Реферат: Интегральное исчисление. Исторический очерк

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Первообразная фу нкция и неопределенный интеграл

Интегральное исчисление является второй частью курса математического анализа, непосредственно следующей за дифференциальным исчислением. Само понятие интеграла наряду с понятием производной и дифференциала является фундаментальным понятием математического анализа. Это понятие возникло, с одной стороны из потребности решать задачи на вычисление площади, длины окружности, объёма, работы переменной силы, центра тяжести и т.д., с другой - из необходимости находить функции по их производным.

В соответствии с этим возникли понятия определённого и неопределённого интегралов.

Как известно, основная задача дифференциального исчисления заключается в отыскании производной или дифференциала заданной функции.

Можно поставить обратную задачу: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x) , которая удовлетворяла условию F?(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx. Отыскание функции по заданной её производной или дифференциалу и является одной из основных задач интегрального исчисления.

К задаче восстановления функции по ее производной или дифференциалу приводят самые разнообразные вопросы математического анализа с его многочисленными приложениями в области геометрии, механики, физики, техники.

Приведём пример, с такого рода задачей мы встречаемся, когда по заданной скорости движения материальной точки v=f(t) требуется найти закон движения этой точки, то есть зависимость пройденного точкой пути s от времени t . В дифференциальном исчислении мы имели дело с обратной задачей. Там по заданному закону движения s=s(t) путем дифференцирования функции s(t) мы находили скорость v этого движения, то есть v(t)=s?(t). Следовательно, в поставленной выше задаче мы должны по данной функции v=f(t) восстановить функцию s=s(t), для которой f(t) является производной.

Определение. Функция F(х) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если в каждой точке х этого промежутка F"(x)=f(x).

Таким образом, функция s(t)- переменный путь - есть первообразная для скорости v=f(t).

Функция sin x является первообразной для функции cos x на всей оси Ох, так как при любом значении х мы будем иметь: (sin x)?=cos x.

является первообразной для функции, так как.

По геометрическому смыслу производной F"(x) есть угловой коэффициент касательной к кривой у=F(х) в точке с абсциссой х. Геометрически найти первообразную для f(х) -- значит найти такую кривую у=F(х), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f(х) заданной функции в этой точке (см. рис. 1.1).

Для заданной функции f(х) ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что функции, и вообще, где С --некоторое число, являются первообразными для функции f(х)=х2. Аналогично в общем случае, если F(х) -- некоторая первообразная для f(х), то, поскольку (Fх)+ С)"= F"(x)=f(x), функции вида F(х)+ С, где С -- произвольное число, также являются первообразными для f(х).

Геометрически это означает, что если найдена одна кривая у=F(х), удовлетворяющая условию F"(x)=tg б=f(х), то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы вновь получаем кривые, удовлетворяющие указанному условию (поскольку такой сдвиг не меняет углового коэффициента касательной в точке с абсциссой х) (см. рис. 1.1).

Остается вопрос, описывает ли выражение вида F(х)+С все первообразные для функции f(х). Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Если F1 (х) и F2 (х) -- первообразные для функции f(х) на некотором промежутке X, то найдется такое число С, что будет справедливо равенство

F2 (х)= F1 (x)+ С.

Поскольку (F2(x)-F1(x))"=F"2 (x)-F" 1 (х)=f(х)-f(х)=0, то, по следствию из теоремы Лагранжа (см. § 8.1), найдется такое число С, что F2 (х)- F1 (х)= С или F2 (х)=F1 (х)+ С

Из данной теоремы следует, что, если F(х) -- первообразная для функции f(х), то выражение вида F(х)+С, где С -- произвольное число, задает все возможные первообразные для f(х).

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(х) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначается f(x) dx, где -знак интеграла, f(х) -- подынтегральная функция, f(x)dx -- подынтегральное выражение, а переменная х - переменной интегрирования.

Итак по определению,

f(x) dx=F(x)+C (1.1)

где F(х) -- некоторая первообразная для f(х), С -- произвольная постоянная.

Таким образом, неопределённый интеграл от какой-нибудь функции представляет собой общий вид всех первообразных для этой функции.

Формула (1.1) показывает, что если известна какая-нибудь первообразная функция для f(x), то тем самым известен ее неопределенный интеграл, и, следовательно, задача отыскания какой-нибудь определенной первообразной для f(x) равносильна задаче отыскания ее неопределенного интеграла.

В этой связи естественно возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) , заданной на некотором промежутке, существует первообразная F(x) (а значит и неопределённый интеграл)? Оказывается, что не для всякой. Однако если f(x) непрерывна на каком-нибудь промежутке, то она имеет на нём первообразную (а следовательно, и неопределенный интеграл). В случае разрывной функции речь будет идти лишь об интегрировании ее в одном из промежутков непрерывности.

Например, функция имеет разрыв только при х=0. Поэтому промежутками непрерывности для неё будут (0, +?) и (-?, 0). В первом из них одной из первообразных для является ln(x). Следовательно,

Однако для х из промежутка (-?, 0) эта формула уже лишена смысла (так как ln(x) при х<0 не определён) . В этом случае одной из первообразных для будет уже не ln(x), а ln(-x), ибо

И, стало, быть,

Объединяя оба случая, мы приходим к формуле:

Восстановление функции по ее производной, или, что то же, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называют интегрированием.

Поскольку интегрирование - обратное действие по отношению к дифференцированию, то благодаря этому проверка правильности результата интегрирования осуществляется дифференцированием последовательного: дифференцирование должно дать подынтегральную функцию.

Проверить, что

Действительно, Следовательно, интеграл взят верно.

Вернёмся теперь к поставленной в начале механической задаче: к определению пройденного пути s по заданной скорости движения v=f(t). Так как скорость движущейся точки есть производная от пути по времени, то задача сводится к отысканию первообразной для функции v=f(t) . Следовательно,

Пусть для определенности нам дано, что скорость движения точки пропорционально времени t , то есть и v=at, где а - коэффициент пропорциональности. Тогда согласно формуле мы имеем:

Где С - произвольная постоянная. Мы получили бесчисленное множество решений, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое. Эта неопределенность объясняется тем, что мы не фиксировали того момента времени t , от которого отсчитывается пройденный путь s . Чтобы получить вполне определенное решение задачи, достаточно знать величину s= в какой-нибудь начальный момент времени t= - это так называемые начальные значения. Пусть, например, нам известно, что в начальный момент времени t=0 путь s=0. Тогда, полагая в равенстве t=0, s=0, находим 0=0+С, откуда С=0. Следовательно, искомый закон движения точки выражается формулой.

Интеграл и задача об определении площади. Гораздо важнее истолкование первообразной функции как площади криволинейной фигуры. Так как исторически понятие первообразной функции было теснейшим образом связано с задачей об определении площади, то мы остановимся на этой задаче уже здесь.

Пусть дана в промежутке [а, b] непрерывная функция у=f(х), принимающая лишь положительные (неотрицательные) значения. Рассмотрим фигуру ABCD ,

ограниченную кривой у = f(x), двумя ординатами х = а и х = b и отрезком оси х; подобную фигуру будем называть криволинейной трапецией. Желая определить величину площади Р этой фигуры, мы изучим поведение площади переменной фигуры AMND, заключенной между начальной ординатой х = а и ординатой, отвечающей произвольно выбранному в промежутке значению х. При изменении х эта последняя площадь будет соответственно изменяться, причем каждому x отвечает вполне определенное ее значение, так что площадь криволинейной трапеций AMND является некоторой функцией от х; обозначим ее через Р(х).

Поставим себе сначала задачей найти производную этой функции. С этой целью придадим х некоторое (скажем, положительное) приращение Дх; тогда площадь Р(х) получит приращение ДР.

Обозначим через m и М, соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции f(x) в промежутке [х,х + Дх] и сравним площадь ДР с площадями прямоугольников, построенных на основании Дх и имеющих высоты т и М. Очевидно, Дх<ДР<М Дх, откуда

Если Дх>0, то, вследствие непрерывности, т и М будут стремиться к f(x), а тогда и

Таким образом, мы приходим к теореме (обычно называемой теоремой Ньютона и Лейбниц а): производная от переменной площади P(x) по конечной абсциссе х равна конечной ординате у = f(x). Иными словами, переменная площадь Р(х) представляет собой первообразную функцию для данной функции у = f(x). В ряду других первообразных эта первообразная выделяется по тому признаку, что она обращается в 0 при х = а. Поэтому, если известна какая-либо первообразная F(x) для функции f(x),

P(x) = F(x) + C,

то постоянную С легко определить, положив здесь х = а

так что C=-F(a).

Окончательно

В частности, для получения площади Р всей криволинейной трапеции ABCD нужно взять х =b:

Р = F(b) - F(a).

