Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Геометрия - одна из важнейших компонент математического образования, необходимая для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, а также для эстетического воспитания. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, формирование навыков доказательства.
В курсе геометрии 7 класса систематизируются знания о простейших геометрических фигурах и их свойствах; вводится понятие равенства фигур; вырабатывается умение доказывать равенство треугольников с помощью изученных признаков; вводится класс задач на построение с помощью циркуля и линейки; вводится одно из важнейших понятий - понятие о параллельных прямых; рассматриваются новые интересные и важные свойства треугольников; рассматривается одна из важнейших теорем в геометрии - теорема о сумме углов треугольника, которая позволяет дать классификацию треугольников по углам (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный).
На протяжении занятий, особенно при переходе от одной части занятия к другой, смене деятельности встает вопрос о поддержании интереса к занятиям. Таким образом, актуальным становится вопрос о применении на занятиях по геометрии задач, в которых есть условие проблемной ситуации и элементы творчества . Таким образом, целью данного исследования является систематизация заданий геометрического содержания с элементами творчества и проблемных ситуаций.
Объект исследования : Задачи по геометрии с элементами творчества, занимательности и проблемных ситуаций.
Задачи исследования: Проанализировать существующие задачи по геометрии, направленные на развитие логики, воображения и творческого мышления. Показать, как занимательными приемами можно развить интерес к предмету.
Теоретическая и практическая значимость исследования состоит в том, что собранный материал может быть использован в процессе дополнительных занятий по геометрии, а именно на олимпиадах и конкурсах по геометрии.
Объем и структура исследования:
Исследование состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка, содержит 14 страниц основного машинописного текста, 1 таблицу, 10 рисунков.
Глава 1. ПЛОСКИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1.1. Основные геометрические фигуры в архитектуре зданий и сооружений
В окружающем нас мире существует множество материальных предметов разных форм и размеров: жилые дома, детали машин, книги, украшения, игрушки и т. д.
В геометрии вместо слова предмет говорят геометрическая фигура, при этом разделяя геометрические фигуры на плоские и пространственные. В данной работе будет рассмотрен один из интереснейших разделов геометрии - планиметрия, в которой рассматриваются только плоские фигуры. Планиметрия (от лат. planum — «плоскость», др.-греч. μετρεω — «измеряю») — раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости. Плоской геометрической фигурой называется такая, все точки которой лежат на одной плоскости. Представление о такой фигуре даёт любой рисунок, сделанный на листе бумаги.
Но прежде, чем рассматривать плоские фигуры, необходимо познакомиться с простыми, но очень важными фигурами, без которых плоские фигуры просто не могут существовать.
Самой простой геометрической фигурой является точка. Это одна из главных фигур геометрии. Она очень маленькая, но ее всегда используют для построения различных форм на плоскости. Точка - это основная фигура для абсолютно всех построений, даже самой высокой сложности. С точки зрения математики точка — это абстрактный пространственный объект, не обладающий такими характеристиками, как площадь, объем, но при этом остающийся фундаментальным понятием в геометрии.
Прямая — одно из фундаментальных понятий геометрии.При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии (евклидовой). Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить, как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.
Прямые в пространстве могут занимать различные положения, рассмотрим некоторые из них и приведем примеры, встречающиеся в архитектурном облике зданий и сооружений (табл. 1):
Таблица 1
|
Параллельные прямые |
Свойства параллельных прямых |
|
|
Если прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны: |
Ессентуки, здание грязелечебницы (фото автора) |
|
|
Пересекающиеся прямые |
Свойства пересекающихся прямых |
Примеры в архитектуре зданий и сооружений |
|
Пересекающиеся прямые имеют общую точку, то есть точки пересечения их одноименных проекций лежат на общей линии связи: |
Здания «горы» на Тайване https://www.sro-ps.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane |
|
|
Скрещивающиеся прямые |
Свойства скрещивающихся прямых |
Примеры в архитектуре зданий и сооружений |
|
Прямые, не лежащие в одной плоскости и не параллельные между собой, являются скрещивающимися. Ноне является общей линией связи. Если пересекающиеся и параллельные прямые лежат в одной плоскости, то скрещивающиеся прямые лежат в двух параллельных плоскостях. |
Робер, Гюбер - Вилла Мадама под Римом https://gallerix.ru/album/Hermitage-10/pic/glrx-172894287 |
1.2. Плоские геометрические фигуры. Свойства и определения
Наблюдая за формами растений и животных, гор и извилинами рек, за особенностями ландшафта и далекими планетами, человек заимствовал у природы ее правильные формы, размеры и свойства. Материальные потребности побуждали человека строить жилища, изготавливать орудия труда и охоты, лепить из глины посуду и прочее. Все это постепенно способствовало тому, что человек пришел к осознанию основных геометрических понятий.
