря какой внешний вид.) Фишка в том, что линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0 , но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. А кто ж его знает, сводится оно, или нет?)

Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнение, в которых есть только неизвестные в первой степени, да числа. Причём в уравнении нет дробей с делением на неизвестное , это важно! А деление на число, или дробь числовая – это пожалуйста! Например:

Это линейное уравнение. Здесь есть дроби, но нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс . А вот уравнение

нельзя назвать линейным. Здесь иксы все в первой степени, но есть деление на выражение с иксом . После упрощений и преобразований может получиться и линейное уравнение, и квадратное, и всё, что угодно.

Получается, что узнать линейное уравнение в каком-нибудь замудрёном примере нельзя, пока его почти не решишь. Это огорчает. Но в заданиях, как правило, не спрашивают о виде уравнения, правда? В заданиях велят уравнения решать. Это радует.)

Решение линейных уравнений. Примеры.

Всё решение линейных уравнений состоит из тождественных преобразований уравнений. Кстати, эти преобразования (целых два!) лежат в основе решений всех уравнений математики. Другими словами, решение любого уравнения начинается с этих самых преобразований. В случае линейных уравнений, оно (решение) на этих преобразованиях и заканчивается полноценным ответом. Имеет смысл по ссылке сходить, правда?) Тем более, там тоже примеры решения линейных уравнений имеются.

Для начала рассмотрим самый простой пример. Безо всяких подводных камней. Пусть нам нужно решить вот такое уравнение.

Это линейное уравнение. Иксы все в первой степени, деления на икс нету. Но, собственно, нам без разницы, какое это уравнение. Нам его решать надо. Схема тут простая. Собрать всё, что с иксами в левой части равенства, всё, что без иксов (числа) — в правой.

Для этого нужно перенести — 4х в левую часть, со сменой знака, разумеется, а — 3 — в правую. Кстати, это и есть первое тождественное преобразование уравнений. Удивлены? Значит, по ссылке не ходили, а зря.) Получим:

Приводим подобные, считаем:

Что нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс был! Пятёрка мешает. Избавляемся от пятёрки с помощью второго тождественного преобразования уравнений. А именно — делим обе части уравнения на 5. Получаем готовый ответ:

Пример элементарный, разумеется. Это для разминки.) Не очень понятно, к чему я тут тождественные преобразования вспоминал? Ну ладно. Берём быка за рога.) Решим что-нибудь посолиднее.

Например, вот это уравнение:

С чего начнём? С иксами — влево, без иксов — вправо? Можно и так. Маленькими шажочками по длинной дороге. А можно сразу, универсальным и мощным способом. Если, конечно, в вашем арсенале имеются тождественные преобразования уравнений.

Задаю вам ключевой вопрос: что вам больше всего не нравится в этом уравнении?

95 человек из 100 ответят: дроби ! Ответ правильный. Вот и давайте от них избавимся. Поэтому начинаем сразу со второго тождественного преобразования . На что нужно умножить дробь слева, чтобы знаменатель сократился напрочь? Верно, на 3. А справа? На 4. Но математика позволяет нам умножать обе части на одно и то же число . Как выкрутимся? А умножим обе части на 12! Т.е. на общий знаменатель. Тогда и тройка сократится, и четвёрка. Не забываем, что умножать надо каждую часть целиком . Вот как выглядит первый шаг:

Обратите внимание! Числитель (х+2) я взял в скобки! Это потому, что при умножении дробей, числитель умножается весь, целиком! А теперь дроби и сократить можно:

Раскрываем оставшиеся скобки:

Не пример, а сплошное удовольствие!) Вот теперь вспоминаем заклинание из младших классов: с иксом – влево, без икса – вправо! И применяем это преобразование:

И делим обе части на 25, т.е. снова применяем второе преобразование:

Вот и всё. Ответ: х =0,16

Берём на заметку: чтобы привести исходное замороченное уравнение к приятному виду, мы использовали два (всего два!) тождественных преобразования – перенос влево-вправо со сменой знака и умножение-деление уравнения на одно и то же число. Это универсальный способ! Работать таким образом мы будем с любыми уравнениями! Совершенно любыми. Именно поэтому я про эти тождественные преобразования всё время занудно повторяю.)

Как видим, принцип решения линейных уравнений простой. Берём уравнение и упрощаем его с помощью тождественных преобразований до получения ответа. Основные проблемы здесь в вычислениях, а не в принципе решения.

Но. Встречаются в процессе решения самых элементарных линейных уравнений такие сюрпризы, что могут и в сильный ступор вогнать.) К счастью, таких сюрпризов может быть только два. Назовём их особыми случаями.

Особые случаи при решении линейных уравнений.

Сюрприз первый.

Предположим, попалось вам элементарнейшее уравнение, что-нибудь, типа:

Слегка скучая, переносим с иксом влево, без икса — вправо. Со сменой знака, всё чин-чинарём. Получаем:

Считаем, и. опаньки. Получаем:

Само по себе это равенство не вызывает возражений. Нуль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе, решение не считается, да.) Тупик?

Спокойствие! В таких сомнительных случаях спасают самые общие правила. Как решать уравнения? Что значит решить уравнение? Это значит, найти все значения икса, которые, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство.

Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, куда уж вернее?! Остаётся сообразить, при каких иксах это получается. Какие значения икса можно подставлять в исходное уравнение, если эти иксы всё равно посокращаются в полный ноль? Ну же?)

Да. Иксы можно подставлять любые! Какие хотите. Хоть 5, хоть 0,05, хоть -220. Они всё равно сократятся. Если не верите — можете проверить.) Поподставляйте любые значения икса в исходное уравнение и посчитайте. Всё время будет получаться чистая правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и так далее.

Вот вам и ответ: х — любое число.

Ответ можно записать разными математическими значками, суть не меняется. Это совершенно правильный и полноценный ответ.

Сюрприз второй.

Возьмём то же элементарнейшее линейное уравнение и изменим в нём всего одно число. Вот такое будем решать:

После тех же самых тождественных преобразований мы получим нечто интригующее:

Вот так. Решали линейное уравнение, получили странное равенство. Говоря математическим языком, мы получили неверное равенство. А говоря простым языком, неправда это. Бред. Но тем, не менее, этот бред — вполне веское основание для правильного решения уравнения.)

Опять соображаем, исходя из общих правил. Какие иксы, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство? Да никакие! Нет таких иксов. Чего ни подставляй, всё посократится, останется бред.)

Вот вам и ответ: решений нет.

Это тоже вполне полноценный ответ. В математике такие ответы частенько встречаются.

Вот так. Сейчас, надеюсь, пропажа иксов в процессе решения любого (не только линейного) уравнения вас нисколько не смутит. Дело уже знакомое.)

Теперь, когда мы разобрались со всеми подводными камнями в линейных уравнениях, имеет смысл их порешать.

А на ЕГЭ они будут? — слышу вопрос практичных людей. Отвечаю. В чистом виде — нет. Слишком элементарны. А вот в ГИА, или при решении задачек в ЕГЭ, вы с ними столкнётесь обязательно! Так что, меняем мышку на ручку и решаем.

Ответы даны в беспорядке: 2,5; нет решений; 51; 17.

Получилось?! Поздравляю! У вас хорошие шансы на экзаменах.)

Не сходятся ответы? М-да. Это не радует. Эта не та тема, без которой можно обойтись. Рекомендую посетить Раздел 555. Там очень подробно расписано, что надо делать, и как это делать, чтобы не запутаться в решении. На примере этих уравнений.

А как решать уравнения более хитрые, — это в следующей теме.

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Решение линейных уравнений 7 класс

Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства).

Свойство № 1
или
правило переноса

При переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Давайте разберём правило переноса на примере. Пусть нам требуется решить линейное уравнение.

Вспомним, что у любого уравнения есть левая и правая часть.

Перенесем число « 3 » из левой части уравнения в правую.

Так как в левой части уравнения у числа « 3 » был знак « + », значит в правую часть уравнения « 3 » перенесется со знаком « − ».

Полученное числовое значение « x = 2 » называют корнем уравнения.

Не забывайте после решения любого уравнения записывать ответ.

Рассмотрим другое уравнение.

По правилу переноса перенесем « 4x » из левой части уравнения в правую, поменяв знак на противоположный.

Несмотря на то, что перед « 4x » не стоит никакого знака, мы понимаем, что перед « 4x » стоит знак « + ».

Теперь приведем подобные и решим уравнение до конца.

Свойство № 2
или
правило деления

В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число.

Но нельзя делить на неизвестное!

Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.

Число « 4 », которое стоит при « x », называют числовым коэффициентом при неизвестном.

Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.

Чтобы решить уравнение необходимо сделать так, чтобы при « x » стоял коэффициент « 1 ».

Давайте зададим себе вопрос: «На что нужно разделить « 4 », чтобы
получить « 1 »?». Ответ очевиден, нужно разделить на « 4 ».

Используем правило деления и разделим левую и правую части уравнения на « 4 ». Не забудьте, что делить нужно и левую, и правую части.

Используем сокращение дробей и решим линейное уравнение до конца.

Как решить уравнение, если « x » отрицательное

Часто в уравнениях встречается ситуация, когда при « x » стоит отрицательный коэффициент. Как, например, в уравнении ниже.

Чтобы решить такое уравнение, снова зададим себе вопрос: «На что нужно разделить « −2 », чтобы получить « 1 »?». Нужно разделить на « −2 ».

Решение простых линейных уравнений

В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму - потому и они и называются простейшими.

Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

Линейное уравнение - такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:

Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:

Раскрыть скобки, если они есть;
Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной - в другую;
Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0\cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа - число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
Решение - все числа. Единственный случай, когда такое возможно - уравнение свелось к конструкции $0\cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.

