Часто на тело действует одновременно не одна, а несколько сил. Рассмотрим случай, когда на тело оказывают воздействие две силы ( и ). Например, на тело, покоящееся на горизонтальной поверхности действуют сила тяжести () и реакция опоры поверхности () (рис.1).
Эти две силы можно заменить одной, которую называют равнодействующей силой (). Находят ее как векторную сумму сил и :
Определение равнодействующей двух сил
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Равнодействующей двух сил называют силу, которая производит на тело действие аналогичное, действию двух отдельных сил.
Отметим, что действие каждой силы не зависит от того, есть ли другие силы или их нет.
Второй закон Ньютона для равнодействующей двух сил
Если на тело действуют две силы, то второй закон Ньютона запишем как:
Направление равнодействующей всегда совпадает по направлению с направлением ускорения движения тела.
Это означает, что, если на тело оказывают воздействие две силы () в один и тот же момент времени, то ускорение () этого тела будет прямо пропорционально векторной сумме этих сил (или пропорционально равнодействующей сил):
M - масса, рассматриваемого тела. Суть второго закона Ньютона заключается в том, что силы, действующие на тело, определяют как изменяется скорость тела, а не просто величину скорости тела. Отмети, что второй закон Ньютона выполняется исключительно в инерциальных системах отсчета.
Равнодействующая двух сил может быть равна нулю, если силы, действующие на тело направлены в разные стороны и равны по модулю.
Нахождение величины равнодействующей двух сил
Для нахождения равнодействующей, следует изобразить на чертеже все силы, которые необходимо учитывать в задаче, действующие на тело. Складывать силы следует по правилам сложения векторов.
Допустим, что на тело действуют две силы, которые направлены по одной прямой (рис.1). Из рисунка видно, что они направлены в разные стороны.
Равнодействующая сил (), приложенных к телу, будет равна:
Для нахождения модуля равнодействующей сил выберем ось, обозначим ее X, направим вдоль направления действия сил. Тогда проектируя выражение (4) на ось X мы получим, что величина (модуль) равнодействующей (F) равен:
где - модули соответствующих сил.
Представим, что на тело действуют две силы и , направленные под некоторым углом друг к другу (рис.2). Равнодействующую этих сил находим по правилу параллелограмма. Величина равнодействующей будет равен длине диагонали этого параллелограмма.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Тело массой 2 кг перемещают вертикально за нить вверх, при этом его ускорение равно 1 Какова величина и направление равнодействующей силы? Какие силы приложены к телу? |
| Решение | К телу (рис.3) приложены сила тяжести () и сила реакции нити ().
Равнодействующую указанных выше сил можно найти используя второй закон Ньютона: В проекции на ось X уравнение (1.1) принимает форму: Вычислим величину равнодействующей силы: |
| Ответ | Н, равнодействующая сила направлена так же как ускорение движения тела, то есть вертикально вверх. На тело действует две силы и . |
Сила характеризуется точкой приложения к телу, направлением в пространстве и численным значением, что даёт основание считать силу векторной величиной.
Но силу нельзя полностью отождествлять с таким математическим понятием, как вектор. Вектор можно переносить в пространстве параллельно самому себе, и он остаётся по определению тем же вектором. Это означает, что в математике мы имеем дело с так называемыми свободными векторами . Операции с такими векторами и изучаются в курсе математики. Одной из важных операций является операция сложения двух векторов по известному правилу параллелограмма.
Однако попробуйте перенести силу параллельно самой себе, т. е. перенести точку приложения силы. Вы увидите, что характер движения тела изменится. Например, потяните за верёвку, привязанную к одной из ножек стула, а затем потяните с той же по модулю и направлению силой за верёвку, привязанную уже к другой ножке.
Итак, результат действия силы зависит от точки её приложения, и сила не является свободным вектором. Возникает вопрос о том, как работать с силами и какие математические операции над свободными векторами будут справедливы для сил? Ответ на этот вопрос может дать только опыт.
Многочисленные опытные факты подтверждают справедливость того, что
точку приложения силы можно переносить по линии её действия в любую точку твёрдого тела и что две силы `vecF_1` и `vecF_2`, приложенные в одной точке тела и направленные под углом друг к другу, оказывают на тело такое же воздействие, как и одна сила `vecF`, найденная как их векторная сумма `vecF=vecF_1+vecF_2` по правилу параллелограмма и приложенная в той же точке.
