Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Уже в начале 2 тысячелетия до н. э. Вавилоняне умели решать системы таких уравнений с двумя переменными. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником для нас является «Арифметика» Диофанта, содержащая различные типы уравнений. В ней Диофант (по его имени и название уравнений – диофантовы уравнения) предвосхищает ряд методов исследования уравнений 2-ой и 3-ой степеней, развившихся только в 19 веке.
Простейшие диофантовы уравнения ах + ву = 1(уравнение с двумя переменными, первой степени) х2 + у2 = z2 (уравнение с тремя переменными, второй степени)
Наиболее полно изучены алгебраические уравнения, их решение было одной из важнейших задач алгебры в 16-17 вв.
К началу 19 века трудами П. Ферма, Л. Эйлера, К. Гаусса было исследовано диофантово уравнение вида: ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0, где a, в, с, d, e, f числа; х, у неизвестные переменные.
Это уравнение 2-ой степени с двумя неизвестными.
К. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм, являющуюся основой решения некоторых типов уравнений с двумя переменными (диофантовых уравнений). Существует большое число конкретных диофантовых уравнений, решаемых элементарными способами. /p>
Теоретический материал.
В этой части работы будут описаны основные математические понятия, даны определения терминов, сформулирована теорема о разложении с использованием метода неопределенных коэффициентов, которые были изучены и рассмотрены при решении уравнений с двумя переменными.
Определение 1: Уравнение вида ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0, где a, в, с, d, e, f числа; х, у неизвестные переменные называется уравнением второй степени с двумя переменными.
В школьном курсе математики изучается квадратное уравнение ах2+вх +с=0 , где а,в,с числа х переменная, с одной переменной. Существует много способов решения такого уравнения:
1. Нахождение корней, используя дискриминант;
2. Нахождение корней для четного коэффициента в (по Д1=);
3. Нахождение корней по теореме Виета;
4. Нахождение корней с помощью выделения полного квадрата двучлена.
Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что их нет.
Определение 2: Корень уравнения – это число, которое при подстановке в уравнение образует верное равенство.
Определение 3: Решение уравнения с двумя переменными называется пара чисел (х,у) при подстановки которых в уравнение, оно превращается в верное равенство.
Процесс разыскивания решений уравнения очень часто заключается обычно в замене уравнения равносильным уравнением, но более простым при решении. Такие уравнения называются равносильными.
Определение 4: Два уравнения называются равносильными, если каждое решение одного уравнения является решением другого уравнения, и наоборот, причем оба уравнения рассматриваются в одной и той же области.
Для решения уравнений с двумя переменными используют теорему о разложении уравнения на сумму полных квадратов (методом неопределенных коэффициентов).
Для уравнения второго порядка ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0 (1) имеет место разложение а(х +ру +q)2 + r(y+s)2 +h (2)
Сформулируем условия, при которых имеет место разложение (2) для уравнения (1) двух переменных.
Теорема: Если коэффициенты а,в,с уравнения (1) удовлетворяют условиям а0 и 4ав – с20, то разложение (2) определяется единственным способом.
Другими словами уравнение (1) с двумя переменными можно с помощью метода неопределенных коэффициентов привести к виду (2), если выполнены условия теоремы.
Рассмотрим на примере, как реализуется метод неопределенных коэффициентов.
СПОСОБ №1. Решить уравнение методом неопределенных коэффициентов
2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 0.
1. Проверим выполнение условия теоремы, а=2, в=1, с=2, значит, а=2,4ав – с2= 4∙2∙1- 22= 40.
2. Условия теоремы выполнены, можно разложить по формуле (2).
3. 2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 2(х + py + q)2 + r(y +s)2 +h, исходя из условий теоремы обе части тождества равносильны. Упростим правую часть тождества.
4. 2(х + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(х2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2х2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).
5. Приравниваем коэффициенты при одинаковых переменных с их степенями.
х2 2 = 2 у21 = 2p2 + r) ху2 = 4p х2 = 4q у0 = 4pq + 2rs х01 = 2q2 + rs2 + h
6. Получим систему уравнений, решим ее и найдем значения коэффициентов.
