Доказательство и вывод формул производной натурального логарифма и логарифма по основанию a. Примеры вычисления производных от ln 2x, ln 3x и ln nx. Доказательство формулы производной логарифма n-го порядка методом математической индукции.
Вывод формул производных натурального логарифма и логарифма по основанию a
Производная натурального логарифма от x равна единице, деленной на x:
(1)
(ln
x)′ =
.
Производная логарифма по основанию a равна единице, деленной на переменную x, умноженную на натуральный логарифм от a
:
(2)
(log
a x)′ =
.
Доказательство
Пусть есть некоторое положительное число, не равное единице. Рассмотрим функцию, зависящую от переменной x
,
которая является логарифмом по основанию :
.
Эта функция определена при .
Найдем ее производную по переменной x
.
По определению, производная является следующим пределом:
(3)
.
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать следующие факты:
А)
Свойства логарифма . Нам понадобятся следующие формулы:
(4)
;
(5)
;
(6)
;
Б)
Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(7)
.
Здесь - некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
В)
Значение второго замечательного предела:
(8)
.
Применяем эти факты к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим свойства (4) и (5).
.
Воспользуемся свойством (7) и вторым замечательным пределом (8):
.
И, наконец, применим свойство (6):
.
Логарифм по основанию e
называется натуральным логарифмом
. Он обозначается так:
.
Тогда ;
.
Тем самым мы получили формулу (2) производной логарифма.
Производная натурального логарифма
Еще раз выпишем формулу производной логарифма по основанию a
:
.
Эта формула имеет наиболее простой вид для натурального логарифма, для которого ,
.
Тогда
(1)
.
Из-за такой простоты, натуральный логарифм очень широко используется в математическом анализе и в других разделах математики, связанных с дифференциальным исчислением. Логарифмические функции с другими основаниями можно выразить через натуральный логарифм, используя свойство (6):
.
Производную логарифма по основанию можно найти из формулы (1), если вынести постоянную за знак дифференцирования:
.
Другие способы доказательство производной логарифма
Здесь мы предполагаем, что нам известна формула производной экспоненты:
(9)
.
Тогда мы можем вывести формулу производной натурального логарифма, учитывая, что логарифм является обратной функцией к экспоненте.
Докажем формулу производной натурального логарифма, применив формулу производной обратной функции
:
.
В нашем случае .
Обратной функцией к натуральному логарифму является экспонента:
.
Ее производная определяется по формуле (9). Переменные можно обозначить любой буквой. В формуле (9), заменим переменную x на y:
.
Поскольку ,
то
.
Тогда
.
Формула доказана.
Теперь докажем формулу производной натурального логарифма с помощью правила дифференцирования сложной функции
. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то
.
Дифференцируем это уравнение по переменной x
:
(10)
.
Производная от икса равна единице:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции :
.
Здесь .
Подставим в (10):
.
Отсюда
.
Пример
Найти производные от ln 2x, ln 3x и ln nx .
Решение
Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = ln nx . Затем подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от ln 2x и ln 3x .
Итак, ищем производную от функции
y = ln nx
.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1)
Функции ,
зависящей от переменной :
;
2)
Функции ,
зависящей от переменной :
.
Тогда исходная функция составлена из функций и :
.
Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции .
.
Здесь мы подставили .
Итак, мы нашли:
(11)
.
Мы видим, что производная не зависит от n
.
Этот результат вполне естественен, если преобразовать исходную функцию, применяя формулу логарифма от произведения:
.
- это постоянная. Ее производная равна нулю. Тогда по правилу дифференцирования суммы имеем:
.
Ответ
; ; .
Производная логарифма модуля x
Найдем производную от еще одной очень важной функции - натурального логарифма от модуля x
:
(12)
.
Рассмотрим случай .
Тогда и функция имеет вид:
.
Ее производная определяется по формуле (1):
.
Теперь рассмотрим случай .
Тогда и функция имеет вид:
,
где .
Но производную этой функции мы также нашли в приведенном выше примере. Она не зависит от n
и равна
.
Тогда
.
Объединяем эти два случая в одну формулу:
.
Соответственно, для логарифма по основанию a
,
имеем:
.
Производные высших порядков натурального логарифма
Рассмотрим функцию
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(13)
.
Найдем производную второго порядка:
.
Найдем производную третьего порядка:
.
Найдем производную четвертого порядка:
.
Можно заметить, что производная n-го порядка имеет вид:
(14)
.
Докажем это методом математической индукции.
Доказательство
Подставим в формулу (14) значение n = 1:
.
