Сферический треугольник - часть поверхности небесной сферы, ограниченная тремя дугами больших кругов (рис. 7).
Рис. 7. Сферический треугольник.
Дуги, образующие сферический треугольник, пересекают друг друга только в его вершинах, и называются сторонами сферического треугольника; они измеряются соответствующими центральными углами. Углы сферического треугольника измеряются двугранными углами, образованными плоскостями соответствующих больших кругов; они равны углам между касательными в вершинах, проведенными к соответствующим сторонам сферического треугольника. Обычноуглы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С.....стороны - строчными буквами причем сторона а всегда лежит против угла (вершины) А и т. д.
Сферический треугольник, все стороны которого меньше 180°, называется простым.
Сферический треугольник называется прямоугольным, если один из углов его - прямой, и четвертным (квадрантным), если одна из его сторон заключает 90°.
Назовем полюсом большого круга точку на поверхности сферы, лежащую на угловом расстоянии 90° от любой точки окружности этого большого круга, Тогда сферический треугольник,
ник, образованный полюсами больших кругов, дуги которых ограничивают данный сферический треугольник ABC (при условии расположения полюсов сторон этого треугольника в направлении соответствующих вершин), называется полярным данному.
Рис. 8. Полярной треугольник.
Связь между элементами сферического треугольника ABC и полярного ему (рис. 8) дается следующими соотношениями:
Если дано соотношение вида
то для сферического треугольника, полярного данному, имеем
т. е. выполняется соотношение
Такое преобразование называется корреляцией .
1. Основные системы соотношений, связывающих различные элементы сферического треугольника. Система I. Соотношения между тремя сторонами и одним углом (теорема косинусов)
Система II. Соотношения между двумя сторонами и двумя противолежащими углами (теорема синусов):
Система III. Соотношения между тремя сторонами b двумя углами (формулы пяти элементов):
Система IV. Соотношения между двумя сторонами и двумя углами:
Корреляция соотношений (1.1.005) дает:
Каждое из соотношений (1.1.010) связывает три угла и одну сторону.
При помощи корреляции соотношений (1.1.008) получаем соотношения между тремя углами и двумя сторонами:
Система V. Соотношения между шестью элементами (формулы Каньоли):
В случае прямоугольного сферического треугольника справедливы соотношения (рис. 9):
Формулы (1.1.013) можно получить, воспользовавшись правилом Непера, основанным на пятиугольнике Непера (рис. 10) при указанном порядке обозначения сторон этого пятиугольника.
Рис. 9. Прямоугольный сферический треугольник.
Рис. 10. Первая схема для правила Непера.
Косинус стороны пятиугольника Непера равен:
1) произведению синусов противолежащих сторон;
2) произведению котангенсов прилежащих сторон .
2. Квадрантный (четвертной) сферический треугольник. При помощи корреляции формул (1.1.013) получаются формулы для квадрантного сферического треугольника
Формулы (1.1.014) можно вывести из общих соотношений, полагая в них или по правилу Непера (рис. 11).
С четвертным сферическим треугольником ABC можно связать присоединенный сферический треугольник (рис. 12), сторона с которого является продолжением стороны с и дополняет ее до 90°. Тогда в сферическом треугольнике две
стороны равны по 90°, угол . В присоединенном сферическом треугольнике
поэтому применение к нему формул (1.1.013) дает формулы (1.1.014).
Рис. 11. Вторая схема для правила Непера.
Приведенные формулы позволяют определить любые три элемента сферического треугольника, если известны остальные три.
Основные практические приемы вычисления, а также приближенные формулы в случае малых углов могут быть найдены в руководствах по сферической астрономии , - .
Значения тригонометрических функций для аргументов - углов, выраженных в различных мерах, берутся из соответствующих таблиц - .
Полные сведения о таблицах натуральных значений (и логарифмов) тригонометрических функций и других математических таблицах, которые могут оказаться полезными вычислителю, содержатся в специальных справочных руководствах -.