А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

Примеры решения уравнений

Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
Затем свести подобные
Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной - слагаемые, в которых она содержится - перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

Схема решения простейших линейных уравнений

Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

Раскрываем скобки, если они есть.
Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» - в другую.
Приводим подобные слагаемые.
Разделяем все на коэффициент при «иксе».

Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:

Вот мы и получили ответ.

В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:

И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ - любое число.

Третье линейное уравнение уже интересней:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:

Выполняем второй уже известный нам шаг:

Выполняем последний шаг - делим все на коэффициент при «икс»:

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение - иногда корней просто нет;
Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль - ничего страшного в этом нет.

Ноль - такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные . А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.

Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

Решение сложных линейных уравнений

Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:

Теперь займемся уединением:

Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:

Выполняем те же действия. Первый шаг:

Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее - вправо:

Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:

либо корней нет.

Нюансы решения

Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:

Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое . Внутри стоит два слагаемых - соответственно, два слагаемых и умножается.

И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений - это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

Решение ещё более сложных линейных уравнений

То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21=3\]

Давайте перемножим все элементы в первой части:

Давайте выполним уединение:

Выполняем последний шаг:

Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:

Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без - вправо:

Приводим подобные слагаемые:

Мы вновь получили окончательный ответ.

Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

Об алгебраической сумме

На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.

Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

Уединить переменные.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

Избавиться от дробей.
Раскрыть скобки.
Привести подобные.
Разделить на коэффициент.

Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(-1 \right)\cdot 4\]

Выполняем уединение переменной:

Выполняем приведение подобных слагаемых:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Здесь выполняем все те же действия:

Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

Знать алгоритм решения линейных уравнений.
Умение раскрывать скобки.
Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!

Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня
Как решать биквадратное уравнение
Тест к уроку «Сложные выражения с дробями» (легкий)
Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
Видеоурок по задачам C2: расстояние от точки до плоскости
Репетитор по математике: где брать учеников?

Чтобы посмотреть видео, введите свой E-mail и нажмите кнопку «Начать обучение»

Репетитор с 12-летним опытом
Видеозапись каждого занятия
Единая стоимость занятий - 3000 рублей за 60 минут

На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Давайте проверим

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя .

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

Потренируемся.

Рассмотрим выражение

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени .

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления - это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассмотрим выражение.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Рассмотрим выражение.

30 + 6 * (13 - 9)

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

30 + 6 * (13 - 9)

Вычислим значение выражения.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

Потренируемся.

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Будем действовать по правилу. В выражении 43 - (20 - 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 - 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие - умножение, второе - деление, третье - вычитание.

2*9-18:3=18-6=12

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Рассуждаем так.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие - деление, второе - умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое - вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продолжаем рассуждать.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие - в скобках, второе - деление, третье - сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие - в скобках, второе - умножение, третье - вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Выполним задание.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого - вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. - М.: «Просвещение», 2012.
М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. - М.: «Просвещение», 2012.
М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. - М.: «Просвещение», 2011.
«Школа России»: Программы для начальной школы. - М.: «Просвещение», 2011.
С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
В.Н. Рудницкая. Тесты. - М.: «Экзамен», 2012.

Festival.1september.ru ().
Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
Openclass.ru ().

Домашнее задание

1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

1. умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

Порядок решения линейных уравнений

Привести подобные слева и справа от знака равенства, получив равенство вида ax = b .

Вычислить корень уравнения (найти неизвестное х из равенства x = b : a ),

Выполнить проверку, подставив неизвестное в заданное уравнение.

Если получим тождество в числовом равенстве, то уравнение решено верно.

Особые случаи решения уравнений

Если уравнение задано произведением, равным 0, то для его решения используем свойство умножения: «произведение равно нулю, если один из сомножителей или оба сомножителя равны нулю».

27 (x - 3) = 0
27 не равно 0, значит x - 3 = 0

У второго примера два решения уравнения, так как
это уравнение второй степени:

Найти общий знаменатель;

Определить дополнительные множители для каждого члена уравнения;

Привести подобные члены;

Основные свойства уравнений

В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.

Обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же число, кроме 0.

В примере выше для решения уравнения были использованы все его свойства.

Способы решения простых уравнений

Понятие уравнения.
Часто приходится встречаться с такой штукой, как уравнение. Что это такое надо знать. Но знать- это мало. Надо иметь хотя бы маленькое представление о том, как их решать. Посмотрим, что это такое.

Пусть у нас какое-нибудь число, к примеру х. Такой знак обычно ставят в уравнение и называют переменной. Положим, х=3. Дано выражение х+2=5. Это выражение- и есть простейшее уравнение, в котором надо найти, чему будет равен х. х- значение, или корень данного уравнения. корня может быть и 2, и 3, и сколько угодно, или вообще нет. Но в простейших всегда 1 корень.

Смысл решения уравнения.
Посмотрим, как же решать это уравнение. Часто надо понимать смысл. Дано уравнение х+1=7. Возьмите и начертите какую-нибудь прямую или линию, или просто представьте. На ней пусть отмечена точка 7, она же точка у(это тоже переменная, её тоже часто ставят. В данном случае х+1=у). Теперь сдвинем точку 7 назад на 1, т.е., она перейдёт в точку 6. Точно такое же значение примет у-1. Получим, что у-1=х+1-1=х. У нас х=6. Это и есть решение уравнения, или его корень.

Т.е., у уравнения есть 2 части, разделённые знаком равно. Мы, изменяя 1-ую часть, изменяем и вторую, т.е., получим:
В уравнении каждую его часть можно сладывать, вычитать, умножать, делить, возводить на 1 и то же число, а также бучиксировать.
Последние 2 действия нам не важны в решении простейших уравнений. Их используют при решении сложных.

В данном примере мы вычли из каждой части 1. Всё осталось равным. На самом деле, 6+1=7 и х+1=7, значит х и 6 одно и тоже. Такое преобразование называется равносильным. Так мы и поступаем во всех простых уравнениях с обычными арифметическими действиями. Рассмотрим примеры:
Полезные действия при решении уравнений.
1) 4+х=8 Отнимем от каждой части 4, т.е., 0+х=4 или х=4
2) х-5=2 Прибавим к обеим частям 5, получим х-5+5=2+5, х-0=7, х=7
3) х+1=х Надо такое число, складывая которое с 1, не изменится. Такого числа не существует, поэтому х не имеет корней
4) х+0=х Любое число, сложив с 0, не изменяется. Поэтому х является любым числом
5) 3-х=2 Вот это уже сложный пример. И хотя можно логически догадаться, мы решим так, как доказывает шаровую логику. Х под минусом. Поэтому тут немного сложнее. У нас 2 способа:
1\ Отнимем 3 от каждой части: 0-х=2-3=-1, или -х=-1(0-х=-х). Здесь можно использовать 2 способа, но мы выберем смысловой. -х и -1. У обоих есть минус. Т.е., значит, и х=1, мы просто убрали у них минусы, изменили их в другую сторону. На линии точка 0 и -1. 0=О, -1=А. Отрезок ОА мы развернём к +1. Это показывает то, что минусы можно отбрасывать, но если они есть у обоих частей.
Теперь мы посмотрим другой способ(второй тип первого способа заключался в том, что можно умножить обе части на -1, но мы до этого ещё не дошли): Сложим в каждом уравнении х: 3-х+х=2+х, 2+х=3, х=1
6) 2+х=3+х Сразу видно, х не имеет решений, и по смыслу, и так: 2+х-х=3+х-х, 2=3 что это? неверное равенство! Можно сделать вывод при решении простых уравнений: В уравнении можно перенести какое-нибудь слагаемое, изменив его знак на противоположный Например, х+4=6. Перенесём 4, изменив знак на противоположный, т.е. х=6-4=2. Противоположное для 4 число -4. Ставим или убираем минус. Мы так и поступали, но понимая под таким углом, решать легче. Попробуйте сами и вы в этом убедитесь.
7) х+5=15-х Перенесём -х в другую сторону, то есть 2х+5=15(знак умножения отбрасывают для сокращения). 2х=10, х=5(Почему так, это позже)

Уравнения с умножением и делением.
Рассмотрим простой пример:
1) 2х=10
Он был у нас недавно. Теперь мы объясним это. Мы можем обе части поделить на 2: 2х:2=10:2, х=5. В умножении всё аналогично сложению. Мы делаем то же самое. В уравнении можно перенести какой-нибудь множитель, изменив его знак на взаимно-обратный Как это понять? Например, перенеся 2 на ту сторону получим 1:2. 2:1 и 1:2- взаимно-обратны. Иногда 1: не обязательно. В 2х=10, 2 переносим, изменяя знак, получим- х=10х1:2. Мы просто поменяли знак. Если стоит знак деления, т.е., х:4, то мы переставим, поставив знак умножения.
2)х:6=12:6 переносим, изменяя знак на противоположный. Тогда, 12х6=72. х=72 Часто в уравнении важно не только умение решения, но и опыта при счёте
3)21162:х=705,4 Здесь надо использовать логические соображения. Как в сложении, можно х перенести к 705,4, получим новое уравнение 705,4х=21162, х=21162:705,4=30. Не надо бояться чисел и уравнения. Например, уравнение большое, но на самом деле, оно такое лёгкое, надо просто его решить. Или например большие числа. Замените их на мелкие числа, вы сразу поймёте как решать. Потом замените на исходные и сосчитайте. Если уж вообще тяжело, воспользуйтесь калькулятором.
4) х+х+5+х+4+х+х+5+х+х+х+6+1+х=102 Здесь мы просто соединим иксы и числа:х+х+х+х+х+х+х+х+х+5+5+4+6+1=9х+21 Дальше, 21 перенесём, 102-21=81, получим 9х=81, х=81:9=9
Теперь рассмотрим ещё один пример:
5)20х-6=51+12 Сложим 51 и 12, 51+12=63. Теперь 6 перенесём, 63+6=69. х=69:20. Но 69 на 20 не делится. Поэтому нам можно оставить так, но лучше, 690:2:100=345:100=3,45. :100 мы определили по логическим соображениям.
6)4:х=2хПеренесём:х на ту сторону, получим, 2хх=4, х на х=2. В таком случае, ответ будет корень из 2, но этого вам пока не надо:
Ответ: корень из 2