Поскольку ,
то при n = 1
,
формула (14) справедлива.
Предположим, что формула (14) выполняется при n = k . Докажем, что из этого следует, что формула справедлива при n = k + 1 .
Действительно, при n = k
имеем:
.
Дифференцируем по переменной x
:
.
Итак, мы получили:
.
Эта формула совпадает с формулой (14) при n = k + 1
.
Таким образом, из предположения, что формула (14) справедлива при n = k
следует, что формула (14) справедлива при n = k + 1
.
Поэтому формула (14), для производной n-го порядка, справедлива для любых n .
Производные высших порядков логарифма по основанию a
Чтобы найти производную n-го порядка от логарифма по основанию a
,
нужно выразить его через натуральный логарифм:
.
Применяя формулу (14), находим n-ю производную:
.
Операция отыскания производной называется дифференцированием.
В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).
Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.
Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.
Пример 1. Найти производную функции
Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.
Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная синуса - косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:
Пример 2. Найти производную функции
Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:
Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.
Таблица производных простых функций
| 1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200...), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто | |
| 2. Производная независимой переменной. Чаще всего "икса". Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго | |
| 3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни. | |
| 4. Производная переменной в степени -1 | |
| 5. Производная квадратного корня | |
| 6. Производная синуса | |
| 7. Производная косинуса |  |
| 8. Производная тангенса |  |
| 9. Производная котангенса |  |
| 10. Производная арксинуса |  |
| 11. Производная арккосинуса |  |
| 12. Производная арктангенса |  |
| 13. Производная арккотангенса |  |
| 14. Производная натурального логарифма | |
| 15. Производная логарифмической функции |  |
| 16. Производная экспоненты | |
| 17. Производная показательной функции |
Правила дифференцирования
| 1. Производная суммы или разности |  |
| 2. Производная произведения |  |
| 2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель | |
| 3. Производная частного |  |
| 4. Производная сложной функции |  |
Правило 1. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции
причём
т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.
Правило 2. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение
причём
т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.
Например, для трёх множителей:
Правило 3. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём
т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.
Где что искать на других страницах
При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные - в статье "Производная произведения и частного функций " .
Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.
А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u "v , в котором u - число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).
Другая частая ошибка - механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.
По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .
Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями,
то есть, когда функция имеет вид вроде 
, то
следуйте на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями ".
Если же перед Вами задача вроде 
,
то Вам на занятие "Производные простых тригонометрических функций".
Пошаговые примеры - как найти производную
Пример 3. Найти производную функции
Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:
Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, "икс" у нас превращается в единицу, а минус 5 - в ноль. Во втором выражении "икс" умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную "икса". Получаем следующие значения производных:
Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:
Пример 4. Найти производную функции
Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:
Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:
Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где
сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, 
,
то добро пожаловать на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями"
.
Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других
тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде ,
то Вам на урок "Производные простых тригонометрических функций"
.
Пример 5. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых - квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Пример 6. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .
Вообще говоря, для решения задачи B15 с логарифмом надо знать две формулы:
Первая формула - классическая производная натурального логарифма, вторая - производная сложной функции. Обратите внимание: в числителе стоит число k , это не опечатка.
Добавьте к этим формулам стандартные правила вычисления производных - и задача B15 решена:
(f
± g
) ’ = f
’ ± g
’;
(c
· f
) ’ = c
· f
’, c
∈ R.
В настоящих задачах логарифмы никогда не встречаются сами по себе. Поэтому обязательно приводите всю производную к общему знаменателю. Почему это важно, узнаете из примеров.
Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке :
y = 2x 2 − 4 ln x + 5
Находим производную:
Выясняем, когда производная равна к нулю. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю. Имеем:
4(x
2 − 1) = 0;
x
2 = 1;
x
= ±1.
Корень x = −1 не принадлежит отрезку , поэтому нас интересует только x = 1. Кроме того, рассмотрим концы отрезка - числа 0,5 и 4. Итого три числа: 0,5; 1; 4. Поскольку требуется найти наименьшее значение функции, подставляем эти числа в исходную функцию:
y
(0,5) = 2 · 0,5 2 − 4 ln 0,5 + 5 = 0,5 − 4 ln 0,5 + 5 = 5,5 − 4 ln 0,5;
y
(1) = 2 · 1 2 − 4 ln 1 + 5 = 2 − 0 + 5 = 7;
y
(4) = 2 · 4 2 − 4 ln 4 + 5 = 32 − 4 ln 4 + 5 = 37 − 4 ln 4.
