Рациональные числа: определения, примеры. Числа

Число - важнейшее математическое понятие, меняющееся на протяжении веков.

Первые представления о числе возникли из счета людей, животных, плодов, различных изделий и пр. Результатом являются натуральные числа: 1, 2, 3, 4, ...

Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральному числу дробных чисел.

Дробью называется часть (доля) единицы или несколько равных ее частей.

Обозначаются: , где m, n - целые числа;

Дроби со знаменателем 10n , где n - целое число, называются десятичными : .

Среди десятичных дробей особое место занимают периодические дроби : - чистая периодическая дробь, - смешанная периодическая дробь.

Дальнейшее расширение понятия числа вызвано уже развитием самой математики (алгебры). Декарт в XVII в. вводит понятие отрицательного числа .

Числа целые (положительные и отрицательные), дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили название рациональных чисел . Всякое рациональное число может быть записано в виде дроби конечной и периодической.

Для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин оказалось необходимым новое расширение понятия числа - введение действительных (вещественных) чисел - присоединением к рациональным числам иррациональных: иррациональные числа - это бесконечные десятичные непериодические дроби.

Иррациональные числа появились при измерении несоизмеримых отрезков (сторона и диагональ квадрата), в алгебре - при извлечении корней , примером трансцендентного, иррационального числа являются π, e .

Числа натуральные (1, 2, 3,...), целые (..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), рациональные (представимые в виде дроби) и иррациональные (не представимые в виде дроби) образуют множество действительных (вещественных) чисел.

Отдельно в математике выделяют комплексные числа.

Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных для случая D < 0 (здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

Комплексные числа записываются в виде: z=a + bi . Здесь a и b – действительные числа , а i – мнимая единица, т. e . i 2 = –1. Число a называется абсциссой , a b – ординатой комплексного числа a + bi . Два комплексных числа a + bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Свойства:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a + 0i или a – 0i . Например 5 + 0i и 5 – 0i означают одно и то же число 5 .

2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом . Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi .

3. Два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d . В противном случае комплексные числа не равны.

Действия:

Сложение. Суммой комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число (a + c ) + (b + d )i . Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и c + di (вычитаемое) называется комплексное число (a – c ) + (b – d )i . Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение. Произведением комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число:

(ac – bd ) + (ad + bc )i . Это определение вытекает из двух требований:

1) числа a + bi и c + di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i 2 = –1.

П р и м е р. (a+ bi )(a – bi )= a 2 + b 2 . Следовательно, произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) - значит найти третье число e + f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c + di , даёт в результате делимое a + bi . Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р. Найти (8 + i ) : (2 – 3i ) .

Р е ш е н и е. Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3i и выполнив все преобразования, получим:

Задание 1: Сложите, вычтите, умножьте и разделите z 1 на z 2

Извлечение корня квадратного: Реши уравнение x 2 = -a. Для решения данного уравнения мы вынуждены воспользоваться числами нового типа – мнимые числа . Таким образом, мнимым называется число, вторая степень которого является числом отрицательным . Согласно этому определению мнимых чисел мы можем определить и мнимую единицу :

Тогда для уравнения x 2 = – 25 мы получаем два мнимых корня:

Задание 2: Реши уравнение:

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число –3, точка B –число 2, и O –ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b . Эта система координат называется комплексной плоскостью .

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP , изображающего комплексное число на координатной (комплексной ) плоскости. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi | или) буквой r и равен:

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат По осям нужно задать размерность, отмечаем:

е
диницу по действительной оси; Re z

мнимую единицу по мнимой оси. Im z

Задание 3. Построить на комплексной плоскости следующие комплексные числа: , , , , , , ,

1. Числа точные и приближенные. Числа, с которыми мы встречаемся на практике, бывают двух родов. Одни дают истинное значение величины, другие - только приблизительное. Первые называют точными, вторые - приближенными. Чаще всего удобно пользоваться приближенным числом вместо точного, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно.

Так, если говорят, что в классе есть 29 учеников, то число 29 - точное. Если же говорят, что расстояние от Москвы до Киева равно 960 км, то здесь число 960 - приближенное, так как, с одной стороны, наши измерительные инструменты не абсолютно точны, с другой стороны, сами города имеют некоторую протяженность.

Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число. Выполняя некоторые действия над точными числами (деление, извлечение корня), можно также получить приближенные числа.

Теория приближенных вычислений позволяет:

1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов;

2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата;

3) рационализировать процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точность результата.

2. Округление. Одним из источников получения приближенных чисел является округление. Округляют как приближенные, так и точные числа.

Округлением данного числа до некоторого его разряда называют замену его новым числом, которое получается из данного путем отбрасывания всех его цифр, записанных правее цифры этого разряда, или путем замены их нулями. Эти нули обычно подчеркивают или пишут их меньшими. Для обеспечения наибольшей близости округленного числа к округляемому следует пользоваться такими правилами: чтобы округлить число до единицы определенного разряда, надо отбросить все цифры, стоящие после цифры этого разряда, а в целом числе заменить их нулями. При этом учитывают следующее:

1) если первая (слева) из отбрасываемых цифр менее 5, то последнюю оставленную цифру не изменяют (округление с недостатком);

2) если первая отбрасываемая цифра больше 5 или равна 5, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу (округление с избытком).

Покажем это на примерах. Округлить:

а) до десятых 12,34;

б) до сотых 3,2465; 1038,785;

в) до тысячных 3,4335.

г) до тысяч 12375; 320729.

а) 12,34 ≈ 12,3;

б) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

в) 3,4335 ≈ 3,434.

г) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.

3. Абсолютная и относительная погрешности. Разность между точным числом и его приближенным значением называется абсолютной погрешностью приближенного числа. Например, если точное число 1,214 округлить до десятых, получим приближенное число 1,2. В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа 1,2 равна 1,214 - 1,2, т.е. 0,014.

Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой величины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная погрешность неизвестна. В этих случаях указывают границу, которую она не превышает. Это число называют граничной абсолютной погрешностью. Говорят, что точное значение числа равно его приближенному значению с погрешностью меньшей, чем граничная погрешность. Например, число 23,71 есть приближенное значение числа 23,7125 с точностью до 0,01, так как абсолютная погрешность приближения равна 0,0025 и меньше 0,01. Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,01 * .

Граничную абсолютную погрешность приближенного числа а обозначают символом Δa . Запись

x ≈a (±Δa )

следует понимать так: точное значение величины x находится в промежутке между числамиа – Δa иа + Δа , которые называют соответственно нижней и верхней границейх и обозначают НГx ВГх .

Например, если x ≈ 2,3 (±0,1), то 2,2<x < 2,4.

Наоборот, если 7,3< х < 7,4, тох ≈ 7,35 (±0,05). Абсолютная или граничная абсолютная погрешность не характеризует качество выполненного измерения. Одна и та же абсолютная погрешность может считаться значительной и незначительной в зависимости от числа, которым выражается измеряемая величина. Например если измеряем расстояние между двумя городами с точностью до одного километра, то такая точность вполне достаточна для этого изменения в то же время при измерении расстояния между двумя домами одной улицы такая точность будет недопустимой. Следовательно, точность приближенного значения величины зависит не только от величины абсолютной погрешности, но и от значения измеряемой величины. Поэтому мерой точности служит относительная погрешность.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называют граничной относительной погрешностью; обозначают ее так: . Относительную и граничную относительную погрешности принято выражать в процентах. Например, если измерения показали, что расстояниех между двумя пунктами больше 12,3 км, но меньше 12,7 км, то за приближенное значение его принимают среднее арифметическое этих двух чисел, т.е. их полусумму, тогда граничная абсолютная погрешность равна полуразности этих чисел. В данном случаех ≈ 12,5 (±0,2). Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,2 км, а граничная относительная

Множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел обозначается и может быть записано таком в виде:

При этом оказывается, что разные записи могут представлять одну и ту же дробь, например, и , (все дроби, которые можно получить друг из друга умножением или делением на одно и то же натуральное число, представляют одно и то же рациональное число). Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

Здесь - наибольший общий делитель чисел и .

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел . Легко видеть, что если у рационального числа знаменатель , то является целым числом. Множество рациональных чисел располагается на числовой оси всюду плотно: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел имеет счётную мощность (то есть все его элементы можно перенумеровать). Заметим, кстати, что ещё древние греки убедились в существовании чисел, не представимых в виде дроби (например, они доказали, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2).