7. Подставим коэффициенты в (2), тогда уравнение примет вид
2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 2(х + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0
Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению
2(х + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), это уравнение равносильно системе двух линейных уравнений.
Ответ: (-1; 1).
Если обратить внимание на вид разложения (3), то можно заметить, что оно по форме идентично выделению полного квадрата из квадратного уравнения с одной переменной: ах2 + вх + с = а(х +)2 +.
Применим этот прием при решении уравнения с двумя переменными. Решим с помощью выделения полного квадрата уже решенное с использованием теоремы квадратное уравнение с двумя переменными.
СПОСОБ №2: Решить уравнение 2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 0.
Решение: 1. Представим 2х2 в виде суммы двух слагаемых х2 + х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 0.
2. Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было свернуть по формуле полного квадрата.
(х2 + у2 + 2ху) + (х2 + 2х +1)= 0.
3. Выделим полные квадраты из выражений в скобках.
(х + у)2 + (х + 1)2 = 0.
4. Данное уравнение равносильно системе линейных уравнений.
Ответ: (-1;1).
Если сравнить результаты, то видно, что уравнение, решенное способом №1 с использованием теоремы и методом неопределенных коэффициентов и уравнение, решенное способом №2, с помощью выделения полного квадрата имеют одинаковые корни.
Вывод: Квадратное уравнение с двумя переменными можно разлагать на сумму квадратов двумя способами:
➢ Первый способ – это метод неопределенных коэффициентов, в основе которого лежит теорема и разложение (2).
➢ Второй способ – с помощью тождественных преобразований, позволяющих выделить последовательно полные квадраты.
Конечно же, при решении задач второй способ является предпочтительнее, т. к. не требует запоминания разложения (2) и условия.
Этот метод можно применять и для квадратных уравнений с тремя переменными. Выделение полного квадрата в таких уравнениях более трудоемко. Такого вида преобразованиями я буду заниматься в следующем году.
Интересно заметить, что функцию, имеющую вид: f(х,у)= ах2 + вху + су2 + dx + ey + f, называют квадратичной функцией двух переменных. Квадратичным функциям принадлежит важная роль в различных разделах математики:
В математическом программировании (квадратичное программирование)
В линейной алгебре и геометрии (квадратичные формы)
В теории дифференциальных уравнений (приведение линейного уравнения второго порядка к каноническому виду).
При решении этих различных задач, приходится, по сути, применять процедуру выделения полного квадрата из квадратного уравнения (одной, двух и более переменных).
Линии, уравнения которых, описываются квадратным уравнением двух переменных, называются кривыми второго порядка.
Это окружность, эллипс, гипербола.
При построении графиков этих кривых так же используется метод последовательного выделения полного квадрата.
Рассмотрим, как работает метод последовательного выделения полного квадрата на конкретных примерах.
Практическая часть.
Решить уравнения, методом последовательного выделения полного квадрата.
1. 2х2 + у2 + 2ху + 2х + 1 = 0; х2 + х2 + у2 + 2ху + 2х + 1 = 0;
(х +1)2 + (х + у)2 = 0;
Ответ:(-1;1).
2. х2 + 5у2 + 2ху + 4у + 1 = 0; х2 + 4у2 + у2 + 2ху + 4у + 1 = 0;
(х + у)2 + (2у + 1)2 = 0;
Ответ:(0,5; - 0,5).
3. 3х2 + 4у2 - 6ху - 2у + 1 = 0;
3х2 + 3у2 + у2 – 6ху – 2у +1 = 0;
3х2 +3у2 – 6ху + у2 –2у +1 = 0;
3(х2 - 2ху +у2) + у2 - 2у + 1 = 0;
3(х2 - 2ху + у2)+(у2 - 2у + 1)=0;
3(х-у)2 + (у-1)2 = 0;
Ответ:(-1;1).
Решить уравнения:
1. 2х2 + 3у2 – 4ху + 6у +9 =0
(привести к виду: 2(х-у)2 + (у +3)2 = 0)
Ответ: (-3; -3)
2. – 3х2 – 2у2 – 6ху –2у + 1=0
(привести к виду: -3(х+у)2 + (у –1)2= 0)
Ответ: (-1; 1)
3. х2 + 3у2+2ху + 28у +98 =0
(привести к виду: (х+у)2 +2(у+7)2 =0)
Ответ: (7; -7)
Заключение.