Четырехугольники:
Параллелограмм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — черта, линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.
Признаки параллелограмма:
Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий: 1. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырёхугольник - параллелограмм. 2. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм. 3. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.
Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.
Трапеция— это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.
Треугольник — это простейшая геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника , а отрезки — сторонами треугольника. Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений. Землемеры при своих вычислениях площадей земельных участков и астрономы при нахождении расстояний до планет и звезд используют свойства треугольников. Так возникла наука тригонометрия — наука об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы. Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника: достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Правда, верную формулу для площади треугольника удалось найти не сразу.
Особенно активно свойства треугольника исследовались в XV-XVI веках. Вот одна из красивейших теорем того времени, принадлежащая Леонарду Эйлеру:
Огромное количество работ по геометрии треугольника, проведенное в XY-XIX веках, создало впечатление, что о треугольнике уже известно все.
Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как замкнутая ломаная.
Круг — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку.
Существует большое количество геометрических фигур, все они отличаются параметрами и свойствами, порой удивляя своими формами.
Чтобы лучше запомнить и отличать плоские фигуры по свойствам и признакам, я придумал геометрическую сказку, которую хотел бы представит вашему вниманию в следующем параграфе.
Глава 2. ЗАДАЧИ-ГОЛОВОЛОМКИ ИЗ ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
2.1.Головоломки на построение сложной фигуры из набора плоских геометрических элементов.
Изучив плоские фигуры, я задумался, а существуют какие-нибудь интересные задачи с плоскими фигурами, которые можно использовать в качестве заданий-игр или заданий-головоломок. И первой задачей, которую я нашел, была головоломка «Танграм».
Это китайская головоломка. В Китае ее называют «чи тао ту», т.е умственная головоломка из семи частей. В Европе название «Танграм» возникло, вероятнее всего, от слова «тань», что означает «китаец» и корня «грамма» (греч. - «буква»).
Для начала необходимо начертить квадрат 10 х10 и разделить его на семь частей: пять треугольников 1-5 , квадрат 6 и параллелограмм 7 . Суть головоломки состоит в том, чтобы, используя все семь частей, сложить фигурки, показанные на рис.3.
Рис.3. Элементы игры «Танграм» и геометрические фигуры
Рис.4. Задания «Танграм»
Особенно интересно составлять из плоских фигур «образные» многоугольники, зная лишь очертания предметов (рис.4). Несколько таких заданий-очертаний я придумал сам и показал эти задания своим одноклассникам, которые с удовольствием принялись разгадывать задания и составили много интересных фигур-многогранников, похожих на очертания предметов окружающего нас мира.
Для развития воображения можно использовать и такие формы занимательных головоломок, как задачи на разрезание и воспроизведение заданных фигур.
Пример 2. Задачи на разрезание (паркетирование) могут показаться, на первый взгляд, весьма многообразными. Однако в большинстве в них используется всего лишь несколько основных типов разрезаний (как правило, те, с помощью которых из одного параллелограмма можно получить другой).
Рассмотрим некоторые приёмы разрезаний. При этом разрезанные фигуры будем называть многоугольниками.
Рис. 5. Приёмы разрезаний
На рис.5 представлены геометрические фигуры, из которых можно собрать различные орнаментальные композиции и составить орнамент своими руками.
Пример 3. Еще одна интересная задача, которую можно самостоятельно придумать и обмениваться с другими учениками, при этом кто больше соберет разрезанные фигуры, тот объявляется победителем. Задач такого типа может быть достаточно много. Для кодирования можно взять все существующие геометрические фигуры, которые разрезаются на три или четыре части.
Рис.6.Примеры задач на разрезание:
------ - воссозданный квадрат; - разрез ножницами;
Основная фигура
2.2.Равновеликие и равносоставленные фигуры
Рассмотрим еще один интересный прием на разрезание плоских фигур, где основными «героями» разрезаний будут многоугольники. При вычислении площадей многоугольников используется простой прием, называемый методом разбиения.
Вообще многоугольники называются равносоставленными, если, определенным образом разрезав многоугольник F на конечное число частей, можно, располагая эти части иначе, составить из них многоугольник Н.