Терминология

Формальное определение

Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар по отношению эквивалентности , если . При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:

Связанные определения

Правильные, неправильные и смешанные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Правильные дроби представляют рациональные числа, по модулю меньшие единицы . Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной и представляет рациональное число, большее или равное единице по модулю.

Неправильную дробь можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби, называемой смешанной дробью . Например, . Подобная запись (с пропущенным знаком сложения), хотя и употребляется в элементарной арифметике , избегается в строгой математической литературе из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

Высота дроби

Высота обыкновенной дроби - это сумма модуля числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа - это сумма модуля числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби равна . Высота же соответствующего рационального числа равна , так как дробь сокращается на .

Комментарий

Термин дробное число (дробь) иногда [уточнить ] используется как синоним к термину рациональное число , а иногда синоним любого нецелого числа. В последнем случае, дробные и рациональные числа являются разными вещами, так как тогда нецелые рациональные числа - всего лишь частный случай дробных.

Свойства

Основные свойства

Множество рациональных чисел удовлетворяют шестнадцати основным свойствам , которые легко могут быть получены из свойств целых чисел .

Упорядоченность . Для любых рациональных чисел и существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений : «», «» или «». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два положительных числа и связаны тем же отношением, что и два целых числа и ; два неположительных числа и связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа и ; если же вдруг неотрицательно, а - отрицательно, то .
Суммирование дробей
Операция сложения . правило суммирования суммой чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется суммированием . Правило суммирования имеет следующий вид: .
Операция умножения . Для любых рациональных чисел и существует так называемое правило умножения , которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется произведением чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением . Правило умножения имеет следующий вид: .
Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел , и если меньше и меньше , то меньше , а если равно и равно , то равно .
Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.
Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
Наличие нуля . Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.
Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.
Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.
Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
Наличие единицы . Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.
Наличие обратных чисел . Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1.
Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:
Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.
Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.
Аксиома Архимеда . Каково бы ни было рациональное число , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт .

Дополнительные свойства

Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.

Счётность множества

Чтобы оценить количество рациональных чисел, нужно найти мощность их множества. Легко доказать, что множество рациональных чисел счётно . Для этого достаточно привести алгоритм, который нумерует рациональные числа, т. е. устанавливает биекцию между множествами рациональных и натуральных чисел. Примером такого построения может служить следующий простой алгоритм. Составляется бесконечная таблица обыкновенных дробей, на каждой -ой строке в каждом -ом столбце которой располагается дробь . Для определённости считается, что строки и столбцы этой таблицы нумеруются с единицы. Ячейки таблицы обозначаются , где - номер строки таблицы, в которой располагается ячейка, а - номер столбца.

Полученная таблица обходится «змейкой» по следующему формальному алгоритму.

Эти правила просматриваются сверху вниз и следующее положение выбирается по первому совпадению.

В процессе такого обхода каждому новому рациональному числу ставится в соответствие очередное натуральное число. Т. е. дроби ставится в соответствие число 1, дроби - число 2, и т. д. Нужно отметить, что нумеруются только несократимые дроби. Формальным признаком несократимости является равенство единице наибольшего общего делителя числителя и знаменателя дроби.

Следуя этому алгоритму, можно занумеровать все положительные рациональные числа. Это значит, что множество положительных рациональных чисел счётно. Легко установить биекцию между множествами положительных и отрицательных рациональных чисел, просто поставив в соответствие каждому рациональному числу противоположное ему. Т. о. множество отрицательных рациональных чисел тоже счётно. Их объединение также счётно по свойству счётных множеств. Множество же рациональных чисел тоже счётно как объединение счётного множества с конечным.

Разумеется, существуют и другие способы занумеровать рациональные числа. Например, для этого можно воспользоваться такими структурами как дерево Калкина - Уилфа, дерево Штерна - Броко или ряд Фарея .

Утверждение о счётности множества рациональных чисел может вызывать некоторое недоумение, т. к. на первый взгляд складывается впечатление, что оно гораздо обширнее множества натуральных чисел. На самом деле это не так и натуральных чисел хватает, чтобы занумеровать все рациональные.