В виде примера, найдем площадь Р(х) фигуры, ограниченной параболой у = ах2, ординатой, отвечающей данной абсциссе х, и отрезком оси х;

так как парабола пересекает ось х в начале координат, то начальное значение х здесь 0. Для функции f(x) = ax2 легко найти первообразную: F(x) = Эта функция как раз и обращается в 0 при х=0, так что

Ввиду той связи, которая существует между вычислением интегралов и нахождением площадей плоских фигур, т. е. квадратурой их, стало обычным и самое вычисление интегралов называть квадратурой.

Для распространения всего сказанного выше на случай функции, принимающей и отрицательные значения, достаточно условиться считать отрицательными площади частей фигуры, расположенных под осью х.

Таким образом, какова бы ни была непрерывная в промежутке [а, b] функция f(x), всегда можно представить себе первообразную для нее функцию в виде переменной площади фигуры, ограниченной графиком данной функции. Однако считать эту геометрическую иллюстрацию доказательством существования первообразной, разумеется, нельзя, поскольку самое понятие площади еще не обосновано.

2. Свойства неопределенного интегра ла

1.Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

Дифференцируя левую и правую часть равенства (2.1) , получаем:

интеграл первообразная функция производная

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: т.е. (2.2)

По определению дифференциала и свойству 1 имеем

3.Неопределенного интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

где С - произвольное число

Рассматривая функцию F(х) как первообразную для некоторой функции f(х), можно записать

и на основании (2.2) дифференциал неопределенного интеграла f(x)dx=dF(x), откуда

Сравнивая между собой свойства 2 и 3, можно сказать, что операции нах ождения неопределённого интеграла и дифференциала взаимнообратны (знаки d и взаимно уничтожают друг друга, в случае свойства 3, с точностью до постоянного слагаемого).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если б=const?0 , то

где б-- некоторое число.

Найдем производную функции:

(см. свойство 1). По следствию из теоремы Лагранжа найдется такое число С, что g(x)=С и значит. Так как сам неопределенный интеграл находится с точностью до постоянного слагаемого, то в окончательной записи свойства 4 постоянную С можно опустить.

5.Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

Действительно, пусть F(x) и G(x) - первообразные для функции f(x) и g(x):

Тогда функции F(x)±G(x) являются первообразными для функции f(x)±g(x). Следовательно,

Свойство 5 справедливо для любого конечного числа слагаемых функций.

3. Таблица основных интегралов

Приведём таблицу основных интегралов. Таблица интегралов вытекает непосредственно из определения неопределённого интеграла и таблицы производных.








	А<х<а, а>0

Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными.

Так как неопределенный интеграл не зависит от выбора переменной интегрирования, то все табличные интегралы имеют место для любой переменной.

Процесс нахождения первообразной сводится к преобразованию подынтегральной функции к табличному виду.

Простейшие интегралы могут быть найдены путем разложения подынтегральной функции на слагаемые. В состав каждого интеграла входит постоянная интегрирования, но все они могут быть объединены в одну, поэтому обычно при интегрировании алгебраической суммы функций пишут только одну постоянную интегрирования.

4 . Примеры нахождения интегралов

Существуют целые классы интегралов, которые в зависимости от постоянных сомножителей или показателей степеней могут быть найдены по обобщенным формулам интегрирования. Приведем некоторые из них.

где P(х) -- целый относительно х многочлен.

где n -- любое вещественное число п?- 1; т = 1,2,3,...

9. Если обозначить

(n = 1,2, 3,...), то

12. (n=1,2,…);

13. (п=1,2,…);

1.1. Найти интегралы:

а) Представим интеграл как сумму интегралов и воспользуемся табличными интегралами

Проверка:

т. е. производная равна подынтегральной функции.

б) Внесем первый множитель в скобки и представим интеграл в виде разности двух интегралов

в) Сделаем следующие преобразования

г) Вычтем и прибавим в числителе единицу

д) Заменим корни отрицательными степенями и представим интеграл в виде разности двух интегралов

е) Считаем, что в числителе множителем стоит тригонометрическая единица

1 = sin2 х + cos2 х, тогда

1.2. Найти интегралы:

а) Представим 9 как 32 и воспользуемся табличным интегралом (14), где а =3

б) Приведем подынтегральную функцию к виду и воспользуемся табличным интегралом (8)

в) Воспользуемся табличным интегралом (10)

г) Объединим множители в подынтегральной функции и воспользуемся табличным интегралом (4)

д) Преобразуем следующим образом

Метод интегрирования, основанный на применении свойств 4 и 5, называется методом разложения. 1.3. Используя метод разложения, найти интегралы:

Решение. Нахождение каждого из интегралов начинается с преобразования подынтегральной функции. В задачах а) и б) воспользуемся соответствующими формулами сокращенного умножения и последующим почленным делением числителя на знаменатель:

(см. табличные интегралы (2) и (3)). Обращаем внимание на то, что в конце решения записываем одну общую постоянную С, не выписывая постоянных от интегрирования отдельных слагаемых. В дальнейшем мы будем опускать при записи постоянные от интегрирования отдельных слагаемых до тех пор, пока выражение содержит хотя бы один неопределенный интеграл. В окончательном ответе тогда будет одна постоянная.

в) Преобразуя подынтегральную функцию, получим

(см. табличный интеграл (6)).

г) Выделяя из дроби целую часть, получим

(см. табличный интеграл (9)).

Литература

1. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах: В 3 т.: Т. 1..-- СПб.: Политехника, 2003.-- 703 е.: ил.

2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов-М.: ЮНИТИ, 2004-471с.

3. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов.-4-е изд. Стер.-М.: Высшая школа. 1998.-479с.: ил.

4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3т.: Т. 2..-810с.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Геометрический смысл производной. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х. Понятие подынтегрального выражения. Проверка правильности результата интегрирования, примеры задач.

презентация , добавлен 18.09.2013

Определение неопределенного интеграла, первообразной от непрерывной функции, дифференциала от неопределенного интеграла. Вывод формулы замены переменного в неопределенный интеграл и интегрирования по частям. Определение дробнорациональной функции.

шпаргалка , добавлен 21.08.2009

Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Некоторые свойства неопределенного интеграла. Интегрирование методом замены переменой или способом подстановки. Интегрирование по частям. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби.

реферат , добавлен 16.01.2006

Понятие первообразной функции, теорема о первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства и таблица. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и основные свойства. Производная определенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.

курсовая работа , добавлен 21.10.2011

Дифференциальное исчисление функции одной переменной: определение предела, асимптот функций и глобальных экстремумов функций. Нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба функции. Примеры вычисления неопределенного интеграла, площади плоской фигуры.

задача , добавлен 02.10.2009

Методы интегрирования в древности. Понятие первообразной функции. Основная теорема интегрального исчисления. Свойства неопределенных и определенных интегралов и методы их вычисления, произвольные постоянные. Таблица интегралов элементарных функций.

презентация , добавлен 11.09.2011

Условия существования определенного интеграла. Приложение интегрального исчисления. Интегральное исчисление в геометрии. Механические приложение определенного интеграла. Интегральное исчисление в биологии. Интегральное исчисление в экономике.

курсовая работа , добавлен 21.01.2008

Разложение функции в ряд Фурье, поиск коэффициентов. Изменение порядка интегрирования, его предел. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций, с помощью двойного интеграла, объема тела, ограниченного поверхностями, с помощью тройного интеграла.

контрольная работа , добавлен 28.03.2014

Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов.

презентация , добавлен 15.01.2014

Особенности неопределенного интеграла. Методы интегрирования (Замена переменной. Интегрирование по частям). Интегрирование рациональных выражений. Интегрирование рациональных дробей. Метод Остроградского. Интегрирование тригонометрических функций.

Словник : Имидоэфиры - Историческая школа . Источник: т. XIII (1894): Имидоэфиры - Историческая школа, с. 249-253 ( · индекс ) Другие источники : МЭСБЕ

Интегральное исчисление - в сочинении Архимеда «Об измерении длины окружности» рассматривается вопрос об определении площади и длины окружности круга, а в трактате «О шаре и цилиндре» - о поверхностях и объемах тел, ограниченных кривыми поверхностями; эти вопросы представляют первые геометрические задачи, относящиеся к И. исчислению. И в настоящее время основной задачей И. исчисления является нахождение площадей криволинейных фигур. Под площадью криволинейной фигуры S {\displaystyle S} (черт. 1) разумеется предел, к которому стремится площадь вписанного в фигуру многоугольника по мере увеличения числа его сторон, причем эти стороны могут быть сделаны меньше всякого заранее заданного произвольно малого числа. Указанная задача решается при помощи И. исчисления, если криволинейный контур фигуры S {\displaystyle S} задан уравнением, как это делается в аналитической геометрии (см. Аналитическая геометрия и Дифференциальное исчисление). Пусть уравнение заданной кривой S {\displaystyle S} (черт. 2)
есть y = f (x) {\displaystyle y=f(x)} . Определим площадь P 0 M 0 M n P n {\displaystyle P_{0}M_{0}M_{n}P_{n}} , образованную отрезком оси x {\displaystyle x} -ов , двумя ординатами и и дугой M 0 m n {\displaystyle M_{0}m_{n}} кривой S {\displaystyle S} . Ясно, что нахождение площади всякой криволинейной фигуры может быть сведено к нахождению площадей такого вида (т. е. ограниченным тремя прямыми и дугой кривой). Проведем между крайними ординатами M 0 P 0 {\displaystyle M_{0}P_{0}} и M n P n {\displaystyle M_{n}P_{n}} n − 1 {\displaystyle n-1} ординат M 1 P 1 , M 2 P 2 , … {\displaystyle M_{1}P_{1},M_{2}P_{2},\dots } , соответствующих точкам деления отрезка оси P 0 P n {\displaystyle P_{0}P_{n}} . Эти точки выберем произвольно, с тем лишь ограничением, чтобы по мере увеличения числа n {\displaystyle n} наибольший из отрезков был бесконечно мал (напр. точки P 1 , P 2 , … {\displaystyle P_{1},P_{2},\dots } можно выбрать на равных расстояниях друг от друга). Предполагая, как это имеет место на черт. 2, что ординаты кривой во все время при переходе от к возрастают, легко видеть, что криволинейная площадь фигуры S {\displaystyle S} будет заключаться между следующими двумя суммами:

