Рассмотрим алгоритм решения задачи №3.

1. Из заданной точки P провести перпендикуляр t к плоскости α (плоскость α – плоскость фигуры, построенной в задаче №1); (·)PÎt; t ^ α (см. пример 5.1).

2. Определить точку пересечения (точку T) перпендикуляра с плоскостью α; t ∩ α = (·) T (см. пример 5.2).

3. Определить натуральную величину │PT│ расстояния от точки P до плоскости (см. пример 5.3).

Рассмотрим более подробно каждый пункт приведённого выше алгоритма на следующих примерах.

Пример 5.1. Из точки P провести перпендикуляр t к плоскости α, заданной тремя точками α (ABC), (рис. 5.1).

Из теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости известно, что если прямая t ^ α, то на эпюре её горизонтальная проекция t 1 перпендикулярна одноимённой проекции горизонтали плоскости, то есть t 1 ^ h 1 , а её фронтальная проекция t 2 перпендикулярна одноимённой проекции фронтали, то есть t 2 ^ f 2 . Поэтому решение задачи необходимо начать с построения горизонтали и фро-нтали плоскости α, если они не входят в заданную плоскость . При этом необхо-димо помнить, что построение любой горизонтали надо начинать с фронтальной проекции, так как фронтальная проекция h 2 горизонтали h всегда параллельна оси ОХ (h 2 ││OX). А построение любой фронтали начинают с горизонтальной проекции f 1 фронтали f, которая должна быть параллельна оси ОХ (f 1 ││OX). Так, на рис. 5.1 через точку C проведена горизонталь C-1 (С 2 -1 2 ; С 1 -1 1), а через точку A проведена фронталь A-2 (A 1 -2 1 ; A 2 -2 2). Фронтальная проекция t 2 искомого перпендикуляра t проходит через точку P 2 перпендикулярно к A 2 -2 2 , а горизонтальная t 1 – через точку P 1 перпендикулярно к C 1 -1 1 .

Пример 5.2. Определить точку пересечения перпендикуляра t с плоскостью α (то есть определить основание перпендикуляра).

Пусть плоскость α задана двумя пересе-кающимися прямыми α (h ∩ f). Прямая t пер-пендикулярна плоскости α, так как t 1 ^ f 1 , а

t 2 ^ f 2 . Для того чтобы найти основание пер-пендикуляра, необходимо осуществить следующие построения:

1. tÎb (b – вспомогательная проецирую-щая плоскость). Если b – горизонтально-прое-цирующая плоскость, то её вырожденная гори-зонтальная проекция (горизонтальный след b 1) совпадает с горизонтальной проекцией t 1 пря-мой t, то есть b 1 ≡t 1 . Если b – фронтально-прое-цирующая плоскость, то её вырожденная фро-нтальная проекция (фронтальный след b 2) сов-падает с фронтальной проекцией t 2 прямой t, то есть b 2 ≡ t 2 . В данном примере использована фронтально-проецирующая плоскость (см. рис. 5.2).

2. α ∩ b = 1-2 – линия пересечения двух плоскостей;

3. определяем точку T – основание перпендикуляра; (·)T= t ∩ 1-2.

Пример 5.3. Определить расстояние от точки P до плоскости.

Расстояние от точки P до плоскости определяется длиной отрезка перпендикуляра PT. Прямая PT в пространстве занимает общее положение, поэтому порядок определения натуральной величины отрезка см. на стр. 7, 8 (рис. 3.4 и 3.5).

Эпюрное решение задачи №3 по определению расстояния от точки P до плоской фигуры, а именно до плоскости квадрата, построенного по заданным условиям*, приведено на рис. 5.3. Следует напомнить, что проекции точки P должны быть построены по заданным координатам (см. вариант своего задания).

6. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ И ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Условия задач и координаты точек приведены в таблице 6.1.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 148

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Кафедра компьютерной графики и информационного обеспечения

ЗАНЯТИЕ 4

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ №4

Плоскость.

Определение расстояния от точки до плоскости.

1. Определение расстояния от точки до проецирующей плоскости.

Для того, чтобы найти действительную величину расстояния от точки до плоскости, необходимо:

· из точки опустить перпендикуляр на плоскость;

· найти точку пересечения проведенного перпендикуляра с плоскостью;

· определить действительную величину отрезка, началом которого является заданная точка, а концом – найденная точка пересечения.

Плоскость может занимать в пространстве общее и частное положение. Под частным понимается положение, при котором плоскость перпендикулярна к плоскости проекций – такую плоскость называют проецирующей. Основной признак проецирующего положения: плоскость перпендикулярна к плоскости проекций, если она проходит через проецирующую прямую. В этом случае одна из проекций плоскости прямая линия – ее называют следом плоскости .

