Сегодня мы рассмотрим, какие величины называются обратно пропорциональными, как выглядит график обратной пропорциональности и как все это может вам пригодится не только на уроках математики, но и вне школьных стен.
Такие разные пропорциональности
Пропорциональностью называют две величины, которые взаимно зависимы друг от друга.
Зависимость может быть прямой и обратной. Следовательно, отношения между величинами описывают прямая и обратная пропорциональность.
Прямая пропорциональность – это такая зависимость двух величин, при которой увеличение либо уменьшение одной из них ведет к увеличению либо уменьшению другой. Т.е. их отношение не изменяется.
Например, чем больше усилий вы прилагаете для подготовки к экзаменам, тем выше ваши оценки. Или чем больше вещей вы берете с собой в поход, тем тяжелее нести ваш рюкзак. Т.е. количество затраченных на подготовку к экзаменам усилий прямо пропорционально полученным оценкам. И количество запакованных в рюкзак вещей прямо пропорционально его весу.
Обратная пропорциональность – это функциональная зависимость, при которой уменьшение либо увеличение в несколько раз независимой величины (ее называют аргументом) вызывает пропорциональное (т.е. во столько же раз) увеличение либо уменьшение зависимой величины (ее называют функцией).
Проиллюстрируем простым примером. Вы хотите купить на рынке яблок. Яблоки на прилавке и количество денег в вашем кошельке находятся в обратной пропорциональности. Т.е. чем больше вы купите яблок, тем меньше денег у вас останется.
Функция и ее график
Функцию обратной пропорциональности можно описать как y = k/x . В котором x ≠ 0 и k ≠ 0.
Эта функция обладает следующими свойствами:
- Областью ее определения является множество всех действительных чисел, кроме x = 0. D (y ): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Областью значений являются все действительные числа, кроме y = 0. Е(у): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Не имеет наибольших и наименьших значений.
- Является нечетной и ее график симметричен относительно начала координат.
- Непериодическая.
- Ее график не пересекает оси координат.
- Не имеет нулей.
- Если k > 0 (т.е. аргумент возрастает), функция пропорционально убывает на каждом из своих промежутков. Если k < 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- При возрастании аргумента (k > 0) отрицательные значения функции находятся в промежутке (-∞; 0), а положительные – (0; +∞). При убывании аргумента (k < 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
График функции обратной пропорциональности называется гиперболой. Изображается следующим образом:
Задачи на обратную пропорциональность
Чтобы стало понятнее, давайте разберем несколько задач. Они не слишком сложные, а их решение поможет вам наглядно представить, что такое обратная пропорциональность и как эти знания могут пригодиться в вашей обычной жизни.
Задача №1. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Чтобы доехать до места назначения, ему потребовалось 6 часов. Сколько времени ему потребуется, чтобы преодолеть такое же расстояние, если он будет двигаться со скоростью в 2 раза выше?
Можем начать с того, что запишем формулу, которая описывает отношения времени, расстояния и скорости: t = S/V. Согласитесь, она очень напоминает нам функцию обратной пропорциональности. И свидетельствует о том, что время, которое автомобиль проводит в пути, и скорость, с которой он движется, находятся в обратной пропорциональности.
Чтобы убедиться в этом, давайте найдем V 2 , которая по условию выше в 2 раза: V 2 = 60 * 2 = 120 км/ч. Затем рассчитаем расстояние по формуле S = V * t = 60 * 6 = 360 км. Теперь совсем несложно узнать время t 2 , которое требуется от нас по условию задачи: t 2 = 360/120 = 3 ч.
Как видите время в пути и скорость движения действительно обратно пропорциональны: со скоростью в 2 раза выше изначальной автомобиль потратит в 2 раза меньше времени на дорогу.
Решение этой задачи можно записать и в виде пропорции. Для чего сначала составим такую схему:
↓ 60 км/ч – 6 ч
↓120 км/ч – х ч
Стрелки обозначают обратно пропорциональную зависимость. А также подсказывают, что при составлении пропорции правую часть записи надо перевернуть: 60/120 = х/6. Откуда получаем х = 60 * 6/120 = 3 ч.