Сферическая тригонометрия
Сферические треугольники. На поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр шара. Вершины сферического треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара и сферической поверхности. Сторонами a , b , c сферического треугольника называют те углы между лучами, которые меньше (если один из этих углов равен , то сферический треугольник вырождается в полуокружность большого круга). Каждой стороне треугольника соответствует дуга большого круга на поверхности шара (см. рисунок).
Углы A , B , C сферического треугольника, противолежащие сторонам a , b , c соответственно, представляют собой, по определению, меньшие, чем , углы между дугами больших кругов, соответствующими сторонам треугольника, или углы между плоскостями, определяемыми данными лучами.
Сферическая тригонометрия занимается изучением соотношений между сторонами и углами сферических треугольников (например, на поверхности Земли и на небесной сфере). Однако физики и инженеры во многих задачах предпочитают использовать преобразования вращения, а не сферическую тригонометрию.
Свойства сферических треугольников. Каждая сторона и угол сферического треугольника по определению меньше .
Геометрия на поверхности шара является неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и , сумма углов заключена между и . В каждом сферическом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем плюс третий угол.
Для решения многих задач судовождения используются формулы сферической тригонометрии. На основе таких формул составляются, например, уравнения изолиний и градиентов некоторых навигационных параметров; задачи на определение места судна; определяются величины углов и сторон параллактического треугольника с целью получения координат места судна и поправки компаса методами мореходной астрономии и многого другого.
Задачей сферической тригонометрии является установление зависимостей между сторонами и углами сферического треугольника. Сферический треугольник считается заданным, если известны какие-либо три его элемента. Под решением треугольника понимают определение неизвестных его элементов. В большинстве случаев решение выполняется по так называемым основным формулам, к которым относятся:
· формула (теорема) косинуса стороны;
· формула (теорема) косинуса угла;
· формула (теорема) синусов;
· формула котангенсов, называемая так же формулой четырёх рядом лежащих элементов;
· формула пяти элементов.
В некоторых случаях возникает необходимость использования дополнительных формул, к которым относятся:
· формулы полупериметра;
· формулы Деламбра-Гаусса;
· аналогии (пропорции) Непера.
Эти группы формул имеют некоторые преимущества:
1) логарифмируются, поэтому не требуют применения таблиц сумм и разностей;
2) искомые углы получаются по самым выгодным функциям – тангенсам, т.е. дают наименьшие ошибки при вычислении угла;
3) выбор четверти искомых углов происходит уже в решении, следовательно, отпадает необходимость анализа формулы на знаки.
Формула косинуса стороны (теорема косинусов): в сферическом треугольнике косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов этих сторон на косинус угла между ними.
Формула косинуса стороны связывает стороны и один из углов сферического треугольника. Всего этих формул три:
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B (3.1)
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C
Формула косинуса угла (теорема косинусов для полярного треугольника): в сферическом треугольнике косинус угла равен отрицательному произведению косинусов двух других углов плюс произведение синусов этих углов на косинус стороны между ними.
Формула косинуса угла связывает углы и одну из сторон сферического треугольника. Всего этих формул так же три:
cos А = - cos B cos C + sin B sin C cos a
cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos b (3.2)
cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c
Формула котангенсов (формула четырёх рядом лежащих элементов): произведение котангенса крайнего угла на синус среднего угла равно произведению котангенса крайней стороны на синус средней стороны минус произведение косинусов средних элементов.
Формула связывает четыре элемента лежащих подряд.
ctg A sin B = ctg a sin c – cos c cos B
ctg A sin C = ctg a sin b – cos b cos C
ctg B sin A = ctg b sin c – cos c cos A (3.3)
ctg B sin C = ctg b sin a – cos a cos C
ctg C sin A = ctg c sin b – cos b cos A
ctg C sin B = ctg c sin a – cos a cos B
Формула синусов (теорема синусов): в сферическом треугольнике синусы сторон пропорциональны синусам противолежащих углов.