	S n = f (x 0) (x 1 − x 0) + f (x 1) (x 2 − x 1) + ⋯ + f (x n − 1) (x n − x n − 1) {\displaystyle S_{n}=f(x_{0})(x_{1}-x_{0})+f(x_{1})(x_{2}-x_{1})+\dots +f(x_{n-1})(x_{n}-x_{n-1})}
и	S n ′ = f (x 1) (x 1 − x 0) + f (x 2) (x 2 − x 1) + ⋯ + f (x n) (x n − x n − 1) {\displaystyle S_{n}"=f(x_{1})(x_{1}-x_{0})+f(x_{2})(x_{2}-x_{1})+\dots +f(x_{n})(x_{n}-x_{n-1})} ,
где	x 0 = O P 0 {\displaystyle x_{0}=OP_{0}} , x 1 = O P 1 {\displaystyle x_{1}=OP_{1}} , x 2 = O P 2 {\displaystyle x_{2}=OP_{2}} , … x n = O P n {\displaystyle x_{n}=OP_{n}} ,
a	f (x 0) = M 0 P 0 {\displaystyle f(x_{0})=M_{0}P_{0}} , f (x 1) = M 1 P 1 {\displaystyle f(x_{1})=M_{1}P_{1}} , f (x 2) = M 2 P 2 {\displaystyle f(x_{2})=M_{2}P_{2}} , … f (x n) = M n P n {\displaystyle f(x_{n})=M_{n}P_{n}} .

Из чертежа очевидно, что

S n < S < S n ′ {\displaystyle S_{n}.

Для обратного случая, т. е. когда ординаты кривой уменьшаются при переходе от M 0 {\displaystyle M_{0}} к M n {\displaystyle M_{n}} , рассуждение будет то же самое, только последнее неравенство изменит знак, т. е. будет:

S n > S > S n ′ . {\displaystyle S_{n}>S>S_{n}".}

Докажем, что разность S n ′ − S n {\displaystyle S_{n}"-S_{n}} при возрастании числа n {\displaystyle n} может быть сделана как угодно мала. Вычитая на самом деле, имеем:

S n ′ − S n = [ f (x 1) − f (x 0) ] (x 1 − x 0) + [ f (x 2) − f (x 1) ] (x 2 − x 1) + ⋯ + {\displaystyle S_{n}"-S_{n}=(x_{1}-x_{0})+(x_{2}-x_{1})+\dots +} . + [ f (x n) − f (x n − 1) ] (x n − x n − 1) . {\displaystyle +(x_{n}-x_{n-1}).}

Вследствие непрерывности функции в границах рассматриваемой площади число n {\displaystyle n} можно подобрать настолько большим, что все разности f (x 1) − f (x 0) {\displaystyle f(x_{1})-f(x_{0})} , f (x 2) − f (x 1) {\displaystyle f(x_{2})-f(x_{1})} , … f (x n) − f (x n − 1) {\displaystyle f(x_{n})-f(x_{n-1})} выйдут меньше , где ε {\displaystyle \varepsilon } произвольно малое число. Тогда

S n ′ − S n < ε (x 1 − x 0) + ε (x 2 − x 1) + … ε (x n − x n − 1) , {\displaystyle S_{n}"-S_{n}<\varepsilon (x_{1}-x_{0})+\varepsilon (x_{2}-x_{1})+\dots \varepsilon (x_{n}-x_{n-1}),} S n − S n < ε (x n − x 0) , {\displaystyle S_{n}-S_{n}<\varepsilon (x_{n}-x_{0}),}

а произведение ε (x n − x 0) {\displaystyle \varepsilon (x_{n}-x_{0})} из конечного числа на бесконечно малое ε {\displaystyle \varepsilon } , очевидно, есть величина бесконечно малая. Отсюда следует, что S {\displaystyle S} можно рассматривать как предел при возрастании n {\displaystyle n} , так что

S = {\displaystyle S=} пред. { f (x 0) (x 1 − x 0) + f (x 1) (x 2 − x 1) + ⋯ + f (x n − 1) (x n − x n − 1) } {\displaystyle \{f(x_{0})(x_{1}-x_{0})+f(x_{1})(x_{2}-x_{1})+\dots +f(x_{n-1})(x_{n}-x_{n-1})\}} при .

Введем означения:

x 1 − x 0 = Δ x 0 , x 2 − x 1 = Δ x 1 , … x n − x n − 1 Δ x n − 1 , {\displaystyle x_{1}-x_{0}=\Delta x_{0},\,x_{2}-x_{1}=\Delta x_{1},\dots x_{n}-x_{n-1}\Delta x_{n-1},} S = {\displaystyle S=} пред. { f (x 0) Δ x 0 + f (x 1) Δ x 1) + ⋯ + f (x n − 1) Δ x n − 1) } {\displaystyle \{f(x_{0})\Delta x_{0}+f(x_{1})\Delta x_{1})+\dots +f(x_{n-1})\Delta x_{n-1})\}} при n = ∞ {\displaystyle n=\infty }

или короче

S = {\displaystyle S=} пред. ∑ f (x) Δ x {\displaystyle \sum f(x)\Delta x} .

Этот предел называется определенным интегралом , взятым от между границам и и ; для него употребляют особый знак:

∫ x 0 x 1 f (x) d x {\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)dx} .

Функция f (x) {\displaystyle f(x)} называется подынтегральной , а значки x 0 {\displaystyle x_{0}} и x n {\displaystyle x_{n}} пределами : x 0 {\displaystyle x_{0}} - нижним , а x n {\displaystyle x_{n}} - верхним пределами. Знак ∫ произошел от буквы S, выражающей сумму элементов f (x) d x {\displaystyle f(x)dx} ; название же интеграл произошло от латинского слова integer - целый. Знак ∫ введен Лейбницем и долгое время его употребляли без означения пределов; указание пределов введено Фурье.

Пример . Вычислить площадь ∫ 0 a x 2 d x {\displaystyle \int \limits _{0}^{a}x^{2}dx} , ограниченную осью x {\displaystyle x} -ов (черт. 3) между началом координат и точкой, имеющею абсциссу a {\displaystyle a} , между дугой параболы O M {\displaystyle OM} , уравнение которой есть y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} , и ординатой M a {\displaystyle Ma} . Разобьем основание O a {\displaystyle Oa} на n {\displaystyle n} равных частей a / n = h {\displaystyle a/n=h} ; тогда площадь будет пределом суммы

∑ x 2 h = 0 h + h 2 h + (2 h) 2 h + … ((n − 1) h) 2 h = = h 3 (1 + 2 2 + ⋯ + (n − 1) 2) = = a 3 n 3 ((n − 1) n (2 n − 1) 6) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum x^{2}h&=0h+h^{2}h+(2h)^{2}h+\dots ((n-1)h)^{2}h=\\&=h^{3}(1+2^{2}+\dots +(n-1)^{2})=\\&={\frac {a^{3}}{n^{3}}}\left({\frac {(n-1)n(2n-1)}{6}}\right)\end{aligned}}} ∑ x 2 h = a 3 3 (1 − 3 2 n + 1 2 n 2) {\displaystyle \sum x^{2}h={\frac {a^{3}}{3}}\left(1-{\frac {3}{2n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)} .

При увеличении n {\displaystyle n} до ∞ {\displaystyle \infty } получим

Пред. ∑ x 2 h = a 3 3 {\displaystyle \sum x^{2}h={\frac {a^{3}}{3}}} , ∫ 0 a x 2 d x = a 3 3 {\displaystyle \int \limits _{0}^{a}x^{2}dx={\frac {a^{3}}{3}}} .

Зная, что a M = a 2 {\displaystyle aM=a^{2}} , заключаем, что площадь криволинейной фигуры O M a {\displaystyle OMa} равна одной трети площади прямоугольника O K M a {\displaystyle OKMa} .