Упрощение переноса.
Возьмём к примеру, уравнение а+х=б. В таком случае, «а» переносим на ту сторону, получаем х=б-а. То же самое мы могли сделать, чтобы найти а. Другой пример: х-а=б. Тогда а переносим на ту сторону, т.е., х=б+а. Если а-х=б, то мы х можем перенести на ту сторону, т.е, а=х+б. Это мы рассмотрели. Теперь уберём б, тогда, х=а-б.
В умножении и делении рассуждения аналогичны. Чтобы найти слагаемое, надо отнять от суммы другое(другие) слагаемые. (Например, 3+х=6. 3- другое слагаемое, поэтому от суммы 6 отнимаем 3)
Чтобы найти уменьшаемое, надо сложить все остальные числа. (Например, х-6=3. 6 и 3 складываем, так как они- остальные числа)
Чтобы найти вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность. (Например, 6-х=3. 6- уменьшаемое, 3- частное. Поэтому, х=6-3)

Так же дела обстоят, когда много чисел. К примеру, 5-х-у+3=12. Чтобы найти х, а это вычитаемое, надо сначала найти уменьшаемое. Это не 5, как многие думают. Объединим всё в 1 кучу, т.е., (5+3-у)-х=12, х=5+3-у-12 Кстати, нахождение вычитаемого самое сложное, но вы к этому привыкните.

1) х:3у=12. Чтобы найти х, надо всё остальное перемножить. Это как сложение, просто мы меняем знаки действий аналогично: х=3у Х 12= 36у.
2) 2у:(х+1)=4м х+1- это как один х, но с зависимыми числами, по типу причастного или деепричастного оборота. Найти оборот можно как обычно: х+1=2у:4м, х=0,5у:м-1 (Мы здесь сократили. Желательно сокращать, где можно, так ведь легче решать)Раскрытие скобок и вынос за скобки
Мы уже решали, переносили. Но иногда приходится сталкиваться с другими проблемами решения уравнений.
1) 4+(х-5)=12 Если перед скобками +, то скобки можно опустить:
4+х-5=12-1+х=12х=13
Хоть здесь и надо было решить не обязательно так. Но это мы сделали ради примера. Но если стоит минус:4-(х-5) Тогда мы тоже раскрываем, но знаки внутри скобок станут противоположными:4-х+5 Почему так происходит? Это надо разбирать. Пусть у нас 12-(3+5)=4. Мы будем поочерёдно вычитать, сначала 12-3, потом 12-3-5, таким образом, мы раскрыли скобки. А если 12-(3-5)=14? Тогда мы можем прибавить к обеим частям (3-5). У нас получится:12=14+(3-5). Тогда мы просто уберём: 14+3-5 и получим верное равенство. Это получается из-за переноса и перемены знак на противоположный. С другой стороны, при 12-(3-5). Мы можем сначала прибавить 5, это даже по смыслу понятно, 3-5+5. Потом остаётся отнять 3: 12+5-3. Но это то же самое, что и 12-3+5. Таким образом, в этом нетрудно разобраться. Это действительно и при многих числах. К примеру, -(х+у-2+4+6-2а+3б)= -х-у+2-4-6+2а-3б. Решим к примеру:
2) 5+х-(х+2)=2+х Это легко сделать, раскрыв скобки:5+х-х+2=2+х2+х=7, х=5

Таким образом, у нас свойства:
1) От перестановки слагаемых сумма не меняется(при пересмтановки множителей тоже)
2) При раскрытии скобок с вычитанием все знаки в скобках меняются на противоположные(при раскрытии деления то же самое, только меняется на взаимно обратные) Теперь познакомимся с такой вещью, как распределительное свойство. К примеру, как решить 5х-2х=12? В таком случае, приводят подобные слагаемые, т.е., коэффициенты 5 и 2 объединяются:(5-2)х=12

Как это сделали? Удивительно? Но это практически самое основное правило математики. На нём держатся практически все задачи. Рассмотрим. У нас 2 группы бутылок в 2 ряда. В 1 группе 5 штук, во второй, 3. Но мы можем вторую группу подставить к первой, тогда у нас будет 8 бутылок в 2 ряда. Но это и есть то самое свойство:5+5+3+3. По первому свойству, поменяем слагаемые: 5+3+5+3= (5+3)+(5+3). Вот и всё.

3) Распределительное свойство умножения- ах+бх= (а+б)х и наоборот3) 3(4+х)+5(4+х). Сократить:(3+5)(4+х)= 8(4+х)= 32+8х Таким образом, мы ещё облегчили решение уравнений.Линейные уравнения Мы рассмотрели многие свойства и преобразования. Теперь покажем общий вид уравнений, с которыми часто сталкиваются, и их придётся решать.
Это базовая основа. Линейные уравнения вида ах+б=0 или ах+б=сх+д Покажем примеры:
1) 4х+12=20 Переносим 12 или по свойству: 4х=20-12=8, х=2
Таким образом, решение уравнения ах+б=с таково: х=(с-б):а
2) 12-40х=25 Поставим так: -40х+12=25, теперь х= (25-12):(-40)= -13:40=-0,325
3) 5х+2=7х-7 Здесь желательно переносить с иксами на 1 сторону, с числами- на другую, чтобы сокращать. Лучше всё делать по очереди и переносить так, чтобы избежать отрицательных чисел.2=7х-5х-7=2х-7, далее -7: 2+7=2х, 2х=9, х=4,5

Задачи.
Часто в задачах всё решается через уравнения. Любая задача- это своего рода уравнения, корни которого- какая-то величина.
1) Вася за 3 дня вспахал на 6 аров меньше, чем за 5 дней. Найти, сколько вспахал. С первого взгляда кажется, что задача нерешима, т.е., в ней недостаточно данных. На самым деле, нужно просто уметь составлять математическую модель. Пусть х- это вспахано у Васи: 5х и 3х. 3х меньше 5х на 5, т.е., 3х+5=5х. Решаем это уравнение и получим, х=2,5 аров. Задача решена.
2) У Васи марок на 10 больше, чем у Пети. Но вместе у них 40 марок. Найти, сколько марок у каждого. Пусть у Пети х марок, тогда у Васи х+10, т.е., на 10 больше. Вместе, т.е., х+(х+10)=40, решаем соответствующее уравнение: 2х=30, х=15- это у Пети. У Васи 15+10=25 Иногда приходится сталкиваться с большими количествами переменных, но и там часто применяются линейные методы. Здесь мы это не будем рассматривать.
3) У Васи и у Пети 30 машинок. Но у Сени тоже есть машинки, и если Вася отдаст Сене 5 машинок, то у Сени будет машинок вдвое больше, чем у Васи. Но если Петя отдаст ещё 5 машинок, то тогда у Сени будет втрое больше, чем у Васи. Найти, сколько машинок у каждого. Создадим несколько переменных: х-Вася, у-Петя, а-Сеня. Тогда получится система, в которой нужно найти общие решения.х+у=30а+5=2(х-5)а+5+5=3(х-5) В таком случае выражают 1 переменную через другую и решают уравнения. Но иногда применяются и другие методы. Видим, что с прибавлением 5 к Сене, у нас получилось прибавление и х-5. Тогда, 5=х-5, а х=10. у=30-10=20. Итак, у Васи 10, у Пети 20. Сеню найти легко, подставив значения. а+5=2(х-5). х-5=5, тогда: а+5=2Х5=10, а=5Ответ: у Васи 10, у Пети 20, у Сени 5. Теперь посмотрим ещё 1 сложный вариант:
4) Сумма цифр трёхзначного числа 9. Если убрать последнюю цифру, и поменять цифры местами в оставшемся двузначном числе, то получится, что оно на 9 меньше, чем прежнее двузначное. А если убрать первую цифру, а остаток тоже поменять местами, то получится на 45 больше. Найти это число. Попробуйте решить эту задачу самостоятельно. Если вы сможете, то вы уже умеете хорошо решать уравнения и составлять математическую модель. Но вы, в принципе, можете посмотреть, как решать. Пусть х,у,з- это цифры. Тогда, у нас снова наподобие системы, получим данные:х+у+з=9ух+9=хууз+45=зу Начать можно методом пушики. Мы будем подбирать такие числа, что ух+9=ху. У нас есть:12 и 21, 23 и 32, 34 и 43, 45 и 54 и т.д. Мы заметили, что разница между цифрами в 1, т.е., 1+1=2 и 2-1=1 и т.п. Из этого можно заменить у, как х-1,т.е.,х+х-1+з=9, 2х+з=10Теперь посмотрим возможные варианты с плюсованием 45. Для этого втора цифра больше первой, имеем: 16 и 61, 27 и 72, 38 и 83, 49 и 94. Из этих вариантов следует, что вторая цифра на 5 больше, т.е., у+5=з., но у=х-1. Мы получили, что з=х-1+5=х+4. Тогда:2х+х+4=10, 3х=6, х=2. х-1=1, х+4=6. Получаем число 216. Ответ: 216

Линейные неравенства.
В заключении, покажем, что же такое линейные неравенства. Это похоже на уравнение, но х тут меньше или больше чего-то. В неравенствах действуют такие же принципы, что и в уравнениях. Обе части можно складывать, умножать, возводить и т.п. К примеру:
1)x+4 4х-2Здесь мы можем получить, что 5х+4>4х, и х+4>0. Переносим и получаем, что х больше -4 В неравенствах действуют все свойства линейных уравнений Надо учитывать, что есть и сложные неравенства, которые решаются по другому. Также, как и уравнения, неравенства могут не иметь решений, или иметь любые решения.
3)х+4 х Ещё один интересный случай. Заметим, что если перенести х на ту часть, то получится, что х больше нуля.
5)аХа

Решение простых уравнений. 5 класс

Уравнение - это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Корень уравнения - это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.
Решить уравнение - значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Решив уравнение, всегда после ответа записываем проверку.