Отсюда вытекает следующая теорема: равносоставленные многоугольники имеют одинаковую площадь, поэтому они будут считаться равновеликими.
На примере равносоставленных многоугольников можно рассмотреть и такое интересное разрезание, как преобразование «греческого креста» в квадрат (рис.7).
Рис.7. Преобразование «греческого креста»
В случае мозаики (паркета), составленной из греческих крестов, параллелограмм периодов представляет собой квадрат. Мы можем решить задачу, накладывая мозаику, составленную из квадратов, на мозаику, образованную с помощью крестов, так, чтобы при этом конгруэнтные точки одной мозаики совпали с конгруэнтными точками другой (рис.8).
На рисунке конгруэнтные точки мозаики из крестов, а именно центры крестов, совпадают с конгруэнтными точками «квадратной» мозаики - вершинами квадратов. Параллельно сдвинув квадратную мозаику, мы всегда получим решение задачи. Причем, задача имеет несколько вариантов решений, если при составлении орнамента паркета используется цвет.
Рис.8. Паркет, собранный из греческого креста
Еще один пример равносоставленных фигур можно рассмотреть на примере параллелограмма. Например, параллелограмм равносоставлен с прямоугольником (рис.9).
Этот пример иллюстрирует метод разбиения, состоящий в том, что для вычисления площади многоугольника пытаются разбить его на конечное число частей таким образом, чтобы из этих частей можно было составить более простой многоугольник, площадь которого нам уже известна.
Например, треугольник равносоставлен с параллелограммом, имеющим то же основание и вдвое меньшую высоту. Из этого положения легко выводится формула площади треугольника.
Отметим, что для приведенной выше теоремы справедлива и обратная теорема: если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены.
Эту теорему, доказанную в первой половине XIX в. венгерским математиком Ф.Бойяи и немецким офицером и любителем математики П.Гервином, можно представить и в таком виде: если имеется торт в форме многоугольника и многоугольная коробка, совершенно другой формы, но той же площади, то можно так разрезать торт на конечное число кусков (не переворачивая их кремом вниз), что их удастся уложить в эту коробку.
Заключение
В заключении отмечу, что задач на плоские фигуры достаточно представлено в различных источниках, но интерес представили для меня те, на основании которых мне пришлось придумывать свои задачи-головоломки.
Ведь решая такие задачи, можно не просто накопить жизненный опыт, но и приобрести новые знания и умения.
В головоломках при построении действий-ходов используя повороты, сдвиги, переносы на плоскости или их композиции, у меня получились самостоятельно созданные новые образы, например, фигурки-многогранники из игры «Танграм».
Известно, что основным критерием подвижности мышления человека является способность путём воссоздающего и творческого воображения выполнить в установленный отрезок времени определенные действия, а в нашем случае - ходы фигур на плоскости. Поэтому изучение математики и, в частности, геометрии в школе даст мне еще больше знаний, чтобы в дальнейшем применить их в своей будущей профессиональной деятельности.
Библиографический список
1. Павлова, Л.В. Нетрадиционные подходы к обучению черчению: учебное пособие/ Л.В. Павлова. - Нижний Новгород: Изд-во НГТУ, 2002. - 73 с.
2. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П. Савин. - М.: Педагогика, 1985. - 352 с.
3.https://www.srops.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane
4.https://www.votpusk.ru/country/dostoprim_info.asp?ID=16053
Приложение 1
Анкета-опросник для одноклассников
1. Знаете ли вы, что такое головоломка «Танграм»?
2. Что такое «греческий крест»?
3. Было бы вам интересно узнать, что такое «Танграм»?
4. Было бы вам интересно узнать, что такое «греческий крест»?
Было опрошено 22 ученика 8 класса. Результаты: 22 ученика не знают, что такое «Танграм» и «греческий крест». 20-ти ученикам было бы интересно узнать о том, как с помощью головоломки "Танграм», состоящая из семи плоских фигур, получить более сложную фигуру. Результаты опроса обобщены на диаграмме.
Приложение 2
Элементы игры «Танграм» и геометрические фигуры
Преобразование «греческого креста»
1. Понятие геометрической фигуры.
3. Параллельные и перпендикулярные прямые.
4. Треугольники.
5. Четырехугольники.
6. Многоугольники.
7. Окружность и круг.
8. Построение геометрических фигур на плоскости.
9. Преобразования геометрических фигур. Понятие преобразования
Основная литература ;
Дополнительная литература
Понятие геометрической фигуры
Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.