Необходимо заметить, что определение интеграла как предела суммы дает возможность вычислить его с любой степенью точности. Для этой цели можно поступать так: разобьем промежуток x n − x 0 {\displaystyle x_{n}-x_{0}} (черт. 2) на n {\displaystyle n} равных частей x 1 , x 2 , x 3 , … , x n − 1 , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n-1},x_{n}} ; тогда

x 1 = x 0 + h , x 2 = x 0 + 2 h , … x n = x 0 + n h {\displaystyle x_{1}=x_{0}+h,\,x_{2}=x_{0}+2h,\dots x_{n}=x_{0}+nh} ; S n = h { f (x 0) + f (x 1) + ⋯ + f (x n − 1) } {\displaystyle S_{n}=h\{f(x_{0})+f(x_{1})+\dots +f(x_{n-1})\}} , S n ′ = h { f (x 1) + f (x 2) + ⋯ + f (x n) } {\displaystyle S_{n}"=h\{f(x_{1})+f(x_{2})+\dots +f(x_{n})\}} .

Вычитая, получим

S n ′ − S n = h { f (x n) − f (x 0) } {\displaystyle S_{n}"-S_{n}=h\{f(x_{n})-f(x_{0})\}} .

Подбирая n {\displaystyle n} настолько большим, чтобы h {\displaystyle h} вышло меньше k f (x n) − f (x 0) {\displaystyle {\tfrac {k}{f(x_{n})-f(x_{0})}}} , получим

S n ′ − S n < k {\displaystyle S_{n}"-S_{n}

и, следовательно, определенный интеграл S {\displaystyle S} будет отличаться от S n {\displaystyle S_{n}} меньше, чем на величину k {\displaystyle k} . Отсюда вычислить интеграл с точностью k {\displaystyle k} значит вычислить соответствующую сумму S n {\displaystyle S_{n}} .

Здесь указана, конечно, только возможность вычисления определенного интеграла с данной степенью точности. В настоящее время в математике известны различные приемы для приближенного вычисления интегралов (площадей), более удобные, чем прием, получаемый непосредственно из определения интеграла как предела суммы. Приемы эти, принадлежащие Симпсону, Котесу, Эйлеру, Гауссу, Чебышеву, Эрмиту и др., известны под названием формул квадратур , откуда название квадратур дается и самим интегралам, так что, если говорят, что вопрос решается в квадратурах, это значит, что искомую величину можно выразить при помощи интегралов от некоторых функций.

Из вышеприведенного примера видно, что вычисление определенного интеграла равносильно задаче вычисления площади некоторого криволинейного контура. Оказывается, что вычисление определенного интеграла от любой функции может быть приведено к одной общей задаче, основной в И. исчислении, а именно к интегрированию функций . Эта задача формулируется так: дана функция f (x) {\displaystyle f(x)} ; найти новую функцию F (x) {\displaystyle F(x)} , называемую первообразной (неопределенный интеграл), так, чтобы

F ′ (x) = f (x) {\displaystyle F"(x)=f(x)} ,

т. е. чтобы заданная функция была производной от искомой. В самом деле, рассмотрим площадь A B P M {\displaystyle ABPM} (черт. 4), ограниченную отрезком оси x {\displaystyle x} -ов B P {\displaystyle BP} , дугой, заданной кривой A M {\displaystyle AM} , ординатой A B {\displaystyle AB} некоторой определенной точки A {\displaystyle A} , от которой отсчитываются дуги по кривой A M {\displaystyle AM} , и переменной ординатой M P {\displaystyle MP} , соответствующей некоторой точке M {\displaystyle M} кривой линии, не указывая, которой именно.

Положение переменной ординаты M P {\displaystyle MP} , конечно, зависит от абсциссы x = O P {\displaystyle x=OP} точки M {\displaystyle M} . Поэтому и площадь S = A B P M {\displaystyle S=ABPM} есть некоторая функция от x {\displaystyle x} ; означим ее через F (x) {\displaystyle F(x)} . Посмотрим, чему равна производная этой функции. Приращение Δ S = Δ F (x) {\displaystyle \Delta S=\Delta F(x)} есть не что иное, как площадь M P P 1 M 1 {\displaystyle MPP_{1}M_{1}} , где P P 1 = Δ x {\displaystyle PP_{1}=\Delta x} . Если в сопредельности с точкой M {\displaystyle M} функция возрастает, как это имеет место на чертеже, то

P M N 1 P 1 < Δ S < P N 2 M 1 P 1 {\displaystyle PMN_{1}P_{1}<\Delta S.

Если бы в сопредельности с точкой M {\displaystyle M} функция убывала, то можно написать такое же неравенство, но с обратным знаком. Вводя предыдущие обозначения и видя, что P M = f (x) {\displaystyle PM=f(x)} , a P 1 M 1 = f (x + Δ x) {\displaystyle P_{1}M_{1}=f(x+\Delta x)} , имеем:

f (x) Δ x < Δ F (x) < f (x + Δ x) Δ x {\displaystyle f(x)\Delta x<\Delta F(x).

Разделяя все части этого неравенства на Δ x {\displaystyle \Delta x} , получим

f (x) < Δ F (x) Δ x < f (x + Δ x) {\displaystyle f(x)<{\frac {\Delta F(x)}{\Delta x}}; откуда, в пределе: пред. Δ F (x) Δ x = F ′ (x) = f (x) {\displaystyle {\frac {\Delta F(x)}{\Delta x}}=F"(x)=f(x)} .

Итак, нахождение определенных интегралов сводится к поставленной выше задаче. Очевидно, эта задача неопределенная, потому что существует бесчисленное множество функций, имеющих ту же самую производную. Все эти функции отличаются друг от друга на числа постоянные, так как производная от постоянного числа равна нулю. Если, например, обозначить через F (x) {\displaystyle F(x)} одну из бесчисленного множества функций, имеющих производной заданную функцию f (x) {\displaystyle f(x)} , то другие функции будут F (x) + 1 {\displaystyle F(x)+1} , F (x) + 2 {\displaystyle F(x)+2} , F (x) + π {\displaystyle F(x)+\pi } и т. д., вообще говоря, , где C {\displaystyle C} - некоторое постоянное число, не зависящее от x {\displaystyle x} . Функция F (x) + C {\displaystyle F(x)+C} , заключающая неопределенную постоянную C {\displaystyle C} , называется поэтому неопределенным интегралом и обозначается так:

∫ f (x) d x = F (x) + C {\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C} .

Что в выражение площади должна входить некоторая произвольная постоянная, ясно из геометрических соображений, ибо площади можно отсчитывать от совершенно произвольной ординаты A B {\displaystyle AB} (черт. 4). Выбору некоторой ординаты за начальную будет соответствовать аналитическое указание постоянного числа C {\displaystyle C} . Положим, что за начальную ординату счета площадей выбрана ордината, соответствующая некоторому числу а; тогда, если конечную ординату площади означить через x {\displaystyle x} и положить, что x > a {\displaystyle x>a} , то площадь выразится некоторым числом. По мере приближения ординаты x {\displaystyle x} к начальной, а площадь будет уменьшаться, так что при она обратится в нуль. Согласно тому, что уже сказано о пределах определенного интеграла, рассматриваемая площадь может быть обозначена интегралом:

∫ a x f (x) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{x}f(x)dx} .

Рассматривая верхний предел x {\displaystyle x} как переменную величину, легко видеть, что этот интеграл равен F (x) + C 0 {\displaystyle F(x)+C_{0}} , где C 0 {\displaystyle C_{0}} подобрано так, что этот интеграл (площадь) обращается в нуль при x = a {\displaystyle x=a} ; отсюда

F (a) + C 0 = 0 {\displaystyle F(a)+C_{0}=0} и C 0 = − F (a) {\displaystyle C_{0}=-F(a)} ; .

Этот интеграл назывался Эйлером integrale quod evanescit posito x = a {\displaystyle x=a} , так как Эйлер не употреблял еще знаков пределов.

Отсюда ясно, что всякий определенный интеграл от функции f (x) {\displaystyle f(x)} между пределами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} может быть вычислен по формуле

∫ a b f (x) d x = F (b) − F (a) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)} ,

(*. )

где F (x) {\displaystyle F(x)} совершенно произвольное значение неопределенного интеграла. Это значит, что за F (x) {\displaystyle F(x)} нужно взять совершенно произвольную из числа функций, имеющих заданную производную. Сказанное, впрочем, очевидно, потому что если означить через другое значение неопределенного интеграла, то получается

φ (x) = F (x) + C {\displaystyle \varphi (x)=F(x)+C} ;

подставляя вместо x , a {\displaystyle x,a} и b {\displaystyle b} получим

φ (a) = F (a) + C , φ (b) = F (b) + C {\displaystyle \varphi (a)=F(a)+C,\quad \varphi (b)=F(b)+C} , φ (b) − φ (a) = F (b) − F (a) {\displaystyle \varphi (b)-\varphi (a)=F(b)-F(a)}

и, следовательно, можно взять другое значение неопределенного интеграла φ (x) {\displaystyle \varphi (x)} , так что рассматриваемый определенный интеграл можно вычислить по формуле

∫ a b f (x) d x = φ (b) − φ (a) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\varphi (b)-\varphi (a)} .