Информация для родителей

Решение уравнений на сложение и вычитание

Как найти неизвестное
слагаемое

Как найти неизвестное
уменьшаемое

Как найти неизвестное
вычитаемое

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x = 6
Проверка

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Проверка

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Проверка

Решение уравнений на умножение и деление

Как найти неизвестный
множитель

Как найти неизвестное
делимое

Как найти неизвестный
делитель

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

y · 4 = 12
y = 12: 4
y = 3
Проверка

y: 7 = 2
y = 2 · 7
y = 14
Проверка

8: y = 4
y = 8: 4
y = 2
Проверка

Уравнения 5 класса

Сегодня мы рассмотрим более сложные уравнения 5 класса, содержащие несколько действий. Чтобы найти неизвестную переменную, в таких уравнениях надо применить не одно, а два правила.

1) x:7+11=21

Выражение, стоящее в левой части - сумма двух слагаемых

Таким образом, переменная x является частью первого слагаемого. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое:

Получили простое уравнение 5 класса, из которого надо найти неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель:

2) 65-5z=30

Правая часть уравнения представляет собой разность:

Переменная z является частью неизвестного вычитаемого. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность:

Получили простое уравнение, в котором z - неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:

3) 120:y-23=17

В правой части уравнения - разность. Переменная y является частью неизвестного уменьшаемого.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое:

Здесь y - неизвестный делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное:

4) (48+k) ∙ 8=400

Левая часть уравнения представляет собой произведение. Переменная k - часть первого множителя:

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:

В новом уравнении k - неизвестное слагаемое:

Здесь мы решали уравнения 5 класса без использования свойств сложения и вычитания. В 6 классе правила раскрытия скобок упрощаются, и решать такие уравнения становится проще.

182 Comments

Спасибо огромное самый лучший сайт где я искала уравнения

Спасибо Вам за труды! Все изложено настолько доступно, что мой сын сказал, что Вы «классный» учитель. Простите за цитату, но прочитав Ваши разъяснения, он все понимает. Хотя до этого, в 5 классе, все это проходил, но недопонимал.

Спасибо Вам, Наталья, за теплые слова!

как решить x(x+4)=77

В 5 классе я могу только посоветовать угадать корни этого уравнения. Можно рассуждать так: 77=7х11. Поэтому один из множителей должен равняться 7, другой - 11. Поскольку х+4 больше, чем х, то х=7.
Позже Вы узнаете, что это уравнение - квадратное, и корней у него два. Второй корень - число отрицательное, в 5 классе их еще не учат. (Второй корень х=-11).

как решить такое уравнение??144-(х:11+21)*5=14 спасибо

144 - уменьшаемое, (х:11+21)*5 - вычитаемое, 14 - разность. х - элемент неизвестного вычитаемого. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность: (х:11+21)*5=144-14, отсюда (х:11+21)*5=130. В новом уравнении х:11+21 - 1й множитель, 5 - 2й множитель, 130 - произведение. х - элемент неизвестного первого множителя. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х:11+21=130:5, отсюда х:11+21=26. В новом уравнении х:11 - 1-е слагаемое, 21 - 2-е слагаемое, 26 - сумма. х - элемент 1-го слагаемого. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое: х:11=26-21, х:11=5. В этом уравнении х - делимое, 11 - делитель, 5 - частное. Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное: х=5∙11, х=55. Ответ: 55.
Полезно проверить себя: 144-(55:11+21)∙5=144-(5+21)∙5=144-26∙5=144-130=14. Верно.

Я закінчила 5 клас. Мені 11 років. І мені дуже подобається розв’язувати рівняння. Я розв’язала всі рівняння які давали Вам і в мене все вийшло як і у Вас. Дякую.

помогите решить 4x-x=8.7

Приводим подобные слагаемые в левой части уравнения:
3х=8,7
Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
х=8,7:3
х=2,9

как решить такое уравнение:
(5.4у + 8.3) * 2.1= 23.1

(5,4у + 8,3) * 2,1= 23,1
(5,4у + 8,3) - неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:
5,4у + 8,3 = 23,1:2,1
5,4у + 8,3 =11
Чтобы найти неизвестное слагаемое 5,4y, надо из суммы вычесть известное слагаемое:
5,4у=11-8,3
5,4у=2,7
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на этот множитель:
у=2,7:5,4
у=0,5
При решении уравнений с десятичными дробями удобно сначала избавиться от запятой. Как это сделать, постараюсь рассказать на днях.

У меня такая же проблема. Только там где стоит умножение у меня вычитание

Как решить вот это уравнение?
(5.4у + 8.3) - 2.1 = 23.1

Я считаю что там где стоит ‘вычитание’ должно быть ‘умножение’
Задание на печатала сама учительница, поэтому всё должно быть правильно. Но решить не получается.
Помогите пожалуйста, заранее спасибо

(5.4у + 8.3) - 2.1 = 23.1
Ищем неизвестное уменьшаемое:
5.4у + 8.3 = 23.1 + 2.1
5.4у + 8.3 = 25.2
Теперь найдем неизвестное слагаемое:
5.4у = 25.2 - 8.3
5.4у =16.9
Осталось найти неизвестный множитель:
y=16.9/5/4
y=169/54
и выделить из неправильной дроби целую часть
y=3 7/54

Помогите решить:
14y-2y+76=100

Степан, 14y и 2y - подобные слагаемые. Значит, их можно вычесть: 14y-2y=12y.
Тогда в уравнении 12y+76=100 12y - неизвестное слагаемое. Найдите 12y как неизвестное слагаемое. После этого в произведении 12y ищите y как неизвестный множитель.

Алина, сумму в правой часто можно найти: (18-х)+10=56
Между скобками и 10 стоит «+», значит, выражение в скобках - неизвестное слагаемое: 18-х=56-10; 18-х=46. Остается найти неизвестное вычитаемое х: х=18-46; х=-28.

Выражение в скобках, 5x-7 - делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное: 5x-7=528:16; 5x-7=33. 5x - уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое: 5x=33+7; 5x=40. Остается найти неизвестный множитель: x=40:5; x=8.

как решить такое уровнение 11у+32у-127=45

Сначала нужно привести подобные слагаемые: 11у+32у-127=45; 43y-127=45. 43y - неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое: 43y=45+127; 43y=172. Чтобы найти неизвестный множитель y, нужно произведение разделить на известный множитель: y=172:43; y=4.

спасибо вам, Светлана.

День добрый. Помогите пожалуйста решить уравнение (9x+7)*y=45x+y. Спасибо!

Сергей, это уравнение - с двумя переменными (x и y). Нужно или еще одно уравнение (чтобы количество неизвестных было не больше количества неизвестных), либо какие-либо дополнительные условия.

Помогите как решать подобные уравнения - 7х-26,7-2х.ну так, к примеру, а то нигде нет. Заранее спасибо. сайт очень полезный

Даша, это уравнение - с подобными слагаемыми. Постараюсь написать отдельный пост по решению таких уравнений.
P.S. Здесь:http://www.for6cl.uznateshe.ru/uravneniya-s-podobnymi-slagaemymi/

помогите как решить это уравнение 10x+x+1=4*(x+x+1)

Это - линейное уравнение.
Сначала следует привести подобные слагаемые:11x+1=4*(2x+1). Затем - раскрыть скобки: 11x+1=8x+4. Теперь неизвестные переносим в одну сторону, известные - в другую, изменив при этом их знаки:11x-8x=4-1. Упрощаем:3х=3. Теперь обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом: х=3:3, х=1.

не могу понять, Светлана Иванова, помогите..5(14+b)+6b=158… вроде делаю как Вы изложили, да видать не усвоил))) распишите еще раз)))

Аскар, сначала раскройте скобки: 70+5b+6b=158. Это - уравнение с подобными слагаемыми, как раз недавно речь о таких уравнениях велась. После приведения подобных слагаемых получаем 70+11b=158. А дальше - все, как обычно: 11b - неизвестное слагаемое, 11b=158-70, 11b=88. b - неизвестный множитель, b=88:11? b=8.

Как решить такое уравнение: (19*700):70+(850+х)=6000:50 Заранее спасибо!

Сначала уравнение надо упростить: 19*(700:70)+(850+х)=6000:50; 19*10+(850+х)=120; 190+(850+х)=120.Здесь можно пойти двумя путями: либо раскрыть скобки, либо выражение в скобках рассматривать как неизвестное слагаемое. Например, 190+850+х=120;
1040+x=120;x=120-1040; х=-920.

Здравствуйте! А как решить x ÷ 9 = x ÷ 5? Если не сложно?!)

Это линейное уравнение. Неизвестные слагаемые переносим в одну сторону, известные - в другую, изменив при этом их знаки: x-x=5-9; 0x=-4. Это уравнение не имеет корней.

Ваше решение правильное (если уже прошли дроби). Вариант с использованием основного свойства пропорции: 5х=9х; 5х-9х=0; -4х=0, х=0 - легче, но пропорцию еще не учили.

помогите, пожалуйста как решить эту задачу,
заранее спасибо!
Паук и муха сидят на противоположных вершинах куба. Паук может ползти по ребру куба и по диоганали грани куба. Сколько существует вариантов движения паука к мухе?

Здравствуйте. Светлана помогите решить эту задачу, если не сложно.
Паук и муха сидят на противоположных вершинах куба. Паук может ползти по ребру куба и по диагоналиграни куба. Сколько существует вариантов движения паука и мухе?