В данной научной работе были изучены уравнения с двумя переменными второй степени, рассмотрены способы их решения. Поставленная задача выполнена, сформулирован и описан более краткий способ решения, основанный на выделении полного квадрата и замене уравнения на равносильную систему уравнений, в результате упрощена процедура нахождения корней уравнения с двумя переменными.
Важным моментом работы является то, что рассматриваемый прием применяется при решении различных математических задач связанных с квадратичной функцией, построением кривых второго порядка, нахождением наибольшего (наименьшего) значения выражений.
Таким образом, прием разложения уравнения второго порядка с двумя переменными на сумму квадратов имеет самые многочисленные применения в математике.
В курсе математики 7 класса впервые встречаются с уравнениями с двумя переменными , но изучаются они лишь в контексте систем уравнений с двумя неизвестными. Именно поэтому из поля зрения выпадает целый ряд задач, в которых на коэффициенты уравнения введены некоторые условия, их ограничивающие. Кроме того, остаются без внимания и методы решения задач типа «Решить уравнение в натуральных или целых числах», хотя в материалах ЕГЭ и на вступительных экзаменах задачи такого рода встречаются все чаще и чаще.
Какое уравнение будет называться уравнением с двумя переменными?
Так, например, уравнения 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 или xy = 12 являются уравнениями с двумя переменными.
Рассмотрим уравнение 2x – y = 1. Оно обращается в верное равенство при x = 2 и y = 3, поэтому эта пара значений переменных является решением рассматриваемого уравнения.
Таким образом, решением любого уравнения с двумя переменными является множество упорядоченных пар (x; y), значений переменных, которые это уравнение обращают в верное числовое равенство.
Уравнение с двумя неизвестными может:
а) иметь одно решение. Например, уравнение x 2 + 5y 2 = 0 имеет единственное решение (0; 0);
б) иметь несколько решений. Например, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 имеет 4 решения: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);
в) не иметь решений. Например, уравнение x 2 + y 2 + 1 = 0 не имеет решений;
г) иметь бесконечно много решений. Например, x + y = 3. Решениями этого уравнения будут являться числа, сумма которых равна 3. Множество решений данного уравнения можно записать в виде (k; 3 – k), где k – любое действительное число.
Основными методами решения уравнений с двумя переменными являются методы, основанные на разложении выражений на множители, выделение полного квадрата, использование свойств квадратного уравнения, ограниченности выражений, оценочные методы. Уравнение, как правило, преобразовывают к виду, из которого можно получить систему для нахождения неизвестных.
Разложение на множители
Пример 1.
Решить уравнение: xy – 2 = 2x – y.
Решение.
Группируем слагаемые с целью разложения на множители:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Из каждой скобки вынесем общий множитель:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Имеем:
y = 2, x – любое действительное число или x = -1, y – любое действительное число.
Таким образом, ответом являются все пары вида (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.
Равенство нулю неотрицательных чисел
Пример 2.
Решить уравнение: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Решение.
Группируем:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Теперь каждую скобку можно свернуть по формуле квадрата разности.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, только если 3x – 2 = 0 и 2y – 3 = 0.
А значит, x = 2/3 и y = 3/2.
Ответ: (2/3; 3/2).
Оценочный метод
Пример 3.
Решить уравнение: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Решение.
В каждой скобке выделим полный квадрат:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Оценим 
значение выражений, стоящих в скобках.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 и (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, тогда левая часть уравнения всегда не меньше 2. Равенство возможно, если:
(x + 1) 2 + 1 = 1 и (y – 2) 2 + 2 = 2, а значит x = -1, y = 2.
Ответ: (-1; 2).
Познакомимся с еще одним методом решения уравнений с двумя переменными второй степени. Этот метод заключается в том, что уравнение рассматривается как квадратное относительно какой-либо переменной .
Пример 4.
Решить уравнение: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Решение.