Отрезок, прямая, круг, шар - геометрические фигуры.
Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской .
Например, отрезок, прямоугольник - это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.
Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множества, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.
Например, объединением двух лучей АВ и МК (рис. 1) является прямая КВ, а их пересечение есть отрезок АМ.
К А М В
Выпуклыми фигурами являются плоскость, прямая, луч, отрезок, точка. Нетрудно убедиться в том, что выпуклой фигурой является круг (рис. 3). Если продолжить отрезок XY до пересечения с окружностью, то получим хорду АВ.
Так как хорда содержится в круге, то отрезок XY тоже содержится в круге и, значит, круг - выпуклая фигура.
Для многоугольников известно другое определение: многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону .
Так как равносильность этого определения и данного выше для многоугольника доказана, то можно пользоваться и тем, и другим.
Основываясь на этих понятиях, рассмотрим другие геометрические фигуры, изучаемые в школьном курсе планиметрии. Рассмотрим их определения и основные свойства, принимая их без доказательства. Знание этого материала и умение применять к решению несложных геометрических задач является той основой, на которой можно строить методику обучения младших школьников элементам геометрии.
Углы
Напомним, что угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
Лучи называются сторонами угла, а их общее начало - его вершиной.
Угол обозначают по-разному: указывают либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и две точки на сторонах угла: Ð А, Ð (k, l), Ð АВС.
Угол называется развернутым , если его стороны лежат на одной прямой.
Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым .
Кроме понятия угла, данного выше, в геометрии рассматривают понятие плоского угла.
Плоский угол - это часть плоскости, ограниченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки.
Углы, которые рассматривают в планиметрии, не превосходят развернутого.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
Сумма смежных углов равна 180 °. Справедливость этого свойства вытекает из определения смежных углов.
Два угла называются вертикальными,
если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. Углы АОВ и СОВ, а также углы АОС и D0В - вертикальные (рис. 4).
Отрезок обозначается так же, как и прямая. Отрезок - это часть прямой вместе с ограничивающими эту часть точками. Понятно, что две точки не должны совпадать, то есть лежать в одном и том же месте на прямой. Если на прямой вы поставили точку, то этой точкой прямая разбивается па два луча, противоположно направленных. Точки обозначаются большими латинскими буквами, прямые обозначаются малыми латинскими буквами. Что через эти две точки проходит прямая, и притом только одна. Вроде бы это понятно.
У плоскости, как и у прямой, нельзя видеть ни начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией. Отрезок, луч, ломаная линия - самые простые геометрические фигуры на плоскости. Точка - мельчайшая геометрическая фигура, являющаяся основой других фигур во всяком изображении либо чертеже.
Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки AB{\displaystyle AB} и BA{\displaystyle BA} представляют собой один и тот же отрезок. Например, направленные отрезки AB{\displaystyle AB} и BA{\displaystyle BA} не совпадают. Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора - класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.
Луч с началом в точке O, содержащий точку A, обозначается «луч ОА». Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Задача: где прямая, луч, отрезок, кривая?
Звенья ломаной(похожи на звенья цепи) - это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья - это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой. Соседние вершины - это точки концов одной стороны многоугольника. Сын на подготовку в школу ходит. Дано в книге «Раз-ступенька, Два-ступенька…» (Петерсон и Холина) задание «Найди прямые, лучи и отрезки.».
Прямая — одно из фундаментальных понятий геометрии. Однако можно сказать, что это геометрическая фигура, которая получается из отрезка неограниченным продожением его в обе стороны. Кривая или линия - геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно, иногда определяется как «длина без ширины» или как «граница фигуры».
Кандинский систематизировал свои взгляды на живопись в книге «Точка и линия на плоскости» (1926). Разнообразие линий зависит от числа этих сил и их комбинаций.В конце концов всех форм линий можно свести к двум случаям:1.
Итак, горизонталь – это холодная несущая основа, которая может быть продолжена на плоскости в различных направлениях. Холод и плоскостность – это основные звучания данной линии, она может быть определена как кратчайшая форма неограниченной холодной возможности движения.2. Полностью противоположна этой линии и внешне, и внутренне стоящая к ней под прямым углом вертикаль, в которой плоскостность заменяется высотой, то есть холод – теплом.