Независимость определенного интеграла от той функции из числа первообразных, которую мы выбираем, следует и из того, что площадь между двумя определенными ординатами не зависит от положения третьей ординаты, принятой за начало счета площадей. - И. исчисление разделяется на следующие большие отделы:

I. Интегрирование функций. Здесь излагаются приемы для нахождения по заданной функции ее первообразной, другими словами - нахождение неопределенного интеграла от заданной функции. - Прежде всего необходимо заметить, что знаки дифференцирования и интегрирования друг друга уничтожают, т. е.

d ∫ f (x) d x = f (x) d x {\displaystyle d\int f(x)dx=f(x)dx} и ∫ d f (x) = f (x) + C {\displaystyle \int df(x)=f(x)+C} .

Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла, т. е.

∫ a f (x) d x = a ∫ f (x) d x {\displaystyle \int af(x)dx=a\int f(x)dx} ;

это очевидно как из определения интеграла как предела суммы, так и из понятия о интеграле, как о функции первообразной. Аналогичная теорема существует и в дифференциальном исчислении. В статье Дифференциальное исчисление (см. т X, стр. 696) помещена табличка производных и дифференциалов простейших функций. Обращение ее дает основную табличку и для интегрирования функций. Возьмем, например, формулу для дифференциала степени:

d (x a) = a x a − 1 d x {\displaystyle d(x^{a})=ax^{a-1}dx} .

Взяв интегралы обеих частей, или, как говорят, интегрируя обе части этого уравнения, получим:

∫ d (x a) = ∫ a x a − 1 d x = a ∫ x a − 1 d x {\displaystyle \int d(x^{a})=\int ax^{a-1}dx=a\int x^{a-1}dx} x a + C = a ∫ x a − 1 d x {\displaystyle x^{a}+C=a\int x^{a-1}dx} ∫ x a − 1 d x = x a a + C {\displaystyle \int x^{a-1}dx={\frac {x^{a}}{a}}+C}

при заменении a {\displaystyle a} через a + 1 {\displaystyle a+1} эта же формула представится так:

∫ x a d x = x a + 1 a + 1 + C {\displaystyle \int x^{a}dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C} .

Эта формула не имеет места при a = − 1 {\displaystyle a=-1} , но тогда на основании формулы (8) упомянутой таблички получим:

∫ d x x = lg ⁡ x + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\lg x+C} .

Применяя подобные же рассуждения ко всем прочим формулам таблички дифференциалов простейших функций, получим табличку основных формул интегрирования простейших функций:

1)	∫ x a . d x = x a + 1 a + 1 + C {\displaystyle \displaystyle \int x^{a}.dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C}
2)	∫ d x x = lg ⁡ x + C {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\lg x+C}
3)	∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C}
4)	∫ a x . d x = a x lg ⁡ a + C {\displaystyle \displaystyle \int a^{x}.dx={\frac {a^{x}}{\lg a}}+C}
5)	∫ sin x . d x = − cos x + C {\displaystyle \displaystyle \int \sin \,x.dx=-\cos \,x+C}
6)	∫ cos x . d x = sin x + C {\displaystyle \displaystyle \int \cos \,x.dx=\sin \,x+C}
7)	∫ d x cos 2 ⁡ x = t g x + C {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C}
8)	∫ d x 1 − x 2 = arcsin x + C {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin \,x+C}
9)	∫ d x 1 + x 2 = a r c t g x + C {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C}

Из этой таблички видно, что интегралы от весьма простых алгебраических функций

∫ d x x {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{x}}} , ∫ d x 1 − x 2 {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}} и ∫ d x 1 + x 2 {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}}

‎ выражаются трансцендентными функциями:

lg ⁡ x {\displaystyle \lg x} , arcsin x {\displaystyle \arcsin \,x} и a r c t g x {\displaystyle \mathrm {arctg} \,x} .

Изыскивая же правила для интегрирования более сложных функций, уже первые исследователи в области И. исчисления заметили, что только интегралы немногих функций вообще представляются в конечном виде; для огромного же большинства функций их первообразные представляют новые виды функций, изучение которых и составляет обширное и еще мало разработанное поле исследований. К числу таких новых трансцендентных принадлежат так называемые эллиптические интегралы, теория которых в настоящее время уже хорошо разработана и получила большие приложения. Интегрирование же функций более сложных состоит пока из отдельных попыток, причем рядом преобразований стремятся свести интегрирование рассматриваемой функции к интегрированию функций, помещенных в табличке простейших. Эта часть И. исчисления доставила, однако, весьма важные результаты; так, например, известно, что интеграл от всякой рациональной функции выражается в конечном виде, т. е. при помощи конечного числа знаков функций, встречающихся уже в элементарной математике. Из числа иррациональных функций заслуживает особенного внимания случай, когда иррациональность подынтегральной функции состоит или из дробных степеней переменного независимого, или же представляет квадратный корень из многочлена, степени не выше второй. В этих случаях интегрирование также совершается в конечном виде. Известны, наконец, некоторые интегрируемые классы функций трансцендентных. К числу упомянутых выше основных преобразований относятся:

1) разложение интеграла на части по формуле:

∫ f (x) d x = ∫ f [ φ (t) ] φ ′ (t) d t {\displaystyle \int f(x)dx=\int f[\varphi (t)]\varphi "(t)dt}

и 3) интегрирование по частям по формуле:

∫ u d v = u v − ∫ v d u {\displaystyle \int udv=uv-\int vdu} .

(III. )

II. Теория определенных и кратных интегралов. Сюда относятся исследования и нахождения определенных интегралов в тех случаях, когда неопределенный интеграл весьма трудно или вовсе нельзя выразить через известные функции, а потому тут излагаются приемы, дающие возможность вычислять определенные интегралы не пользуясь основной формулой (); здесь также обобщается понятие об определенном интеграле на случай нескольких независимых переменных.

III. Геометрические приложения интегрального исчисления. В этом отделе рассматриваются четыре основные задачи: 1) квадратура площадей, ограниченных кривыми линиями, 2) вычисление длин дуг кривых линий, 3) вычисление объемов (кубатура) тел, ограниченных кривыми поверхностями, и 4) вычисление площадей криволинейных поверхностей в некоторых контурах, проведенных на этих поверхностях.

Чтобы дать понятие о геометрических приложениях И. исчисления, а равно о кратных интегралах, рассмотрим задачу об определении объема тел, ограниченных кривыми поверхностями. Такой объем U {\displaystyle U} (черт. 5) можно рассматривать как сумму параллелепипедов, составленных приращениями координат Δ x , Δ y {\displaystyle \Delta x,\Delta y} и Δ z {\displaystyle \Delta z} , распространенную на все пространство, ограниченное заданной поверхностью.

Отсюда общая формула для объема будет:

U = {\displaystyle U=} пред. ∑ Δ x Δ y Δ z {\displaystyle \sum \Delta x\Delta y\Delta z}

Этот предел обозначается тройным интегралом

U = ∭ d x d y d z {\displaystyle U=\iiint dxdydz} ,

который представляет, следовательно, общую формулу для нахождения каких угодно объемов. Вся задача состоит в указании пределов у трех знаков интеграла, так как одно интегрирование (суммирование) производится по букве x {\displaystyle x} , другое по букве y {\displaystyle y} , а третье по букве z {\displaystyle z} . Требуется указать пределы таким образом, чтобы при интегрировании были приняты в расчет все элементы, лежащие внутри рассматриваемого криволинейного тела.

Полученная выше формула квадратур ∫ y d x {\displaystyle \int ydx} может быть написана также в виде двойного интеграла

∬ d x . d y {\displaystyle \iint dx.dy} ,

потому что

∫ 0 y d y = y {\displaystyle \int \limits _{0}^{y}dy=y} .

Исторический очерк развития И. исчисления см. Математика. Укажем здесь еще классические сочинения и руководства по этому предмету. Полная система интегрального исчисления в том виде, как оно излагается в настоящее время, находится в знаменитом трактате Эйлера «Institutiones calculi integralis» (СПб., 4 тома). Затем укажем на Коши: «Oeuvres complètes», Бертрана: «Traité de calcul différentiel et de calcul intégral» (2 тома), Ceppe: «Cours de calcul différentiel et intégral» (2 тома), Поссе: «Курс интегрального исчисления» (СПб., 1891 г.), и курсы, указанные в конце статьи Дифференциальное исчисление (т. X, стр. 705).

Материал из Юнциклопедии

Интегральное исчисление - это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа.

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них-физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур (см. Геометрические задачи на экстремум).

Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов.

