Что делать, если в процессе решения задачи из ЕГЭ или на вступительном экзамене по математике вы получили многочлен, который не получается разложить на множители стандартными методами, которыми вы научились в школе? В этой статье репетитор по математике расскажет об одном эффективном способе, изучение которого находится за рамками школьной программы, но с помощью которого разложить многочлен на множители не составит особого труда. Дочитайте эту статью до конца и посмотрите приложенный видеоурок. Знания, которые вы получите, помогут вам на экзамене.
Разложение многочлена на множители методом деления
С том случае, если вы получили многочлен больше второй степени и смогли угадать значение переменной, при которой этот многочлен становится равным нулю (например, это значение равно ), знайте! Этот многочлен можно без остатка разделить на .
Например, легко видеть, что многочлен четвёртой степени обращается в нуль при . Значит его без остатка можно разделить на , получив при этом многочлен третей степени (меньше на единицу). То есть представить в виде:
где A , B , C и D — некоторые числа. Раскроем скобки:
Поскольку коэффициенты при одинаковых степенях должны быть одинаковы, то получаем:
Итак, получили:
Идём дальше. Достаточно перебрать несколько небольших целых чисел, что увидеть, что многочлен третьей степени вновь делится на . При этом получается многочлена второй степени (меньше на единицу). Тогда переходим к новой записи:
где E , F и G — некоторые числа. Вновь раскрываем скобки и приходим к следующему выражению:
Опять из условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях получаем:
Тогда получаем:
То есть исходный многочлен может быть разложен на множители следующим образом:
В принципе, при желании, используя формулу разность квадратов, результат можно представить также в следующем виде:
Вот такой простой и эффективный способ разложения многочленов на множители. Запомните его, он может вам пригодиться на экзамене или олимпиаде по математике. Проверьте, научились ли вы пользоваться этим методом. Попробуйте решить следующее задание самостоятельно.
Разложите многочлен на множители :
Свои ответы пишите в комментариях.
Материал подготовил , Сергей Валерьевич
В общем случае эта задача предполагает творческий подход, так как не существует универсального метода ее решения. Но все же попробуем дать несколько наводок.
В подавляющем числе случаев, разложение многочлена на множители основано на следствии из теоремы Безу, то есть находится или подбирается корень и понижается степень многочлена на единицу делением на . У полученного многочлена ищется корень и процесс повторяется до полного разложения.
Если же корень найти не удается, то используются специфические способы разложения: от группировки, до ввода дополнительных взаимоисключающих слагаемых.
Дальнейшее изложение базируется на навыках решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.
Вынесение за скобки общего множителя.
Начнем с простейшего случая, когда свободный член равен нулю, то есть многочлен имеет вид .
Очевидно, что корнем такого многочлена является , то есть многочлен представим в виде .
Этот способ есть ни что иное как вынесение общего множителя за скобки .
Пример.
Разложить многочлен третьей степени на множители.
Решение.
Очевидно, что является корнем многочлена, то есть х можно вынести за скобки:
Найдем
корни квадратного трехчлена 
Таким
образом,
К началу страницы
Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.
Сначала рассмотрим способ разложения многочлена с целыми коэффициентами вида , коэффициент при старшей степени равен единице.
В этом случае, если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.
Пример.
Решение.
Проверим,
имеются ли целые корни. Для этого
выписываем делители числа -18
: .
То есть, если многочлен имеет целые
корни, то они находятся среди выписанных
чисел. Последовательно проверим эти
числа по схеме
Горнера. Ее удобство еще и в том, что
в итоге получим и коэффициенты разложения
многочлена:
То есть, х=2 и х=-3 являются корнями исходного многочлена и он представим в виде произведения:
Осталось разложить квадратный трехчлен .
Дискриминант этого трехчлена отрицательный, следовательно, он не имеет действительных корней.
Ответ:
Замечание:
вместо схемы Горнера можно было воспользоваться подбором корня и последующим делением многочлена на многочлен.
Теперь рассмотрим разложение многочлена с целыми коэффициентами вида , причем коэффициент при старшей степени не равен единице.
В этом случае многочлен может иметь дробно рациональные корни.
Пример.
Разложить на множители выражение .
Решение.
