Разница между дисперсией и средним квадратическим отклонением. Как найти среднеквадратическое отклонение

Среднеквадрати́ческое отклоне́ние (синонимы: среднее квадрати́ческое отклоне́ние , среднеквадрати́чное отклоне́ние , квадрати́чное отклоне́ние ; близкие термины: станда́ртное отклоне́ние , станда́ртный разбро́с ) - в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания . При ограниченных массивах выборок значений вместо математического ожидания используется среднее арифметическое совокупности выборок.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

Среднеквадратическое отклонение измеряется в единицах измерения самой случайной величины и используется при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического , при построении доверительных интервалов , при статистической проверке гипотез , при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами. Определяется как квадратный корень из дисперсии случайной величины .

Среднеквадратическое отклонение:

s = n n − 1 σ 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 ; {\displaystyle s={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}\sigma ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}};}

Примечание: Очень часто встречаются разночтения в названиях СКО (Среднеквадратического отклонения) и СТО (Стандартного отклонения) с их формулами. Например, в модуле numPy языка программирования Python функция std() описывается как "standart deviation", в то время как формула отражает СКО (деление на корень из выборки). В Excel же функция СТАНДОТКЛОН() другая (деление на корень из n-1).

Стандартное отклонение (оценка среднеквадратического отклонения случайной величины x относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии) s {\displaystyle s} :

σ = 1 n ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 . {\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.}

где σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} - дисперсия ; x i {\displaystyle x_{i}} - i -й элемент выборки; n {\displaystyle n} - объём выборки; - среднее арифметическое выборки:

x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + … + x n) . {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\ldots +x_{n}).}

Следует отметить, что обе оценки являются смещёнными. В общем случае несмещённую оценку построить невозможно. Однако оценка на основе оценки несмещённой дисперсии является состоятельной .

В соответствии с ГОСТ Р 8.736-2011 среднеквадратическое отклонение считается по второй формуле данного раздела. Пожалуйста, сверьте результаты.

Правило трёх сигм

Правило трёх сигм ( 3 σ {\displaystyle 3\sigma } ) - практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале (x ¯ − 3 σ ; x ¯ + 3 σ) {\displaystyle \left({\bar {x}}-3\sigma ;{\bar {x}}+3\sigma \right)} . Более строго - приблизительно с вероятностью 0,9973 значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале (при условии, что величина x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} истинная, а не полученная в результате обработки выборки).

Если же истинная величина x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} неизвестна, то следует пользоваться не σ {\displaystyle \sigma } , а s . Таким образом, правило трёх сигм преобразуется в правило трёх s .

Интерпретация величины среднеквадратического отклонения

Большее значение среднеквадратического отклонения показывает больший разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; меньшее значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.

Например, у нас есть три числовых множества: {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} и {6, 6, 8, 8}. У всех трёх множеств средние значения равны 7, а среднеквадратические отклонения, соответственно, равны 7, 5 и 1. У последнего множества среднеквадратическое отклонение маленькое, так как значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения; у первого множества самое большое значение среднеквадратического отклонения - значения внутри множества сильно расходятся со средним значением.

В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределённости. К примеру, в физике среднеквадратическое отклонение используется для определения погрешности серии последовательных измерений какой-либо величины. Это значение очень важно для определения правдоподобности изучаемого явления в сравнении с предсказанным теорией значением: если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратического отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить. отождествляется с риском портфеля.

Климат

Предположим, существуют два города с одинаковой средней максимальной дневной температурой, но один расположен на побережье, а другой на равнине. Известно, что в городах, расположенных на побережье, множество различных максимальных дневных температур меньше, чем у городов, расположенных внутри континента. Поэтому среднеквадратическое отклонение максимальных дневных температур у прибрежного города будет меньше, чем у второго города, несмотря на то, что среднее значение этой величины у них одинаковое, что на практике означает, что вероятность того, что максимальная температура воздуха каждого конкретного дня в году будет сильнее отличаться от среднего значения, выше у города, расположенного внутри континента.

Спорт

Предположим, что есть несколько футбольных команд, которые оцениваются по некоторому набору параметров, например, количеству забитых и пропущенных голов, голевых моментов и т. п. Наиболее вероятно, что лучшая в этой группе команда будет иметь лучшие значения по большему количеству параметров. Чем меньше у команды среднеквадратическое отклонение по каждому из представленных параметров, тем предсказуемее является результат команды, такие команды являются сбалансированными. С другой стороны, у команды с большим значением среднеквадратического отклонения сложно предсказать результат, что в свою очередь объясняется дисбалансом, например, сильной защитой, но слабым нападением.