Недостаточность рациональных чисел

См. также


	Целые числа

Рациональные числа

Вещественные числа Комплексные числа Кватернионы

Примечания

Литература

И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. - Киев: АСТАРТА, 1998. - 520 с.
П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: глав. ред. физ.-мат. лит. изд. «Наука», 1977
И. Л. Хмельницкий. Введение в теорию алгебраических систем

Рациональные числа

Четверти

Упорядоченность . a и b существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений : « < », « > » или « = ». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два неотрицательных числа и связаны тем же отношением, что и два целых числа и ; два неположительных числа a и b связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа и ; если же вдруг a неотрицательно, а b - отрицательно, то a > b . src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Суммирование дробей
Операция сложения . Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило суммирования c . При этом само число c называется суммой чисел a и b и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется суммированием . Правило суммирования имеет следующий вид: .
Операция умножения . Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило умножения , которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c . При этом само число c называется произведением чисел a и b и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением . Правило умножения имеет следующий вид: .
Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел a , b и c если a меньше b и b меньше c , то a меньше c , а если a равно b и b равно c , то a равно c . 6435">Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.
Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
Наличие нуля . Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.
Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.
Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.
Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
Наличие единицы . Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.
Наличие обратных чисел . Любое рациональное число имеет обратное рациональное число, при умножении на которое даёт 1.
Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:
Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Аксиома Архимеда . Каково бы ни было рациональное число a , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт a . src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Дополнительные свойства

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Счётность множества

Нумерация рациональных чисел

Самый простой из таких алгоритмов выглядит следующим образом. Составляется бесконечная таблица обыкновенных дробей, на каждой i -ой строке в каждом j -ом столбце которой располагается дробь . Для определённости считается, что строки и столбцы этой таблицы нумеруются с единицы. Ячейки таблицы обозначаются , где i - номер строки таблицы, в которой располагается ячейка, а j - номер столбца.

Полученная таблица обходится «змейкой» по следующему формальному алгоритму.

Эти правила просматриваются сверху вниз и следующее положение выбирается по первому совпадению.

В процессе такого обхода каждому новому рациональному числу ставится в соответствие очередное натуральное число. Т. е. дроби 1 / 1 ставится в соответствие число 1, дроби 2 / 1 - число 2, и т. д. Нужно отметить, что нумеруются только несократимые дроби. Формальным признаком несократимости является равенство единице наибольшего общего делителя числителя и знаменателя дроби.

Недостаточность рациональных чисел

Гипотенуза такого треугольника не выражается никаким рациональным числом

Рациональными числами вида 1 / n при больших n можно измерять сколь угодно малые величины . Этот факт создаёт обманчивое впечатление, что рациональными числами можно измерить вообще любые геометрические расстояния . Легко показать, что это не верно.

Примечания

Литература

И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. - Киев: АСТАРТА, 1998. - 520 с.
П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: глав. ред. физ.-мат. лит. изд. «Наука», 1977
И. Л. Хмельницкий. Введение в теорию алгебраических систем

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

)- это числа с положительным или отрицательным знаком (целые и дробные) и ноль. Более точное понятие рациональных чисел, звучит так:

Рациональное число — число, которое представляется обычной дробью m/n , где числитель m — целые числа, а знаменатель n — натуральные числа, к примеру 2/3 .

Бесконечные непериодические дроби НЕ входят в множество рациональных чисел.

a/b , где a ∈ Z (a принадлежит целым числам), b ∈ N (b принадлежит натуральным числам).

Использование рациональных чисел в реальной жизни.

В реальной жизни множество рациональных чисел используется для счёта частей некоторых целых делимых объектов, например , тортов или других продуктов, которые разрезаются на части перед употреблением, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.

Свойства рациональных чисел.

Основные свойства рациональных чисел.

1. Упорядоченность a и b есть правило, которое позволяет однозначно идентифицировать между ними 1-но и только одно из 3-х отношений: «<», «>» либо «=». Это правило - правило упорядочения и формулируют его вот так:

2 положительных числа a=m a /n a и b=m b /n b связаны тем же отношением, что и 2 целых числа m a ⋅ n b и m b ⋅ n a ;
2 отрицательных числа a и b связаны одним отношением, что и 2 положительных числа |b| и |a| ;
когда a положительно, а b — отрицательно, то a>b .