Решим уравнение как квадратное относительно x. Найдем дискриминант:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Уравнение будет иметь решение только при D = 0, т. е. в том случае, если y = 4. Подставляем значение y в исходное уравнение и находим, что x = 3.
Ответ: (3; 4).
Часто в уравнениях с двумя неизвестными указывают ограничения на переменные .
Пример 5.
Решить уравнение в целых числах: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Решение.
Перепишем уравнение в виде x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Правая часть полученного уравнения при делении на 5 дает в остатке 2. Следовательно, x 2 не делится на 5. Но квадрат числа, не делящегося на 5, дает в остатке 1 или 4. Таким образом, равенство невозможно и решений нет.
Ответ: нет корней.
Пример 6.
Решить уравнение: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Решение.
Выделим полные квадраты в каждой скобке:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Левая часть уравнения всегда больше или равна 3. Равенство возможно при условии |x| – 2 = 0 и y + 3 = 0. Таким образом, x = ± 2, y = -3.
Ответ: (2; -3) и (-2; -3).
Пример 7.
Для каждой пары целых отрицательных чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, вычислить сумму (x + y). В ответе указать наименьшую из сумм.
Решение.
Выделим полные квадраты:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Так как x и y – целые числа, то их квадраты также целые числа. Сумму квадратов двух целых чисел, равную 37, получим, если складываем 1 + 36. Следовательно:
(x – y) 2 = 36 и (y + 2) 2 = 1
(x – y) 2 = 1 и (y + 2) 2 = 36.
Решая эти системы и учитывая, что x и y – отрицательные, находим решения: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Ответ: -17.
Не стоит отчаиваться, если при решении уравнений с двумя неизвестными у вас возникают трудности. Немного практики, и вы сможете справиться с любыми уравнениями.
Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с двумя переменными?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Линейное уравнение с двумя переменными - любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с. Здесь x и y есть две переменные, a,b,c - некоторые числа.
Ниже представлены несколько примеров линейных уравнений.
1. 10*x + 25*y = 150;
Как и уравнения с одним неизвестным, линейное уравнение с двумя переменными (неизвестными) тоже имеет решение. Например, линейное уравнение x-y=5, при x=8 и y=3 превращается в верное тождество 8-3=5. В таком случае говорят, что пара чисел x=8 и y=3 является решением линейного уравнения x-y=5. Еще можно говорить, что пара чисел x=8 и y=3 удовлетворяет линейному уравнению x-y=5.
Решение линейного уравнения
Таким образом, решением линейного уравнения a*x + b*y = с, называется, любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Обратите внимание, как здесь записана пара чисел х и у. Такая запись короче и удобнее. Следует только помнить, что на первом месте в такой записи стоит значение переменной х, а на втором - значение переменной у.
Обратите внимание на то, что числа x=11 и y=8, x=205 и y=200 x= 4.5 и y= -0.5 тоже удовлетворяют линейному уравнению х-у=5, а следовательно являются решениями этого линейного уравнения.
Решение линейного уравнения с двумя неизвестными не является единственным. Каждое линейное уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много различных решений. То есть существует бесконечно много различных двух чисел х и у, которые обращают линейное уравнение в верное тождество.
Если несколько уравнений с двумя переменными имеют одинаковые решения, то такие уравнения называются равносильными уравнениями. Следует отметить, что если уравнения с двумя неизвестными не имеют решений, то их тоже считают равносильными.
Основные свойства линейных уравнений с двумя неизвестными
1. Любое из слагаемых в уравнении можно перенести из одной части в другую, при этом необходимо изменить его знак на противоположный. Полученное уравнение будет равносильно исходному.
2. Обе части уравнения можно разделить на любое число, которое не равно нулю. В результате получим уравнение равносильное исходному.
Равенство f(х; у) = 0 представляет уравнение с двумя переменными. Решением такого уравнения является пара значений переменных, которая обращает уравнение с двумя переменными в верное равенство.
Если перед нами уравнение с двумя переменными, то в его записи в силу традиции на первое место мы должны поставить х, на второе – у.