Задача №2. В мастерской трудятся 6 рабочих, которые с заданным объемом работы справляются за 4 часа. Если количество рабочих сократить в 2 раза, сколько времени потребуется оставшимся, чтобы выполнить тот же объем работы?
Запишем условия задачи в виде наглядной схемы:
↓ 6 рабочих – 4 ч
↓ 3 рабочих – х ч
Запишем это в виде пропорции: 6/3 = х/4. И получим х = 6 * 4/3 = 8 ч. Если рабочих станет в 2 раза меньше, оставшиеся затратят на выполнение всей работы в 2 раза больше времени.
Задача №3. В бассейн ведут две трубы. Через одну трубу вода поступает со скоростью 2 л/с и наполняет бассейн за 45 минут. Через другую трубу бассейн наполнится за 75 минут. С какой скоростью вода поступает в бассейн через эту трубу?
Для начала приведем все данные нам по условию задачи величины к одинаковым единицам измерения. Для этого выразим скорость наполнения бассейна в литрах в минуту: 2 л/с = 2 * 60 = 120 л/мин.
Поскольку из условия следует, что через вторую трубу бассейн заполняется медленнее, значит, и скорость поступления воды ниже. На лицо обратная пропорциональность. Неизвестную нам скорость выразим через х и составим такую схему:
↓ 120 л/мин – 45 мин
↓ х л/мин – 75 мин
А затем составим пропорцию: 120/х = 75/45, откуда х = 120 * 45/75 = 72 л/мин.
В задаче скорость наполнения бассейна выражена в литрах в секунду, приведем полученный нами ответ к такому же виду: 72/60 = 1,2 л/с.
Задача №4. В небольшой частной типографии печатают визитки. Сотрудник типографии работает со скоростью 42 визитки в час и трудится полный рабочий день – 8 часов. Если бы он работал быстрее и печатал 48 визиток за час, насколько раньше он смог бы уйти домой?
Идем проверенным путем и составляем по условию задачи схему, обозначив искомую величину как х:
↓ 42 визитки/ч – 8 ч
↓ 48 визитки/ч – х ч
Перед нами обратно пропорциональная зависимость: во сколько раз больше визиток в час напечатает сотрудник типографии, во столько же раз меньше времени ему потребуется на выполнение одной и той же работы. Зная это, составим пропорцию:
42/48 = х/8, х = 42 * 8/48 = 7ч.
Таким образом, справившись с работой за 7 часов, сотрудник типографии смогу бы уйти домой на час раньше.
Заключение
Нам кажется, что эти задачи на обратную пропорциональность действительно несложные. Надеемся, что теперь вы тоже считаете их такими. А главное, что знание об обратно пропорциональной зависимости величин действительно может оказаться для вас полезным еще не раз.
Не только на уроках математики и экзаменах. Но и тогда, когда вы соберетесь отправиться в путешествие, пойдете за покупками, решите немного подработать в каникулы и т.п.
Расскажите нам в комментариях, какие примеры обратной и прямой пропорциональной зависимости вы замечаете вокруг себя. Пускай это будет такая игра. Вот увидите, как это увлекательно. Не забудьте «расшарить» эту статью в социальных сетях, чтобы ваши друзья и одноклассники тоже смогли поиграть.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Пример
1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 и т. д.Коэффициент пропорциональности
Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности . Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой .
Прямая пропорциональность
Прямая пропорциональность - функциональная зависимость , при которой некоторая величина зависит от другой величины таким образом, что их отношение остаётся постоянным. Иначе говоря, эти переменные изменяются пропорционально , в равных долях, то есть, если аргумент изменился в два раза в каком-либо направлении, то и функция изменяется тоже в два раза в том же направлении.