В дифференциальном исчислении была введена операция дифференцирования функций. Рассматриваемая в интегральном исчислении обратная к дифференцированию математическая операция называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием.

В чем же состоит эта обратная операция и в чем ее неопределенность?

Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции F(х) ее производную F"(x)=f(x). Допустим, что мы хотим, исходя из заданной функции f(х), найти такую функцию F(х), производной которой является функция f(х), т. е. f(х) = F"(х). Такая функция называется первообразной функции f(х).

Значит, обратная дифференцированию операция - неопределенное интегрирование - состоит в отыскании первообразной данной функции.

Заметим, что, наряду с функцией F(x), первообразной для функции f(х), очевидно, будет также любая функция ℱ(х) = F(х) + С, отличающаяся от F(х) постоянным слагаемым С; ведь ℱ"(х) = F(х) = f(х).

Таким образом, в отличие от дифференцирования, сопоставлявшего функции единственную другую функцию - производную первой, неопределенное интегрирование приводит не к одной конкретной функции, а к целому набору функций, и в этом его неопределенность.

Однако степень этой неопределенности не так уж велика. Напомним, что если производная некоторой функции равна нулю во всех точках какого-то промежутка, то это функция, постоянная на рассматриваемом промежутке (на промежутках, где скорость изменения переменной величины везде равна нулю, она не меняется). Значит, если ℱ"(х) = F(х) на каком-то промежутке а<х

Итак, две первообразные одной и той же функции могут отличаться на промежутке только постоянным слагаемым.

Первообразные функции f(х) обозначают символом

где знак ∫ читается: интеграл. Это так называемый неопределенный интеграл. По доказанному, неопределенный интеграл изображает на рассматриваемом промежутке не одну конкретную функцию, а любую функцию вида

∫ f(x) dx = F(x) + C, (1)

где F(x) - какая-то первообразная функции f(х) на данном промежутке, а С-произвольная постоянная.

Например, на всей числовой оси

∫ 2х dx = х 2 + С; ∫ cos у dy = sin у + С; ∫ sin z dz = -cos z + С.

Мы здесь специально обозначили аргументы подынтегральных функций различными символами: х, у, z, чтобы обратить внимание на независимость первообразной как функции от выбора буквы, используемой для обозначения ее аргумента.

Проверка написанных равенств выполняется простым дифференцированием их правых частей, в результате которого получаются стоящие в левых частях под знаком интеграла функции 2х, cos y, sin z соответственно.

Полезно иметь в виду также следующие очевидные соотношения, непосредственно вытекающие из определений первообразной, производной, дифференциала и из соотношения (1) для неопределенного интеграла:

(∫f(x)dx)" = f(х),

d(∫f(x)dx) = f(x)dx,

∫F"(x)dx = F(x) + C,

∫dF(x) = F(x) + C.

Отыскание первообразной часто облегчают некоторые общие свойства неопределенного интеграла:

∫сf(х)dx = с∫f(х)dx (вынесение постоянного множителя);

∫(f(x) + g(х))dx = ∫f(x)dx + ∫g(х)dx (интегрирование суммы);

∫f(x)dx = F (х) + С, то

∫f(φ(t))φ"(t)dt = F(φ(t)) + C (замена переменной).

Эти соотношения также проверяются непосредственно с использованием соответствующих правил дифференцирования.

Найдем закон движения свободно падающего в пустоте тела, исходя из единственного факта, что при отсутствии воздуха ускорение д свободного падения вблизи поверхности Земли постоянно и не зависит от особенностей падающего тела. Фиксируем вертикальную координатную ось; направление на оси выберем в сторону к Земле. Пусть s(t)~ координата нашего тела в момент t. Нам известно, таким образом, что s"(t)=g и g-постоянная. Требуется найти функцию s(t) - закон движения.

Поскольку g = v"(t), где v(t) = s"(t), то, последовательно интегрируя, находим

v(t) = ∫gdt = ∫1 dt = g t + C 1 (2)

s(t) = ∫v(t)dt = ∫(g t + C 1)dt = ∫g tdt + ∫C 1 dt = g∫tdt + C 1 ∫1 dt = gt 2 /2 + C 1 t + C 2 .

Итак, мы нашли, что

s(t) = gt 2 /2 + C 1 t + C 2 , (3)

где C 1 и C 2 - какие-то постоянные. Но падающее тело подчиняется все-таки одному конкретному закону движения, в котором уже нет никакого произвола. Значит, есть еще какие-то условия, которые мы пока не использовали; они позволяют среди всех «конкурирующих» законов (3) выбрать тот, который соответствует конкретному движению. Эти условия легко указать, если разобраться в физическом смысле постоянных C 1 , и C 2 . Если сравнить крайние члены соотношения (2) при t = 0, то выяснится, что C 1 = v(0), а из (3) при t = 0 получается, что C 2 = s(0). Таким образом, математика сама напомнила нам, что искомый закон движения

s(t) = gt 2 /2 + v 0 t + s 0

вполне определится, если указать начальное положение s 0 = s(0) и начальную скорость v 0 = v(0) тела. В частности, если d 0 = 0 и s 0 = 0, получаем s(t) = gt 2 /2.

Отметим теперь, что между операцией нахождения производной (дифференцированием) и операцией отыскания первообразной (неопределенным интегрированием) имеется, кроме указанного выше, еще целый ряд принципиальных отличий. В частности, следует иметь в виду, что если производная любой комбинации элементарных функций сама выражается через элементарные функции, т. е. является элементарной функцией, то первообразная элементарной функции уже не всегда является функцией элементарной. Например, первообразная

∫((sin х)/x)dx

элементарной функции (sin х)/х (называемая интегральным синусом и обозначаемая специальным символом si(x)), как можно доказать, не выражается в элементарных функциях. Таким образом, принципиальный математический вопрос о существовании первообразной у наперед заданной функции не надо смешивать с не всегда разрешимой задачей об отыскании этой первообразной среди элементарных функций. Интегрирование часто является источником введения важных и широко используемых специальных функций, которые изучены ничуть не хуже таких «школьных» функций, как х 2 или sin х, хотя и не входят в список элементарных функций.

Наконец, отметим, что отыскание первообразной, даже когда она выражается в элементарных функциях, скорее напоминает искусство, чем канонический алгоритм вычислений, подобный алгоритму дифференцирования. По этой причине найденные первообразные наиболее часто встречающихся функций собраны в виде справочных таблиц неопределенных интегралов. Следующая микротаблица такого рода, очевидно, равносильна микротаблице производных соответствующих основных элементарных функций:

∫x n dx = 1/(n+1) x n+1 + С при n ≠ -1;

∫cos x dx = -sin x + С;

∫sin x dx = -cos x + С;

∫ dx/cos 2 x = tg x + С;

∫dx/sin 2 x = -ctg x + C.

Мы, пока говорили об обращении операции дифференцирования, пришли в этой связи к понятиям первообразной, неопределенного интеграла и дали первоначальное определение этих понятий.

Теперь укажем иной, куда более древний подход к интегралу, который послужил основным первоначальным источником интетрального исчисления и привел к понятию определенного интеграла или интеграла в собственном смысле этого слова. Этот подход четко прослеживается уже у древнегреческого математика и астронома Евдокса Книд-ского (примерно 408-355 до н.э.) и Архимеда, т.е. он возник задолго до появления дифференциального исчисления и операции дифференцирования.

Вопрос, который рассматривали Евдокс и Архимед, создав при его решении «метод исчерпывания», предвосхитивший понятие интеграла,-это вопрос о вычислении площади криволинейной фигуры. Ниже мы рассмотрим этот вопрос, а пока поставим, вслед за И. Ньютоном, следующую задачу: по известной в любой момент t из промежутка времени a≤t≤b скорости v(t) тела найти величину перемещения тела за этот промежуток времени.

Если бы был известен закон движения, т.е. зависимость координаты тела от времени, то ответ, очевидно, выражался бы разностью s(b) - s(а). Более того, если бы мы знали какую-либо первообразную s̃(0) функции v(t) на промежутке [а;b] то, поскольку s̃(t) = s(t) + С, где С - постоянная, можно было бы найти искомую величину перемещения в виде разности s̃(b) - s(а), которая совпадает с разностью s (b) - s (я). Это очень полезное наблюдение, однако если первообразную данной функции v(t) указать не удается, то действовать приходится совсем иначе.

Будем рассуждать следующим образом.

Если промежуток [а;b] отдельными моментами t 0 , t 1 , ..., t n , такими, что а = t 0 < t 1 < ... < t n = b, разбить на очень мелкие временные промежутки , i = 1, 2, ..., n, то на каждом из этих коротких промежутков скорость v(t) тела не успевает заметно измениться. Фиксировав произвольно момент τ i ∈ , можно таким образом приближенно считать, что на промежутке времени движение происходит с постоянной скоростью v(τ i). В таком случае для величины пути, пройденного за промежуток времени получаем приближенное значение v(τ i) ∆t i , где ∆t i = t i - t i-1 . Складывая эти величины, получаем приближенное значение

v(τ 1) ∆t 1 + v(τ 2) ∆t 2 + ... + v(τ n) ∆t n (4)

для всего перемещения на промежутке .