Выполнив
замену переменной y=2x
,
перейдем к многочлену с коэффициентом
равным единице при старшей степени. Для
этого сначала домножим выражение на 4
.
Если полученная функция имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем их:
Вычислим
последовательно значения функции g(y)
в
этих точках до получения нуля.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Формулы сокращенного умножения - это очень удобный инструмент для операций с многочленами. Как правило, это позволяет сократить сложные конструкции полиномов до небольшого выражения, представляемого двучленом. Либо же,в ином порядке - из произведения двух многочленов легко выводится компактный бином.
Такие действия бывают необходимыми при решении тривиальных уравнений и неравенств, а также при различных доказательных задачах.
В прошлых видеоуроках мы рассмотрели формулы разности квадратов и разности кубов. Попытаемся вывести формулу ещё более высокого порядка - найдем, чему равна разность выражений в четвертой степени:
Это выражение сравнительно легко преобразовать, подставив вместо х 4 и у 4 идентичные квадратные выражения (х 2) 2 и (у 2) 2:
х 4 - у 4 = (х 2) 2 - (у 2) 2
В итоге мы получаем разность квадратов, которую можно представить при помощи элементарной ФСУ как:
(х 2) 2 - (у 2) 2 = (х 2 + у 2)(х 2 - у 2)
С другой стороны, вторые скобки полученного выражения содержат разность квадратов, которую можно легко преобразовать:
(х 2 + у 2)(х 2 - у 2) = (х 2 + у 2)((х + у)(х - у))
Отсюда следует, что:
х 4 - у 4 = (х 2 + у 2)(х + у)(х - у)
Оставим основополагающую общую часть (х - у), остальные два выражения в скобках перемножим:
х 4 - у 4 = (х 2 + у 2)(х + у)(х - у) = (х - у)(х 3 + х 2 у + ху 2 + у 3)
Для чего необходимо выделять (х - у), будет показано позже. Итак, мы нашли ещё одну формулу для разности степенных выражений. Это равенство достаточно сложно для выражения - однако стоит понимать, что оно вполне логично вписывается в ряд подобных формул для определения разности квадратов и кубов. Сравним эти формулы между собой, для того, что бы найти общие закономерности:
х 2 - у 2 = (х - у)(х + у)
х 3 - у 3 = (х - у)(х 2 + 2ху + у 2)
х 4 - у 4 = (х - у)(х 3 + х 2 у + ху 2 + у 3)
На видео четко представлено, что разности переменных в различной степени имеют некоторые закономерности. Все выражения по правую сторону равенства состоят из произведения двух многочленов, причем один из них всегда имеет форму х - у (изначальная разность выражений). Второй же образован неким сложным полиномом, количество одночленов которого растет со степенью.
Для выведения общей формулы, которая поможет преобразовать в произведение полиномов разность переменных с любой степенью, важно понять общие тенденции в равенствах начального порядка. Заметим, что второй многочлен в нашем произведении представляет собой сумму попарных произведений двух выражений. Причем степени переменных находятся в обратной взаимосвязи. Чтобы было легче понять эти закономерности, перепишем равенство для разности выражений четвертой степени таким образом:
х 4 - у 4 = (х - у)(х 3 у 0 + х 2 у 1 + х 1 у 2 + х 0 у 3)
Любое число в нулевой степени обязательно равно единице. Поэтому к любой реальной переменной можно смело дописывать конструкцию с нулевой степенью. Помним так же, что любая переменная имеет степень - если она не указана, то равна единице. Эти правила обращения со степенями и позволили представить равенство в более понятном виде.
Обратим внимание, что количество членов в многочлене вторых скобок равно основной степени (которую имеют переменные в разности). По ряду многочлена, степень одного выражения алгебраически убывает, а степень второго - прибывает. При этом крайними точками для степеней являются 0 и старшая степень начальной разности выражений.