Здравствуйте помогите разобрать уравнение 5а + 5 *14= 8 * м - 8 *15

Алексей, уточните, пожалуйста условие. У Вас в условии 2 переменные.

Помогите пожалуйста решить!
9(143-13х)=234

Между 9 и выражением в скобках стоит знак «∙» (хотя его не пишут). Значит, левая часть - это произведение. Чтобы найти неизвестный множитель (143-13х), надо произведение разделить на известный множитель: 143-13х=234:9;143-13х=26.
143-13х - разность. Чтобы найти неизвестное вычитаемое 13х, надо из уменьшаемого вычесть разность:13х=143-26;13х=117.
13х - произведение. Чтобы найти неизвестный множитель x, произведение делим на известный множитель: х=117:13; х=9.

Помогите решить- 88000:110+x=809

Упрощаем: 800+x=809 и находим неизвестное слагаемое x=809-800,x=9.

Помогите не могу решить уравнение 5-х*х=1
Надо срочно!

Помогите решить уравнение (надо очень срочно) 5-х*х=1

5-x²=1. Здесь x² - неизвестное вычитаемое. Чтобы его найти, надо из уменьшаемого вычесть разность:x²=5-1, x²=4. Квадрат какого числа равен 4? 2. Если уже прошли отрицательные числа, то еще и -2. То есть x=2 и x=-2.

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить уравнение 5(а-2)+3(а+3)

Здравствуйте, Ангелина! Вы забыли указать, чему равно это выражение.

помогите решить уравнение 13(х+6)-72=123

13(х+6) - неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, нужно к разности прибавить вычитаемое: 13(х+6)=123+72, 13(х+6)=195.Теперь ищем неизвестный множитель (х+6). Для этого надо произведение разделить на известный множитель:х+6=195:13, х+6=15. Осталось найти неизвестное слагаемое x=15-6, x=9.

Это уравнение в 5 классе? В 6 классе я бы посоветовала умножить обе части уравнения на 7. Получаем 7x+x=224∙7, 8x=1568, x=1568:8, x=196.

(8Х+24):5:4+6- неизвестный делитель, следовательно, делимое делим на частное: (8Х+24):5:4+6=10:1, (8Х+24):5:4+6=10.
(8Х+24):5:4 - неизвестное слагаемое, из суммы вычитаем известное слагаемое: (8Х+24):5:4=10-6, (8Х+24):5:4=4.
(8Х+24):5 - неизвестное делимое, следовательно, частное умножаем на делитель: (8Х+24):5=4∙4, (8Х+24):5=16.
Далее ищем неизвестное делимое: 8Х+24=16∙5, 8Х+24=80; неизвестное слагаемое 8Х=80-24, 8Х=56; и неизвестный множитель:
x=56:8, x=7.

Условие было таким.Одно из чисел в 7 раз меньше другого. Найдите эти числа, если их сумма равна 224? Это задача 5 класса.

Ольга, при решении задач всегда лучше брать за x то, что меньше. В Вашей задаче примем за x меньшее число, тогда большее - 7x. Так как их сумма равна 224, имеем уравнение: 7x+x=224, 8x=224, x=224:8, x=28.
Значит, меньшее число рано 28, а большее - 7∙28=196.
Как видите, так проще.

Помогите решить уравнение, пожалуйста!

97+75:(50-5х)=300:3, 97+75:(50-5х)=100,
75:(50-5х)=100-97, 75:(50-5х)=3,
50-5х=75:3,50-5х=25,
5х=50-25,5х=25,
х=25:5, х=5.

Спасибо Вам огромное, Светлана Ивановна! В жизни бы не догадалась, как поступить проще.

Пожалуйста, Ольга!
Только Светлана Иванова?

Помогите решить уравнение 2х+8+4х=20

помогите решить уравнение 4 целых 2 девятых + (16 целых 5 девятых - x) = 15 целых 1 девятая - 8 целых 7 девятых

4 2/9 +(16 5/9 - x)=15 1/9 - 8 7/9
15 1/9 - 8 7/9=14 10/9 - 8 7/9=6 3/9.
4 2/9 +(16 5/9 - x)=6 3/9
16 5/9 - x=6 3/9 - 4 2/9
16 5/9 - x=2 1/9
x=16 5/9 - 2 1/9
x=14 4/9

здравствуйте помогите решить уравнение (2х-200):13-1=123

и пожалуйста ещё уравнение очень нужно помогите (321+х)45-85=77

(321+х)∙45-85=77
(321+х)∙45=77+85
(321+х)∙45=162
321+х=162:45
321+х=3,6
х=3,6-321
х=-317,4

(2х-200):13-1=123
(2х-200):13=123+1
(2х-200):13=124
2х-200=124∙13
2х-200=1612
2х=1612+200
2х=1812
x=1812:2
х=906

помогите решить уравнение (476-х):31=320:31

(476-х):31=320:31
476-х=320
х=475-320
х=155

как объяснить ребенка переход от первой строки ко второй? куда исчезло деление на 31?

Два числа разделили на одно и то же число 31, получили равные результаты. Следовательно, эти числа равны между собой.

Здравствуйте,Светлана.Помогите пожалуйста решить уравнение. 123+у=357- 85

123+у=357- 85
123+у=272
у=272-123
у=149
Антон, это уравнение Вы вполне могли бы решить самостоятельно. Все необходимые подсказки и пояснения на сайте есть. Постарайтесь разобраться.

Помогите решить такое уравнение:
7.5x-2.46x=78.3+124.56

Сначала упрощаем обе части уравнения:
5,04x=202,86
Затем ищем неизвестный множитель:
x=202,86:5,04
x=20286:504
x=40,25

Помогите решить уравнение
2,4x+x+9,1=38

Сначала упрощаем левую часть уравнения
3,4х+9,1=38. Затем ищем неизвестное слагаемое:3,4х=38-9,1; 3,4х=28,9. Затем - неизвестный множитель: х=28,9:3,4; х=8,5.

Светлана добрый день. Читал Ваши коментарии, очень понравилось как Вы объясняете. Объясните пожалуйста как решить задачу и составить уравнение по ней: во дворе находятся куры и ягнята. Известно, что ягнят в три раза меньше, чем кур. Количество ног кур и ягнят составляет 40. Сколько во дворе кур и сколько ягнят? Заранее спасибо.

Нурлан, здравствуйте!
Пусть во дворе х ягнят, тогда кур - 3х. У каждого ягненка 4 ноги, значит, у всех ягнят ног 4х. У каждой курицы 2 ноги, поэтому у всех кур ног 3х∙2=6х. Всего ног у кур и ягнят 4х+6х, что по условию задачи равно 40. Составим и решим уравнение:4х+6х=40; 10х=20; х=4. Значит, во дворе 4 ягненка и 3∙4=12 кур.

как решить такое уравнение? 27(n-27)=27?

27(n-27)=27
Чтобы раскрыть неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:
n-27=27:27
n-27=1. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность:
n=27+1
n=28.

Светлана добрый день, помогите пожалуйста объяснить ребенку в пятом классе как решить задачу: Чашка кофе с сахаром стоит 1.10$, кофе стоит дороже сахара на 1$, сколько стоит сахар. Вот проблема в том что уравнения с двумя неизвестными они еще не проходили.

Извините, не всегда получается ответить вовремя, увы.
Пусть сахар стоит x $, тогда кофе - (x+1) $. Следовательно, чашка кофе с сахаром стоит x+(x+1) $, что по условию задачи равно 1.10 $ Составляем уравнение и решаем его:
x+(x+1)=1,1
x+x+1=1,1
2x=1,1-1
2x=0,1
x=0,1:2
x=0,55
Значит, сахар стоит 0,55 $. Если десятичные дроби еще не проходили, нужно цены сразу же перевести в центы.

Как решить уравнения 29х-15х+16=100
Пожалуйста помогите

14х+16=100
14х=100-16
14х=84
x=84:14
x=6.

www.for6cl.uznateshe.ru

Решение уравнений

На данном уроке подробно рассмотрены способы решения уравнений. Объяснены способы решения уравнений, как методом подбора, так и с учетом взаимосвязи компонентов действий сложения и вычитания.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

Введение понятия «уравнение»

Определим, что такое «уравнение».

Правильный ответ: уравнение – это математическое равенство, которое содержит неизвестное число. Неизвестное число обозначают буквами латинского алфавита.

Найдем среди данных записей уравнения.

первая запись – это равенство, но в нем отсутствуют буквы латинского алфавита, значит, она не является уравнением;

вторая запись – это неравенство, поэтому не соответствует определению уравнения;

третья запись – это математическое равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой латинского алфавита, значит, является уравнением;

четвертая запись не является равенством, значит, это не уравнение.

Введение понятия «корень уравнения»

Что значит «решить уравнение»?

Правильный ответ: решить уравнение – значит найти такое числовое значение неизвестного, при котором равенство будет верным.

В математике говорят: решить уравнение – это значит найти корень уравнения.

Решение уравнение способом подбора

Из чисел 2, 5, 8, 11 выберем для каждого уравнения такое значение х, при котором получится верное равенство.

В первое уравнение 18-х =10 подставим первое число 2. Получаем: 18-2=10. Это равенство нельзя назвать верным. Значит, число 2 не является корнем данного уравнения. Подставим в это уравнение число 5. Получаем: 18-5=10. Это равенство также нельзя назвать верным. Значит, число 5 тоже не является корнем данного уравнения. Подставим в это уравнение число 8. Получаем: 18-8=10. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 8 является корнем данного уравнения.

Продолжаем рассуждать. В уравнение 2 + х = 7 подставим первое число 2. Получаем: 2+2=7. Это равенство нельзя назвать верным. Значит, число 2 не является корнем данного уравнения. Подставим в это уравнение число 5. Получаем: 2+5=7. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 5 является корнем данного уравнения.

