Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз.
Пропорциональность бывает прямой и обратной. В данном уроке мы рассмотрим каждую из них.
Содержание урокаПрямая пропорциональность
Предположим, что автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч. Мы помним, что скорость это расстояние, пройденное за единицу времени (1 час, 1 минуту или 1 секунду). В нашем примере автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч, то есть за один час он будет проезжать расстояние, равное пятидесяти километрам.
Изобразим на рисунке расстояние, пройденное автомобилем за 1 час
Пусть автомобиль проехал еще один час с той же скоростью, равной пятидесяти километрам в час. Тогда получится, что автомобиль проедет 100 км
Как видно из примера, увеличение времени в два раза привело к увеличению пройденного расстояния во столько же раз, то есть в два раза.
Такие величины, как время и расстояние называют прямо пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют прямой пропорциональностью .
Прямой пропорциональностью называют взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой увеличение другой во столько же раз.
и наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая уменьшается во столько же раз.
Предположим, что изначально планировалось проехать на автомобиле 100 км за 2 часа, но проехав 50 км, водитель решил отдохнуть. Тогда получится, что уменьшив расстояние в два раза, время уменьшится во столько же раз. Другими словами, уменьшение пройденного расстояния приведет к уменьшению времени во столько же раз.
Интересная особенность прямо пропорциональных величин заключается в том, что их отношение всегда постоянно. То есть, при изменении значений прямо пропорциональных величин, их отношение остается неизменным.
В рассмотренном примере расстояние сначала было равно 50 км, а время одному часу. Отношение расстояния ко времени есть число 50.
Но мы увеличили время движения в 2 раза, сделав его равным двум часам. В результате пройденное расстояние увеличилось во столько же раза, то есть стало равно 100 км. Отношение ста километров к двум часам опять же есть число 50
Число 50 называют коэффициентом прямой пропорциональности . Он показывает сколько расстояния приходится на час движения. В данном случае коэффициент играет роль скорости движения, поскольку скорость это отношение пройденного расстояния ко времени.
Из прямо пропорциональных величин можно составлять пропорции. К примеру, отношения и составляют пропорцию:
Пятьдесят километров так относятся к одному часу, как сто километров относятся к двум часам.
Пример 2 . Стоимость и количество купленного товара являются прямо пропорциональными величинами. Если 1 кг конфет стоит 30 рублей, то 2 кг этих же конфет обойдутся в 60 рублей, 3 кг в 90 рублей. С увеличением стоимости купленного товара, его количество увеличивается во столько же раз.
Поскольку стоимость товара и его количество являются прямо пропорциональными величинами, то их отношение всегда постоянно.
Запишем чему равно отношение тридцати рублей к одному килограмму
Теперь запишем чему равно отношение шестидесяти рублей к двум килограммам. Это отношение опять же будет равно тридцати:
Здесь коэффициентом прямой пропорциональности является число 30. Этот коэффициент показывает сколько рублей приходится на килограмм конфет. В данном примере коэффициент играет роль цены одного килограмма товара, поскольку цена это отношение стоимости товара на его количество.
Обратная пропорциональность
Рассмотрим следующий пример. Расстояние между двумя городами 80 км. Мотоциклист выехал из первого города, и со скоростью 20 км/ч доехал до второго города за 4 часа.
Если скорость мотоциклиста составила 20 км/ч это значит, что каждый час он проезжал расстояние равное двадцати километрам. Изобразим на рисунке расстояние, пройденное мотоциклистом, и время его движения:
На обратном пути скорость мотоциклиста была 40 км/ч, и на тот же путь он затратил 2 часа.
Легко заметить, что при изменении скорости, время движения изменилось во столько же раз. Причем изменилось в обратную сторону — то есть, скорость увеличилась, а время наоборот уменьшилось.
Такие величины, как скорость и время называют обратно пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют обратной пропорциональностью .
Обратной пропорциональностью называют взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой уменьшение другой во столько же раз.
и наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая увеличивается во столько же раз.