Напомним, что твёрдое тело - это тело, расстояние между частями которого, не изменяется при действии на него сил.
Несколько сил, приложенных к твёрдому телу, будем называть системой сил. Если одну систему сил можно заменить другой системой сил, не изменив при этом характер движения тела, то такие системы сил называются эквивалентными . В частности, если систему сил удаётся заменить одной силой, то эта сила называется равнодействующей силой .
Следовательно, равнодействующая сила оказывает на тело такое же воздействие, как и эквивалентная ей система сил. Равнодействующая считается равной нулю, если приложенные к телу силы не изменяют характер движения тела.
В курсах теоретической механики показывается, как произвольную пространственную систему сил, действующих на тело, можно заменить более простой эквивалентной системой, а в некоторых случаях и только одной силой, т. е. равнодействующей. Оказывается, что не всякую систему сил можно привести к равнодействующей, т. е. не у всякой системы сил есть равнодействующая сила. В наиболее общем случае пространственная система сил приводится к совокупности одной силы, вызывающей движение тела как целого, и так называемой пары сил, вызывающей вращение тела.
Парой сил
называются две равные по модулю и противоположно направленные силы, не лежащие на одной прямой (рис. 1).
Пара сил является наиболее простым примером системы сил, не имеющих равнодействующей. Действительно, попытайтесь мысленно найти точку приложения какой-либо одной силы, вызывающей у тела (рис. 1) такое же движение, как пара сил.
Операция нахождения равнодействующей силы называется сложением сил . Сложение сил не надо путать со сложением векторов. При сложении векторов получается свободный вектор, а при сложении сил получается векторная величина, имеющая точку приложения.
Для нахождения равнодействующей двух сил, линии действия которых пересекаются в точке `O`, переносят силы вдоль их линий действия и прикладывают в точке `O`, а затем складывают по правилу параллелограмма.
При выяснении существования равнодействующей нескольких сил имеет смысл попытаться её найти. Для этого находят равнодействующую каких-либо двух сил, затем складывают эту равнодействующую с третьей силой и т. д., т. е. заменяют систему сил более простой эквивалентной системой. Если в результате такого последовательного сложения сил получается одна сила, то она и будет равнодействующей. Из предложенного метода поиска равнодействующей ясно следующее: если равнодействующая нескольких сил существует, то она равна векторной сумме этих сил.
Операция замены одной силы эквивалентной системой из нескольких сил называется разложением силы.
 |
На практике часто приходится разлагать одну силу `vecF` (рис. 2) по двум направлениям `1` и `2`, проходящим через точку `C` приложения силы. В этом случае при замене одной силы на две удобно использовать правило параллелограмма . Для этого через конец вектора `vecF` проведём прямые, параллельные направлениям `1` и `2`, и на сторонах получившегося параллелограмма построим векторы `vecF_1` и `vecF_2`, начинающиеся в точке `C`. Так осуществляется разложение одной силы `vecF` на две составляющие силы `vecF_1` и `vecF_2` по направлениям `1` и `2`.
Изобразите схему действующих сил. Когда действие силы на тело происходит под углом, для определения ее величины необходимо найти горизонтальную (F x) и вертикальную (F y) проекции этой силы. Для этого мы будем использовать тригонометрию и угол наклона (обозначается символом θ «тета»). Угол наклона θ измеряется против часовой стрелки, начиная от положительной оси х.
- Нарисуйте диаграмму действующих сил, включая угол наклона.
- Укажите вектор направления действия сил, а также их величину.
- Пример: Тело с силой нормальной реакции, равной 10 Н, движется вверх и вправо с силой 25 Н под углом в 45°. Также на тело действует сила трения, равная 10 Н.
- Перечень всех сил: F тяж = -10 Н, F н = + 10 Н, F т = 25 Н, F тр = -10 Н.
Вычислите F x и F y , используя основные тригонометрические соотношения . Представив наклонную силу (F) в качестве гипотенузы прямоугольного треугольника, а F x и F y – в качестве сторон этого треугольника, можно вычислить их по отдельности.
- Напоминаем, что косинус (θ) = прилежащая сторона/гипотенуза. F x = соз θ * F = cos(45°) * 25 = 17,68 Н.
- Напоминаем, что синус (θ) = противолежащая сторона/гипотенуза. F y = sin θ * F = sin(45°) * 25 = 17,68 Н.