Математически прямая пропорциональность записывается в виде формулы:
f (x ) = a x ,a = c o n s t
Обратная пропорциональность
Обра́тная пропорциона́льность - это функциональная зависимость , при которой увеличение независимой величины(аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой величины(функции).
Математически обратная пропорциональность записывается в виде формулы:
Свойства функции:
Источники
Wikimedia Foundation . 2010 .
I. Прямо пропорциональные величины.
Пусть величина y зависит от величины х . Если при увеличении х в несколько раз величина у увеличивается во столько же раз, то такие величины х и у называются прямо пропорциональными.
Примеры.
1 . Количество купленного товара и стоимость покупки (при фиксированной цене одной единицы товара — 1 штуки или 1 кг и т. д.) Во сколько раз больше товара купили, во столько раз больше и заплатили.
2 . Пройденный путь и затраченное на него время (при постоянной скорости). Во сколько раз длиннее путь, во столько раз больше потратим времени на то, чтобы его пройти.
3 . Объем какого-либо тела и его масса. (Если один арбуз в 2 раза больше другого, то и масса его будет в 2 раза больше )
II. Свойство прямой пропорциональности величин.
Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.
Задача 1. Для малинового варенья взяли 12 кг малины и 8 кг сахара. Сколько сахара потребуется, если взяли 9 кг малины?
Решение.
Рассуждаем так: пусть потребуется х кг сахара на 9 кг малины. Масса малины и масса сахара — прямо пропорциональные величины: во сколько раз меньше малины, во столько же раз нужно меньше сахара. Следовательно, отношение взятой (по массе) малины (12:9 ) будет равно отношению взятого сахара (8:х ). Получаем пропорцию:
12: 9=8: х;
х=9· 8: 12;
х=6. Ответ: на 9 кг малины нужно взять 6 кг сахара.
Решение задачи можно было оформить и так:
Пусть на 9 кг малины нужно взять х кг сахара.
(Стрелки на рисунке направлены в одну сторону, а вверх или вниз — не имеет значения. Смысл: во сколько раз число 12 больше числа 9 , во столько же раз число 8 больше числа х , т. е. здесь прямая зависимость).
Ответ: на 9 кг малины надо взять 6 кг сахара.
Задача 2. Автомобиль за 3 часа проехал расстояние 264 км . За какое время он проедет 440 км , если будет ехать с той же скоростью?
Решение.
Пусть за х часов автомобиль пройдет расстояние 440 км.
Ответ:
автомобиль пройдет 440 км за 5 часов.
Основные цели:
- ввести понятие прямой и обратной пропорциональной зависимости величин;
- научить решать задачи, используя эти зависимости;
- способствовать развитию умения решать задачи;
- закрепить навык решения уравнений с помощью пропорции;
- повторить действия с обыкновенными и десятичными дробями;
- развивать логическое мышление учащихся.
ХОД УРОКА
I. Самоопределение к деятельности (организационный момент)
– Ребята! Сегодня на уроке мы познакомимся с задачами, решаемыми с помощью пропорции.
II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности
2.1. Устная работа (3 мин)
– Найдите значение выражений и узнайте слово, зашифрованное в ответах.
14 – с; 0,1 – и; 7 – л; 0,2 – а; 17 – в; 25 – к
– Получилось слово – сила. Молодцы!
– Девиз нашего урока сегодня: Сила – в знаниях! Я
ищу – значит учусь!
– Составьте пропорцию из получившихся чисел. (14:
7 = 0,2: 0,1 и т.д.)