К примеру, если на обратном пути скорость мотоциклиста составила бы 10 км/ч, то те же 80 км он преодолел бы за 8 часов:
Как видно из примера, уменьшение скорости привело к увеличению времени движения во столько же раз.
Особенность обратно пропорциональных величин заключается в том, что их произведение всегда постоянно. То есть, при изменении значений обратно пропорциональных величин, их произведение остается неизменным.
В рассмотренном примере расстояние между городами было равно 80 км. При изменении скорости и времени движения мотоциклиста, это расстояние всегда оставалось неизменным
Мотоциклист мог проехать это расстояние со скоростью 20 км/ч за 4 часа, и со скоростью 40 км/ч за 2 часа, и со скоростью 10 км/ч за 8 часов. Во всех случаях произведение скорости и времени было равно 80 км
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Две величины называются прямо пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Соответственно, при уменьшении одной из них в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.
Зависимость между такими величинами — прямая пропорциональная зависимость. Примеры прямой пропорциональной зависимости:
1) при постоянной скорости пройденный путь прямо пропорционально зависит от времени;
2) периметр квадрата и его сторона — прямо пропорциональные величины;
3) стоимость товара, купленного по одной цене, прямо пропорционально зависит от его количества.
Чтобы отличить прямую пропорциональную зависимость от обратной можно использовать пословицу: «Чем дальше в лес, тем больше дров».
Задачи на прямо пропорциональные величины удобно решать с помощью пропорции.
1) Для изготовления 10 деталей нужно 3,5 кг металла. Сколько металла пойдет на изготовление 12 таких деталей?
(Рассуждаем так:
1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
2. Чем больше деталей, тем больше металла нужно для их изготовления. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.
Пусть х кг металла нужно для изготовления 12 деталей. Составляем пропорцию (в направлении от начала стрелки к ее концу):
12:10=х:3,5
Чтобы найти , надо произведение крайних членов разделить на известный средний член:
Значит, потребуется 4,2 кг металла.
Ответ: 4,2 кг.
2) За 15 метров ткани заплатили 1680 рублей. Сколько стоят 12 метров такой ткани?
(1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
2. Чем меньше ткани покупают, тем меньше за нее надо заплатить. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.
3. Поэтому вторая стрелка одинаково направлена с первой).
Пусть х рублей стоят 12 метров ткани. Составляем пропорцию (от начала стрелки к ее концу):
15:12=1680:х
Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член пропорции:
Значит, 12 метров стоят 1344 рубля.
Ответ: 1344 рубля.
Типы зависимостей
Рассмотрим зарядку батареи. В качестве первой величины возьмем время, которое она заряжается. Вторая величина – время, которое она будет работать после зарядки. Чем дольше будет заряжаться батарея, тем дольше она будет работать. Процесс будет длиться до тех пор, пока батарея не полностью зарядится.
Зависимость времени работы батареи от времени, которое она заряжается
Замечание 1
Такая зависимость называется прямой :
С увеличением одной величины увеличивается и вторая. С уменьшением одной величины уменьшается и вторая величина.
Рассмотрим другой пример.
Чем больше книг прочитает ученик, тем меньше ошибок сделает в диктанте. Или чем выше подняться в горы, тем ниже будет атмосферное давление.
Замечание 2
Такая зависимость называется обратной :
С увеличением одной величины уменьшается вторая. С уменьшением одной величины увеличивается вторая величина.
Таким образом, в случае прямой зависимости обе величины изменяются одинаково (обе либо увеличиваются, либо уменьшаются), а в случае обратной зависимости – противоположно (одна увеличивается, а другая уменьшается либо наоборот).
Определение зависимостей между величинами
Пример 1
Время, затраченное для похода в гости к другу, составляет $20$ минут. При увеличении скорости (первой величины) в $2$ раза найдем, как изменится время (вторая величина), которое будет затрачено на путь к другу.
Очевидно, что время уменьшится в $2$ раза.
Замечание 3
Такую зависимость называют пропорциональной :
Во сколько раз изменится одна величина, во столько раз изменится и вторая.
