Прямая называется секущей если. Справочные материалы хорда, секущая, касательная орпеделения, теоремы

И круг - геометрические фигуры, взаимосвязанные между собой. есть граничная ломаная линия (кривая) круга ,

Определение. Окружность - замкнутая кривая, каждая точка которой равноудалена от точки, называемой центром окружности.

Для построения окружности выбирается произвольная точка О, принятая за центр окружности, и с помощью циркуля проводится замкнутая линия.

Если точку О центра окружности соединить с произвольными точками на окружности, то все полученные отрезки будут между собой равны, и называются такие отрезки радиусами, сокращенно обозначаются латинской маленькой или большой буквой «эр» (r или R ). Радиусов в окружности можно провести столько же, сколько точек имеет длина окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, называется диаметром. Диаметр состоит из двух радиусов , лежащих на одной прямой. Диаметр обозначается латинской маленькой или большой буквой «дэ» (d или D ).

Правило. Диаметр окружности равен двум ее радиусам .

d = 2r
D = 2R

Длина окружности вычисляется по формуле и зависит от радиуса (диаметра) окружности. В формуле присутствует число ¶, которое показывает во сколько раз длина окружности больше, чем ее диаметр. Число ¶ имеет бесконечное число знаков после запятой. Для вычислений принято ¶ = 3,14.

Длина окружности обозначается латинской большой буквой «цэ» (C ). Длина окружности пропорциональна ее диаметру. Формулы для расчета длины окружности по ее радиусу и диаметру:

C = ¶d
C = 2¶r

  • Примеры
  • Дано: d = 100 см.
  • Длина окружности: C = 3,14 * 100 см = 314 см
  • Дано: d = 25 мм.
  • Длина окружности: С = 2 * 3,14 * 25 = 157 мм

Секущая окружности и дуга окружности

Всякая секущая (прямая линия) пересекает окружность в двух точках и делит ее на две дуги. Величина дуги окружности зависит от расстояния между центром и секущей и измеряется по замкнутой кривой от первой точки пересечения секущей с окружностью до второй.

Дуги окружности делятся секущей на большую и малую, если секущая не совпадает с диаметром, и на две равные дуги, если секущая проходит по диаметру окружности.

Если секущая проходит через центр окружности, то ее отрезок, расположенный между точками пересечения с окружностью, есть диаметр окружности, или самая большая хорда окружности.

Чем дальше секущая расположена от центра окружности, тем меньше градусная мера меньшей дуги окружности и больше - большей дуги окружности, а отрезок секущей, называемый хордой , уменьшается по мере удаления секущей от центра окружности.

Определение. Кругом называется часть плоскости, лежащая внутри окружности.

Центр, радиус, диаметр окружности являются одновременно центром, радиусом и диаметром соответствующего круга.

Так как круг - это часть плоскости, то одним из его параметров является площадь.

Правило. Площадь круга (S ) равна произведению квадрата радиуса (r 2 ) на число ¶.

  • Примеры
  • Дано: r = 100 см
  • Площадь круга:
  • S = 3,14 * 100 см * 100 см = 31 400 см 2 ≈ 3м 2
  • Дано: d = 50 мм
  • Площадь круга:
  • S = ¼ * 3,14 * 50 мм * 50 мм = 1 963 мм 2 ≈ 20 см 2

Если в круге провести два радиуса к разным точкам окружности, то образуется две части круга, которые называется секторами . Если в круге провести хорду, то часть плоскости между дугой и хордой называется сегментом окружности .

Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка (O) называется центром окружности .
Радиус окружности - это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром . Центр окружности является серединой любого диаметра.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Длина единичной полуокружности обозначается через π .
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º .
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .
Круговой сектор - часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора .
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными .

Взаимное расположение прямой и окружности

  1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
  2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
  3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек
    4. .

Центральные и вписанные углы

Центральный угол - это угол с вершиной в центре окружности.
Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

  • Следствие 1.
    Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

  • Следствие 2.
    Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Основные формулы

  • Длина окружности:
C = 2∙π∙R
  • Длина дуги окружности:
R = С/(2∙π) = D/2
  • Диаметр:
D = C/π = 2∙R
  • Длина дуги окружности:
l = (π∙R) / 180∙α ,
где α - градусная мера длины дуги окружности)
  • Площадь круга:
S = π∙R 2
  • Площадь кругового сектора:
S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Уравнение окружности

  • В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x о;y о) имеет вид:
(x - x о) 2 + (y - y о) 2 = r 2
  • Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:
x 2 + y 2 = r 2

Геометрическое место точек. Срединный перпендикуляр . Биссектриса угла.