2.2. Рассмотрим зависимость между известными нам величинами (7 мин)
– путем, пройденным автомашиной с постоянной
скоростью, и временем ее движения: S = v ·t (с
увеличением скорости (времени) увеличивается
путь);
– скоростью автомашины и затраченным на
путь временем: v = S: t
(с увеличением
времени на прохождение пути, скорость
уменьшается);
–
стоимостью товара, купленного по одной
цене и его количеством:
С = а · n (с
увеличением (уменьшением) цены, увеличивается
(уменьшается) стоимость покупки);
– цены товара и его количеством: а = С: n (с
увеличением количества, уменьшается цена)
– площади прямоугольника и его длины (ширины): S = a
· b (с увеличением длины(ширины) увеличивается
площадь;
– длины прямоугольника и ширины: a = S: b (с
увеличением длины уменьшается ширина;
– числом рабочих, выполняющих с одинаковой
производительностью труда некоторую работу, и
временем выполнения этой работы: t = А: n
(с увеличением числа рабочих время,
затраченное на выполнение работы уменьшается) и
т.д.
Мы получили зависимости, в которых с
увеличением одной величины в несколько раз, тут
же во столько же раз увеличивается другая
(примеры показать стрелками) и зависимости, в
которых с увеличением одной величины в несколько
раз, вторая величина уменьшается в это же
количество раз.
Такие зависимости называются прямыми и
обратными пропорциональностями.
Прямо-пропорциональная зависимость
–
зависимость, в которой с увеличением
(уменьшением) одной величины в несколько раз,
увеличивается (уменьшается) вторая величина во
столько же раз.
Обратно-пропорциональная зависимость
– зависимость, в которой с увеличением
(уменьшением) одной величины в несколько раз,
уменьшается (увеличивается) вторая величина во
столько же раз.
III. Постановка учебной задачи
– Какая проблема встала перед нами? (Научиться
различать прямые и обратные зависимости)
– Это – цель
нашего урока. А теперь
сформулируйте тему
урока. (Прямая и
обратная пропорциональная зависимость).
– Молодцы! Запишите тему урока в тетрадях.
(Учитель записывает тему на доске.)
IV. «Открытие» нового знания (10 мин)
Разберем задачи № 199.
1. Принтер распечатывает 27 страниц за 4,5 мин. За сколько времени он распечатает 300 страниц?
27 стр. – 4,5 мин.
300 стр. – х?
2. В коробке 48 пачек чая по 250 г в каждой. Сколько получится из этого чая пачек по 150г?
48 пачек – 250 г.
х? – 150 г.
3. Автомобиль проехал 310 км, истратив 25 л бензина. Какое расстояние может проехать автомобиль на полном баке, вмещающем 40л?
310 км – 25 л
х? – 40 л
4. На одной из сцепляющих шестерен 32 зубца, а на другой – 40. Сколько оборотов сделает вторая шестерня, в то время как первая сделает 215 оборотов?
32 зубца – 315 об.
40 зубцов – х?
Для составления пропорции необходимо одно направление стрелок, для этого в обратной пропорциональности одно отношение заменяют обратным.
У доски ученики находят значение величин, на местах учащиеся решают одну на выбор задачу.
– Сформулируйте правило решения задач с прямой и обратной пропорциональной зависимостью.
На доске появляется таблица:
V. Первичное закрепление во внешней речи (10 мин)
Задания на листах:
- Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?
- Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 210 мин. За какое время 7 бульдозеров расчистили бы эту площадку?
VI. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (5 мин)
Два ученика выполняют задания № 225
самостоятельно на скрытых досках, а остальные
– в тетрадях. Затем они проверяют работу по
алгоритму и сопоставляют с решением на доске.
Ошибки исправляются, выясняются их причины. Если
задание выполнено, верно, то рядом ученики ставят
себе знак «+».
Учащиеся, допустившие ошибки в самостоятельной
работе могут использовать
консультантов.
VII. Включение в систему знаний и повторение № 271, № 270.
Шесть человек работают у доски. Через 3–4 минуты учащиеся, работавшие у доски, представляют свои решения, а остальные – проверяют задания и участвуют в их обсуждении.
VIII. Рефлексия деятельности (итог урока)
– Что нового вы узнали на уроке?
– Что повторили?
– Каков алгоритм решения задач на пропорцию?
– Мы достигли поставленной цели?
– Как оцениваете свою работу?