2-9=2, но 2 меньше, чем 9, поэтому вычитание мы выполнить не сможем. Нужно попробовать подставить в уравнение число, которое больше, чем 9. подставим число 11. Получаем: 11-9=2. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 11 является корнем данного уравнения.

Найдем корень последнего уравнения. Подставим число 2 в уравнение х+8=10. Получаем: 2+8=10. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 2 является корнем данного уравнения.

Данные уравнения мы решали способом подбора. Это способ не всегда бывает удобным. Уравнения можно решать и другим способом, но для этого нужно знать, как связаны между собой компоненты действий при сложении и вычитании.

Решение уравнений на основе знаний связи компонентов действий сложения и вычитания

Проверим себя. Как найти неизвестные компоненты?

а) чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

б) чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть значение разности.

в) чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к значению разности прибавить вычитаемое.

Обратим внимание: если мы умеем находить слагаемые, уменьшаемое и вычитаемое, можно решать уравнения другим способом.

Решим уравнения с объяснением.

Рассуждаем так. В уравнении 64 + d =82 выполняется сложение. В уравнении известно первое слагаемое – 64 и значение суммы – 82. Неизвестно второе слагаемое. Вспомним правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Запишем.

Корень уравнения – 18. Проверим: 64+18=64+10+8=82. 82=82. Это верное равенство. Делаем вывод: если равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

В уравнении b — 36 = 40 выполняется вычитание. В уравнении известно вычитаемое – 36 и значение разности – 40. Неизвестно уменьшаемое. Вспомним правило: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к значению разности прибавить вычитаемое. Запишем.

Корень уравнения – 76. Проверим: 76-36=76-30-6=40. 40=40. Это верное равенство. Делаем вывод: если равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

В уравнении 82 — k = 5 выполняется вычитание. В уравнении известно уменьшаемое – 82 и значение разности – 5. Неизвестно вычитаемое. Вспомним правило: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть значение разности. Запишем.

Корень уравнения – 77. Проверим: 82-77=82-70-7=5. 5=5. Это верное равенство. Делаем вывод: если равенство верное, значит, уравнение решено правильно

Решение уравнений, соответствующих предложенной схеме

Выберем уравнения, которые соответствуют схеме, и найдем числовое значение х (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к заданию

Будем рассуждать. На данной схеме мы видим целое – 16, части – 2 и х.

Попробуем подобрать уравнение.

Рассмотрим уравнение х-2=16. В этом уравнении х – уменьшаемое, то есть самое большое число. Но на схеме самое большое число – 16, значит, это уравнение для данной схемы не подходит.

Рассмотрим второе уравнение 2+х=16. Видим, что 2 – это первое слагаемое, х – второе слагаемое. Из двух слагаемых получается целое – 16. Делаем вывод: данное уравнение к схеме подходит.

Решим его, найдем корень уравнения. Неизвестно второе слагаемое. Вспомним правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Запишем.

Рассмотрим третье уравнение 16-х=2. На схеме видим, что уменьшаемое 16 – это целое, х – вычитаемое (одна часть), 2 – значение разности (вторая часть). Делаем вывод: данное уравнение к схеме подходит.

Решим его, найдем корень уравнения. Вспомним правило: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть значение разности. Запишем.

Сегодня на уроке мы решали уравнения способом подбора и на основе знания связи компонентов действий при сложении и вычитании.

Список литературы

Уравнение - это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Корень уравнения - это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.
Решить уравнение - значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Решив уравнение, всегда после ответа записываем проверку.

Информация для родителей

Решение уравнений на сложение и вычитание

Как найти неизвестное
слагаемое

Как найти неизвестное
уменьшаемое

Как найти неизвестное
вычитаемое

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x = 6
Проверка

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Проверка

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Проверка

Решение уравнений на умножение и деление

Как найти неизвестный
множитель

Как найти неизвестное
делимое

Как найти неизвестный
делитель

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

y · 4 = 12
y = 12: 4
y = 3
Проверка

y: 7 = 2
y = 2 · 7
y = 14
Проверка

8: y = 4
y = 8: 4
y = 2
Проверка

Порядок решения линейных уравнений

Привести подобные слева и справа от знака равенства, получив равенство вида ax = b .

Вычислить корень уравнения (найти неизвестное х из равенства x = b : a ),

Выполнить проверку, подставив неизвестное в заданное уравнение.

Если получим тождество в числовом равенстве, то уравнение решено верно.

Особые случаи решения уравнений

Если уравнение задано произведением, равным 0, то для его решения используем свойство умножения: «произведение равно нулю, если один из сомножителей или оба сомножителя равны нулю».

27 (x - 3) = 0
27 не равно 0, значит x - 3 = 0

У второго примера два решения уравнения, так как
это уравнение второй степени:

Найти общий знаменатель;

Определить дополнительные множители для каждого члена уравнения;

Привести подобные члены;

Основные свойства уравнений

В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.

Обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же число, кроме 0.

В примере выше для решения уравнения были использованы все его свойства.

Уравнения на умножение

1) Формировать умение строить алгоритм на примере построения алгоритма решения простых уравнений на умножение, формировать умение использовать построенный алгоритм при решении уравнения.

2) Тренировать вычислительный навык, решать текстовые задачи.

Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: анализ, синтез, сравнение, аналогия.

1 этап. Мотивация к учебной деятельности

1) мотивировать учащихся к учебной деятельности,

2) определить содержательные рамки урока.

Организация учебного процесса на этапе 1:

— Какую тему мы сейчас изучаем на уроках математики? (Умножение и деление)

— В каких заданиях применяем эти действия? (В решении примеров, задач)

— Хотите узнать, какие еще есть задания, в которых мы можем использовать эти действия? (Да)

Ребята, посмотрите, кто сегодня пришел к нам на урок? Вы их узнали? Что вы знаете об этих героях? (…)

(Появляются знаки вопроса). Что происходит? Колобки озадачены и расстроены. Они хотели выполнить задание, а у них впервые не получилось. Они не знают, как открывать новые знания. Поможем? (…)

А можно ли приниматься за работу с таким настроением, как у колобков? (Нельзя, не будет результата)

Давайте улыбнемся друг другу и пожелаем удачи! Ну что же, будем действовать по плану открытия нового знания. Вам он хорошо знаком.

2 этап. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии

1) актуализация изученных способов действий, достаточных для построения, их вербальная и знаковая фиксация и обобщение;

2) актуализация мыслительных и познавательных процессов, достаточных для построения нового знания;

3) мотивация к пробному учебному действию и его самостоятельному осуществлению;

4) фиксация учащимися индивидуальных затруднений в выполнении пробного учебного действия или его обосновании.

Организация учебного процесса на этапе 2:

1) Актуализация формул нахождения площади и неизвестной стороны прямоугольника.

С чего начнем? (С повторения). Мы должны повторить все, что знаем? (Нет, только то, что нам пригодится для открытия нового знания)

— Что нужно найти в этом задании? (Площадь прямоугольника)

— Как найти площадь прямоугольника? (Чтобы найти площадь прямоугольника, надо длину умножить на ширину)

Появляется формула площади.

Учащиеся выполняют задание.

— Чему равна площадь? (18 кв. м)

— Кто получил другой ответ?

— В чем ваша ошибка?

— Как найти неизвестную сторону прямоугольника? (Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника надо площадь разделить на известную сторону)

— Появляется формула нахождения неизвестной стороны прямоугольника.

— Составьте обратную задачу, в которой нужно найти длину прямоугольника (…)

— Запишем решение обратной задачи.

Ученик, составивший обратную задачу, решает ее на доске: 18:3=6(м) – длина

— Теперь составьте другую обратную задачу.

Ученик, составивший обратную задачу, решает ее на доске: 18:6=3 (м) – ширина

У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с повторением. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (? и +).

2) Актуализация алгоритма решения уравнений на сложение и вычитание.

— Запишите: сумма Х + 5 равна 7. Как можно назвать эту запись? (Уравнение)

— Что такое уравнение? (Равенство, в котором есть неизвестное число, называют уравнением)

— Что поможет нам решить это уравнение? (Эталон решения уравнений на сложение)

Один ученик у доски с комментированием. (Обозначу компоненты уравнения, подчеркну части, целое (сумму) обведу. Вижу, что неизвестна часть. Чтобы найти неизвестную часть, надо из суммы вычесть известную часть.

— Почему мы повторили именно это? (Это пригодится нам для открытия нового знания)

— Какой следующий шаг? (Пробное действие) Для чего оно нужно? (Чтобы понять, чего мы не знаем)

Учитель раздает учащимся карточки с заданием для пробного действия:

— Какое задание нужно выполнить? (Решить уравнение)

— С каким действием? (С умножением)

— А что нового в этом задании? (Мы не решали уравнения на умножение)

Попробуйте выполнить это задание. (30 сек.)

— Кто не выполнил задание?

Что вы не смогли сделать? (Мы не смогли решить уравнение)

— Кто нашел корень уравнения? Какие результаты у вас получились?

Учитель фиксирует результаты на доске рядом с пробным действием

— Обоснуйте свое мнение.

Что вы не можете сделать? (Мы не можем обосновать свой ответ.)

У вас возникло. (затруднение). Поставим… (знак вопроса) рядом с пробным действием на маршрутном листе.

— Какой следующий шаг на уроке? (Разобраться, в чем у нас затруднение)

— А раз возникло затруднение, надо…(Остановиться и подумать)

3 этап. Выявление места и причины затруднения

1) восстановить выполненные операции и зафиксировать место затруднения;

2) соотнести свои действия с используемым способом действий и на этой основе выявить и зафиксировать во внешней речи причину затруднения.