Пример 2
За $2$ булки хлеба в магазине нужно заплатить 80 рублей. Если нужно купить $4$ булки хлеба (количество хлеба увеличивается в $2$ раза), во сколько раз придется больше заплатить?
Очевидно, что стоимость также увеличится в $2$ раза. Имеем пример пропорциональной зависимости.
В обоих примерах были рассмотрены пропорциональные зависимости. Но в примере с булками хлеба величины изменяются в одну сторону, следовательно, зависимость является прямой . А в примере с походом к другу зависимость между скоростью и временем – обратная . Таким образом, существует прямо пропорциональная зависимость и обратно пропорциональная зависимость .
Прямая пропорциональность
Рассмотрим $2$ пропорциональные величины: количество булок хлеба и их стоимость. Пусть $2$ булки хлеба стоят $80$ рублей. При увеличении количества булок в $4$ раза ($8$ булок) их общая стоимость будет составлять $320$ рублей.
Отношение количества булок: $\frac{8}{2}=4$.
Отношение стоимости булок: $\frac{320}{80}=4$.
Как видно, эти отношения равны между собой:
$\frac{8}{2}=\frac{320}{80}$.
Определение 1
Равенство двух отношений называется пропорцией .
При прямо пропорциональной зависимости получается отношение, когда изменение первой и второй величины совпадает:
$\frac{A_2}{A_1}=\frac{B_2}{B_1}$.
Определение 2
Две величины называются прямо пропорциональными , если при изменении (увеличении или уменьшении) одной из них во столько же раз изменяется (увеличивается или уменьшается соответственно) и другая величина.
Пример 3
Автомобиль проехал $180$ км за $2$ часа. Найти время, за которое он с той же скоростью проедет в $2$ раза большее расстояние.
Решение .
Время прямо пропорционально расстоянию:
$t=\frac{S}{v}$.
Во сколько раз увеличится расстояние, при постоянной скорости, во столько же раз увеличится время:
$\frac{2S}{v}=2t$;
$\frac{3S}{v}=3t$.
Автомобиль проехал $180$ км – за время $2$ часа
Автомобиль проедет $180 \cdot 2=360$ км – за время $x$ часов
Чем больше расстояние проедет автомобиль, тем большее время ему понадобится. Следовательно, зависимость между величинами прямо пропорциональная.
Составим пропорцию:
$\frac{180}{360}=\frac{2}{x}$;
$x=\frac{360 \cdot 2}{180}$;
Ответ : автомобилю потребуется $4$ часа.
Обратная пропорциональность
Определение 3
Решение .
Время обратно пропорционально скорости:
$t=\frac{S}{v}$.
Во сколько раз увеличивается скорость, при том же пути, во столько же раз уменьшается время:
$\frac{S}{2v}=\frac{t}{2}$;
$\frac{S}{3v}=\frac{t}{3}$.
Запишем условие задачи в виде таблицы:
Автомобиль проехал $60$ км - за время $6$ часов
Автомобиль проедет $120$ км – за время $x$ часов
Чем больше скорость автомобиля, тем меньше времени ему понадобится. Следовательно, зависимость между величинами обратно пропорциональная.
Составим пропорцию.
Т.к. пропорциональность обратная, второе отношение в пропорции переворачиваем:
$\frac{60}{120}=\frac{x}{6}$;
$x=\frac{60 \cdot 6}{120}$;
Ответ : автомобилю потребуется $3$ часа.
I. Прямо пропорциональные величины.
Пусть величина y зависит от величины х . Если при увеличении х в несколько раз величина у увеличивается во столько же раз, то такие величины х и у называются прямо пропорциональными.
Примеры.
1 . Количество купленного товара и стоимость покупки (при фиксированной цене одной единицы товара — 1 штуки или 1 кг и т. д.) Во сколько раз больше товара купили, во столько раз больше и заплатили.
2 . Пройденный путь и затраченное на него время (при постоянной скорости). Во сколько раз длиннее путь, во столько раз больше потратим времени на то, чтобы его пройти.
3 . Объем какого-либо тела и его масса. (Если один арбуз в 2 раза больше другого, то и масса его будет в 2 раза больше )
II. Свойство прямой пропорциональности величин.
Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.