Пользуясь этими соображениями, выведем формулу для нахождения разности выражений пятой степени:
х 5 - у 5 = (х - у)(х 4 у 0 + х 3 у 1 + х 2 у 2 + х 1 у 3 + х 0 у 4)
Для начала, мы прописываем первый множитель (х - у) без изменений. Второй же многочлен будет представлять сумму пяти элементов (по старшей степени). Элементы, в свою очередь, образованы произведением переменных с алгебраическим, обратным и взаимосвязанным изменением степеней. В многочлене:
х 4 у 0 + х 3 у 1 + х 2 у 2 + х 1 у 3 + х 0 у 4
х понижает степень с 4 до 0, у повышает с 0 до 4. Для самопроверки полезно знать, что сумма степеней любого одночлена, в данном случае, будет равна все той же старшей степени - 5.
Остается лишь корректно записать формулу, избавившись от нулевых степеней:
х 5 - у 5 = (х - у)(х 4 + х 3 у + х 2 у 2 + ху 3 + у 4)
В общем плане, для любой степени n верно равенство:
(х) n - (у) n = (х - у)((х) n + (х) n-1 у…+х(у) n - 1 + у n)
Универсальная формула для нахождения суммы двух выражений с n-ной разностью выводится через преобразование вида:
х n + у n = х n - (-у n)
Пользуясь формулой для разности выражений, полученной выше, выводим равенство:
х n + у n = х n - (-у n) = (х + у)((х) n-1 - (х) n-2 у…- х(у) n - 2 + у n-1)
В силу того, что квадрат любого выражения ликвидирует его отрицательность, нельзя доступными средствами представить сумму квадратов (или любых четных степеней) переменных как произведение двух многочленов.
Разложение многочленов на множители – это тождественное преобразование, в результате которого многочлен преобразуется в произведение нескольких сомножителей – многочленов или одночленов.
Существует несколько способов разложения многочленов на множители.
Способ 1. Вынесение общего множителя за скобку.
Это преобразование основывается на распределительном законе умножения: ac + bc = c(a + b). Суть преобразования заключается в том, чтобы выделить в двух рассматриваемых компонентах общий множитель и «вынести» его за скобки.
Разложим на множители многочлен 28х 3 – 35х 4 .
Решение.
1. Находим у элементов 28х 3 и 35х 4 общий делитель. Для 28 и 35 это будет 7; для х 3 и х 4 – х 3 . Иными словами, наш общий множитель 7х 3 .
2. Каждый из элементов представляем в виде произведения множителей, один из которых
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х.
3. Выносим за скобки общий множитель
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х = 7х 3 (4 – 5х).
Способ 2. Использование формул сокращенного умножения. «Мастерство» владением этим способом состоит в том, чтобы заметить в выражении одну из формул сокращенного умножения.
Разложим на множители многочлен х 6 – 1.
Решение.
1. К данному выражению мы можем применить формулу разности квадратов. Для этого представим х 6 как (х 3) 2 , а 1 как 1 2 , т.е. 1. Выражение примет вид:
(х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1).
2. К полученному выражению мы можем применить формулу суммы и разности кубов:
(х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).
Итак,
х 6 – 1 = (х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).
Способ 3. Группировка. Способ группировки заключается в объединение компонентов многочлена таким образом, чтобы над ними было легко совершать действия (сложение, вычитание, вынесение общего множителя).
Разложим на множители многочлен х 3 – 3х 2 + 5х – 15.
Решение.
1. Сгруппируем компоненты таким образом: 1-ый со 2-ым, а 3-ий с 4-ым
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15).
2. В получившемся выражении вынесем общие множители за скобки: х 2 в первом случае и 5 – во втором.
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3).
3. Выносим за скобки общий множитель х – 3 и получаем:
х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3)(х 2 + 5).
Итак,
х 3 – 3х 2 + 5х – 15 = (х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3) ∙ (х 2 + 5).
Закрепим материал.
Разложить на множители многочлен a 2 – 7ab + 12b 2 .
Решение.
1. Представим одночлен 7ab в виде суммы 3ab + 4ab. Выражение примет вид:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 .
Раскроем скобки и получим:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 .
2. Сгруппируем компоненты многочлена таким образом: 1-ый со 2-ым и 3-ий с 4-ым. Получим:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Вынесем за скобки общие множители:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = а(а – 3b) – 4b(а – 3b).
4. Вынесем за скобки общий множитель (а – 3b):
а(а – 3b) – 4b(а – 3b) = (а – 3 b) ∙ (а – 4b).
Итак,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= а(а – 3b) – 4b(а – 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.