Организация учебного процесса на этапе 3:

— Какое задание вы должны были выполнить? (Мы должны были решить уравнение на умножение)

— Как рассуждали, выполняя пробное действие? (Пытались воспользоваться известным алгоритмом решения уравнений …)

— В чем затруднение? (Алгоритм не подходит)

Почему же возникло затруднение? (У нас нет способа для решения уравнений на умножение)

Вы поняли, чего вы не знаете? (Да). Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с третьим шагом.

4 этап. Построение проекта выхода из затруднения

1) согласовать и зафиксировать цель и тему урока;

2) построить план и определить средства достижения цели.

Организация учебного процесса на этапе 4:

— Мы поняли, чего мы не знаем, теперь можем… (Сами открывать способ)

Сначала нужно поставить цель. Если вы не знаете способа решения уравнений на умножение, значит, ваша цель… (Открыть способ решения таких уравнений)

— Сформулируйте тему нашего урока (…)

Написать тему на доске:

— Будем действовать, как настоящие сыщики. Составим план действий. Слайд

— Давайте подумаем, что нам может помочь. Вспомните, вы повторили в самом начале урока. (Алгоритм решения уравнений на сложение, формулу нахождения площади)

— Какая формула может нам помочь? (Формула нахождения площади и неизвестной стороны прямоугольника)

— Пробуем применить формулу площади прямоугольника.

— Предлагаю воспользоваться известным вам алгоритмом решения уравнений на сложение.

Алгоритм.

Выделяю целое и части.
Что неизвестно?
Применяю правило.
Нахожу неизвестное х.
Что в этом алгоритме вам явно не подходит? (1 пункт)
Когда у вас были уравнения на сложение, вы их компоненты соотносили с частями и целым, используя отрезки. А с чем вы соотносили компоненты умножения? (С площадью)
Что будете использовать вместо отрезка? (Моделью прямоугольника)

Заменим п.1 на Обозначим компоненты уравнения на модели прямоугольника.

— Остальные пункты алгоритма вам подходят?

— Используя этот алгоритм, можно попробовать решить уравнение?

— Что сделаем, чтобы было удобно пользоваться этим правилом всегда? (Запишем правило в общем виде)

Запишем правило в общем виде.

— Какими средствами будем пользоваться?

Пробуем применить формулу площади прямоугольника…

Средства: модель прямоугольника, алгоритм.

5 этап. Реализация построенного проекта

1) реализовать построенный проект в соответствии с планом;

2) зафиксировать способы записи выражений на эталоне;

3) организовать фиксацию преодоления затруднения;

4) организовать уточнение общего характера нового знания.

Организация учебного процесса на этапе 5:

Я предлагаю поработать вам в группах. Назовите правила работы в группах.

Правила работы в группах

1. В группе должен быть ответственный.

2. Один говорит, другие слушают.

3. Свое несогласие высказывать вежливо..

4. Работать должны все.

Учащиеся объединяются в группы.

— Выполните план в группах.

Ответственный от каждой группы получает задание.

1. Воспользуюсь моделью прямоугольника, нанесу компоненты уравнения на модель.

2. Применю правило площади прямоугольника. (Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника надо площадь разделить на известную сторону)

3. Найду корень уравнения

Мы обозначили на модели прямоугольника числа. Видно, что неизвестна сторона прямоугольника. Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника, надо площадь разделить на известную сторону. Выполнили вычисления и нашли корень уравнения, х=5.

— Что осталось сделать по плану? (Записать уравнение в общем виде)

— Как записать уравнение в общем виде? (С помощью букв латинского алфавита)

— Как обозначите в уравнении числа, которые являются сторонами прямоугольника? (Подчеркнем)

— Число, которое является площадью, предлагаю взять в прямоугольник, почему это удобно? (Напоминает о формуле, которой мы пользуемся)

— Нужно ли будет составлять другой эталон для случая, где х стоит на месте другого множителя? (Нет)

— Почему? (Можно воспользоваться переместительным свойством умножения)

— Как проверить свое открытие? Какие ключи к знаниям у нас есть? (Посмотреть в учебнике)

Откройте учебники на стр.1. Прочитайте правило.

Молодцы! Вы помогли колобкам. Слайд (аплодисменты).

Давайте теперь вернемся к пробному действию.

Дописать необходимое на доске.

Смогли вы преодолеть затруднение? (Да). Поставим себе знак + на маршрутном листе.

На обычной доске под шагом “Сам найду способ” прикрепить новые эталоны.

Что вы теперь сможете делать с помощью новых знаний? (Решать уравнения)

6 этап. Первичное закрепление

1) организовать усвоение детьми нового способа действий при решении уравнений на умножение с их проговариванием во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 6:

1) Фронтальная работа. На доске левая часть-алгоритм, правая – уравнение+модель.

2) 4 · х=8; 3 · х=9; х · 4=12.

3) Учитель открывает на доске задание на закрепление. Учащиеся по цепочке выходят к доске и выполняют задание с комментированием. Вариант комментирования:

— Сначала обозначу площадь прямоугольника квадратом, а стороны подчеркну. В данном уравнении неизвестна сторона прямоугольника. Значит, надо площадь прямоугольника разделить на известную сторону. Восемь разделить на 4 будет 2, х равен 2.

Дальнейшее выполнение задания комментируется аналогично.

Физминутка гимнастика для глаз.

Мы немного отдохнём. и на всё ответ найдём.
На носочки встанем, руки вверх потянем.
Руки на пояс, наклоны вперёд.
Теперь попрыгаем, и сядем на места!

Сейчас все отдохнули, и новая забота:

Нужно сделать на “отлично” парную работу.

Учитель раздает карточки с заданием для работы в парах.

Учащиеся выполняют задания в парах с комментированием. Проверка организуется по образцу Д-7.

— Проверьте свои результаты.

Исправьте ошибки. У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с 5-м шагом. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (? и +)

— Какой следующий шаг на уроке? (Проверить себя, справимся ли мы самостоятельно)

7 этап. Самоконтроль с самопроверкой по эталону

1) тренировать способность к самоконтролю и самооценке;

2) проверить умение решать уравнения на умножение.

Организация учебного процесса на этапе 7:

— Выполните данные уравнения самостоятельно. Учащиеся выполняют самостоятельную работу на карточках

— Проверка организуется по эталону Д-8.

— Сделайте вывод. (Нужно еще потренироваться.)

— Сделайте вывод. (Мы все хорошо усвоили.)

— У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с 5-м шагом. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (? и +).

8 этап. Включение в систему знаний и повторение

1) включить новое знание в систему знаний;

2) тренировать умение решать задачи.

Организация учебного процесса на этапе 8:

— Что нужно знать, чтобы правильно решать уравнения на умножение? (Таблицу умножения и деления, формулу площади). Предлагаю вам решить задачу №4 стр.2.

Учащиеся выполняют задание. Проверка организуется по образцу Д-9.

— Кто из вас ошибся?

— В чем ошибка? (В выборе правила, в вычислениях, …)

9 этап. Рефлексия учебной деятельности на уроке

Цели:

1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

2) оценить свою работу и работу класса на уроке;

4) наметить направления будущей учебной деятельности;

3) обсудить домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе 9:

— Какую цель вы перед собой ставили? (…)

— Достигли ли вы цели? (Докажите)

— Я предлагаю вам оценить свою работу на уроке. Посмотрите еще раз на свои планы урока, посмотрите, сколько у вас плюсов.

— На обычной доске изображение колобков по отдельности. Один улыбается. Те из вас, кто считает, что понял и запомнил новую тему, возьмите восклицательные знаки и прикрепите их рядом с улыбающимся Колобком. Те, кто в чем-то еще не уверен, у кого остались вопросы, кто допустил ошибки в самостоятельной работе – прикрепите вопросительный знак рядом с серьезным Колобком. Вы потренируетесь и обязательно преодолеете свое затруднение.

— Вы сегодня очень хорошо поработали, но значит ли это, что больше не надо тренироваться? (Надо выполнить домашнюю работу)

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Решение уравнений умножением

Неизвестная величина может быть связана с известной величиной не только знаком + или -, но может быть разделена на какую-нибудь величину, как в этом уравнении: $\frac = b$.

Здесь решение не может быть найдено, как в предыдущих примерах, переносом члена уравнения. Но если оба члена уравнения умножить на a, уравнение примет вид
$x = ab.$

То есть, знаменатель дроби в левой части сокращается. Это может быть доказано свойствами дробей.

Когда неизвестная величина разделена на известную величину, уравнение решается путем умножения каждой стороны на эту известную величину.

Те же самые переносы должны быть сделаны в этом случае, как и в предыдущих примерах. Однако надо помнить, что умножать необходимо каждый член уравнения.

Пример 1. Решите уравнение $\frac + a = b + d$
Умножаем обе стороны на $c$
Произведение будет $x + ac = bc + cd$
И $x = bc + cd — ac$.

Пример 1. Решите уравнение $\frac + d = h$
Умножаем на $a + b$ $x + ad + bd = ah + bh$.
И $x = ag + bh — ad — bd.$

Когда неизвестное значение находится в знаменателе дроби, уравнение решается похожим способом, то есть умножением уравнения на знаменатель.

Пример 3. Решите уравнение $\frac + 7 = 8$
Умножая на $10 — x$ $6 + 70 — 7x = 80 — 8x$
Тогда $x = 4$.

Хотя это и не обязательно , но часто очень удобно избавиться от знаменателя дроби, состоящего только из известных величин. Это можно сделать, похожим способом, когда избавляются от знаменателя, включающего в себя неизвестную величину.

Возьмем для примера $\frac = \frac + \frac $
Умножаем на a $x = \frac + \frac $
Умножаем на b $bx = ad + \frac $
Умножаем на c $bcx = acd + abh$.

Или, мы можем умножить на произведение всех знаменателей сразу.

В этом же самом уравнении $\frac = \frac + \frac $
Умножаем члены на abc $\frac = \frac + \frac $

После сокращения каждого одинакового значения в одной дроби, получим $bcx = acd + abh$, как и в предыдущем варианте. Отсюда,

В уравнении можно избавиться от дробей , умножая каждую сторону уравнения на все знаменатели .

При избавлении от дробей в уравнении необходимо соблюдать правильность написания знаков и коэффициентов каждой дроби в процессе раскрытия скобок

Карточка-шпаргалка «Решение уравнений. Как найти неизвестное», умножение и деление, 11х20 см

Характеристики
Описание
Задать вопрос
Оставить отзыв

Общие
Торговая марка Атмосфера праздника
Артикул 1060173
Сертификат Не подлежит сертификации
Страна Россия
Упаковка и фасовка
В боксе 2000 шт
Фасовка по 20 шт
Индивидуальная упаковка Без упаковки
Размер упаковки 0,1 см × 6 см × 13 см
Габариты и вес
Размер 0,1 см × 7 см × 13 см
Вес 3 г
Особенности
Плотность, г/м² 190
Отделка Без отделки
Для кого Унисекс
Тематика праздника Без повода
Адресат Без адресата
Материал Картон
Школьный предмет Математика

Россия входит в десятку самых читающих стран мира! Интерес к чтению у наших соотечественников растёт из года в год, что не может не радовать, ведь это прекрасная и очень полезная привычка.

Изучая различную литературу, вы можете получить очень много ценной информации, расширить кругозор, словарный запас и стать эрудированным. Кроме того, книга - это отличный способ расслабиться и с удовольствием провести время. Пусть Карточка-шпаргалка «Решение уравнений. Как найти неизвестное», умножение и деление, 11х20 см станет очередным полезным изданием в вашей коллекции.

Сима-ленд вправе самостоятельно и без уведомления пользователей отбирать вопросы для публикации. Мы не размещаем вопросы, которые:

не относятся к тематике работы магазина, осуществлению покупок в нём;
содержат ненормативную лексику, высказывания оскорбительного характера;

Мы не публикуем вопросы, в которых содержатся:

ссылки на другие веб-сайты, а также упоминания конкретных продавцов и импортёров товаров;

Сима-ленд оставляет за собой право удалить опубликованный вопрос в любое время, а также самостоятельно определять срок, в течение которого вопросы считаются актуальными и на который они публикуются в рамках сайта Сима-ленд.

Мы не принимаем на себя обязательств сообщать пользователям о причинах отклонения вопросов и удаления ранее опубликованных вопросов.

Если пользователь задаёт вопрос, он соглашается получать уведомления от сайта Сима-ленд о новых ответах на свои вопросы.

Сима-ленд вправе самостоятельно и без уведомления пользователей отбирать отзывы для публикации. Мы не размещаем отзывы, которые:

не относятся к реальному опыту использования данного товара;
не содержат полезной информации для других пользователей;
содержат ссылки на другие веб-сайты.

Мы не публикуем подборки и обзоры товаров, в которых содержатся:

ссылки на другие веб-сайты в тексте подборки и обзора, а также упоминания конкретных продавцов и импортёров товаров;
утверждения, порочащие честь, достоинство и деловую репутацию третьих лиц (в том числе магазинов, производителей и импортёров товаров);
материалы (в том числе в виде текста, видео, графических изображений, кода), нарушающие права третьих лиц, в том числе права на результаты интеллектуальной деятельности и средства индивидуализации.

Сима-ленд оставляет за собой право удалить опубликованный отзыв, подборку и обзор товаров в любое время, а также самостоятельно определять срок, в течение которого отзывы считаются актуальными и на который они публикуются в рамках сайта Сима-ленд.

Мы не принимаем на себя обязательств сообщать пользователям о причинах отклонения публикации и удаления ранее опубликованных отзывов, оценок, подборок и обзоров товаров.

Если пользователь отвечает на отзыв или вопрос к нему, он соглашается получать уведомления от сайта Сима-ленд о новых ответах на свои комментарии.

www.sima-land.ru

Программа летнего оздоровительного лагеря с дневным пребыванием детей Составители: Пилипей О.Н. (1 кв.категория) Мелентьева И.Н. (1 кв. категория) Демидова О.Б. (1 кв. категория) Возраст детей: 5 -15 лет Срок […]
Как в налоговом учете отразить продажу основных средств При продаже основных средств оформите первичные учетные документы, утвержденные постановлением Госкомстата России от 21 января 2003 г. № 7 (ст. 2, 5, […]
Налог на проценты по вкладам: придется платить? Налоги на проценты по вкладам физических лиц в России действуют и сегодня. В каких случаях клиент должен заплатить налоги с процентных доходов по депозитам? С […]

В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.

Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

Линейное уравнение — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:

Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:

Раскрыть скобки, если они есть;
Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0\cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0\cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.

А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

Примеры решения уравнений

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
Затем свести подобные
Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Схема решения простейших линейных уравнений

Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

Раскрываем скобки, если они есть.
Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
Приводим подобные слагаемые.
Разделяем все на коэффициент при «иксе».

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Задача №1

\[\frac{6x}{6}=-\frac{72}{6}\]

Вот мы и получили ответ.

Задача №2

В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:

Приведем подобные:

При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.

Задача №3

Третье линейное уравнение уже интересней:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Выполняем второй уже известный нам шаг:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Посчитаем:

Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:

\[\frac{2x}{x}=\frac{0}{2}\]

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.

Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

Решение сложных линейных уравнений

Пример №1

Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:

Теперь займемся уединением:

\[-x+6{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+x=-12\]

Приводим подобные:

Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:

\[\varnothing \]

или корней нет.

Пример №2

Выполняем те же действия. Первый шаг:

Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:

Приводим подобные:

Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:

\[\varnothing \],

либо корней нет.

Нюансы решения

Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое . Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

Решение ещё более сложных линейных уравнений

То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

Задача №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21{{x}^{2}}=3\]

Давайте перемножим все элементы в первой части:

Давайте выполним уединение:

Приводим подобные:

Выполняем последний шаг:

\[\frac{-4x}{4}=\frac{4}{-4}\]

Задача №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:

Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:

\[-3x-4x+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}+6x=-1\]

Приводим подобные слагаемые:

Мы вновь получили окончательный ответ.

Нюансы решения

Об алгебраической сумме

Решение уравнений с дробью

Раскрыть скобки.
Уединить переменные.
Привести подобные.
Разделить на коэффициент.

Избавиться от дробей.
Раскрыть скобки.
Уединить переменные.
Привести подобные.
Разделить на коэффициент.

Пример №1

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)}{4}={{x}^{2}}-1\]

Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4}{4}=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

Теперь раскроем:

Выполняем уединение переменной:

Выполняем приведение подобных слагаемых:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac{-4x}{-4}=\frac{-1}{-4}\]

Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Пример №2

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)}{5}+{{x}^{2}}=1\]

Здесь выполняем все те же действия:

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5}{5}+{{x}^{2}}\cdot 5=5\]

\[\frac{4x}{4}=\frac{4}{4}\]

Задача решена.

Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

Знать алгоритм решения линейных уравнений.
Умение раскрывать скобки.
Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Решение простых линейных уравнений. Линейные уравнения

Информация для родителей

Решение уравнений на сложение и вычитание

Решение уравнений на умножение и деление

Порядок решения линейных уравнений

Особые случаи решения уравнений

Основные свойства уравнений

Правило решений простых уравнений

Линейные уравнения.

Решение линейных уравнений. Примеры.

Особые случаи при решении линейных уравнений.

Если Вам нравится этот сайт.

Решение линейных уравнений 7 класс

Свойство № 1или правило переноса

Свойство № 2 или правило деления

Как решить уравнение, если « x » отрицательное

Решение простых линейных уравнений

Примеры решения уравнений

Схема решения простейших линейных уравнений

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Решение сложных линейных уравнений

Нюансы решения

Решение ещё более сложных линейных уравнений

Об алгебраической сумме

Решение уравнений с дробью

Ключевые моменты

Порядок решения линейных уравнений

Особые случаи решения уравнений

Основные свойства уравнений

Способы решения простых уравнений

Решение простых уравнений. 5 класс

Информация для родителей

Решение уравнений на сложение и вычитание

Решение уравнений на умножение и деление

Уравнения 5 класса

182 Comments

Решение уравнений

Введение понятия «уравнение»

Введение понятия «корень уравнения»

Решение уравнение способом подбора

Решение уравнений на основе знаний связи компонентов действий сложения и вычитания

Решение уравнений, соответствующих предложенной схеме

Информация для родителей

Решение уравнений на сложение и вычитание

Решение уравнений на умножение и деление

Порядок решения линейных уравнений

Особые случаи решения уравнений

Основные свойства уравнений

Уравнения на умножение

1 этап. Мотивация к учебной деятельности

2 этап. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии

3 этап. Выявление места и причины затруднения

4 этап. Построение проекта выхода из затруднения

5 этап. Реализация построенного проекта

6 этап. Первичное закрепление

7 этап. Самоконтроль с самопроверкой по эталону

8 этап. Включение в систему знаний и повторение

9 этап. Рефлексия учебной деятельности на уроке

Решение уравнений умножением

Карточка-шпаргалка «Решение уравнений. Как найти неизвестное», умножение и деление, 11х20 см

Примеры решения уравнений

Схема решения простейших линейных уравнений

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Задача №1

Задача №2

Задача №3

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Решение сложных линейных уравнений

Пример №1

Пример №2

Нюансы решения

Решение ещё более сложных линейных уравнений

Задача №1

Задача №2

Нюансы решения

Об алгебраической сумме

Решение уравнений с дробью

Пример №1

Пример №2

Свойство № 1
или
правило переноса

Свойство № 2
или
правило деления