∀ a,b ∈ Q (a∨ a>b ∨ a=b)

2. Операция сложения . Для всех рациональных чисел a и b есть правило суммирования , которое ставит им в соответствие определенное рациональное число c . При этом само число c - это сумма чисел a и b и ее обозначают как (a+b) суммирование .

Правило суммирования выглядит так:

m a /n a +m b /n b =(m a ⋅ n b +m b ⋅ n a) /(n a ⋅ n b).

∀ a,b ∈ Q ∃ !(a+b) ∈ Q

3. Операция умножения . Для всяких рациональных чисел a и b есть правило умножения , оно ставит им в соответствие определенное рациональное число c . Число c называют произведением чисел a и b и обозначают (a⋅b) , а процесс нахождения этого числа называют умножение .

Правило умножения выглядит так: m a n a ⋅ m b n b =m a ⋅ m b n a ⋅ n b .

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Транзитивность отношения порядка. Для любых трех рациональных чисел a , b и c если a меньше b и b меньше c , то a меньше c , а если a равно b и b равно c , то a равно c .

∀ a,b,c ∈ Q (a∧ b⇒ a∧ (a = b ∧ b = c ⇒ a = c)

5. Коммутативность сложения . От перемены мест рациональных слагаемых сумма не изменяется.

∀ a,b ∈ Q a+b=b+a

6. Ассоциативность сложения . Порядок сложения 3-х рациональных чисел не оказывает влияния на результат.

∀ a,b,c ∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Наличие нуля . Есть рациональное число 0, оно сохраняет всякое другое рациональное число при складывании.

∃ 0 ∈ Q ∀ a ∈ Q a+0=a

8. Наличие противоположных чисел . У любого рационального числа есть противоположное рациональное число, при их сложении получается 0.

∀ a ∈ Q ∃ (−a) ∈ Q a+(−a)=0

9. Коммутативность умножения . От перемены мест рациональных множителей произведение не изменяется.

∀ a,b ∈ Q a ⋅ b=b ⋅ a

10. Ассоциативность умножения . Порядок перемножения 3-х рациональных чисел не имеет влияния на итог.

∀ a,b,c ∈ Q (a ⋅ b) ⋅ c=a ⋅ (b ⋅ c)

11. Наличие единицы . Есть рациональное число 1, оно сохраняет всякое другое рациональное число в процессе умножения.

∃ 1 ∈ Q ∀ a ∈ Q a ⋅ 1=a

12. Наличие обратных чисел . Всякое рациональное число, отличное от нуля имеет обратное рациональное число, умножив на которое получим 1.

∀ a ∈ Q ∃ a−1 ∈ Q a ⋅ a−1=1

13. Дистрибутивность умножения относительно сложения . Операция умножения связана со сложением при помощи распределительного закона:

∀ a,b,c ∈ Q (a+b) ⋅ c=a ⋅ c+b ⋅ c

14. Связь отношения порядка с операцией сложения . К левой и правой частям рационального неравенства прибавляют одно и то же рациональное число.

∀ a,b,c ∈ Q a⇒ a+c

15. Связь отношения порядка с операцией умножения . Левую и правую части рационального неравенства можно умножить на одинаковое неотрицательное рациональное число.

∀ a,b,c ∈ Q c>0 ∧ a⇒ a ⋅ c⋅ c

16. Аксиома Архимеда . Каким бы ни было рациональное число a , легко взять столько единиц, что их сумма будет больше a .

Определение рациональных чисел:

Рациональным числом называют число, которое может быть представлено в виде дроби. Числитель такой дроби принадлежит множеству целых чисел, а знаменатель принадлежит множеству натуральных чисел.

Почему числа называют рациональными?

По латински "рацио" (ratio) означает отношение. Рациональные числа могут быть представлены в виде отношения, т.е. другими словами в виде дроби.

Пример рационального числа

Число 2/3 есть рациональное число. Почему? Это число представлено в виде дроби, числитель которой принадлежит множеству целых чисел, а знаменатель - множеству натуральных чисел.

Больше примеров рациональных чисел см. в статье .

Равные рациональные числа

Разные дроби могут представлять одно рациональное число.

Рассмотрим рациональное число 3/5. Этому рациональному числу равны

Сократим числитель и знаменатель на общий множитель 2:

6	=	2 * 3	=	3
10	=	2 * 5	=	5

Мы получили дробь 3/5, а это значит, что