Задача 1. Для малинового варенья взяли 12 кг малины и 8 кг сахара. Сколько сахара потребуется, если взяли 9 кг малины?
Решение.
Рассуждаем так: пусть потребуется х кг сахара на 9 кг малины. Масса малины и масса сахара — прямо пропорциональные величины: во сколько раз меньше малины, во столько же раз нужно меньше сахара. Следовательно, отношение взятой (по массе) малины (12:9 ) будет равно отношению взятого сахара (8:х ). Получаем пропорцию:
12: 9=8: х;
х=9· 8: 12;
х=6. Ответ: на 9 кг малины нужно взять 6 кг сахара.
Решение задачи можно было оформить и так:
Пусть на 9 кг малины нужно взять х кг сахара.
(Стрелки на рисунке направлены в одну сторону, а вверх или вниз — не имеет значения. Смысл: во сколько раз число 12 больше числа 9 , во столько же раз число 8 больше числа х , т. е. здесь прямая зависимость).
Ответ: на 9 кг малины надо взять 6 кг сахара.
Задача 2. Автомобиль за 3 часа проехал расстояние 264 км . За какое время он проедет 440 км , если будет ехать с той же скоростью?
Решение.
Пусть за х часов автомобиль пройдет расстояние 440 км.
Ответ:
автомобиль пройдет 440 км за 5 часов.
Наряду с прямо пропорциональными величинами в арифметике рассматривались также и величины обратно пропорциональные.
Приведём примеры.
1) Длины основания и высоты прямоугольника при постоянной площади.
Пусть требуется выделить для огорода прямоугольный участок площадью в
Мы «можем произвольно установить, например, длину участка. Но тогда ширина участка будет зависеть от того, какую длину мы выбрали. Различные (возможные) значения длины и ширины приведены в таблице.
Вообще, если обозначить длину участка через х, а ширину - через у, то зависимость между ними можно выразить формулой:
Выразив у через х, получим:
Давая х произвольные значения, будем получать соответствующие значения у.
2) Время и скорость равномерного движения при определённом расстоянии.
Пусть расстояние между двумя городами равно 200 км. Чем больше будет скорость движения, тем меньше времени потребуется, чтобы проехать данное расстояние. Это видно из следующей таблицы:
Вообще, если обозначить скорость через х, а время движения - через у, то зависимость между ними выразится формулой:
Определение. Зависимость между двумя величинами выраженная равенством , где k - определённое число (не равное нулю), называется обратно пропорциональной зависимостью.
Число и здесь называется коэффициентом пропорциональности.
Так же, как и в случае прямой пропорциональности, в равенстве величины х и у в общем случае могут принимать положительные и отрицательные значения.
Но во всех случаях обратной пропорциональности ни одна из величин не может быть равной нулю. В самом деле, если хоть одна из величин х или у будет равна нулю, то в равенстве левая часть будет равна ну
А правая - некоторому числу, не равному нулю (по определению), то есть получится неверное равенство.
2. График обратно пропорциональной зависимости.
Построим график зависимости
Выразив у через х, получим:
Будем давать х произвольные (допустимые) значения и вычислим соответствующие значения у. Получим таблицу:
Построим соответствующие точки (черт. 28).
Если будем брать значения х через меньшие промежутки, то и точки расположатся теснее.
При всевозможных значениях х соответствующие точки расположатся на двух ветвях графика, симметричных относительно начала координат и проходящих в I и III четвертях координатной плоскости (черт. 29).
Итак, мы видим, что графиком обратной пропорциональности является кривая линия. Эта линия состоит из двух ветвей.
Одна ветвь получится при положительных, другая - при отрицательных значениях х.
График обратно пропорциональной зависимости называется гиперболой.
Чтобы получить более точный график, надо строить возможно больше точек.
С достаточно большой точностью гиперболу можно начертить, пользуясь, например, лекалами.
На чертеже 30 построен график обратно пропорциональной зависимости с отрицательным коэффициентом. Составив, например, такую таблицу:
получим гиперболу, ветви которой расположены во II и IV четвертях.