Найденное приближенное значение тем точнее, чем более мелкое разбиение промежутка мы произведем, т.е. чем меньше будет величина ∆ наибольшего из промежутков , на которые разбит промежуток .

Значит, искомая нами величина перемещения есть предел

lim ∆→0 ∑ n i=1 v(τ i) ∆t i (5)

сумм вида (4), когда величина ∆ стремится к нулю.

Суммы специального вида (4) называются интегральными суммами для функции v(t) на промежутке , а их предел (5), получаемый при неограниченном мельчании разбиений, называется интегралом (или определенным интегралом) от функции v(t) на промежутке . Интеграл обозначается символом

в котором числа а, b называются пределами интегрирования, причем а-нижним, а b-верхним пределом интегрирования; функция v(t), стоящая под знаком ∫ интеграла, называется подынтегральной функцией; v(t)dt - подынтегральным выражением; t-переменной интегрирования.

Итак, по определению,

∫ a b v(t)dt = lim ∆→0 ∑ n i=1 v(τ i) ∆t i . (6)

Значит, искомая величина перемещения тела за временной промежуток при известной скорости v(t) движения выражается интегралом (6) от функции v(t) по промежутку .

Сопоставляя этот результат с тем, который на языке первообразной был указан в начале рассмотрения этого примера, приходим к знаменитому соотношению:

∫ a b v(t)dt = s(b)-s(a), (7)

если v(t) = s"(t). Равенство (7) называется формулой Ньютона-Лейбница. В левой его части стоит понимаемый как предел (6) интеграл, а в правой-разность значений (в концах b и a промежутка интегрирования) функции s(t), первообразной подынтегральной функции v(t). Таким образом, формула Ньютона-Лейбница связывает интеграл (6) и первообразную. Этой формулой можно, следовательно, пользоваться в двух противоположных направлениях: вычислять интеграл, найдя первообразную, или получать приращение первообразной, найдя из соотношения (6) интеграл. Мы увидим ниже, что оба эти направления использования формулы Ньютона-Лейбница весьма важны.

Интеграл (6) и формула (7) в принципе решают поставленную в нашем примере задачу. Так, если v(t) = gt (как это имеет место в случае свободного падения, начинающегося из состояния покоя, т.е. с v(0) = 0), то, найдя первообразную s(t) = gt 2 /2 + С функции v(t) = g t по формуле (7), получаем величину

∫ a b gt dt = gb 2 /2 - ga 2 /2

перемещения за время, прошедшее от момента a до момента b.

На основе разобранной только что физической задачи, приведшей нас к интегралу и формуле Ньютона-Лейбница, обобщая сделанные наблюдения, можно теперь сказать, что если на некотором промежутке а ≤ х ≤ b задана функция f(х), то, разбивая промежуток [а;b] точками а = х 0 < x 1 < ... < х n = b, составляя интегральные суммы

f(ξ 1) ∆x 1 + f(ξ 2) ∆x 2 + ... + f(ξ n) ∆x n , (4")

где ξ i ∈ , ∆x i = x i - x i-1 , и переходя к пределу при ∆→0, где ∆ = max {∆x 1 , ∆x 2 , ..., ∆x n }, мы получаем по определению интеграл

∫ a b f(x) dx = lim ∆→0 ∑ n i=1 f(ξ i) ∆x i (6")

от функции f(х) по промежутку . Если при этом F"(x)=f(x) на , т.е. F(x) - первообразная функции f(х) на промежутке , то имеет место формула Ньютона-Лейбница:

∫ a b F(x) dx = F(b) - F(а). (7")

Итак, определены важнейшие понятия интегрального исчисления и получена формула Ньютона-Лейбница, связывающая интегрирование и дифференцирование.

Подобно тому как в дифференциальном исчислении к понятию производной вела не только задача определения мгновенной скорости движения, но и задача проведения касательной, так в интегральном исчислении к понятию интеграла приводит не только физическая задача определения пройденного пути по заданной скорости движения, но и многие другие задачи, и в их числе древние геометрические задачи о вычислении площадей и объемов.

Пусть требуется найти площадь S изображенной на рис. 1 фигуры aABb (называемой криволинейной трапецией), верхняя «сторона» АВ которой есть график заданной на отрезке функции у =f(х). Точками а = х 0 < х 1 < ... < х n = b разобьем отрезок на мелкие отрезки , в каждом из которых фиксируем некоторую точку ξ i ∈ . Площадь узкой криволинейной трапеции, лежащей над отрезком , заменим приближенно площадью f(ξ i)(x i-1 - x i) = f(ξ i)∆x i соответствующего прямоугольника с основанием и высотой f(ξ i). В таком случае приближенное значение площади S всей фигуры aABb даст знакомая нам интегральная сумма ∑ n i=1 f(ξ i) ∆x i , а точное значение искомой площади S получится как предел таких сумм, когда длина ∆ наибольшего из отрезков разбиения стремится к нулю. Таким образом, получаем:

∫ a b f(x) dx. (8)

Попробуем теперь вслед за Архимедом выяснить, в каком отношении парабола у = х 2 делит площадь изображенного на рис. 2 единичного квадрата. Для этого попросту вычислим, исходя из формулы (8), площадь S нижнего параболического треугольника. В нашем случае = и f(х) = х 2 . Нам известна первообразная F(x) = x 3 /3 функции f(х) = х 2 , значит, можно воспользоваться формулой (7") Ньютона-Лейбница и без труда получить

S = ∫ 0 1 х 2 dx = 1/3 1 3 - 1/3 0 3 = 1/3.

Следовательно, парабола делит площадь квадрата в отношении 2:1.

При обращении с интегралами, особенно применяя формулу Ньютона-Лейбница, можно пользоваться общими свойствами неопределенного интеграла, которые названы в начале статьи. В частности, правило замены переменной в неопределенном интеграле при условии, что а = φ(α), b = φ(β), с учетом формулы Ньютона-Лейбница позволяет заключить, что

∫ a b f(x) dx = F(b) - F(a) = F(φ(β)) - F(φ(α)) = ∫ α β f(φ(t))φ"(t) dt,

и таким образом, получается очень полезная формула замены переменной в определенном интеграле:

∫ a b f(x) dx = ∫ α β f(φ(t))φ"(t) dt (9)

С помощью интегралов вычисляют также объемы тел. Если изображенную на рис. 1 криволинейную трапецию aABb вращать вокруг оси Ох, то получится тело вращения, которое приближенно можно считать составленным из узких цилиндров (рис. 3), полученных при вращении соответствующих прямоугольников. Сохраняя прежние обозначения, записываем объем каждого из этих цилиндров в виде πf 2 ξ i ∆x i , (произведение площади πf 2 ξ i основания на высоту ∆x i). Сумма πf 2 ξ 1 ∆x 1 + πf 2 ξ 2 ∆x 2 + ... + πf 2 ξ n ∆x n дает приближенное значение объема V рассматриваемого тела вращения. Точное значение V получится как предел таких сумм при ∆→0. Значит,

V = π∫ a b f 2 (x) dx. (10)

В частности, чтобы вычислить объем изображенного на рис. 4 конуса, достаточно положить в формуле (10) а = 0, b = h и f(х) = kх, где k - угловой коэффициент вращаемой прямой. Найдя первообразную k 2 x 3 /3 функции f 2 (x) = k 2 x 2 и воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, получаем

V = π∫ 0 h k 2 x 2 dx = π(k 2 h 3 /3 - k 2 0 3 /3)

= π(kh) 2 h/3 = Sh/3,

где S = π(kh) 2 площадь круга, лежащего в основании конуса.

В разобранных примерах мы исчерпывали геометрическую фигуру такими фигурами, площади или объемы которых могли вычислить, а затем делали предельный переход. Этот прием, идущий от Евдокса и развитый Архимедом, называется методом исчерпывания. Это наиболее распространенный метод рассуждений в большинстве применений интеграла.

В качестве еще одного примера рассмотрим вполне конкретный «космический» вопрос.

Мы хотим вычислить скорость V, до которой нужно разогнать тело (ракету), чтобы затем оно, удаляясь по инерции от планеты вдоль радиуса, уже никогда не было возвращено притяжением планеты назад. Эта скорость называется второй космической, в отличие от первой космической, которую должен иметь спутник, выходящий на орбиту у поверхности планеты.

Пусть m-масса тела, М-масса планеты. Кинетической энергии mv 2 /2, которой следует наделить тело для выхода из поля притяжения планеты, должно хватить, чтобы совершить работу против силы тяготения. Величина этой силы на расстоянии r от центра планеты по открытому Ньютоном закону всемирного тяготения равна

где G - гравитационная постоянная. Таким образом, эта сила меняется, причем ослабевает по мере удаления от планеты.