Если плоскость проецирующая, то легко определить действительную величину расстояния от точки до плоскости. Покажем это на примере определения расстояния от точки В до фронтально-проецирующей плоскости, заданной следом Q 2 на плоскости П2 (рис.1).

Плоскость Q перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций, следовательно, любая к ней перпендикулярная линия будет параллельна к плоскости П2. А тогда прямой угол на плоскость П2 будет проецироваться без искажения, и можно из точки В2 провести перпендикуляр к следу Q 2 . Отрезок ВК находится в частном положении, при котором фронтальная проекция В2К2 равна истинной величине искомого расстояния.

Рис.1. Определение расстояния от точки до проецирующей плоскости.

2. Определение расстояния от точки до плоскости общего положения.

Если плоскость занимает общее положение, то необходимо перевести ее в проецирующее положение. Для этого в ней проводится прямая частного положения (параллельная к одной из плоскостей проекций), которую можно перевести в проецирующее положение, используя одно преобразование чертежа.

Прямая, параллельная плоскости П1, называется горизонталью плоскости и обозначается буквой h . Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций П2 , называется фронталью плоскости и обозначается буквой f .Линии h иf называются главными линиями плоскости . Решение задачи показано на следующем примере (рис.2).

Начальное условие: треугольник АВС задает плоскость. М - точка вне плоскости. Заданная плоскость занимает общее положение. Для перевода ее в проецирующее положение выполним следующие действия. Включить режим ОРТО (ORTHO ), использовать команду Отрезок (Line ) – провести любую горизонтальную линию, пересекающую фронтальную проекцию треугольника А2В2С2 в двух точках. Проекция горизонтали, проходящей через эти точки, обозначена h 2 . Далее строится горизонтальная проекция h 1 .

Главная линия h может быть преобразована в проецирующее положение, при котором заданная плоскость также станет проецирующей. Для этого необходимо повернуть горизонтальные проекции всех точек (вспомогательный четырехугольник АВСМ ) в новое положение, при котором линия h 1 будет занимать вертикальное положение, перпендикулярное к оси Х . Удобно выполнить эти построения, используя плоскопараллельный перенос (копия проекции помещается на свободное место экрана).

В результате новая фронтальная проекция плоскости будет выглядеть в виде прямой линии (следа плоскости) А2*В2*. Теперь из точки М2* можно провести перпендикуляр к следу плоскости. Новая фронтальная проекция М2*К2* = МК т.е. является искомым расстоянием от точки М до заданной плоскости АВС .

Далее необходимо построить проекции расстояния в начальном условии. Для этого из точки М1 проводится отрезок, перпендикулярный к линии h 1 , и на нем следует отложить от точки М1 отрезок, равный по величине М1*К1*. Чтобы построить фронтальную проекцию точки К2 из точки К1 проводится вертикальная линия связи, а из точки К2* горизонтальная. Результат построений показан на рис.2.

ЗАДАНИЕ №4. Найти истинную величину расстояния от точки М до плоскости, заданной треугольником АВС . Ответ дать в мм.(таблица 1)

Таблица 1

Вариант	Точка А			Точка В
Вариант	Точка С			Точка М

Проверка и зачет выполненного ЗАДАНИЯ №4.

Инструкция

Для нахождения расстояния от точки до плоскости методами начертательной : выберите на плоскости произвольную точку; проведите через нее две прямые (лежащие в этой плоскости ); восстановите перпендикуляр к плоскости , проходящий через эту точку (постройте прямую, перпендикулярную одновременно обеим пересекающимся прямым); проведите через заданную точку прямую параллельную, построенному перпендикуляру; найдите расстояние между точкой пересечения этой прямой с плоскостью и заданной точкой.

Если положение точки задано ее трехмерными координатами, а положение плоскости – линейным уравнением, то, чтобы найти расстояние от плоскости до точки , воспользуйтесь методами аналитической геометрии: обозначьте координаты точки через x, y, z, соответственно (х – абсцисса, y – ордината, z – аппликата); обозначьте через А, В, С, D уравнения плоскости (А – параметр при абсциссе, В – при , С – при аппликате, D – свободный член); вычислите расстояние от точки до плоскости по формуле:s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,где s – оасстояние между точкой и плоскостью,|| - абсолютного значения (или модуля) .

Пример.Найдите расстояние между точкой А с координатами (2, 3, -1) и плоскостью, заданной уравнением: 7х-6у-6z+20=0.Решение.Из условий следует, что:х=2,у=3,z=-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20.Подставьте эти значения в вышеприведенную .Получится:s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2.Ответ:Расстояние от точки до плоскости равно 2 (условным единицам).

Совет 2: Как определить расстояние от точки до плоскости

Определение расстояния от точки до плоскости - одна из распространенных задач школьной планиметрии. Как известно, наименьшим расстоянием от точки до плоскости будет перпендикуляр, проведенный из этой точки к данной плоскости . Поэтому длина этого перпендикуляра и принимается за расстояние от точки до плоскости .