Окружность. Круг. Центр окружности. Радиус. Дуга. Секущая. Хорда.

Диаметр. Касательная и её свойства. Сегмент. Сектор. Углы в круге.

Длина дуги. Радиан. Соотношения между элементами круга.

Геометрическое местоточек – этомножество всех точек,удовлетворя ющихопределённым заданным условиям.

П р и м е р 1. Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое

место точек (т.е. множество всех точек), равноудалён ных от

концов этого отрезка. Пусть PO AB и AO = OB:

Тогда, расстояния от любой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d .

Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляра отрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.

П р и м е р 2. Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон .

П р и м е р 3. Окружность есть геометрическое место точек (т.е. множе ство

всех точек), равноудалённых от её центра (на рис. пока зана одна

из этих точек – А).

Окружность - это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) на плоскости , равноудалённых от одной точки, называемой центром окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом и обозначается r или R . Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом . Часть окружности (

Am B , рис.39 ) называется дугой. Прямая PQ , проходящая через точки M и N окружности ( рис.39 ), называется секущей, а её отрезок MN , лежащий внутри окружности - хордой.

Хорда, проходящая через центр круга (например, BC, рис.39), называется диаметром и обозначается d или D . Диаметр – это наибольшая хорда, равная двум радиусам (d = 2 r ).

Касательная. Предположим, секущая PQ (рис.40) проходит через точки K и M окружности. Предположим также, что точка M движется вдоль окружности, приближаясь к точке K. Тогда секущая PQ будет менять своё положение, вращаясь вокруг точки K. По мере приближения точки M к точке K секущая PQ будет стремиться к некоторому предельному положению АВ. Прямая AB называется касательной к окружности в точке K. Точка K называется точкой касания. Касательная и окружность имеют только одну общую точку – точку касания.

Свойства касательной.

1) К асательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания ( AB OK, рис.40) .

2) Из точки, лежащей вне круга, можно провести две касательные к одной и той же окружности; их отрезки равны (рис.41).

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой ACB и соответствующей хордой AB (рис.42). Длина перпендикуляра CD, проведенного из середины хорды AB до пересечения с дугой ACB, называется высотой сегмента.

Сектор – эточасть круга,ограниченная дугой Am Bи двумя радиусами OAи OB, проведенными к концам этой дуги (рис.43).

Углы в круге. Центральный угол – угол, образованный двумя радиусами ( AOB, рис.43). Вписанный угол – угол, образованный двумя хордами AB и AC, проведенными из их одной общей точки ( BA C, рис.44). Описанный угол – угол, образованный двумя касательными AB и AC, проведенными из одной общей точки ( BAC, рис.41).

Длина дуги окружности пропорциональна её радиусу r и соответствующему центральному углу :

l = r

Таким образом, если мы знаем длину дуги l и радиус r , то величина соответствующего центрального угла

может быть определена их отношением: = l / r .

Эта формула является основой для определения радианного измерения углов. Так, если l = r , то = 1, и мы говорим, что угол равен 1 радиану (это обозначается: = 1 рад ). Таким образом, мы имеем следующее определение радиана как единицы измерения углов: радиан – это центральный угол ( AOB, рис.43), у которого длина дуги равна её радиусу (Am B = AO , рис.43). Итак, радианная мера любого угла – это отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к её радиусу. В частности, в соответствии с формулой длины дуги, длина окружности C может быть выражена следующим образом:

где определяется как отношение C к диаметру круга 2 r :

= C / 2 r .

Иррациональное число; его приближённое значение 3.1415926…

С другой стороны, 2- это круговой угол окружности, который в градусной системе измерения равен 360º. На практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны. В этом случае длина дуги может быть вычислена по приближённой формуле Гюйгенса:

p 2l + (2l – L ) / 3 ,

где (см. рис.42): p – длина дуги ACB ; l – длина хорды AC ; L – длина хорды AB . Если дуга содержит не более чем 60 º , относительная погрешность этой формулы не превышает 0.5%.