Использование среднеквадратического отклонения параметров команды позволяет в той или иной мере предсказать результат матча двух команд, оценивая сильные и слабые стороны команд, а значит, и выбираемых способов борьбы.

Программа Excel высоко ценится как профессионалами, так и любителями, ведь работать с нею может пользователь любого уровня подготовки. Например, каждый желающий с минимальными навыками «общения» с Экселем может нарисовать простенький график, сделать приличную табличку и т.д.

Вместе с тем, эта программа даже позволяет выполнять различного рода расчеты, к примеру, расчет , но для этого уже необходим несколько иной уровень подготовки. Впрочем, если вы только начали тесное знакомство с данной прогой и интересуетесь всем, что поможет вам стать более продвинутым юзером, эта статья для вас. Сегодня я расскажу, что собой представляет среднеквадратичное отклонение формула в excel, зачем она вообще нужна и, собственно говоря, когда применяется. Поехали!

Что это такое

Начнем с теории. Средним квадратичным отклонением принято называть квадратный корень, полученный из среднего арифметического всех квадратов разностей между имеющимися величинами, а также их средним арифметическим. К слову, эту величину принято называть греческой буквой «сигма». Стандартное отклонение рассчитывается по формуле СТАНДОТКЛОН, соответственно, программа делает это за пользователя сама.

Суть же данного понятия заключается в том, чтобы выявить степень изменчивости инструмента, то есть, это, в своем роде, индикатор родом из описательной статистики. Он выявляет изменения волатильности инструмента в каком-либо временном промежутке. С помощью формул СТАНДОТКЛОН можно оценить стандартное отклонение при выборке, при этом логические и текстовые значения игнорируются.

Формула

Помогает рассчитать среднее квадратичное отклонение в excel формула, которая автоматически предусмотрена в программе Excel. Чтобы ее найти, необходимо найти в Экселе раздел формулы, а уже там выбрать ту, которая имеет название СТАНДОТКЛОН, так что очень просто.

После этого перед вами появится окошко, в котором нужно будет ввести данные для вычисления. В частности, в специальные поля следует вписать два числа, после чего программа сама высчитает стандартное отклонение по выборке.

Бесспорно, математические формулы и расчеты – вопрос достаточно сложный, и не все пользователи с ходу могут с ним справиться. Тем не менее, если копнуть немного глубже и чуть более детально разобраться в вопросе, оказывается, что не все так уж и печально. Надеюсь, на примере вычисления среднеквадратичного отклонения вы в этом убедились.

Видео в помощь

Приближенный метод оценки колеблемости вариационного ряда - определение лимита и амплитуды, однако не учитывают значений вариант внутри ряда. Основной общепринятой мерой колеблемости количественного признака в пределах вариационного ряда является среднее квадратическое отклонение (σ - сигма) . Чем больше среднее квадратическое отклонение, тем степень колеблемости данного ряда выше.

Методика расчета среднего квадратического отклонения включает следующие этапы:

1. Находят среднюю арифметическую величину (Μ).

2. Определяют отклонения отдельных вариант от средней арифметической (d=V-M). В медицинской статистике отклонения от средней обозначаются как d (deviate). Сумма всех отклонений равняется нулю.

3. Возводят каждое отклонение в квадрат d 2 .

4. Перемножают квадраты отклонений на соответствующие частоты d 2 *p.

5. Находят сумму произведений å(d 2 *p)

6. Вычисляют среднее квадратическое отклонение по формуле:

При n больше 30,или при n меньше либо равно 30, где n - число всех вариант.

Значение среднего квадратичного отклонения:

1. Среднее квадратическое отклонение характеризует разброс вариант относительно средней величины (т.е. колеблемость вариационного ряда). Чем больше сигма, тем степень разнообразия данного ряда выше.

2. Среднее квадратичное отклонение используется для сравнительной оценки степени соответствия средней арифметической величины тому вариационному ряду, для которого она вычислена.

Вариации массовых явлений подчиняются закону нормального распределения. Кривая, отображающая это распределение, имеет вид плавной колоколообразной симметричной кривой (кривая Гаусса). Согласно теории вероятности в явлениях, подчиняющихся закону нормального распределения, между значениями средней арифметической и среднего квадратического отклонения существует строгая математическая зависимость. Теоретическое распределение вариант в однородном вариационном ряду подчиняется правилу трех сигм.

Если в системе прямоугольных координат на оси абсцисс отложить значения количественного признака (варианты), а на оси ординат - частоты встречаемости вариант в вариационном ряду, то по сторонам от средней арифметической равномерно располагаются варианты с большими и меньшими значениями.

Установлено, что при нормальном распределении признака:

68,3% значений вариант находится в пределах М±1s

95,5% значений вариант находится в пределах М±2s

99,7% значений вариант находится в пределах М±3s

3. Среднее квадратическое отлонение позволяет установить значения нормы для клинико-биологических показателей. В медицине интервал М±1s обычно принимается за пределы нормы для изучаемого явления. Отклонение оцениваемой величины от средней арифметической больше, чем на 1s указывает на отклонение изучаемого параметра от нормы.

4. В медицине правило трех сигм применяется в педиатрии для индивидуальной оценки уровня физического развития детей (метод сигмальных отклонений), для разработки стандартов детской одежды

5. Среднее квадратическое отклонение необходимо для характеристики степени разнообразия изучаемого признака и вычисления ошибки средней арифметической величины.

Величина среднего квадратического отклонения обычно используется для сравнения колеблемости однотипных рядов. Если сравниваются два ряда с разными признаками (рост и масса тела, средняя длительность лечения в стационаре и больничная летальность и т.д.), то непосредственное сопоставление размеров сигм невозможно, т.к. среднеквадратическое отклонение - именованная величина, выраженная в абсолютных числах. В этих случаях применяют коэффициент вариации (Cv) , представляющий собой относительную величину: процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической.

Коэффициент вариации вычисляется по формуле:

Чем выше коэффициент вариации, тем большая изменчивость данного ряда. Считают, что коэффициент вариации свыше 30 % свидетельствует о качественной неоднородности совокупности.

Мудрые математики и статистики придумали более надежный показатель, хотя и несколько другого назначения – среднее линейное отклонение . Этот показатель характеризует меру разброса значений совокупности данных вокруг их среднего значения.

Для того, чтобы показать меру разброса данных нужно вначале определиться, относительно чего этот самый разброс будет считаться - jбычно это средняя величина. Дальше нужно посчитать, насколько значения анализируемой совокупности данных находятся далеко от средней. Понятное дело, что каждому значению соответствует некоторая величина отклонения, но нас же интересует общая оценка, охватывающая всю совокупность. Поэтому рассчитывают среднее отклонение по формуле обычной средней арифметической. Но! Но для того, чтобы рассчитать среднее из отклонений, их нужно вначале сложить. И если мы сложим положительные и отрицательные числа, то они взаимоуничтожатся и их сумма будет стремиться к нулю. Чтобы этого избежать, все отклонения берутся по модулю, то есть все отрицательные числа становятся положительными. Вот теперь среднее отклонение будет показывать обобщенную меру разброса значений. В итоге, средне линейное отклонение будет рассчитываться по формуле:

a – среднее линейное отклонение,

x – анализируемый показатель, с черточкой сверху – среднее значение показателя,

n – количество значений в анализируемой совокупности данных,

оператор суммирования, надеюсь, никого не пугает.

Рассчитанное по указанной формуле среднее линейное отклонение отражает среднее абсолютное отклонение от средней величины по данной совокупности.

На картинке красная линия - это среднее значение. Отклонения каждого наблюдения от среднего указаны маленькими стрелочками. Именно они берутся по модулю и суммируются. Потом все делится на количество значений.

Для полноты картины нужно привести еще и пример. Допустим, имеется фирма по производству черенков для лопат. Каждый черенок должен быть 1,5 метра длиной, но, что еще важней, все должны быть одинаковыми или, по крайней мере, плюс-минус 5 см. Однако нерадивые работники то 1,2 м отпилят, то 1,8 м. Дачники недовольны. Решил директор фирмы провести статистический анализ длины черенков. Отобрал 10 штук и замерял их длину, нашел среднюю и рассчитал среднее линейное отклонение. Средняя получилась как раз, что надо – 1,5 м. А вот среднее линейное отклонение вышло 0,16 м. Вот и получается, что каждый черенок длиннее или короче, чем нужно в среднем на 16 см. Есть, о чем поговорить с работниками. На самом деле я не встречал реального использования данного показателя, поэтому пример придумал сам. Тем не менее, в статистике есть такой показатель.

Дисперсия

Как и среднее линейное отклонение, дисперсия также отражает меру разброса данных вокруг средней величины.

Формула для расчета дисперсии выглядит так:

(для вариационных рядов (взвешенная дисперсия))

(для несгруппированных данных (простая дисперсия))

Где: σ 2 – дисперсия, Xi – анализируемsq показатель (значение признака), – среднее значение показателя, f i – количество значений в анализируемой совокупности данных.

Дисперсия - это средний квадрат отклонений.

Сначала рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат, умножается на частоту соответствующего значения признака, складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности.

Однако в чистом виде, как, например, средняя арифметическая, или индекс, дисперсия не используется. Это скорее вспомогательный и промежуточный показатель, который используется для других видов статистического анализа.

Упрощенный способ расчета дисперсии

Среднеквадратическое отклонение

Чтобы использовать дисперсию дл анализа данных из нее извлекают квадратный корень. Получается так называемое среднеквадратическое отклонение .

Кстати, стандартное отклонение еще называют сигмой – от греческой буквы, которой его обозначают.

Среднеквадратическое отклонение, очевидно, также характеризует меру рассеяния данных, но теперь (в отличие от дисперсии) его можно сравнивать с исходными данными. Как правило, среднеквадратические показатели в статистике дают более точные результаты, чем линейные. Следовательно, среднеквадратическое отклонение является более точным показателем меры рассеяния данных, чем среднее линейное отклонение.

При статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

Среднеквадратическое отклонение:

Стандартное отклонение (оценка среднеквадратического отклонения случайной величины Пол, стены вокруг нас и потолок,x относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии):

где - дисперсия ; - Пол, стены вокруг нас и потолок,i -й элемент выборки; - объём выборки; - среднее арифметическое выборки:

Правило трёх сигм

Правило трёх сигм () - практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале . Более строго - не менее чем с 99,7 % достоверностью значение нормально распределенной случайной величины лежит в указанном интервале (при условии, что величина истинная, а не полученная в результате обработки выборки).

Если же истинная величина неизвестна, то следует пользоваться не , а Пол, стены вокруг нас и потолок,s . Таким образом, правило трёх сигм преобразуется в правило трёх Пол, стены вокруг нас и потолок,s .

Интерпретация величины среднеквадратического отклонения

Большое значение среднеквадратического отклонения показывает большой разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; маленькое значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.

В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределенности. К примеру, в физике среднеквадратическое отклонение используется для определения погрешности серии последовательных измерений какой-либо величины. Это значение очень важно для определения правдоподобности изучаемого явления в сравнении с предсказанным теорией значением: если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратического отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить.

Практическое применение

На практике среднеквадратическое отклонение позволяет определить, насколько значения в множестве могут отличаться от среднего значения.

Климат

Предположим, существуют два города с одинаковой средней максимальной дневной температурой, но один расположен на побережье, а другой внутри континента. Известно, что в городах, расположенных на побережье, множество различных максимальных дневных температур меньше, чем у городов, расположенных внутри континента. Поэтому среднеквадратическое отклонение максимальных дневных температур у прибрежного города будет меньше, чем у второго города, несмотря на то, что среднее значение этой величины у них одинаковое, что на практике означает, что вероятность того, что максимальная температура воздуха каждого конкретного дня в году будет сильнее отличаться от среднего значения, выше у города, расположенного внутри континента.

Спорт

Технический анализ

См. также

Литература

Эта статья предлагается к удалению.

Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/17 декабря 2012.
Пока процесс обсуждения не завершён, статью можно попытаться улучшить, однако следует воздерживаться от переименований или удаления содержания, подробнее см. руководство к дальнейшему действию.
Не снимайте пометку о выставлении на удаление до окончания обсуждения. Администраторам: ссылки сюда, история (последнее изменение), журналы , удалить .

* Боровиков, В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов / В. Боровиков. - СПб. : Питер, 2003. - 688 с. - ISBN 5-272-00078-1 .

Статистические показатели

Описательная
статистика

Непрерывные
данные

Коэффициент сдвига	Среднее (Арифметическое , Геометрическое , Гармоническое) · Медиана · Мода · Размах
Вариация	Ранг · Среднеквадратическое отклонение · Коэффициент вариации · Квантиль (Дециль, Процентиль/Перцентиль/Центиль)
Моменты	Математическое ожидание · Дисперсия · Асимметрия · Эксцесс

Дискретные
данные

Частота · Таблица контингентности

Статистический
вывод и
проверка
гипотез

Статистический вывод	Доверительный интервал (Частотная вероятность) · Достоверный интервал (Байесовский вывод) · Статистическая значимость · Мета-анализ
Планирование эксперимента	Генеральная совокупность · Планирование выборки · Районированная выборка · Репликация · Группировка · Чувствительность и специфичность
Объём выборки	Статистическая мощность · Мера эффекта · Стандартная ошибка
Общая оценка	Байесовская оценка решения ·