Даже среди простейших фигур выделяется самая простейшая - это точка. Все остальные фигуры состоят из множества точек. В геометрии принято обозначать точки прописными (большими) латинскими буквами. Прямая - это бесконечная линия, на которой если взять две любые точки, то кратчайшее расстояние между ними будет проходить как раз по этой прямой.
Например, прямая a, прямая b. Однако в некоторых случаях и двумя большими. Иначе отрезок будет иметь нулевую длину и по-сути будет точкой. Обозначают отрезки двумя большими буквами, которыми обозначаются концы отрезка.
Основные геометрические понятия
Таким образом, если отрезок ограничен с обоих концов, то луч только с одной, а другая сторона луча бесконечна, как у прямой. Обозначают лучи также как и прямые: либо одной маленькой буквой, либо двумя большими.
В геометрии есть такой раздел, который занимается изучением различных фигур на плоскости и называется планиметрия. Вам уже известно, что фигурой называют произвольное множество точек, находящиеся на плоскости. Из выше изученного материала вам уже известно, что точка относится к главным геометрическим фигурам. Ведь построение более сложноватых геометрических фигур складывается из множества точек, характерных для данной фигуры.
Фигура, которая имеет два луча и вершину, называется углом. Место соединения лучей, является вершиной этого угла, а его сторонами считаются лучи, которые этот угол образуют. Также к простым геометрическим фигурам принадлежит и уже изучаемый вами треугольник. Это один из видов многоугольников, у которого часть плоскости ограничена тремя точками и тремя отрезками, которые соединяют эти точки попарно.
В многоугольнике все точки, которые соединяют отрезки, являются его вершинами. А отрезки, из которых состоит многоугольник, являются его сторонами. А вот одна из известных картин, созданная еще в начале прошлого века Малевичем, прославляет такую геометрическую фигуру, как квадрат.
В дальнейшем будут определения для разных фигур кроме двух — точка и прямая. Значит иногда обозначить прямую можем и двумя большими латинскими буквами, например, прямая\(AB\), так как никакая другая прямая через эти две точки не может быть проведена. 2) Все прямые \(a\), \(b\) и \(c\) пересекаются! Это изучение фигур, их свойств и взаимного расположения. Первые геометрические факты найдены в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетие до нашей эры), а также в других источниках.
Точка - это самая малая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже. Часть прямой, ограниченную двумя точками и точки, называют отрезком. Плоскость, как и прямая, - это исходное понятие, у которого нет определения.
Геометрические фигуры представляют собой комплекс точек, линий, тел или поверхностей. Эти элементы могут располагаться как на плоскости, так и в пространстве, формируя конечное количество прямых.
Термин «фигура» подразумевает под собой несколько множеств точек. Они должны располагаться на одной или нескольких плоскостях и одновременно ограничиваться конкретным числом оконченных линий.
Основными геометрическими фигурами считаются точка и прямая. Они располагаются на плоскости. Кроме них, среди простых фигур выделяют луч, ломаную линию и отрезок.
Точка
Это одна из главных фигур геометрии. Она очень маленькая, но ее всегда используют для построения различных форм на плоскости. Точка - это основная фигура для абсолютно всех построений, даже самой высокой сложности. В геометрии ее принято обозначать буквой латинской алфавита, к примеру, A, B, K, L.
С точки зрения математики точка - это абстрактный пространственный объект, не обладающий такими характеристиками, как площадь, объем, но при этом остающийся фундаментальным понятием в геометрии. Этот нульмерный объект просто не имеет определения.
Прямая
Это фигура полностью размещается в одной плоскости. У прямой нет конкретного математического определения, так как она состоит из огромного количества точек, располагающихся на одной бесконечной линии, у которой нет предела и границ.
Существует еще и отрезок. Это тоже прямая, но она начинается и заканчивается с точки, а значит, имеет геометрические ограничения.
Также линия может превратиться в направленный луч. Такое происходит, когда прямая начинается с точки, но четкого окончания не имеет. Если же поставить точку посредине линии, то она разобьется на два луча (дополнительных), причем противоположно направленных друг к другу.
Несколько отрезков, которые последовательно соединяются друг с другом концами в общей точке и располагаются не на одной прямой, принято называть ломаной линией.
Угол
Геометрические фигуры, названия которых мы рассмотрели выше, считают ключевыми элементами, использующимися при построении более сложных моделей.
Угол - это конструкция, состоящая из вершины и двух лучей, которые выходят из нее. То есть стороны этой фигуры соединяются в одной точке.
Плоскость
Рассмотрим еще одно первичное понятие. Плоскость - это фигура, у которой нет ни конца, ни начала, равно как и прямой, и точки. Во время рассмотрения этого геометрического элемента во внимание берется лишь его часть, ограниченная контурами ломаной замкнутой линии.
Любую гладкую ограниченную поверхность можно считать плоскостью. Это может быть гладильная доска, лист бумаги или даже дверь.
Четырехугольники
Параллелограмм - это геометрическая фигура, противоположные стороны которой параллельны друг другу попарно. Среди частных видов этой конструкции выделяют ромб, прямоугольник и квадрат.
Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все стороны соприкасаются под прямым углом.
Квадрат - это четырехугольник с равными сторонами и углами.
Ромб - это фигура, у которой все грани равны. При этом углы могут быть совершенно разными, но попарно. Каждый квадрат считается ромбом. Но в противоположном направлении это правило действует не всегда. Далеко не каждый ромб является квадратом.
Трапеция
Геометрические фигуры бывают совершенно разными и причудливыми. Каждая из них имеет своеобразную форму и свойства.
Трапеция - это фигура, которая чем-то схожа с четырехугольником. Она имеет две параллельные противоположные стороны и при этом считается криволинейной.
Круг
Эта геометрическая фигура подразумевает расположение на одной плоскости точек, равноудаленных от ее центра. При этом заданный ненулевой отрезок принято называть радиусом.
Треугольник
Это простая геометрическая фигура, которая очень часто встречается и изучается.
Треугольник считается подвидом многоугольника, расположенным на одной плоскости и ограниченным тремя гранями и тремя точками соприкосновения. Эти элементы попарно соединены между собой.
Многоугольник
Вершинами многоугольников называют точки, соединяющие отрезки. А последние, в свою очередь, принято считать сторонами.
Объемные геометрические фигуры
- призма;
- сфера;
- конус;
- цилиндр;
- пирамида;
Эти тела имеют нечто общее. Все они ограничиваются замкнутой поверхностью, внутри которой находится множество точек.
Объемные тела изучают не только в геометрии, но и в кристаллографии.
Любопытные факты
Наверняка вам будет интересно ознакомиться с информацией, предоставленной ниже.
- Геометрия сформировалась как наука еще в давние века. Это явление принято связывать с развитием искусства и разнообразных ремесел. А названия геометрических фигур свидетельствуют об использовании принципов определения подобия и схожести.
- В переводе с древнегреческого термин «трапеция» обозначает столик для трапезы.
- Если вы возьмете различные фигуры, периметр которых будет одинаковым, то наибольшая площадь гарантированно будет у круга.
- В переводе с греческого языка термин «конус» обозначает сосновую шишку.
- Существует известная картина Каземира Малевича, которая начиная с прошлого века притягивает к себе взгляды многих живописцев. Работа «Черный квадрат» всегда была мистической и загадочной. Геометрическая фигура на белом полотне восхищает и поражает одновременно.
Существует большое количество геометрических фигур. Все они отличаются параметрами, а порой даже удивляют формами.
2.1. Геометрические фигуры на плоскости
В последние годы наметилась тенденция к включению значительного по объему геометрического материала в начальный курс математики. Но для того, чтобы мог познакомить учащихся с различными геометрическими фигурами, мог научить их правильно изображать, ему нужна соответствующая математическая подготовка. Учитель должен быть знаком с ведущими идеями курса геометрии, знать основные свойства геометрических фигур, уметь их построить.
При изображении плоской фигуры не возникает никаких геометрических проблем. Чертеж служит либо точной копией оригинала, либо представляет ему подобную фигуру. Рассматривая на чертеже изображение круга, мы получаем такое же зрительное впечатление, как если бы рассматривали круг-оригинал.
Поэтому изучение геометрии начинается с планиметрии.
Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.
Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.
Отрезок, прямая, круг – геометрические фигуры.
Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской.
Например, отрезок, прямоугольник – это плоские фигуры.
Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.
Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множества, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую, можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.
Например, объединением двух лучей АВ и МК является прямая КВ, а их пересечение есть отрезок АМ.
Различают выпуклые и невыпуклые фигуры. Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соединяющий их отрезок.
Фигура F 1 – выпуклая, а фигура F 2 – невыпуклая.
Выпуклыми фигурами являются плоскость, прямая, луч, отрезок, точка. нетрудно убедится в том, что выпуклой фигурой является круг.
Если продолжить отрезок XY до пересечения с окружностью, то получим хорду АВ. Так как хорда содержится в круге, то отрезок XY тоже содержится в круге, и, значит, круг – выпуклая фигура.
Основные свойства простейших фигур на плоскости выражаются в следующих аксиомах:
1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Эта аксиома выражает основное свойство принадлежности точек и прямых на плоскости.
2. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Этой аксиомой выражается основное свойство расположения точек на прямой.
3. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Очевидно, что аксиома 3 выражает основное свойство измерения отрезков.
Этим предложением выражается основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.
5. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 о. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Эта аксиома выражает основное свойство измерения углов.
6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
7. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 О, и только один.
В этих аксиомах отражаются основные свойства откладывания углов и отрезков.
К основным свойствам простейших фигур относится и существование треугольника, равного данному.
8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Основные свойства параллельных прямых выражается следующей аксиомой.
9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Рассмотрим некоторые геометрические фигуры, которые изучаются в начальной школе.
Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – его вершиной.
Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой.
Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым.
Кроме понятия угла, данного выше, в геометрии рассматривают понятие плоского угла.
Плоский угол – это часть плоскости, ограничения двумя различными лучами, исходящими из одной точки.
Существует два плоских угла, образованные двумя лучами с общим началом. Они называются дополнительными. На рисунке изображены два плоских угла со сторонами ОА и ОВ, один из них заштрихован.
Углы бывают смежные и вертикальные.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
Сумма смежных углов равна 180 градусов.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.
Углы АОД и СОВ, а также углы АОС и ДОВ – вертикальные.
Вертикальные углы равны.
Параллельные и перпендикулярные прямые.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Если прямая а параллельна прямой в, то пишут а II в.
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Если прямая а перпендикулярна прямой в, то пишут а в.
Треугольники.
Треугольников называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.
Любой треугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю.
В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называются перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Четырехугольники.
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами треугольника, а соединяющие из отрезки – его сторонами.
Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются противолежащими.
У четырехугольника АВСД вершины А и В – соседние, а вершины А и С – противолежащие; стороны АВ и ВС – соседние, ВС и АД – противолежащие; отрезки АС и ВД – диагонали данного четырехугольника.
Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Так, четырехугольник АВСД – выпуклый, а четырехугольник КРМТ – невыпуклый.
Среди выпуклых четырехугольников выделяют параллелограммы и трапеции.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
ВС и АД – основания трапеции; АВ и СД – боковые стороны; КМ – средняя линия трапеции.
Из множества параллелограммов выделяют прямоугольники и ромбы.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Из множества прямоугольников выделяют квадраты.
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Окружность.
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром.
Расстояние от точек до ее центра называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром. ОА – радиус, СД – хорда, АВ – диаметр.
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу.
По новым учебникам в новых программах М.И. Моро, М.А. Бантовой, Г.В. Бельтюковой, С.И. Волковой, С.В. Степановой в 4 классе даются задачи на построение, такие, которых раньше в программе по математике в начальной школе не было. Это такие задачи, как:
Построить перпендикуляр к прямой;
Разделить отрезок пополам;
Построить треугольник по трем сторонам;
Построить правильный треугольник, равнобедренный треугольник;
Построить шестиугольник;
Построить квадрат, пользуясь свойствами диагоналей квадрата;
Построить прямоугольник, пользуясь свойством диагоналей прямоугольника.
Рассмотрим построение геометрических фигур на плоскости.
Раздел геометрии, изучающий геометрические построения, называется конструктивной геометрией. Основным понятием конструктивной геометрии является понятие "построить фигуру". Основные предложения формируются в виде аксиом и сводятся к следующим.
1. Каждая данная фигура построена.
2. Если построены две (или более) фигуры, то построено и объединение этих фигур.
3. Если построены две фигуры, то можно установить, будет ли их пересечение пустым множеством или нет.
4. Если пересечение двух построенных фигур не пусто, то оно построено.
5. Если построены две фигуры, то можно установить, будет ли их разность пустым множеством или нет.
6. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то она построена.
7. Можно простроить точку, принадлежащую простроенной фигуре.
8. Можно построить точку, не принадлежащей построенной фигуре.
Для построения геометрических фигур, обладающих некоторыми указанными свойствами, пользуются различными чертежными инструментами. Простейшими из них являются: односторонняя линейка (в дальнейшем просто линейка), двусторонняя линейка, угольник, циркуль и др.
Различные чертежные инструменты позволяют выполнять различные построения. Свойства чертежных инструментов, используемые для геометрических построений, также выражаются в форме аксиом.
Поскольку в школьном курсе геометрии рассматриваются построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки, мы также остановимся на рассмотрении основных построений, выполняемых именно этими чертежами инструментами.
Итак, с помощью линейки можно выполнить следующие геометрические построения.
1. построить отрезок, соединяющий две построенные точки;
2. построить прямую, проходящую через две построенные точки;
3. построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через построенную точку.
Циркуль позволяет выполнить следующие геометрические построения:
1. построить окружность, если построен ее центр и отрезок, равный радиусу окружности;
2. построить любую из двух дополнительных дуг окружность, если построены центр окружности и концы этих дуг.
Элементарные задачи на построение.
Задачи на построение – это, пожалуй, самые древние математические задачи, они помогают лучше понять свойства геометрических фигур, способствуют развитию графических умений.
Задача на построение считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.
Рассмотрим некоторые элементарные задачи на построение.
1. Построить на данной прямой отрезок СД, равный данному отрезку АВ.
Возможность только построения вытекает из аксиомы откладывания отрезка. С помощью циркуля и линейки оно осуществляется следующим образом. Пусть даны прямая а и отрезок АВ. Отмечаем на прямой точку С и строим с центром в точке С окружность с прямой а обозначаем Д. Получаем отрезок СД, равный АВ.
2. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
Пусть даны точки О и прямая а. Возможны два случая:
1. Точка О лежит на прямой а;
2. Точка О не лежит на прямой а.
В первом случае из обозначим точку С, не лежащую на прямой а. Из точки С как из центра списываем окружность произвольного радиуса. Пусть А и В – точки ее пересечения. Из точек А и В описываем окружность одного радиуса. Пусть точка О – точка их пересечения, отличная от С. Тогда полупрямая СО – это биссектриса развернутого угла, а также и перпендикуляр к прямой а.
Во втором случае из точки О как из центра проводим окружность, пересекающую прямую а, а затем из точек А и В тем же, радиусом проводим еще две окружности. Пусть О – точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. Прямая ОО/ и есть перпендикуляр к данной прямой а. Докажем это.
Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО/. Треугольники АОВ и АО/В равны по трем сторонам. Поэтому угол ОАС равен углу О/АС равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда из углы АСО и АСО/ равны. А так как углы смежные, то они прямые. Таким образом, ОС есть перпендикуляр к прямой а.
3. Через данную точку провести прямую, параллельную данной.
Пусть даны прямая а и точка А вне этой прямой. Возьмем на прямой а какую-нибудь точку В и соединим ее с точкой А. Через точку А проведем прямую С, образующую с АВ такой же угол, какой АВ образует с данной прямой а, но на противоположной стороне от АВ. Построенная прямая будет параллельна прямой а., что следует из равенства накрест лежащих углов, образованных при пересечении прямых а и с секущей АВ.
4. Построить касательную к окружности, проходящую через данную на ней точку.
Дано: 1) окружность Х (О, ч)
2) точка А х
Построить: касательную АВ.
Построение.
2. окружность Х (А, ч), где ч – произвольный радиус (аксиома 1 циркуля)
3. точки М и N пересечения окружности х 1 , и прямой АО, то есть {М, N} = х 1 АО (аксиома 4 общая)
4. окружность х (М, r 2), где r 2 – произвольный радиус, такой что r 2 r 1 (аксиома 1 циркуля)
И внешне – своим открытым поведением, а внутренне – своим психическими процессами и чувствами. Выводы по первому разделу Для развития всех познавательных процессов младшего школьника необходимо соблюдать следующие условия: 1. Учебная деятельность должна быть целенаправленной, вызывать и поддерживать постоянный интерес у учащихся; 2. Расширять и развивать познавательные интересы у...
Всему тесту в целом, что говорит о том, что у них уровни развития мыслительных операций сравнения и обобщения выше, чем у слабоуспевающих школьников. Если анализировать индивидуальные данные по субтестам, то затруднения при ответах на отдельные вопросы говорят о слабом владении данными логическими операциями. Данные затруднения наиболее часто встречаются именно у слабоуспевающих школьников. Это...
Младшего школьника. Объект исследования: развитие образного мышления у учащихся 2 класса средней школы №1025. Метод: тестирование. Глава 1. Теоретические основы исследования образного мышления 1.1. Понятие о мышлении Наше познание окружающей действительности начинается с ощущений и восприятия и переходит к мышлению. Функция мышления – расширение границ познания путем выхода за...