В общем, выбирать особо не из чего. Ответ: 7. Потому что числа 5,5 − 4ln 0,5 и 37 − 4ln 4 иррациональны, их нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.
Задача. Найдите точку минимума функции:
y = 2x − 5 ln (x − 7) + 3
Снова считаем производную:
Под логарифмом стоит линейная функция y = x − 7. Коэффициент при переменной x равен k = 1, поэтому в числителе никаких дополнительных множителей не возникнет - только множитель 5, который стоит перед логарифмом.
Поскольку требуется найти точку минимума, считаем нули числителя и знаменателя:
2x
− 19 ⇒ x
= 19: 2 = 9,5;
x
− 7 = 0 ⇒ x
= 7.
Отмечаем эти точки на прямой, расставляем знаки производной между точками:
Итак, в точке x = 9,5 производная меняет знак с минуса на плюс, если считать слева - направо, в направлении стрелки. Это и есть точка минимума.
Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−1,5; 1]:
y = 3 ln (x + 2) − 3x + 10
Считаем производную:
Находим нули числителя:
−3x
− 3 = 0;
x
= −1.
Нули знаменателя нас не интересуют, поскольку требуется найти значение функции. А когда знаменатель равен нулю, значение функции не определено.
Поскольку корень x = −1 ∈ [−1,5; 1], получаем три точки: −1,5; −1; 1. Подставляем их в исходную функцию:
y
(−1,5) = 3 ln (−1,5 + 2) − 3 · (−1,5) + 10 = 3 ln 0,5 + 14,5;
y
(−1) = 3 ln (−1 + 2) − 3 · (−1) + 10 = 3 ln 1 + 13 = 0 + 13 = 13;
y
(1) = 3 ln (1 + 2) − 3 · 1 + 10 = 3 ln 3 + 7.
Понятно, что числа 3 ln 0,5 + 14,5 и 3 ln 3 + 7 нельзя записать в ответ. Остается только число 13 - это и будет наибольшее значение.
Вынесение степени за знак логарифма
Еще одна полезная фишка, которая избавит вас от сложных производных:
ln (f (x )) k = k · ln f (x )
Обратите внимание: в первом случае внутри логарифма стоит степень, для которой потребуется производная сложной функции. Во втором случае все намного проще, поскольку чаще всего f (x ) - это обычная линейная функция.
Этот прием часто встречается в задачах на вычисление максимального и минимального значения. В задачах на точки экстремума его почти не применяют. Прежде чем решать такую задачу, обязательно найдите ОДЗ логарифма. Если забыли, что это такое, см. «Что такое логарифм ».
Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [−4; 1]:
y = 5x − ln (x + 5) 5
Итак, область допустимых значений логарифма - аргумент должен быть больше нуля. Имеем:
(x
+ 5) 5 > 0;
x
+ 5 > 0;
x
> −5;
x
∈ (−5; +∞).
Теперь решаем задачу. Сначала немного преобразуем исходное выражение:
y = 5x − 5 ln (x + 5)
Это и есть вынесение степени за знак логарифма. Считаем производную:
5x
+ 20 = 0;
x
= −4.
Полученное число x = −4 ∈ [−4; 1] совпадает с концом отрезка, поэтому кандидатов на наименьшее значение всего два: −4 и 1. Оба числа подходят по ОДЗ. Поскольку требуется найти наименьшее значение, подставляем эти числа в исходную функцию:
y
(−4) = 5 · (−4) − 5 · ln (−4 + 5) = −20 − 5 · ln 1 = −20;
y
(1) = 5 · 1 − 5 · ln (1 + 5) = 5 − 5 ln 6.
Второе число - точно не ответ, поскольку его нельзя представить в виде десятичного числа. Значит, наименьшее значение функции равно −20.
Задача. Найдите точку максимума функции:
y = 18 ln x − x 2 + 5
ОДЗ логарифма: x > 0 ⇒ x ∈ (0; +∞). Считаем производную:
Поскольку требуется найти точку максимума, нас интересует и числитель, и знаменатель. Приравниваем их к нулю:
2 · (9 − x
2) = 0 ⇒ x
2 = 9 ⇒ x
= ±3 - числитель;
x
= 0 - знаменатель.
Получили три точки. Отмечаем эти точки и знаки производной на числовой прямой:
Требуется найти точку максимума - там, где плюс меняется на минус. Таких точек две: x = −3 и x = 3. Но вспомним ОДЗ: x ∈ (0; +∞). Значит, точка x = −3 не подходит. Остается точка x = 3 - это и будет ответ.