Вычислим работу A R R 0 , которую нужно совершить, чтобы тело, находящееся на высоте R 0 (считая от центра планеты), поднять на высоту R.

Если бы сила была постоянна, то мы просто умножили бы ее величину на длину R - R 0 пройденного вдоль направления ее действия пути и нашли бы совершенную работу. Но сила меняется, поэтому мы разобьем весь промежуток точками R 0 = r 0 < 1 < ... < r n = R на маленькие промежутки, в пределах которых изменением силы можно пренебречь; найдем приближенно элементарные работы

G mM/r i 2 (r i - r i-1) = G mM/r i 2 ∆r i

на каждом из промежутков ; сложив элементарные работы

G mM/r 1 2 ∆r 1 + G mM/r 2 2 ∆r 2 + ... + G mM/r n 2 ∆r n

получим приближенное значение искомой работы A R R 0 на промежутке , а точнее значение A R R 0 выражается, таким образом, следующим интегралом:

A R R 0 = ∫ R R 0 G mM/r 2 dr

в котором роль переменной интегрирования играет r. Величины G, m, M постоянны, а функция r -2 имеет первообразную -r -1 , зная которую по формуле Ньютона-Лейбница находим

A R R 0 = GmM (1/R 0 - 1/R).

Если R увеличивать неограниченно, т.е., как говорят, удалять тело на бесконечность, то, переходя к пределу при R → ∞, получаем

A ∞ R 0 = GmM/R 0 ,

где ∞-символ, читаемый «бесконечность». Если в последней формуле считать, что R 0 -радиус планеты, то A ∞ R 0 будет работой, которую надо совершить против сил тяготения, чтобы тело с поверхности планеты ушло в бесконечность.

Полученное для A ∞ R 0 выражение можно упростить, если вспомнить другой закон Ньютона F = ma, связывающий силу F и вызванное ею ускорение a тела массы m. Свободно падающее на планету тело у ее поверхности имеет ускорение а = g, вызванное силой притяжения

где R 0 - радиус планеты. Значит,

GmM/R 0 2 = mg, откуда следует, что

GmM/R 0 2 = g и, значит A ∞ R 0 = mGR 0 .

Это и есть формула для подсчета работы, необходимой для выхода из поля притяжения планеты. Для «ухода» с планеты по инерции нужно иметь вертикальную скорость v, при которой кинетическая энергия mv 2 /2 тела не меньше или, по крайней мере, равна работе затрачиваемой на преодоление притяжения планеты.

Таким образом, вторая космическая скорость, получаемая из равенства mv 2 /2 = mgR 0 , выражается в виде

В частности, для Земли g ≈ 10 м/с 2 , R 0 ≈ 6 400 000 м, поэтому v ≈ 8000 √2 м/с, или v ≈ 11,2 км/с.

Во всех разобранных до сих пор примерах мы использовали первообразную, чтобы по формуле (7") Ньютона Лейбница вычислить интересовавший нас интеграл. Но та же формула Ньютона-Лейбница наводит на мысль использовать сам интеграл для нахождения первообразной или, по крайней мере, для выяснения принципиального вопроса о ее существовании. Этого вопроса мы уже коснулись в разделе, посвященном первообразной и неопределенному интегралу. Теперь мы рассмотрим его несколько внимательнее.

Пусть на отрезке задана функция f, график которой изображен линией AB на рис. 5. Мы знаем, что площадь всей криволинейной трапеции aABb выражается интегралом (8). Обозначим через ℱ(х) площадь той ее части, которая лежит над отрезком [а;х].

ℱ(x)=∫ a x f(x)dt. (11)

Здесь мы обозначили переменную интегрирования через t, чтобы не путать ее с х, являющимся в нашем случае верхним пределом интегрирования.

Величина ℱ(x), очевидно, зависит от точки x∈.

Покажем, что ℱ(x) - первообразная функции f(х) на отрезке , т.е. ℱ"(x)=f(х) при x∈. В самом деле, как видно из рис. 5,

ℱ(x+h) - ℱ(x) ≈ f(x) h,

что равносильно приближенному равенству

(ℱ(x+h) - ℱ(x))/h ≈ f(x)

При уменьшении величины h точность этого соотношения только улучшается, поэтому

lim h→0 (ℱ(x+h) - ℱ(x))/h = f(x)

и, значит,

Таким образом, интеграл (11) с переменным верхним пределом х дает нам первообразную функции f(х). Среди всех прочих первообразных функции f(х) на отрезке эта первообразная выделяется очевидным условием ℱ(a) = 0. Поскольку интеграл, согласно его определению (6"), можно вычислить с любой наперед заданной точностью, то и значение ℱ(х) первообразной (11) функции f(х) в любой точке x∈ можно найти сколь угодно точно, даже не интересуясь при этом аналитической записью ℱ(х) или вопросом о том, является ли ℱ(х) элементарной функцией.

Существуют простые и очень эффективные численные методы интегрирования - это так называемые квадратурные формулы. Они позволяют на электронных вычислительных машинах за доли секунды получать значения определенных интегралов. Это обстоятельство делает формулу (11) средством отыскания первообразной. Например, современные подводные лодки порой месяцами находятся на большой глубине и перемещаются на огромные расстояния; не имея никакой связи с внешним миром, они тем не менее выходят в точно заданный квадрат. Навигационное оборудование, которое позволяет определять координаты лодки в любой момент, является технической реализацией формулы (11) и основано на таком физическом принципе. Находясь в закрытом движущемся помещении (хорошо звукоизолированном мягком вагоне, самолете и т.д.), мы не ощущаем скорости движения, но зато определенно чувствуем изменение скорости-ускорение. Оно положительно при увеличении скорости, когда масса вдавливает вас в самолетное кресло, и отрицательно при торможении, когда вам могут пригодиться даже пристяжные ремни. Поскольку между ускорением а массы m и вызывающей его силой F имеется прямая пропорциональная зависимость F = mа, величину а укорения можно объективно измерять, закрепив массу m на свободном конце пружинки, расположенной вдоль направления движения, и соединив жестко второй ее конец, например, с задней стенкой движущегося помещения. Если растяжение и сжатие пружины пропорционально действующей на нее силе, то по величине отклонения массы m от положения равновесия можно узнавать величину a(t) ускорения, происходящего в данном направлении в любой момент времени t.

Если движение начиналось с нулевой начальной скоростью, то, зная a(t), можно по формуле (11) найти сначала скорость v(t) движения, а зная v(t), найти и перемещение s(t) в этом направлении к моменту и поскольку

v(t) = ∫ 0 t a(u) du, a s(t) = ∫ 0 t v(u) du.

Обработка показаний приборов и вычисление этих интегралов выполняется электронной вычислительной машиной. Если есть три датчика ускорения, удерживаемых (например, гироскопами) в трех взаимно перпендикулярных направлениях, то вы можете в любой момент знать ваше перемещение по каждому из указанных направлений и тем самым определить все три ваши координаты в некоторой системе координат, началом которой является точка старта-база, аэродром, космодром.

Вступление

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение.

История интегрального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга” круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Символ ò введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Б е р н у л л и (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики-интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные ермины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F(x) = ò f(x)dx - начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. b

называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(х)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571-1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

(1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598-1647) и Э.Торричелли (1608-1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y = f(x) и y=f(x)+c.

Представляя фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b-а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е.

S = S1 = c (b – а).

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = хn, где п - целое (т.е по существу вывел формулу ò хndx = (1/n+1)хn+1), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В.Остроградский (1801-1862), В.Я.Буняковский (1804-1889), П.Л.Чебышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О.Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б.Римана (1826-1866), французского математика Г.Дарбу (1842-1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (1884-1974), советским математиком А. Я. Хинчинчиным (1894-1959).

Код для блога:

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению различных математических, физических и других задач. В систематической форме интегральное исчисление было предложено в 17 в. И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением; интегрирование (нахождение интеграла) есть действие, обратное дифференцированию: по данной непрерывной функции f(x) ищется функция F(x) (первообразная), для которой f(x) является производной.

Вместе с F(x) первообразной функцией для f(x) является и F(x) + C, где С - любая постоянная. Общее выражение F(x) + C первообразных непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом; он обозначается.Определенным интегралом непрерывной функции f(x) на отрезке , разделенном точками (рис.), называется предел интегральных сумм, где, при условии, что наибольшая разность стремится к нулю и число точек деления неограниченно увеличивается; его обозначают (самый знак возник из первой буквы S латинского слова Summa).

Через определенные интегралы выражаются площади плоских фигур, длины кривых, объемы и поверхности тел, координаты центров тяжести, моменты инерции, работа, производимая данной силой, и т. д. О связи между определенным интегралом и первообразной см. Ньютона - Лейбница формула. Понятие интеграла распространяется на функции многих переменных (см. Кратный интеграл, Криволинейный интеграл, Поверхностный интеграл)

Как это будет выглядеть: