Комбинаторика
Комбинаторика – раздел математики, посвященный подсчетуколичеств разных комбинаций элементов некоторого, обычно
конечного, множества
Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц
(21июня1646-14 ноября 1716) -
немецкий философ, математик,
логик, физик, юрист, языковед,
историк, дипломат
Блез Паска́ль
(19 июня 1623 - 19 августа 1662) -
французский математик, механик, физик,
литератор и философ
2
Задачи
1) Сколькими способами 6 разных папок с документами можнорасставить на полке?
2) При расследовании хищения установлено, что у преступника
шестизначный номер телефона, в котором все цифры различны
и нет нулей. Следователь, полагая, что перебор этих номеров
достаточно будет одного - двух часов, доложил о раскрытии
преступления. Прав ли он?
3) На иномарке, скрывшейся с места ДТП, был трехзначный
номер, в котором первая цифра 2. Сколько номеров
необходимо проверить по картотеке ГИБДД, чтобы найти
нарушителя?
3
Принципы комбинаторики Принцип сложения
Основные принципы комбинаторики:Принцип сложения.
Принцип умножения.
Принцип сложения
Задача 1: В группе 7 девушек и 8 юношей. Сколькими
способами можно выбрать 1 человека для работы у доски?
Решение: 7+8=15
Задача 2: В группе 7 человек имеют «5» по математике, 9
человек – «5» по философии. В сессии 2 экзамена. Известно,
что 4 человека сдали сессию отлично. Сколько человек
имеют хотя бы одну пятерку в сессии?
Решение: 7+9-4=12
4
Принцип сложения
Принцип сложения: Если объект a можно получить nспособами, объект b можно получить m способами,
то объект «a или b» можно получить n+m-k
способами, где k – это количество повторяющихся
способов.
Теоретико-множественная формулировка
A B A B A B
5
Принцип умножения
Задача: На вершину горы ведут 5 дорог.Сколькими способами можно подняться на гору и
спуститься с нее?
Решение: 5∙5=25.
Принцип умножения: если объект a можно получить
n способами, объект b можно получить m
способами, то объект «a и b» можно получить m∙n
способами.
Теоретико-множественная формулировка
A B A B
6
Задачи
Из 3 экземпляров учебника алгебры, 5экземпляров учебника геометрии и 7
экземпляров учебника истории нужно выбрать
по одному экземпляру каждого учебника.
Сколькими способами это можно сделать?
3 5 7 105
7
Задачи
От дома до школы существует 6 маршрутов.Сколькими способами можно дойти до школы
и вернуться, если дорога «туда» и «обратно»
идет по разных маршрутам?
Решение. По принципу умножения
6 5 30
8
Задачи
В корзине лежат 7 различных яблок и 5 апельсинов.Яша выбирает из нее яблоко или апельсин, после чего
Полина берет яблоко и апельсин. В каком случае
Полина имеет большую свободу выбора: если Яша взял
яблоко или если он взял апельсин?
Решение. Если Яша взял яблоко, то по принципу
умножения Полина может осуществить свой выбор
6 5 30
способами. Если Яша взял апельсин,
то способами.
7 4 28
В первом случае у Полины свобода выбора большая.
9
Задачи
В классе 24 человека. Из них 15 человек изучаютанглийский язык, 12 – немецкий язык, 7 – оба языка.
сколько человек не изучают ни одного языка?
Решение. По принципу сложения 2 получим
количество людей, изучающих английский или
немецкий 15+12-7=20. Из общего числа учеников
класса вычтем полученное количество людей.
24-20=4. 4 человека не изучает ни одного языка.
15
7
12
10
Замечание
n!читается «n факториал» и вычисляется по формуле
Например,
n! 1 2 3 ... n.
3! 1 2 3 6,
5! 1 2 3 4 5 120.
Считают, что 0!=1
11
Перестановки без повторений
Определение 1Перестановкой n элементного множества называется
упорядоченный набор неповторяющихся элементов этого
множества длины n.
А а; b; с;
Пример:
перестановки: a; b; c ; b; a; c ; a; c; b ; b; c; a ; c; a; b ; c; b; a
Число размещений n – элементного множества обозначают Pn и
вычисляется по формуле:
Pn n!
Задача: В команде 6 человек. Сколькими способами можно
осуществить построение?
P6 6! 720
12
Перестановки с повторениями
Определение 2Число перестановок n – элементов, в котором
типа (i 1, k) вычисляется по формуле
Pn (n1 , n2 ,..., nk)
ni элементов i –того
(n1 n2 ... nk)!
n1!n2 !.... nk !
Задача: Сколько слов можно составить, переставив буквы в слове
«экзамен», а в слове «математика»?
Решение:
7! 5040
10!
151200
2! 3! 2! 1! 1! 1!
13
Размещение без повторений
Определение 3k -размещением без повторений n–элементного множества
называется упорядоченный набор длины k попарно различных
элементов данного множества.
A a; b; c - 2 размещения: a; b ; a; c ; b; c ; b; a ; c; a ; c; b
Число k- размещений n элементного множества обозначается
Ank
и вычисляется по формуле:
Пример:
n!
A
n k !
k
n
Задача: В соревновании участвуют 12 команд, сколькими
способами они могут занять призовые места?
А123
12!
12 11 10 1320
9!
14
Размещения с повторениями
Определение 4k – размещением с повторениями n–элементного множества называется
упорядоченный набор длины k элементов данного множества.
А а; b; с
Пример
2- размещения с повторениями:
a; b ; b; a ; a; c ; c; a ; b; c ; c; b ; a; a ; b; b ; c; c
Число k – размещений с повторениями вычисляется по формуле:
Аnk n k
Задача: Сколько существует номеров машин?
А103 А123 123 103
15
Решение задач
16Задачи
1)Сколькими способами можно составить список из8 студентов, если нет полного совпадения ФИО?
Решение
P8 8! 40320
17
Задачи
2)Сколькими способами можно составить список 8студентов, так, чтобы два указанных студента
располагались рядом?
Решение
Можно считать двоих указанных студентов за один
объект и считать число перестановок уже 7
объектов, т.е.
P7 7! 5040
Так как этих двоих можно переставлять местами друг
с другом, необходимо умножить результат на 2!
P7 2! 7! 2! 5040 2 10080
18
Задачи
3) Сколькими способами можно разделить 11 спортсменовна 3 группы по 4, 5 и 2 человека соответственно?
Решение. Сделаем карточки: четыре карточки с номером 1,
пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3.
Будем раздавать эти карточки с номерами групп
спортсменам, и каждый способ раздачи будет
соответствовать разбиению спортсменов на группы. Таким
образом нам необходимо посчитать число перестановок 11
карточек, среди которых четыре карточки с одинаковым
номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с
номером 3.
P(4,5,2)
11!
6 7 8 9 10 11
6930
4!5!2! 1 2 3 4 1 2
19
Задачи
4) Сколькими способами можновызвать по очереди к доске 4
учеников из 7?
Решение. Задача сводится к
подсчету числа размещений из 7
элементов по 4
7!
7!
A
4 5 6 7 840
(7 4)! 3!
4
7
20
Задачи
5)Сколько существует четырехзначных чисел, у которыхвсе цифры различны?
Решение. В разряде единиц тысяч не может быть нуля, т.е
возможны 9 вариантов цифры.
В остальных трех разрядах не может быть цифры,
стоящей в разряде единиц тысяч (так как все цифры
должны быть различны), поэтому число вариантов
вычислим по формуле размещений без повторений из 9 по
3
A93 9 8 7 504
По правилу умножения получим
9 A93 4536
21
Задачи
6)Сколько существует двоичных чисел, длинакоторых не превосходит 10?
Решение. Задача сводится к подсчету числа
размещений с повторениями из двух элементов
по 10
10
2
A 2 1024
10
22
Задачи
7)В лифт 9 этажного дома зашли 7 человек. Сколькимиспособами они могут распределиться по этажам дома?
Решение. Очевидно, что на первом этаже никому не надо
выходить. Каждый из 7 человек может выбрать любой из 8
этажей, поэтому по правилу умножения получим
8
8
...
8 87 2097152
7
Можно так же применить формулу для числа размещений с
повторениями из 8 (этажей) по 7(на каждого человека по
одному этажу)
7
8
A 87
23
Задачи
8)Сколько чисел, меньше 10000 можно написать спомощью цифр 2,7,0?
Решение. Так как среди цифр есть 0, то, например
запись 0227 соответствует числу 227, запись 0072
соответствует числу 72, а запись 0007
соответствует числу 7. Таким образом, задачу
можно решить, используя формулу числа
размещений с повторениями
4
3
A 34 81
Лекция 7-8 - комбинаторика.doc
Лекции 7-8. Комбинаторика
История
Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) - раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов (безразлично, какой природы; это могут быть буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.).Комбинаторика связана со многими другими областями математики - алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и имеет широкий спектр применения, например в информатике и статистической физике.
Начав с анализа головоломок и азартных игр (го, кости, магические квадраты и др.), комбинаторика оказалась исключительно полезной для решения практических задач почти во всех разделах математики.
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». В течение всей своей жизни Лейбниц многократно возвращался к идеям комбинаторного искусства. Комбинаторику он понимал весьма широко, именно, как составляющую любого исследования, любого творческого акта, предполагающего сначала анализ (расчленение целого на части), а затем синтез (соединение частей в целое). Мечтой Лейбница, оставшейся, увы, неосуществлённой, оставалось построение общей комбинаторной теории. Комбинаторике Лейбниц предрекал блестящее будущее, широкое применение.
В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Так, Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов.
В 1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли "Искусство предположений", в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. "Искусство предположений" появилось после смерти автора и не было автором завершено. Сочинение состояло из 4 частей, комбинаторике была посвящена вторая часть, в которой содержатся формулы:
для числа перестановок из n элементов,
для числа сочетаний (называемого Я. Бернулли классовым числом) без повторений и с повторениями,
для числа размещений с повторениями и без повторений.
Научно-техническая революция, в частности внедрение ЭВМ во все области жизни, вызвала подлинный расцвет дискретной математики. Ее методы должны были стать достоянием не только математиков, но и научно-технических работников - программистов, инженеров, вычислителей, экономистов и других, обеспечивающих успешное функционирование, а также дальнейшую разработку и совершенствование многочисленных систем управления и сложных вычислительных устройств. И комбинаторика, будучи важной составной частью дискретной математики, одним из ее краеугольных камней, также испытала подлинный подъем.
^
Некоторые задачи комбинаторики
1. Найти конфигурацию элементов, обладающую заранее заданными свойствами.
В некоторых случаях такую конфигурацию удается найти сразу. Например, если требуется расположить 10 точек и 5 отрезков так, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки, то после недолгих размышлений мы вспоминаем фигуру пятиконечной звезды.
Конечно, если задача возникла из практики, то в большинстве случаев можно быть уверенным в существовании решения. Гораздо хуже в этом отношении положение шахматиста, рассчитывающего спасительную комбинацию, или специалиста по шифрам, придумывающего новый код с заранее заданными свойствами. Они не знают заранее, существует ли то, что они ищут, не являются ли их труды поисками черной кошки в темной комнате, где кошки и в помине не было. Таким образом, возникает вторая проблема комбинаторики.
^ 2. Доказать существование или отсутствие конфигурации с заданными свойствами.
Во многих случаях, однако, бывает недостаточно найти одну конфигурацию с заданными свойствами, а требуется описать все такие конфигурации и найти их число. Например, можно потребовать найти не одно, а все возможные расположения 10 точек на 5 отрезках, при которых на каждом отрезке лежат по 4 точки. Можно доказать, что кроме пятиконечной звезды есть еще пять расположений с таким свойством.
3. Найти общее число конфигураций с заданными свойствами.
4. Описать все способы решения данной комбинаторной задачи, дать алгоритм их перечисления.
5. Из всех решений данной комбинаторной задачи выбрать оптимальное по тем или иным параметрам.
Одной из классических оптимизационных задач является «задача о коммивояжере», в которой требуется наметить путь бродячего торговца, объезжающего заданные η городов, причем он должен по одному разу побывать в каждом городе и проделать весь путь за наименьшее время. Несмотря на усилия многих специалистов, до сих пор нет достаточно общего и удовлетворительного решения этой задачи.
^
Структура и методы
Комбинаторика располагает столь многообразными методами, решает столь разнообразные задачи, что трудно чётко обозначить её границы. Условно
в комбинаторной теории можно выделить следующие три большие части (см. схему):
Теория конфигураций является традиционным и наиболее разработанным разделом комбинаторики. Теория конфигураций рассматривает задачи выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества, в соответствии с заданными правилами.
Элементарными комбинаторными конфигурациями являются сочетания, размещения, перестановки. Для подсчёта числа этих конфигураций используются правила суммы и произведения.
^ Правило суммы: Если элемент A можно выбрать m способами, а элемент B можно выбрать k способами, то выбор элемента A или B можно осуществить m + k способами.
Правило суммы можно перефразировать на теоретико-множественном языке. Обозначим через | A | число элементов множества A , через A B - объединение множеств A и B , через A xB - декартово произведение множеств A и B . Тогда для непересекающихся множеств A и B выполняется равенство: | A B | = | A | + | B | .
Пример: В корзине находится 5 яблок и 7 груш. Сколькими способами можно взять из корзины 1 фрукт (1 яблоко или 1 грушу)? 5+7=12
Подобное правило выполняется тогда, когда множества не пересекается. Если же множества пересекаются, то используются принципы включения-исключения
. Формула для двух множеств имеет следующий вид:
^ |AB| = |A| + |B| - |AB|
В сумме элементы пересечения учтены дважды, и чтобы компенсировать это мы вычитаем из правой части формулы.
Пример: В группе учатся несколько студентов, каждый из которых имеет, по крайней мере, одну специализацию. На кафедре истории древнего мира и средних веков проходят специализацию 7 человек, на кафедре отечественной истории - 5 человек. Имеют две специализации 4 человека. Сколько студентов учится в группе.
|А|=7; |В|=5; |AB|=4; следовательно, конечная мощность множества |AB|=7+5-4=8.
Формула для двух множеств имеет следующий вид:
^ |ABС| = |A| + |B| + |С| - |AB| - |AС| - |ВС| + |ABС|
Пример: В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причём каждый из них знает хотя бы один иностранный язык: 12 человек знают английский, 10 - французский, 8 - немецкий, 6 знают английский и французский, 4 - немецкий и английский, 2 - французский и немецкий, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский язык? Только французский? Только немецкий? Сколько человек знает ровно 1 язык?
Введем следующие множества:
А – множество сотрудников, знающих английский язык;
В – множество сотрудников, знающих французский язык;
С – множество сотрудников, знающих немецкий язык.
^ |А|=12; |В|=10; |С|=8; |AB|=6; |AС|=4; |ВС|=2; |ABС|=1
Тогда конечная мощность множества |ABС| = 12+10+8-6-4-2+1=19.
В классе учатся 50 школьников, в том числе 25 мальчиков. Учатся на хорошо и отлично 30 школьников, в том числе 16 мальчиков. Спортом занимаются 28 учеников, среди которых 18 мальчиков и 17 школьников, учащихся на хорошо и отлично. Учатся на хорошо и отлично и в то же время занимаются спортом 15 мальчиков. Обозначим через м
принадлежность к мужскому полу, через у
- хорошую успеваемость и через с
- увлечение спортом. Подсчитаем, сколько девочек не занимаются спортом и получают время от времени тройки (а быть может, и двойки), т. е. найдем, чему равно |неМнеУнеС|.
По условию задачи имеем
^
|U|=50; |М|=25; |У|=30; |С|=28; |МУ|=16; |МС|=18; |СУ|=17; |МУС|=15
При такой постановке задачи, когда из известного множества, элементы которого обладают какими-либо свойствами, нужно найти мощность неизвестного подмножества, которые этими свойствами не обладают, используется следующая модификация формулы включения-исключения
:
|неAнеBнеС| = |U |-|A|-|B|-|С|+|AB|+|AС|+|ВС|-|ABС|
Ответ задачи:
Конечная мощность множества |неМнеУнеС| = 50-25-30-28+16+18+17-15=3
^ Правило произведения: Если элемент A можно выбрать m способами, а после каждого выбора элемента A элемент B можно выбрать k способами, тогда, упорядоченную пару элементов (A , B ) можно выбрать m*k способами.
На теоретико-множественном языке правило произведения формулируется так:
|A хB| = | A | | B | .
Пример: В магазине продаются розы, лилии, гвоздики четырех цветов: красного, белого, розового, чайного. Сколько различных цветов по виду и цвету продается в магазине?
Правило произведения можно распространить на выбор последовательности (x
1
,x
2
,…,x
n
) произвольной конечной длины n
.
Пример: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, если ни одна из цифр не повторяется более одного раза?
Шаг 1 - выбор первой цифры - 5-ю способами, т.к. 0 первым быть не может;
Шаг 2 - выбор второй цифры - 5-ю способами, т.к. цифры не повторяются, а одну мы уже выбрали;
Шаг 3 - выбор третьей цифры - 4-мя способами;
Шаг 4 - выбор четвертой цифры - 3-мя способами.
Следовательно, по правилу произведения, 5*5*4*3=300 способами можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5 четырехзначные числа, если ни одна из цифр не повторяется более одного раза.
Проверка:
У англичан принято давать ребенку несколько имен. Сколькими способами в Англии можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен? Хватит ли этих наборов на всех англичан (57 млн чел.) или непременно найдутся англичане с одинаковыми именами?
Ребенок может получить либо 1, либо 2, либо 3 имени. Следовательно всего вариантов: 300 + 300*299 + 300*299*298 = 26 820 600
^
Размещения, сочетания, перестановки
Мы рассмотрели некоторые общие правила решения комбинаторных задач. С их помощью можно решать задачи самых разных типов. Однако как в геометрии неудобно всегда сводить решение задачи к аксиомам, а удобнее пользоваться теоремами, так и в комбинаторике вместо решения задачи по общим правилам часто удобнее пользоваться готовыми формулами. Дело в том, что некоторые типы задач встречаются значительно чаще других. Комбинациям, которые встречаются в этих задачах, присвоены особые названия - размещения, перестановки и сочетания.
Для числа таких комбинаций выведены особые формулы, которыми и пользуются при решении различных комбинаторных задач.
^
Размещения с повторениями
размещен
один из предлагаемых видов элементов, причем он может повториться в нескольких местах.
Классической задачей на размещение с повторениями является задача «секретный замок ». Для запирания сейфов и автоматических камер хранения багажа применяют секретные замки, которые открываются лишь тогда, когда набрано некоторое «тайное слово» или тайный набор цифр. Это слово набирают с помощью одного или нескольких дисков, на которых нанесены буквы или цифры.
Пусть число букв на каждом диске равно 12, а число дисков равно 5. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова и подбирающим его наудачу?
Диски представляют собой вакантные места, в каждое из которых будет размещен
один из предлагаемых видов элементов, т.е. одна из двенадцати букв, причем одна и та же буква может повторяться на нескольких дисках.
Подобные конфигурации принято обозначать
Так как по условию буква на каждом диске может быть выбрана 12 способами, а дисков 5, то по правилу умножения мы можем заключить, что максимальное число комбинаций будет А 5 12 = 12*12*12*12*12*12 или 12 5 = 248 832. Значит, неудачных попыток может быть 248 831. Считая по 6 секунд на одну попытку, получаем, что для открытия сейфа понадобится более 400 часов непрерывной работы. Впрочем, обычно сейфы делают так, чтобы после первой же неудачной попытки раздавался сигнал тревоги.
Опираясь на этот пример, мы можем записать формулу:
Проверка:
1. Единицей цифровой информации в двоичной системе является байт – это «слово», состоящее из 8 бит (каждый бит – это двоичный разряд, состоящий из 0 или 1). Почему кодовая таблица для шрифтов содержит именно 256 знаков?
Количество мест для заполнения (т.е. k) по условию у на 8, видов элементов для заполнения мест (т.е. n) всего 2. Следовательно, А 8 2 = 2 8 = 256
2.
Азбука Морзе предполагает кодирование символами «.» и «-». При этом самые часто встречаемые буквы обозначаются одним символом (например, Е – «.»), а менее всего встречаемые - пятью символами (например, Э – «..–..»). Сколько букв, цифр, знаков препинания закодировано одним, двумя, тремя, четырьмя, пятью символами? Почему именно пять символов стало максимальной длиной для кодирования?
А 1 2 = 2 1 =2
А 2 2 = 2 2 =4
А 3 2 = 2 3 =8
А 4 2 = 2 4 =16
А 5 2 = 2 5 =32
По правилу сложения 2+4+8+16+32=62 символа можно закодировать с помощью подобных комбинаций, что достаточно для букв, цифр и знаков препинания.
^
Размещения без повторений
Подобные задачи должны содержать в условии некоторый упорядоченный набор вакантных мест, в каждое из которых будет размещен
один из предлагаемых видов элементов, причем он не может повториться в нескольких местах и как только занимает определенное место, автоматически исключается из списка элементов.
Классической задачей на размещение с повторениями является задача «первенство по футболу».
В первенстве страны по футболу участвовали 16 команд. Перед началом первенства был объявлен конкурс знатоков, в котором требовалось предсказать распределение медалей. Сколько различных ответов можно дать на этот вопрос?
Эта задача решается на основе правила произведения. Комплект золотых медалей может получить любая из 16 команд. Иными словами, здесь у нас 16 возможностей. Но если золотые медали уже завоеваны какой-то командой, занявшей 1 место, то остается лишь 15 претендентов на второе место и серебряные медали. Повторения здесь не может быть - одна и та же команда не может завоевать и золотые, и серебряные медали. Значит, после вручения чемпиону золотых медалей остается 15 возможностей получения серебряных медалей. Точно так же, если уже вручены и золотые, и серебряные медали, то на третье место и бронзовые медали претендует лишь одна из оставшихся 14 команд. По правилу произведения получаем, что медали могут быть распределены 16*15*14 = 3 360 способами.
Во многих комбинаторных задачах, которые рассматривают комбинации без повторений, встречается подобные произведения числа. Допустим, что условие предполагает некоторое число nN. Обозначим произведение всех натуральных чисел от 1 до n как n!
(читается, как «эн-факториал»). 1!=1; 2!=1*2=2; 3!=1*2*3=6; 4!=1*2*3*4=24; удобно считать, что 0!=1.
Число размещений из n элементов по k может быть записано в виде:
Приведенную выше задачу можно вписать в эту формулу:
А 3 16 = 16! / (16-3)! = 16! / 13! =
1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16
/ 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13 = после сокращения =
14*15*16 = 3360.
Проверка:
1. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост!
В этом случае надо найти число размещений (без повторений) из 25 элементов по 4. Поэтому ответ дается формулой А 4 25 = 25! / (25-4)! = 25! / 21! = 22*23*24*25.
2.
В соревновании по гимнастике участвуют 10 человек. Четверо судей должны независимо друг от друга пронумеровать их в порядке, отражающем их выступление в соревновании. Победителем считается тот, кого назовут первым хотя бы двое судей. В какой доле случаев победитель соревнований будет определен?
Четыре судьи могут выбрать победителя 10 4 =10000 способами. Трех различных кандидатов они назовут в А 4 10 = 5040 случаях. Поэтому совпадение хотя бы у двух судей будет в 4960 случаях.
^
Перестановки без повторений
Подобные задачи должны содержать в условии набор n-элементов, равный числу k-мест (n=k). В таком случае искомые комбинации будут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов
. Такие размещения из n элементов по n называют перестановками из n элементов
. На теоретико-множественном языке перестановки без повторений определяются как задачи, выявляющие всех возможные варианты создания упорядоченных множеств из исходного множества.
Число перестановок из n элементов обозначают через Ρ n . Формула для P n сразу получается из формулы для числа размещений без повторений.
Р n = A n n = n! / (n-n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!
| P n = n! |
Классической задачей на размещение с повторениями является задача «Чайник за рулем!».
Сколько аварийных ситуаций создаст начинающий водитель, если нарушит правильную последовательность следующих операций.
Сесть в кресло водителя.
Пристегнуть ремень.
Завести двигатель.
Убедиться в отсутствии препятствия.
Указать направление собственного движения.
Пропустить все транспортные средства, для которых твой транспорт может стать препятствием.
Вырулить на полосу движения.
Число перестановок трехэлементного множества {а,b,c} = 3! = 1*2*3 = 6. Действительно, {a,b,c};{b,c,a};{c,a,b};{a,c,b};{c,b,a};{b,a,c}
Проверка:
1. На званый вечер приглашены 5 мужчин и 5 женщин. Напротив каждого места на стол необходимо поставить табличку с именем того, кто будет на этом месте сидеть, но никакие два лица одного пола не должны сидеть рядом. Сколькими способами можно расставить таблички?
Разделение мест на «мужские» и «женские» можно провести двумя способами: Р 2 =2!=2. Мужчин можно рассадить 5! способами, также как и женщин 5! способами. Следовательно, таблички расставляются 2*5!*5! способами = 2*5! 2 способами = 28800 способами.
2.
Сколько нечетных и сколько четных четырехзначных чисел можно составить из цифр числа 3694, если каждую цифру надо использовать один раз?
На последнем месте может стоять либо цифра 3, либо 9, а остальные цифры можно переставлять P 3 = 3! способами. Всего получаем 12 нечетных чисел. Точно так же получаем, что количество четных чисел равно 12.
^
Перестановки с повторениями
Подобные задачи должны содержать в условии набор элементов, некоторые из которых повторяются. Обозначается как P(n
1,
n
2,
..,
n
i
)
.
При этом n=n
1
+n
2
+n
i
.
Если некоторые переставляемые предметы одинаковы, то получается меньше перестановок т.к. некоторые перестановки совпадут друг с другом.
Например, в слове из 4-х неповторяющихся букв число перестановок = 4! = 24. В слове же «мама» имеется два элемента двух различных типов, т.е. 2 элемента буквы «м» и 2 элемента буквы «а». Здесь будет всего 6 перестановок: «мама», «амам», «маам», «амма», «аамм», «ммаа».
Сокращение количества перестановок происходит из-за того, что меняя повторяющиеся типы элементов, мы получаем один и тот же вариант.
Сколько перестановок можно сделать в слове «математика»?
Здесь у нас две буквы «м», три буквы «а», две буквы «т», по одной буквы «е», «и», «к», а всего 10 букв. Значит, по формуле число перестановок равно
Р (2,3,2,1,1,1) = 10! / 2!*3!*2!*1!*1!*1! = 3628800/2*6*2*1*1*1 = 3628800/24 = 151200
Проверка:
1. У мамы 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых мандарина и 4 одинаковых апельсина. Каждый день в течение 9 дней подряд она выдает сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?
Р(2, 3, 4) = 1260.
2. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы слова: а) «парабола»; в) «ингредиент»?
А) Р(3, 1, 1, 1, 1, 1) = 8! / 3!*1!*1!*1!*1!*1! = 40320/6 = 6720;
Б) Р(2, 2, 2, 1, 1, 1, 1) = 10! / 2!*2!* 2!*1!*1!*1!*1! = 3628800/8 = 453600
3. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой линии шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)?
Р(2, 2, 2, 1, 1) = 5040
4. На первые две линии шахматной доски произвольным образом ставятся белые и черные фигуры (по два коня, два слона, две ладьи, ферзь и король каждого цвета). Сколькими способами можно это сделать? Сколькими способами можно расставить те же фигуры по всей доске? А если расставляются и все пешки (по 8 пешек каждого цвета)?
Р(2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1). На всей доске добавляется 48 пустых полей, поэтому ответ Р(48, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1). С пешками ответ Р(32, 8, 8, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1).
^
Сочетания без повторений
В тех случаях, когда нас не интересует порядок элементов в комбинации, а интересует лишь состав частей, на которые мы ее разделили, говорят о сочетаниях. Сочетаниями из n элементов по k называют любой выбор k элементов из имеющихся различных n элементов. Различные сочетания отличаются друг от друга составом, но не порядком элементов
- порядок их перечисления вообще не важен. На теоретико-множественном языке сочетания можно определить как все известные подмножества из k-элементов заданного множества из n-элементов.
Число сочетаний, которые можно составить из n элементов по k, обозначают через С k n или 
.
В классической задаче на размещение без повторений «первенство по футболу» нас интересовало, кто конкретно займет 1-ое, 2-ое и 3-е места. Но если нас будут интересовать только группа призеров и неважно будет, кто конкретно получил золото, серебро и бронзу (иными словами, из 16-тиэлементного множества мы должны составить все возможные 3-хэлементные множества), то вариантов распределения будет в 6 раз т.е. в 3! раз меньше. 3360 / 3! = 3360/6 = 560
| 1-Спартак 3-Торпедо | 1-Спартак 2-Торпедо | 1-Динамо 2-Спартак 3-Торпедо | 1-Динамо 2-Торпедо 3-Спартак | 1-Торпедо 2-Спартак | 1-Торпедо 2-Динамо 3-Спартак |
или 
* Подобные коэффициенты еще называют биноминальными коэффициентами.
Классической задачей на сочетания без повторений является задача «Прощай, высшая лига!»
В первенстве страны по футболу участвуют 16 команд, а по итогам первенства высшую лигу покидают команды, занявшие последние два места. Каково будет число различных «печальных» исходов футбольного первенства?
Для любой из двух команд не важно, какое место оно займет предпоследнее или последнее, - все равно придется перейти во второй эшелон. Поэтому из 16-тиэлементного множества, мы должны составить все возможные 2-хэлементные подмножества.
Следовательно, С 2 16 = 16! / 14! * 2! = 120
Проверка:
А) Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся пяти различных красок? Б) Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг (с тремя горизонтальными полосами), если имеется материя пяти различных цветов? В) А если один из цветов должен быть красным? Г) А если цвета могут повторяться, но не рядом (полосы должны быть различимы)?
Так как порядок красок не играет роли, то С 3 5 = 5! / 2! * 3! = 10 способов.
Здесь порядок красок уже важен, поэтому имеем А 3 5 = 5! / 2! = 60 способов.
Если одна полоса красная, то имеем 3 * А 2 4 = 3 * 4! / 2! = 36 способов.
Если цвета могут повторяться, то, осуществляя выбор сверху вниз, имеем 5 * 4 * 4 = 80 способов.
^
Сочетания c повторениями
Подобные задачи должны содержать в условии предметы n различных типов. Сколькими способами можно сделать из них комбинацию из k элементов, если не принимать во внимание порядок элементов в комбинации, при этом предметы одного типа могут повторяться! Иными словами, различные комбинации должны отличаться количеством предметов хотя бы одного типа.
Такие комбинации называют сочетаниями с повторениями из n элементов по k, а их число обозначают Č k n .
Классической задачей на сочетания без повторений является задача «Булочная-кондитерская».
В кондитерском магазине продавались пирожные 4 видов: корзиночки, наполеоны, песочные и эклеры. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
Č 7 4 = (7+(4-1))! / 7!*(4-1)! = 10! / 7! * 3!= С 7 10
Проверка:
В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? Сколькими способами можно купить 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?
В пособии излагаются основы комбинаторики и комбинаторных алгоритмов.
Предназначено для студентов I, II курсов математических специальностей.
Подготовлено на кафедре систем телекоммуникаций.
Введение в комбинаторику. Некоторые области применения задач комбинаторики.
Представителям самых различных специальностей и профессий приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр, объектов. Вот некоторые примеры:
задача составления расписания;
в химии: рассмотрение всевозможных связей между атомами и молекулами;
решение транспортных задач;
планы реализации какой-либо продукции;
задачи составления и декодирования шифров.
Определение 1. Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из данных объектов, называется комбинаторикой.
Содержание
Лекция 1. Введение в комбинаторику. Некоторые области применения задач комбинаторики. Прямое произведение множеств. Правило суммы и правило произведения для конечных множеств. Принцип Дирихле. Размещения без повторений, размещения с повторениями, сочетания без повторений, сочетания с повторениями, перестановки. Мультимножество
Введение в комбинаторику. Некоторые области применения задач комбинаторики
Прямое произведение множеств
Правило суммы и правило произведения
Принцип Дирихле
Размещения, сочетания, перестановки
Мультимножество
Лекция 2. Основные тождества, связанные с числом сочетаний. Бином Ньютона. Следствия из теоремы о биноме Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов
Основные тождества, связанные с числом сочетаний
Бином Ньютона
Следствия из теоремы о биноме Ньютона
Свойства биномиальных коэффициентов
Лекция 3. Треугольник Паскаля. Некоторые свойства треугольника Паскаля. Свойства шестиугольника для треугольника Паскаля. Разбиение множеств. Числа Стирлинга второго рода
Треугольник Паскаля
Некоторые свойства треугольника Паскаля
Свойства шестиугольника
Разбиения множества
Числа Стирлинга второго рода
Лекция 4. Числа Белла. Числа Стирлинга первого рода. Беззнаковое число Стирлинга первого рода
Число Белла
Числа Стирлинга первого рода
Беззнаковое число Стирлинга первого рода
Лекция 5. Формула включений и исключений. Задача о беспорядках
Формула включений и исключений
Задача о беспорядках
Лекция 6. Число элементов, обладающих ровно к свойствами. Задача о встречах. Число элементов, обладающих не менее чем к свойствами
Число элементов, обладающих ровно к свойствами
Задача о встречах
Лекция 7. Полиномиальная теорема. Методы в комбинаторном анализе. Метод производящих функций. Задача о взвешивании
Полиномиальная теорема
Методы в комбинаторном анализе. Метод производящих функций
Задача о взвешивании
Лекция 8. Производящие функции. Виды производящих функций. Свойства производящих функций. Таблица соответствий производящих функций и последовательностей
Производящие функции
Виды производящих функций
Свойства производящих функций
Таблица соответствий производящих функций и последовательностей
Лекция 9. Дифференцирование и интегрирование производящих функций. Некоторые элементарные производящие функции. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и последовательность из единиц
Дифференцирование и интегрирование производящих функций. Примеры использования
Некоторые элементарные производящие функции
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и последовательность из единиц
Лекция 10. Примеры нахождения производящих функций для заданной последовательности. Примеры нахождения для последовательности производящих функций
Примеры нахождения производящих функций для заданной последовательности
Примеры нахождения для последовательности производящих функций
Лекция 11. Решение однородных рекуррентных соотношений. Общий метод решения рекуррентного соотношения
Решение однородных рекуррентных соотношений
Общий метод решения рекуррентных соотношений
Лекция 12. Последовательность Фибоначчи. Примеры использования производящих функций. Вычисление корня числа через производящие функции
Последовательность Фибоначчи
Примеры использования производящих функций
Вычисление корня числа через производящие функции
Лекция 13. Числа Каталана. Последовательность Каталана и производящая функция Каталана. Алгоритм расстановки скобок
Числа Каталана
Последовательность Каталана и производящая функция Каталана
Алгоритм расстановки скобок
Лекция 14. Генерирование комбинаторных объектов. Перестановки. Сочетания. Разбиение чисел. Подмножества множеств
Перестановки
Сочетания
Разбиения чисел
Подмножества множества
Литература
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Комбинаторные алгоритмы»
1. Место дисциплины в структуре ООП
2. Цели и задачи дисциплины
3. Требования к результатам освоения дисциплины
4. Объем дисциплины и виды учебной работы
5. Содержание дисциплины
5.2. Лабораторный практикум
5.3. Практические занятия (семинары) не предусмотрены
6. Балльно-рейтинговая система оценки знаний, шкала оценок
7. Примерная тематика курсовых проектов (работ)
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
I. Информация о преподавателях (ссылка на страницу)
II. Литература
III. Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Лекции по дискретной математике, Часть I, Комбинаторика, Зарипова Э.Р., Кокотчикова М.Г., 2012 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.
Транскрипт
1 Лекция 1. Тема: «Элементы комбинаторики» Определение. Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий. Основные правила комбинаторики Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил - правила суммы и правила произведения. Правило суммы. Если некоторый объект можно выбрать способами, а другой объект можно выбрать способами, то выбор "либо, либо " можно осуществить способами. Правило произведения. Если объект можно выбрать способами, а после каждого такого выбора другой объект можно выбрать (независимо от выбора объекта) способами, то пары объектов и можно выбрать способами. Пример 1. Сколько существует двузначных чисел? Решение. Поскольку в двузначном числе цифра, обозначающая число десятков, должна быть отлична от нуля, то = {1, 2,..., 9}, = {0, 1, 2,..., 9} и Основные формулы комбинаторики 1. Выборки элементов без повторений Определение. Размещениями из элементов по называются такие выборки, которые, имея по элементов, выбранных из числа данных элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения. Число размещений из элементов по обозначим Используя основное правило комбинаторики, получаем 1
2 Пример 2. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные? Решение. Т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет: Пример 3. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, немецкого, французского, испанского - на любой другой из этих пяти языков? Решение. Поскольку важен порядок, с какого языка задается перевод на другой, то для ответа на вопрос необходимо найти число размещений из пяти по два. Определение. Если, то - число таких размещений, которые отличаются только порядком расположения элементов. Такие размещения называются перестановками. Их число находится по формуле Пример 4. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд? Решение. Эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг. Определение. Выборки из элементов, взятых из данных, отличающихся только составом элементов, называются сочетаниями из элементов по. Число таких сочетаний находится Пример 5. В соревнованиях на первенство университета по волейболу участвуют 8 команд. Насколько более продолжительным будет турнир, организованный по круговой системе, чем по олимпийской? Решение. При проведении турнира по круговой системе каждый участник встречался с каждым и порядок их вхождения в пару не важен. Следовательно, по круговой системе потребуется провести встреч, а по олимпийской только - 7 (четыре встречи в полуфинале и одна в финале). финала, две - в 2
3 Пример 6. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся? Решение. Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно: Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно. Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов). Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны. И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере. Пример 7. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек? Решение. В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5. Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок, которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5. Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k. Пример 8. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n 1 элементов, а вторая - из n 2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух 3
4 групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n 2. Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n 2. Так как в первой группе всего n 1 элемент, всего возможных вариантов будет n 1 *n 2. Пример 9. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться? Решение. n 1 =6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6). Итак, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4= Выборки элементов с повторениями В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n 1 =n 2 =...n k =n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k. Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением. В данных выборках допускается повторение элементов, что является достаточно естественным (например, в телефонных и автомобильных номерах возможно использование одной цифры несколько раз). Пример 10. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8? Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625. Число размещений из элементов по с повторениями обозначается и находится каким образом Число перестановок, в которых 1-й элемент повторяется раз, 2-й - раз, а -й - раз, находится следующим образом: Пример 11. Сколько "слов" можно получить, переставляя буквы в слове МАТЕМАТИКА? Решение. Заметим, что если бы все буквы были различны, то получили бы новых "слов", но буква "М" употребляется в "слове" 2 раза, "А" - 3 раза, 4
5 "Т" - 2 раза, оставшиеся три буквы - по разу. Следовательно, искомое число будет в раз меньше, чем, и равно Число сочетаний с повторениями из элементов по выражается через число сочетаний без повторений: Пример 12. В кафе в продаже имеются 5 сортов пирожных. Сколькими способами 8 студенток могут заказать себе по одному пирожному? Решение. Зашифруем каждую покупку 8 пирожных единицами по 5 сортам, разделяя сорта нулями. Тогда каждой покупке будет соответствовать упорядоченный набор из 8 единиц и 4 (= 5-1) разделительных нулей, а общее число покупок будет соответствовать числу перестановок этих нулей и единиц. Таким образом, Задачи для самопроверки 1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться? 2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево? 3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день? 4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек? 5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо? 6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать? 5
6 Задачи 1. В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами может определиться тройка призеров? 2. Из колоды, содержащей 36 карт, вынули 10 карт. Сколькими различными способами это можно сделать? В скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? В скольких случаях окажется ровно один туз? 3. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь друг за другом? 4. Сколькими способами можно расставить на книжной полке 5 учебников по комбинаторике, 4 - по алгебре и 3 - по математическому анализу, если учебники по каждому предмету одинаковые? 5. На физмате работают 76 преподавателей. Из них 49 знают английский язык, 32 - немецкий и 15 - оба языка. Сколько преподавателей на физмате не знает ни английского, ни немецкого языков? 6. В цветочном магазине продаются цветы 4 сортов. Сколько можно составить различных букетов из пяти цветов в каждом? 7. В азбуке Морзе буквы представляются последовательностями тире и точек. Сколько символов потребуется, чтобы закодировать буквы русского алфавита? 8. Какова вероятность выиграть хотя бы один из призов в спортлото? 6
КОМБИНАТОРИКА 1. Общие правила комбинаторики На практике часто приходиться выбирать из некоторого множества объектов подмножество элементов, обладающих теми или иными свойствами, располагать элементы одного
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ
Практическая работа 15 Расчет количества выборок Цель работы: научиться определять количество выборок, используя правила комбинаторики и основные формулы. Содержание работы. Основные понятия. 1 Правило
С О Д Е Р Ж А Н И Е 1 ТЕМА II. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ... 2 1. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ПРИМЕРЫ... 2 1.1. ПРИМЕРЫ... 2 2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И ФОРМУЛЫ... 3 3. ПРАВИЛА КОМБИНАТОРИКИ... 4 4.
Тема 48 «Поочередный и одновременный выбор» Наука, изучающая способы составления и количество множеств и их подмножеств, называется комбинаторикой. Каждое конкретное подмножество, составленное из элементов
КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ Вендина Алла Анатольевна Доцент кафедры математики и информатики Ставропольского государственного педагогического института Вендина А.А. Комбинаторные задачи. Задачи на выбор элементов
1) Имеется слово из 12 [неповторяющихся] букв. Сколькими способами можно переставить буквы в этом слове, чтобы получились всевозможные различные наборы букв? Поскольку все буквы различны, то n P12 12!
Урок 2.Размещения и сочетания Цели урока: образовательные: научить учащихся решать задачи с помощью формул сочетаний и размещений; различать комбинаторные соединения; научить решать задачи из жизни; воспитательные:
Комбинаторика Методы решения задач Румянцева ЛС Правило суммы Если конечные множества не пересекаются, то число элементов X U Y {или} равно сумме числа элементов множества X и числа элементов множества
{ определение правила равенства, суммы и произведения принцип включений исключений обобщение правила произведения общее правило произведения выборки перестановки и сочетания перестановки и сочетания с
Кафедра математики и информатики Математика Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Элементы теории вероятностей и математической статистики
Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Московской области «Балашихинский промышленно-экономический колледж»
И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Комбинаторика. Правило произведения При решении комбинаторных задач часто приходится умножать число способов выбора одного объекта на число способов выбора
Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов «Страница» с методическими материалами http://inter.vags.ru/hmp Волгоградский филиал РАНХиГС (ФГОУ
С А Лавренченко ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ «Три карты три карты три карты!» (Опера «Пиковая дама») Практическое занятие 1 11 Классическое определение вероятности 111 Простейшие задачи на классическое определение
Комбинаторикой (от латинского combinare соединять, сочетать) называют раздел математики, в котором изучаются задачи следующего типа: сколько комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, можно составить
Теория множеств и основы комбинаторики План лекции П.. Определение множества и подмножества... П.. Множества и отношения... П.. Операции над множествами... П. 4. Свойства операций над множествами... 4
Примеры комбинаторных задач и общие принципы комбинаторики Пример, навеянный сказкой Андерсена «Снежная королева». Помните, когда Герда нашла Кая в чертогах Снежной королевы, тот безуспешно складывал
ЗАНЯТИЕ 1 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ МИСИС 2013 УТВЕРЖДАЮ: Д.Е. Капуткин Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования
Лекция 1 Элементы комбинаторики Комбинаторика это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 В теории вероятностей часто приходится иметь дело с задачами, в которых необходимо подсчитывать число возможных способов совершения каких-либо действий. Задачи такого
4 Комбинаторика Перестановка это упорядоченный набор чисел 1 обычно трактуемый как биекция на множестве { 1 } которая числу i ставит в соответствие i-й элемент из набора Число при этом называется порядком
Пособие для учителей учреждений общего среднего образования Рекомендовано Научно-методическим учреждением «Национальный институт образования» Министерства образования Республики Беларусь М о з ы р ь «Белый
Пособие для учителей учреждений общего среднего образования Рекомендовано Научно-методическим учреждением «Национальный институт образования» Министерства образования Республики Беларусь М о з ы р ь 2
Тема 53 «Комбинированные задачи». Задачи, рассмотренные в данном разделе, обобщают сведения комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основные формулы комбинаторики. Без повторений С повторениями
Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Такое понятие, как множество, вообще говоря, не определяется,
Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов Интернет-ресурс с методическими материалами http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Волгоградский филиал
009-00 уч. год. 6, 0 кл. Математика. Элементы комбинаторики. Комбинаторикой (от латинского combinare соединять, сочетать) называют раздел математики, в котором изучаются задачи следующего типа: сколько
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. Правило произведения. Если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них имеется m вариантов выбора второго элемента, то всего существует n m различных пар
Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы» Иногда трудно самостоятельно разобраться со всеми заданиями, предлагаемыми на контрольных, особенно
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им Н И ЛОБАЧЕВСКОГО Факультет вычислительной математики и кибернетики Кафедра математической логики и высшей алгебры ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ (Пособие для студентов
1 Основные понятия комбинаторики 1 Приложение Определение Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут Пример Вычислить 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= 1 3 4 1 3 4 18
Задачи по теории вероятностей Н.М. Ефимова, учитель математики МБОУ «Гимназия» Теория вероятностей и математическая статистика занимаются построением и исследованием моделей различных ситуаций, связанных
Тема 49 «Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона». Основные формулы комбинаторики. Без повторений С повторениями A = n! n k! A = n Порядок важен P = A = n! P = A = n Pk, k, k = (k + k + + k)! k! k! k!
1.1. Классическое определение вероятности Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может
И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Десятичная запись 1 Всероссийская олимпиада школьников по математике................ 1 2 Московская математическая олимпиада........................
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического
III ОСНОВЫ КОМБИНАТОРИКИ Общие правила комбинаторики Комбинаторика это раздел дискретной математики, который изучает способы подсчета числа элементов различных конечных множеств Многие правила комбинаторики
Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий
Лекция 2: перечслительная комбинаторика Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Задачи перечислительной кмбинаторики имеют типовой вид: «сколько способов сделать
ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ Аксиомы Колмогорова В 1933 г. А. Н. Колмогоров в книге «Основные понятия теории вероятностей» дал аксиоматическое обоснование теории вероятностей. «Это означает, что, после
Основные понятия теории вероятностей Предыдущие заметки (см. оглавление) были посвящены методам сбора данных, способам построения таблиц и диаграмм, а также исследованию описательных статистик. В настоящей
Задачи и головоломки 1. Десятичная система счисления Десятичная система счисления является позиционной. В позиционных системах счисления вклад цифры в число зависит от положения этой цифры в записи числа.
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Лицей 38» города Белгорода Учебное занятие по теме: «Комбинаторное правило умножения» Учитель математики МАОУ «Лицей 38» г.белгорода Реуцкая Людмила
Достоверное событие. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Невозможное событие. Событие, которое
ЛЕКЦИЯ 1 ТЕМА: ВИДЫ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ КОМБИНАТОРИКИ. План 1. История комбинаторики 2. Некоторые задачи комбинаторики 3. Структура и методы 4. Примеры решения задач 1. История комбинаторики
В лекции использовались материалы из книги И.А. Лаврова ѕматематическая логикаї и из сборника Т.В. Андреевой ѕдискретная математика для социологовї. 1 Размещения n предметов по k ящикам, перестановки.
Лекция 1. Тема: ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТИ Предмет теории вероятностей. Историческая справка Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей, возникающих при массовых, однородных
Элементы комбинаторики профессор кафедры физико-математического образования ИПК и ПРО, дфмн Мищенко С.П. џ1. Декартово произведение множеств Элементарная комбинаторика связана с одним простым результатом
Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть 1 МОСКВА 2016 СОДЕРЖАНИЕ 1. Делимость. 2. Чёт нечет 3. Множества. 4. Забавные задачи. 5. Комбинаторика
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. Алексеева
1 Классическое определение вероятности 1 Колода из 3-х карт тщательно перетасована Найти вероятность того, что все четыре туза лежат в колоде один за другим, не перемежаясь другими картами Решение Число
Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Делимость целых чисел в задачах Сборник задач Ханты-Мансийск 05 Делимость целых чисел в задачах: Сборник задач, - Ханты-Мансийск, Югорский физико-математический
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) КОМБИНАТОРИКА Методические
Воробьев В.В. «Лицей» г.калачинска Омской области Практикум по решению задач по теории вероятностей и математической статистике Большую роль при изучении тем по теории вероятностей и статистики играют
ПРКТИКУМ Основные формулы комбинаторики Виды событий Действия над событиями Классическая вероятность Геометрическая вероятность Основные формулы комбинаторики Комбинаторика изучает количества комбинаций,
Комбинаторика ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА C. Элементы комбинаторики (в рамках теории множеств) Tallinn University of Technology Комбинаторика раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения
Математика 6 класс Множества и комбинаторика блок содержания знать уметь п/п 1 Понятие множества. Понятие множества, описывать совокупности Виды множеств. подмножества, предметов или объектов, конечного,
Двоичное кодирование 1.3 Двоичное кодирование Ключевые слова: дискретизация алфавит мощность алфавита двоичный алфавит двоичное кодирование разрядность двоичного кода 1.3.1. Преобразование информации из
Выборкой объема из множества называется всякая последовательность из элементов множества. Если элементы в выборке не повторяются, то выборка называется бесповторной, иначе – выборкой с повторениями При бесповторной выборке все равно, каким образом осуществляется выбор: берутся все элементы сразу, или же поочередно (по одному). Расположение элементов выборки в определенном порядке называется упорядочением, при этом выборка называется упорядоченной, в противном случае – неупорядоченной.
Решение. Действием в данном случае является составление набора из ручки, карандаша и линейки; действие распадается на три этапа (части): выбрать ручку, выбрать линейку и выбрать карандаш. Первую часть действия – выбрать ручку – можно выполнить пятью способами, вторую часть действия – выбрать карандаш – можно выполнить семью способами, третью часть действия – выбрать линейку – можно выполнить десятью способами. Тогда все действие можно выполнить 5*7*10 =350 Число способов. Т.е. возможно 350 вариантов такого набора.
Пример. В столовой предлагают два различных первых блюда а1 и а2, три различных вторых блюда b1, b2, b3 и два вида десерта с1 и с2. Сколько различных обедов из трех блюд может предложить столовая? Решение. Пусть А – множество первых блюд, В – множество вторых блюд, а С – множество третьих блюд. По условию известно, что
Пример. "Команда космического корабля" Рассмотрим задачу о формировании команды космического корабля. Известно, что возникнет вопрос психологической совместимости. Предположим, надо составить команду из 3-х человек: командира, инженера и врача. На место командира есть четыре кандидата: a1, a2, a3, a4, на место инженера три - b1, b2, b3, на место врача три – c1, c2, c3. Проведенная проверка показала, что a1 совместим с b1, b2, c2,c3; a2 совместим с b1, b2,c1,c2,c3; a3 совместим с b1 и b2, c1, c3; a4 совместим с b1, b2, b3, c2 ; b1 не совместим с c3 ; b2 не совместим с c1 ; b3 не совместим с c2.
Расположение n различных элементов в определенном порядке называется перестановкой без повторений из n элементов. Например, на множестве из трех элементов {a,b,c} возможны следующие перестановки: abc, acb, bca, bac, cab, cba. Число различных перестановок без повторений из элементов обозначается P n и равно n!, т.е.
Таблица вариантов КБСКСБ БСКБКС СБКСКБ Дерево вариантов Правило умножения 1 полоса 3 способа 2 полоса 2 способа 3 полоса 1 способ = 6 Ответ: 6 способов Подсчет перестановок
Сочетанием без повторений из n элементов по k называется неупорядоченное k-элементное подмножество n-элементного множества. Число сочетаний без повторений из элементов по равно: Например, требуется подсчитать, сколькими способами можно составить бригаду из трех человек для дежурства в группе из 30 человек. Поскольку порядок расположения людей в бригаде не фиксируется и люди не повторяются, то мы имеем случай сочетаний из 30 элементов по 3 без повторений: Таким образом, бригаду дежурных из трех человек в группе из 30 человек можно выбрать 4060 различными способами.
Задача. У одного меломана есть 6 дисков известной поп-группы, у другого 8. Сколькими способами они могут обменяться тремя дисками? Решение: Каждый меломан должен выбрать из своих дисков три, которые он будет менять. Первый может сделать это C63 способами, а второй C83 способами. Так как выбор независим, то все вариантов C63*C83. Посчитаем: C 6 3 = 6*5*4/3! = 6*5*4/6 = 5*4 = 20. C 8 3 = 8*7*6/3! = 8*7*6/6 = 8*7 = 56. Ответ: 20*56=1120.
Рассмотрим выборку с повторениями Пусть имеется выборка из n элементов, причем k элементов из них - одинаковые. Число различных перестановок на элементах такой выборки равно: - число перестановок с k повторениями на множестве из n элементов Сочетание с повторениями из элементов по - неупорядоченная выборка элементов с возвращением из множества, содержащего элементов: - число различных сочетаний с повторениями из n элементов по k Размещения с повторениями из элементов по - расположение различных шаров по различным ячейкам - число различных размещений с повторениями
Пример. Сколько перестановок можно получить из букв слова КОЛОКОЛА? Решение. Требуется найти число перестановок с повторениями на множестве из 8 букв, среди которых: буква К повторяется 2 раза; буква О повторяется 3 раза; буква Л повторяется 2 раза буква А повторяется 1 раз. Таким образом,
Пример. Сколькими способами можно составить набор из 5 шоколадок, если имеются шоколадки трех сортов в количестве по 10 штук каждого вида? Решение. Поскольку при составлении шоколадного набора порядок расположения шоколадок не важен, то используем для подсчета формулу сочетаний с повторениями:
Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4 равно Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две равно Если учесть возможность того, что буквы могут повторяться, то число повторяющихся комбинаций равно 30 (одна возможность повтора для каждой буквы). Итого, полное количество комбинаций по две буквы равно 900. Если к номеру добавляется еще одна буква из алфавита в 30 букв, то количество комбинаций увеличивается в 30 раз, т.е. достигает комбинаций. Окончательно, т.к. каждой буквенной комбинации можно поставить в соответствие числовую комбинацию, то полное количество автомобильных номеров равно Пример. Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв.