- Обратите внимание, что под углом на объект одновременно может действовать несколько сил, поэтому вам придется найти проекции F x и F y для каждой такой силы. Суммируйте все значения F x , чтобы получить результирующую силу в горизонтальном направлении, и все значения F y , чтобы получить результирующую силу в вертикальном направлении.
Перерисуйте схему действующих сил. Определив все горизонтальные и вертикальные проекции силы, действующие под углом, можете нарисовать новую схему действующих сил, указав также и эти силы. Сотрите неизвестную силу, а вместо нее укажите векторы всех горизонтальных и вертикальных величин.
- К примеру, вместо одной силы, направленной под углом, на схеме теперь будут представлены одна вертикальная сила, направленная вверх, величиной 17,68 Н, и одна горизонтальная сила, вектор которой направлен вправо, а величина равна 17,68 Н.
Сложите все силы, действующие по координатам х и у. После того как нарисуете новую схему действующих сил, вычислите результирующую силу (F рез), сложив отдельно все горизонтальные силы и все вертикальные силы. Не забудьте следить за правильным направлением векторов.
- Пример: Горизонтальные вектора всех сил вдоль оси х: F резx = 17,68 – 10 = 7,68 Н.
- Вертикальные вектора всех сил вдоль оси у: F резy = 17,68 + 10 – 10 = 17,68 Н.
Вычислите вектор равнодействующей силы. На данном этапе у вас есть две силы: одна действует вдоль оси х, другая – вдоль оси у. Величина вектора силы является гипотенузой треугольника, образованного этими двумя проекциями. Для вычисления гипотенузы достаточно лишь задействовать теорему Пифагора: F рез = √ (F резx 2 + F резy 2).
- Пример: F резx = 7,68 Н, а F резy = 17,68 Н
- Подставим значения в уравнение и получим: F рез = √ (F резx 2 + F резy 2) = √ (7,68 2 + 17,68 2)
- Решение: F рез = √ (7,68 2 + 17,68 2) = √(58,98 + 35,36) = √94,34 = 9,71 Н.
- Сила, действующая под углом и вправо равна 9,71 Н.
Равнодействующая. Вы уже знаете, что две силы уравновешивают друг друга, когда они равны по модулю и направлены противоположно. Таковы, например, сила тяжести и сила нормальной реакции, действующие на лежащую на столе книгу. В этом случае говорят, что равнодействующая двух сил равна нулю. В общем случае равнодействующей двух или нескольких сил называют силу, которая производит на тело такое же действие, как одновременное действие этих сил.
Рассмотрим на опыте, как найти равнодействующую двух сил, направленных вдоль одной прямой.
Поставим опыт
Положим легкий брусок на гладкую горизонтальную поверхность стола (чтобы трением между бруском и поверхностью стола можно было пренебречь). Будем тянуть брусок вправо с помощью одного динамометра, а влево - с помощью двух динамометров, как показано на рис. 16.3. Обратите внимание, что находящиеся слева динамометры прикреплены к бруску так, что силы натяжения пружин этих динамометров различны.
Рис. 16.3. Как можно найти равнодействующую двух сил
Мы увидим, что брусок находится в покое, если модуль силы, которая тянет его вправо, равен сумме модулей сил, тянущих брусок влево. Схема этого опыта изображена на рис. 16.4.
Рис. 16.4. Схематическое изображение сил, действующих на брусок
Сила F 3 уравновешивает равнодействующую сил F 1 и F 2 , то есть равна ей по модулю и противоположна по направлению. Значит, равнодействующая сил F 1 и F 2 направлена влево (как и эти силы), а ее модуль равен F 1 + F 2 . Таким образом, если две силы направлены одинаково, их равнодействующая направлена так же, как эти силы, а модуль равнодействующей равен сумме модулей сил-слагаемых.
Рассмотрим силу F 1 . Она уравновешивает равнодействующую сил F 2 и F 3 , направленных противоположно. Значит, равнодействующая сил F 2 и F 3 направлена вправо (то есть в сторону большей из этих сил), а ее модуль равен F 3 - F 2 . Таким образом, если две не равные по модулю силы направлены противоположно, их равнодействующая направлена как большая из этих сил, а модуль равнодействующей равен разности модулей большей и меньшей силы.
Нахождение равнодействующей нескольких сил называют сложением этих сил.
Две силы направлены вдоль одной прямой. Модуль одной силы равен 1 Н, а модуль другой силы равен 2 Н. Может ли модуль равнодействующей этих сил быть равен: а) нулю; б) 1 Н; в) 2 Н; г) 3 Н?