Вам понадобится

• уравнение плоскости

Инструкция

Пусть первая из параллельных f1 задана уравнением y=kx+b1. Переведя выражение в общий вид, у вас получится kx-y+b1=0, то есть A=k, B=-1. Нормалью к ней будет n={k, -1}.
Теперь следует произвольную абсциссу точки х1 на f1. Тогда ее ордината y1=kx1+b1.
Пусть уравнение второй из параллельных прямых f2 будет иметь вид:
у=kx+b2 (1),
где k одинаково для обеих прямых, в силу их параллельности.

Далее вам необходимо составить каноническое уравнение линии перпендикулярной как f2, так и f1, содержащей точку М (x1, y1). При этом полагают, что х0=х1, y0=y1, S={k, -1}. В результате у вас должно получится следующее равенство:
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).

Решив систему уравнений, состоящую из выражений (1) и (2), вы найдете вторую точку, определяющую искомое расстояние между параллельными N(x2, y2). Само искомое расстояние будет равно d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.

Пример. Пусть уравнения заданных параллельных прямых на плоскости f1 – у=2x +1 (1);
f2 – y=2x+5 (2). Берем произвольную точку х1=1 на f1. Тогда y1=3. Первая точка, таким образом будет иметь координаты M (1,3). Уравнение общего перпендикуляра (3):
(х-1)/2 = -y+3 или y=-(1/2)x+5/2.
Подставив это значение y в (1), получить:
-(1/2)x+5/2=2х+5, (5/2)х=-5/2, х2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2=3.
Второе основание перпендикуляра в точке с координатами N (-1, 3). Расстояние между параллельными прямыми составит:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.

Источники:

• Развитие легкой атлетики в России

Вершина любой плоской или объемной геометрической фигуры однозначно определяется своими координатами в пространстве. Точно так же может быть однозначно определена и любая произвольная точка в той же системе координат, а это дает возможность вычислить расстояние между этой произвольной точкой и вершиной фигуры.

Вам понадобится

• - бумага;
• - ручка или карандаш;
• - калькулятор.

Инструкция

Сведите задачу к нахождению длины отрезка между двумя точками, если координаты заданной в задачи точки и вершины геометрической фигуры известны. Эту длину можно вычислить, воспользовавшись теоремой Пифагора применительно к проекциям отрезка на оси координат - она будет равна квадратному корню из суммы квадратов длин всех проекций. Например, пусть в трехмерной системе координат заданы точка A(X₁;Y₁;Z₁) и вершина C фигуры любой геометрической с координатами (X₂;Y₂;Z₂). Тогда длины проекций отрезка между ними на координатные оси можно как X₁-X₂, Y₁-Y₂ и Z₁-Z₂, а длину отрезка - как √((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²+(Z₁-Z₂)²). Например, если координаты точки A(5;9;1), а вершины C(7;8;10), то расстояние между ними будет равно √((5-7)²+(9-8)²+(1-10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9,274.

Вычислите сначала координаты вершины, если в явном виде в условиях задачи они не представлены. Конкретный способ зависит от типа фигуры и известных дополнительных параметров. Например, если известны трехмерные координаты трех вершин A(X₁;Y₁;Z₁), B(X₂;Y₂;Z₂) и C(X₃;Y₃;Z₃), то координаты четвертой его вершины (противоположной вершине B) будут (X₃+X₂-X₁; Y₃+Y₂-Y₁; Z₃+Z₂-Z₁). После определения координат недостающей вершины вычисление расстояния между ней и произвольной точкой вновь сведется к определению длины отрезка между двумя этими точками в заданной системе координат - сделайте это тем же способом, который был описан в предыдущем шаге. Например, для вершины описанного в этом шаге параллелограмма и точки E с координатами (X₄;Y₄;Z₄) формулу вычисления расстояния из предыдущего шага можно так: √((X₃+X₂-X₁-X₄)²+(Y₃+Y₂-Y₁-Y₄)²+(Z₃+Z₂-Z₁-Z₄)²).

Для практических расчетов можно использовать, например, встроенный в поисковую систему Google . Так, чтобы вычислить значение по формуле, полученной на предыдущем шаге, для точек с координатами A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7;9;2), введите такой поисковый запрос: sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2). Поисковик рассчитает и отобразит результат вычислений (5,19615242).

Видео по теме

Восстановление перпендикуляра к плоскости – одна из важных задач в геометрии, она лежит в основе многих теорем и доказательств. Чтобы построить прямую, перпендикулярную плоскости , нужно последовательно выполнить несколько действий.

Вам понадобится

• - заданная плоскость;
• - точка, из которой требуется провести перпендикуляр;
• - циркуль;
• - линейка;
• - карандаш.