Соотношения между элементами круга. Вписанный угол ( ABC , рис.45) равен половине центрального угла , опирающегося на ту же дугу AmC ( AOC , рис.45) . Поэтому, все вписанные углы (рис.45), опирающиеся на одну и ту же дугу ( Am C , рис.45), равны. А так как центральный угол содержит тоже количество градусов, чтои его дуга ( Am C ,рис.45), то любой вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (внашем случае Am C ).

Все вписанные углы, опирающиеся на полукруг (APB, AQB, …, рис.46 ), прямые (Докажите это, пожалуйста!).

Угол (AOD, рис.47 ), образованный двумя хордами ( ABи CD), измеряет ся полусуммой дуг, заключённых между его сторонами: (An D + Cm B) / 2 .

Угол (AOD, рис.48 ), образованный двумя секущими (AOи OD), измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами: (An D– Bm C ) / 2. секущей (COи BO), измеряется полуразностью дуг,заключённых между его сторонами: ( Bm C– Cn D ) / 2 .

Описанный угол (AOC, рис.50 ), образованный двумя касательными ( COи AO), измеряется полуразностью дуг,заключенных между его сторонами: ( ABC– CDA) / 2 .

Произведения отрезков хорд ( AB и CD , рис.51 или рис.52), на которые они делятся точкой пересечения, равны: AO · BO = CO · DO .

К вадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть ( рис.50 ) : OA 2 = OB · O D (докажите!). Это свойство можно рассматривать как частный случай рис.52.

Хорда (AB, рис.53), перпендикулярная диаметру ( CD), делится в их точке пересечения O пополам: AO = OB.

( Попробуйте доказать это! ).

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Разносторонний. Биссектриса. Признак равенства. Любой треугольник имеет три высоты. Любой треугольник имеет три медианы. Высота. Два треугольника называются равными если их можно совместить наложением. Признак равенства треугольников. Классификация треугольников. Сторона и два прилежащих к ней угла. Каждый из треугольников. Медиана. Приложим треугольник. Треугольник. Треугольники равны. В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке.

«Основные понятия геометрии» - Равные отрезки имеют равные длины. Построение треугольника. Следствие. Признак равенства треугольника. Прямые параллельны. Параллельные прямые. Сколько прямых можно провести через две точки. Простейшие геометрические фигуры. Градусная мера угла. Медианы. Секущая прямая. Отрезок биссектрисы угла. Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей. Луч и угол. Луч. Треугольники равны.

««Задачи по геометрии» 7 класс» - Измерение отрезков. AOB = 45. OC – биссектриса. Отрезок MP. OE – биссектриса. ABD = 100. Отрезок KN. Отрезок FD. Углы. Смежные углы. OD – биссектриса. Отрезок KE. Отрезок АС. Вертикальные углы. Отрезок DF. BOC = 23. AOB = 55. Отрезок AB. Измерение углов. Начальные геометрические сведения. EDK = 36. ABC = 72. Отрезок АD.

«Определение угла» - Углы. Подготовительный этап урока. Развитие логического мышления. Острый угол. Понятия углов. Закрасьте внутреннюю область угла. Объяснение нового материала. Виды углов. Определение развёрнутого угла. Тупой угол. Луч на рисунке делит угол. Первые уроки геометрии. Углы. Прямой угол. Угол разделяет плоскость. Заинтересовать предметом. Луч BM делит угол ABC на два угла. Запишите обозначения всех углов.

«Равнобедренный треугольник» - AFD – равнобедренный. Перечислите равные элементы треугольников. Классификация треугольников по величине углов. Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура. В равнобедренном треугольнике АМК АМ = АК. Контрольные вопросы. Треугольник, все стороны которого равны. ABC -равнобедренный. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равнобедренный треугольник. Равенство треугольников.

«Начальные понятия геометрии» - Как возникла геометрия. Через одну точку можно провести сколько угодно различных прямых. Начальные геометрические знания. Геометрические сведения. Введение в геометрию. Точки, принадлежащие прямой. Геометрические термины. Отрезок. Что изучает геометрия. Сочинение греческого ученого Евклида. Проверка математического диктанта. Практическое проведение прямых. Практические задания. Геометрия. Начальные геометрические сведения.