Аналогии Непера:
|
По аналогиям Непера в сочетании с теоремой синусов обычно производится решение двух типов задач на косоугольный сферический треугольник – когда известны две стороны и противолежащий одной из них угол, или два угла и противолежащая одному из них сторона. Как уже указывалось выше, применение этих типов формул позволяет отыскивать неизвестные элементы без применения логарифмов сумм и разностей. Однако применение только этих двух групп формул приводит к необходимости при расчёте некоторых неизвестных элементов использовать ранее найденные элементы.
Чтобы не использовать ранее найденные элементы последних двух типов задач, можно воспользоваться следующим алгоритмами:
Когда известны две стороны и противолежащий одной из них угол, например a, b, A , вычисляются вспомогательные величины G и H :
ctg G = cos A tg b
tg H = tg A cos b
sin B = sin A sin b cosec a
sin (c-G) = cos a sec b sin G (3.6)
sin (C+H) = ctg a tg b sin H
Когда известны два угла и противолежащая одному из них сторона, вычисляют вспомогательные величины K и M:
ctg K = cos a tg B
tg M = tg a cos B
После чего вычисляются неизвестные величины по формулам:
sin b = sin a sin B cosec A
sin (C-K) = cos A sec B sin K (3.7)
sin (c+M) = ctg A tg B sin M
Задачей сферической тригонометрии является решение сферического треугольника, то есть вычисление его неизвестных элементов через заданные (известные).
Известно, что для нахождения какого-либо угла или стороны треугольника необходимо, чтобы три любых других его элемента были известны (заданы).
Рассмотрим (без вывода) четыре основные теоремы сферической тригонометрии, устанавливающие необходимую аналитическую зависимость между элементами сферического треугольника.
I. Формула косинуса стороны.
Эта формула связывает между собой все три стороны и один из углов сферического треугольника. Для любого сочетания таких четырех элементов установлена зависимость, что...
«… косинус стороны сферического треугольника равняется произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними…».
Рис. 2.2. Сферический треугольник
Применительно к стороне а (рис. 2.2) сферического треугольника АВМ , руководствуясь теоремой косинуса стороны, можем записать:
cos a = cos b · cos m + sin b · sin m · cos A
Для сторон b и m зависимость между элементами треугольника выразится формулами:
Формула синусов применяется для вычисления одного из элементов, входящих в записанные равенства, если известны три других элемента.
III. Формула котангенсов связывает между собой четыре элемента сферического треугольника, лежащие рядом.
«… котангенс крайнего угла, умноженный на синус среднего, равняется произведению котангенса крайней стороны на синус средней без произведения косинусов средних элементов…».
АВМ (рис. 2.2) устанавливается зависимость между элементами А, m, В и а , то угол А и сторона а являются крайними, а угол В и сторона m – средними элементами, и тогда:
ctg A · sin B = ctg a · sin m - cos B · cos m
Всего для треугольника можно написать шесть таких соотношений, а именно:
Эти формулы удобны при вычислении угла по двум другим углам и стороне между ними, а также служат для нахождения стороны по трем заданным углам.
Рис. 2.3. Прямоугольный сферический треугольник
Решение прямоугольных треугольников проще, чем косоугольных, так как один из их элементов (угол 90°) всегда известен и для решения треугольника достаточно знать только два элемента.
То же самое относится и к четвертным треугольникам, в которых один из элементов (сторона 90°) всегда известен.
Если в сферическом треугольнике АВМ (рис. 2.3) заданы угол В = 90° , катет а и угол М , то для вычисления неизвестного угла А можно применить формулу косинуса угла (6.4) → cos A = sin B · sin M · cos a - cos B · cos M .
Если теперь заменить все функции угла В = 90° их значениями (sin B = 1, cos B = 0), то получим
cos A = sin M · cos a
2.3. Вычисление горизонтных координат светил по таблицам логарифмических функций мореходных таблиц «МТ-75»
При вычислении счислимой высоты (h С ) и азимута (А С ) светила по формулам сферической тригонометрии, как по натуральным значениям тригонометрических функций, так и по логарифмам, наиболее удобными являются формулы:
 | (2.6) |
В формуле знак «~» означает, что при φ С и δ одноименных из большей величины вычитается меньшая, а при разноименных → величины φ С и δ складываются.
Значения , и табулированы так, что при вычислениях не нужно делить аргументы Z C , φ С ~δ и t M , а значения тригонометрических функций возводить в квадрат, → все эти действия выполнены в таблицах 5а (5б ) «МТ-75» (в «МТ-2000» таких таблиц нет).
Производить исследование формулы на знаки тригонометрических функций не требуется, так как оба члена ее правой части всегда положительны.
Методику вычисления горизонтных координат светил с помощью «МТ-75» рассмотрим на примере решения конкретной задачи.
Задача: Вычислить значения счислимых высоты (h C ) и азимута (А С ) светила, если:
φ С = 43°20,6′N ; δ = 17°36,7′N ; t M = 17°12,4′W .
СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ – математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферических треугольников.
Тригонометрия («измерение треугольников» по-гречески) началась именно с этой, наиболее сложной ее части. Различные случаи решения сферических треугольников были впервые письменно изложены греческим астрономом Гиппархом из Никеи в середине 2 в. до н.э., к сожалению, сочинение Гиппарха до нас не дошло. Свойства прямоугольных сферических треугольников были известны еще Менелаю (1 в.) и Клавдию Птолемею (ок. 90 – ок. 160) – создателю геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника . В Альмагесте (Великом собрании ) Птолемея (ок. 150) содержатся и многие сведения из трудов Гиппарха . В 10 в. багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль-Вефа сформулировал теорему синусов. Насир-эд-Дин из Туса (1201–1274) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников и указал ряд новых способов решения. В 12 в. был переведен с арабского на латынь ряд астрономических работ, что позволило ознакомиться с ними европейцам. Но, к сожалению, многое осталось непереведенным, и выдающийся немецкий астроном и математик Иоганн Мюллер (1436–1476), которого современники знали под именем Региомонтана (именно так переводится на латынь название его родного города Кенигсберга), через 200 лет после Насир-эд-Дина заново открыл его теоремы. Большой вклад в развитие сферической тригонометрии внесли так же Франсуа Виет (1540–1603) и Леонард Эйлер (1707–1783). До Эйлера теоремы формулировались исключительно геометрически – именно Эйлер (1753 и 1779) дал всю систему формул сферической тригонометрии.
Пусть А , В и С – углы, а a , b и c – противолежащие им стороны сферического треугольника АВС (рис. 1). По любым трем элементам можно определить три остальные (в отличие от «плоской» геометрии, где три угла не определяют треугольник). Следующие формулы сферической тригонометрии связывают углы и стороны треугольника (т.е. позволяют решить треугольник):
Для прямоугольных сферических треугольников (А = 90°, а – гипотенуза, b и с – катеты) формулы сферической тригонометрии упрощаются:
sin b = sin а sin B ,
cos а = cos b cos c ,
sin а cos B = cos b sin c .
Для получения формул, связывающих элементы прямоугольного сферического треугольника, можно пользоваться следующим мнемоническим правилом (правилом Непера): если заменить катеты прямоугольного сферического треугольника их дополнениями до 90, не принимать во внимание прямой угол А и расположить остальные пять элементов по кругу (рис. 2) в том порядке, в каком они находятся в треугольнике, т.е. B , a , C , 90° – b , 90° – c , то косинус каждого элемента будет равен произведению котангенсов прилежащих или произведению синусов неприлежащих элементов. Например, cos B = ctg (90° – c )ctg a или cos B = tg c ctg a после преобразования; cos а = sin (90° – c ) sin (90° – b ) или cos а = cos b cos c .
При решении задач удобны следующие формулы Даламбера, связывающие все шесть элементов сферического треугольника:
sin ½ a cos ½ (B – C ) = sin ½ A sin ½ (b + c ),
sin ½ a sin ½ (B – C ) = cos ½ A sin ½ (b – c ),.
Формулы сферической тригонометрии находят широкое применение в сферической астрономии. Без этих формул невозможно обойтись, поскольку все измерения, связанные с расположением светил на небосводе – измерения косвенные. И долгое время сферическая тригонометрия считалась просто разделом астрономии.
Марина Федосова