Рассмотрим уравнение х – 3у = 10. Пары (10; 0), (16; 2), (-2; -4) являются решениями рассматриваемого уравнения, в то время как пара (1; 5) решением не является.
Чтобы найти другие пары решений данного уравнения, необходимо одну переменную выразить посредством другой – например, х через у. В результате мы получим уравнение
х = 10 + 3у. Вычислим значения х, выбрав произвольные значения у.
Если у = 7, то х = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.
Если у = -2, то х = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.
Т.о., пары (31; 7), (4; -2) также являются решениями заданного уравнения.
Если уравнения с двумя переменными имеют одинаковые корни, то такие уравнения называются равносильными.
Для уравнений с двумя переменными справедливы теоремы о равносильных преобразованиях уравнений.
Рассмотрим график уравнения с двумя переменными.
Пусть дано уравнение с двумя переменными f(х; у) = 0. Все его решения можно изобразить точками на координатной плоскости, получив некоторое множество точек плоскости. Это множество точек плоскости и называется графиком уравнения f(х; у) = 0.
Так, графиком уравнения у – х 2 = 0 является парабола у = х 2 ; графиком уравнения у – х = 0 является прямая; графиком уравнения у – 3 = 0 является прямая, параллельная оси х, и др.
Уравнение вида ax + by = c, где x и y – переменные, а a, b и c – числа, называется линейным; числа a, b называются коэффициентами при переменных, с – свободным членом.
Графиком линейного уравнения ax + by = c является:
Построим график уравнения 2х – 3у = -6.
1. Т.к. ни один из коэффициентов при переменных не равен нулю, то графиком данного уравнения будет прямая.
2. Чтобы построить прямую, нам необходимо знать минимум две ее точки. Подставим в уравнения значения х и получим значения у и наоборот:
если х = 0, то у = 2; (0 ∙ х – 3у = -6);
если у = 0, то х = -3; (2х – 3 ∙ 0 = -6).
Итак, мы получили две точки графика: (0; 2) и (-3; 0).
3.Проведем прямую через полученные точки и получим график уравнения
2х – 3у = -6.
Если линейное уравнение ax + by = c имеет вид 0 ∙ х + 0 ∙ y = c, то мы должны рассмотреть два случая:
1. с = 0. В таком случае уравнению удовлетворяет любая пара (х; у), а потому графиком уравнения является вся координатная плоскость;
2. с ≠ 0. В таком случае уравнение не имеет решения, значит, его график не содержит ни одной точки.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Нелинейные уравнения с двумя неизвестными
Определение 1 . Пусть A - некоторое множество пар чисел (x ; y ) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.
Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:
где f (x , y ) – любая функция, отличная от функции
f (x , y ) = ax +by + c ,
где a , b , c – заданные числа.
Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y ) , для которых формула (2) является верным равенством.
Пример 1 . Решить уравнение
Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений
решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .
Ответ : (6 ; 3)
Пример 2 . Решить уравнение
Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида
(1 + y ; y ) ,
где y – любое число.
линейное
Определение 4 . Решением системы уравнений
называют пару чисел (x ; y ) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.
Системы из двух уравнений, одно из которых линейное , имеют вид
g (x , y )
Пример 4 . Решить систему уравнений
Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
Решая уравнение
x 1 = - 1 , x 2 = 9 .
Следовательно,
y
1 = 8 - x
1 = 9 ,
y
2 = 8 - x
2 = - 1 .
Системы из двух уравнений, одно из которых однородное
Системы из двух уравнений, одно из которых однородное , имеют вид
где a , b , c – заданные числа, а g (x , y ) – функция двух переменных x и y .
Пример 6 . Решить систему уравнений
Решение . Решим однородное уравнение
3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,
3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,
рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :
.
В случае, когда x = - 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение
5y 2 = - 20 ,
которое корней не имеет.
В случае, когда
из второго уравнения системы (11) получаем уравнение
,
корнями которого служат числа y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .
Ответ : (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
Примеры решения систем уравнений других видов
Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)
Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:
Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что
Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:
- первое уравнение системы оставим без изменений;
- из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.
В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему
из которой находим
Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде
У системы (16) первое уравнение - линейное , поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы.