Применение комбинаторики к подсчету вероятности. Непосредственное вычисление вероятностей

Жесткий препод, срочно нужно сделать решение задач по теории вероятности за 1 день, тема "Теория вероятности (Математика)"

1. Телефонный номер состоит из шести цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны. 2. В партии 10 изделий, из них четыре нестандартных. Наугад берут четыре изделия. Найти вероятность того, что среди взятых изделий больше стандартных, чем нестандартных. 3. Десять человек случайным образом садятся на десятиместную скамейку. Найти вероятность того, что 2 определенных лица окажутся рядом. 4. Внутри квадрата с вершинами наудачу выбирается точка. Найти вероятность следующего события: 5. Два стрелка независимо сделали по одному выстрелу по мишени. Известно, что вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6; а для другого – 0,7. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков не попадет в мишень. 6. Перед прохождением первого тура конкурса каждому претенденту выдаются три задания: текст на художественное чтение, тема для представления пантомимой, стихотворение для вокального исполнения на собственную мелодию. При прохождении конкурса предлагается исполнить два номера из трех. Выбор номеров случаен. Конкурсант оценивает, что пройдет первый тур в художественном чтении с вероятностью 0,9; при исполнении пантомимы – 0,3; при исполнении вокального задания – 0,5. Какова вероятность пройти первый тур для конкурсанта с такой подготовкой? 7. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 15 шаров, из них 4 белых. Из первой урны наудачу извлекли два шара, а затем в нее переложили шар из второй урны. После этого из первой урны извлекли шар. Найти вероятность, что этот шар – белый. 8. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,6; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,8; 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок не попал в мишень. К какой группе вероятнее всего принадлежит этот стрелок? 9. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.7. Найти вероятность того, что при 20 независимых выстрелах цель будет поражена не более 14 раз. 10. В кармане 5 монет, примерно одинаковые на ощупь: три – по 2 рубля и две – по 10 рублей. Не глядя, вытаскивают 2 монеты. Случайная величина суммарное число извлеченных рублей. Для случайной величины: а) построить ряд распределения, б) найти математическое ожидание и дисперсию, в) найти вероятность события {извлечено не менее 4, но не более 12 рублей}. 11. Мастер, вызванный на дом, может появиться в любое время с 10 до 18 часов. Клиент, прождав до 14 часов, отлучился на 1 час. Считая время прихода мастера случайной величиной, распределенной равномерно, найти плотность вероятностей, функцию распределения. Определить вероятность, что мастер (приход его обязателен) не застанет клиента дома? Построить графики плотности вероятностей и функции распределения.

1). Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы А, А, Р, М, получится слово РАМА?

Решение. Испытание представляет собой упорядоченное расположение (расположение в ряд) четырёх различных кубиков. Поэтому в качестве элементарного исхода испытания возьмём перестановку из четырёх различных элементов (кубиков). Тогда все элементарные исходы равновозможны, а их общее число .

Согласно правилу произведения число элементарных исходов, благоприятствующих событию {получится слово РАМА}, может быть вычислено по формуле , т.е. . В силу классического определения вероятности имеем .

Ответ: .

2). Из восьми карточек с буквами П, Р, И, П, Р, А, В, А (по одной букве на каждой карточке) наугад выбираются четыре и выкладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово ПАРА.

Решение. Испытание представляет собой упорядоченное расположение (расположение в ряд) четырёх карточек из данных восьми. В качестве элементарного исхода испытания возьмём размещение из восьми различных элементов (карточек) по четырём. Все элементарные исходы равновозможны, а их общее число .

Согласно правилу произведения число элементарных исходов, благоприятствующих событию {получится слово ПАРА}, может быть вычислено по формуле , т.е. . В силу классического определения вероятности имеем

Ответ : .

3). Для дежурства на вечере путём жеребьёвки выбирается пять человек. Вечер проводит комиссия, в составе которой 9 юношей и 3 девушки. Какова вероятность того, что в состав дежурных войдёт ровно 2 девушки?

Решение. Испытание состоит в неупорядоченном выборе 5 человек (дежурных) из 12 человек (членов комиссии). В качестве элементарного исхода возьмём сочетание из 12 элементов (членов комиссии) по 5. Все элементарные исходы равновозможны, а их общее число .

Двух девушек из трёх можно выбрать способами, а трёх юношей из девяти можно выбрать способами. Поэтому согласно правилу произведения число исходов, благоприятствующих событию {в состав дежурных войдёт ровно 2 девушки}, может быть вычислено по формуле .

В силу классического определения вероятности

Ответ :

4). Шестеро детей (три мальчика и три девочки) случайным образом садятся на шестиместную скамейку. Какова вероятность того, что мальчики и девочки будут чередоваться?

Решение . Испытание состоит в том, что шестеро детей наудачу рассаживаются на шестиместной скамейке. Пространство элементарных исходов можно строить по-разному.

Первый способ

В качестве элементарного исхода выбираем упорядоченное расположение шести детей, т.е. перестановку из шести элементов. Все элементарные исходы равновозможны, а их общее число

Мальчики и девочки будут чередоваться, если мальчики займут все чётные места, а девочки – все нечётные места, или наоборот. Мальчики могут расположиться на чётных (нечётных) местах способами и девочки могут расположиться на нечётных (чётных) местах способами. Используя правила суммы и произведения, несложно подсчитать число элементарных исходов, благоприятствующих событию {мальчики и девочки будут чередоваться}: . Согласно классическому определению вероятности

Второй способ

В качестве элементарного исхода возьмём набор (неупорядоченный) трёх мест, выбранных мальчиками, т.е. сочетание из шести элементов (мест) по три. Все элементарные исходы равновозможны, а их общее число .

Случайному событию {мальчики и девочки будут чередоваться} благоприятствуют только два элементарных исхода (набор чётных мест или набор нечётных мест).

Согласно классическому определению вероятности

Ответ : .

5). Из 11 букв слова ВЕРОЯТНОСТЬ наудачу выбраны 2 буквы (не обязательно разные). Какова вероятность того, что выбранные буквы либо обе гласные, либо обе согласные?

Решение . В качестве элементарного исхода выбираем неупорядоченный набор двух букв (не обязательно разных), т.е. сочетание из 11 элементов по 2. Все элементарные исходы равновозможны, а их общее число .

Две гласные буквы из четырёх (Е, О, Я, О) можно выбрать способами, а две согласные буквы из оставшихся 7 (В, Р, Т, Н, С, Т, Ь) – способами. Согласно правилу суммы число элементарных исходов, благоприятствующих событию {выбранные буквы либо обе гласные, либо обе согласные}, равно .

Ответы

Задачи

Упражнения.

1. Найдите среди следующих случайных событий достоверные и невозможные события:

А 1 – появление 10 очков при бросании игральной кости,

А 2 – появление 10 очков при бросании трех игральных костей,

А 3 – появление 20 очков при бросании трех игральных костей,

А 4 – наугад выбранное двузначное число не больше 100,

А 5 – появление двух гербов при бросании двух монет.

2. Являются ли несовместными события А 1 и А 2:

б) испытание – бросание игральной кости; события: А 1 – появление трех очков, А 2 – появление нечетного числа очков,

в) испытание – бросание двух монет; события: А 1 –появление герба на одной монете, А 2 – появление герба на другой монете?

3. Являются ли равновозможными события А 1 и А 2:

а) испытание – бросание игральной кости; события: А 1 – появление двух очков, А 2 – появление пяти очков;

б) испытание – бросание игральной кости; события: А 1 – появление двух очков, А 2 – появление четного числа очков;

в) испытание – два выстрела по мишени; события: А 1 –промах при первом выстреле, А 2 – промах при втором выстреле?

4. Образуют ли полную группу события:

а) испытание – бросание монеты; события: А 1 – появление герба, А 2 – появление цифры;

б) испытание – два выстрела по мишени; события: А 1 – ни одного попадания, А 2 – одно попадание, А 3 – два попадания?

5. Найти сумму событий:

б) испытание – бросание игральной кости; события: А – появление одного очка, В – появление двух очков, С – появление трех очков;

в) испытание – приобретение лотерейных билетов; события: А – выигрыш 10 рублей; В – выигрыш 20 рублей; С – выигрыш 25 рублей.

6. Найти произведение событий:

а) испытание – два выстрела по мишени; события: А – попадание первым выстрелом, В – попадание вторым выстрелом;

б) испытание – бросание игральной кости; события: А – непоявление трех очков, В – непоявление пяти очков, С – появление нечетного числа очков.

1. Из слова НАУГАД выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это буква А? Какова вероятность того, что это гласная?

2. Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадания номера 4? Какова вероятность выпадания номера большего 4?

3. Подлежат контролю 250 деталей, из которых 5 нестандартных. Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется:

а) нестандартной;

б) стандартной?

4. На карточках написаны буквы О, К, Т. Карточки наудачу расставлены в ряд. Какова вероятность прочесть слово КОТ?

5. На каждой из шести одинаковых карточек написаны буквы Т, Р, С, О, А, М. Карточки перемешиваются и из них четыре выкладываются наудачу в ряд. Какова вероятность появления слова ТРОС?

6. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово ДВА?

7. Абонент забыл две последние цифры телефона и, набирая номер наугад, помнил лишь, что они различные. Найти вероятность того, что выбраны нужные цифры.

Решить задачу, если забыты три последние цифры.

8. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара окажутся черными?

9. Подброшены медная и серебряная монеты. Какова вероятность того, что на обоих монетах появится ГЕРБ?

10. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

11. В упаковке на складе 10 смывных бачков, среди них 4 с пластмассовыми поплавками. На удачу взяты 2 бачка. Найти вероятность того, что оба бачка с пластмассовыми поплавками.

12. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

13. Для облицовки жилого дома завезена облицовочная плитка. В ящике находится 300 плиток. Брак продукции составляет 2 %. Найти вероятность того, что первые три взятые плитки не будут бракованными.

14. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

15. На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода.

16. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

17. Десять книг наудачу расставлены на полке. Найти вероятность того, что три определенные книги окажутся рядом.

18. Оля и Коля договорились встретить Новый год в компании из 10 человек. Они оба хотели сидеть за праздничным столом рядом. Найти вероятность исполнения их желания, если среди друзей принято места распределять по жеребьевке.

19. Среди 20 билетов 5 выигрышных. Найти вероятность того, что среди купленных билетов окажется:

а) все три выигрышные;

б) ни одного выигрышного;

в) 2 выигрышных;

г) 1 выигрышный.

20. На пятиместную скамейку случайным образом садятся 5 человек. Какова вероятность того, что 3 определенных лица окажутся рядом?

21. В команде из 12 спортсменов – 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3-х спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные являются мастерами спорта?

22. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?

23. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?

24. В партии из 60 изделий 5 бракованных. Из партии выбираются наугад 6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 окажутся бракованными.

25. В лотерее n билетов, из которых m выигрышных. Участник лотереи покупает k билетов. Определить вероятность того, что выиграет хотя бы один билет.

26. Имеется r шаров, которые случайным образом разбрасываются по n ящикам. В одном и том же ящике могут находиться несколько шаров и даже все шары. Найти вероятность того, что в первый ящик попадут ровно r 1 шаров, во второй r 2 шаров и т.д., в n-ый ящик r n шаров.

27. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий:

А={все пассажиры выйдут на четвертом этаже};

В= {все пассажиры выйдут одновременно на одном и том же этаже};

С={все пассажиры выйдут на разных этажах}.

28. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.

29. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние, не меньшее, чем l .

30. Точка брошена в круг радиуса R. Найдите вероятность того, что она попадет внутрь вписанного в этот круг квадрата.

31. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что карточки с буквами вынимаются в порядке следования букв заданного слова: а) «событие»; б) «статистика».

32. Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5)?

33. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются четыре билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: а) четыре девушки; б)четыре юноши; в) три юноши и одна девушка?

34. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных банков окажется в черте города: а) 3 сбербанка; б) хотя бы один?

35. Из ящика, содержащего 5 пар обуви, из которых три пары мужской, а две пары женской обуви, перекладывают наудачу 2 пары обуви в другой ящик, содержащий одинаковое количество пар женской и мужской обуви. Какова вероятность того, что во втором ящике после этого окажется одинаковое количество пар мужской и женской обуви?

36. В магазине имеются 30 телевизоров, причем 20 из них импортных. Найти вероятность того, что среди 5 проданных в течение дня телевизоров окажется более 3 импортных телевизоров, предполагая, что вероятности покупки телевизоров разных марок одинаковы.

37. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры: а) различные; б) одинаковые; в) нечетные? Известно, что номер телефона не начинается с цифры ноль.

38. Для проведения соревнований 16 волейбольных команд разбиты по жребию на две подгруппы (по восемь команд в каждой). Найти вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся: а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе.

39. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из 4 поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст зачет; б) не сдаст зачет?

40. У сборщика имеются 10 деталей, мало отличающихся друг от друга, из них четыре – первого, по две – второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, два – второго и одна – третьего?

41. Найти вероятность того, что из десяти книг, расположенных в случайном порядке, 3 определенные книги окажутся рядом.

42. В старинной игре в кости необходимо было для выигрыша получить при бросании трех игральных костей сумму очков, превосходящую 10. Найти вероятности: а) выпадения 11 очков; б) выигрыша.

43. На фирме работают 8 аудиторов, из которых 3 – высокой квалификации, и 5 программистов, из которых 2 – высокой квалификации. В командировку надо отправить группу из 3 аудиторов и 2 программистов. Какова вероятность того, что в этой группе окажется по крайней мере 1 аудитор высокой квалификации и хотя бы 1 программист высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные возможности поехать в командировку?

44. Два лица условились встретиться в определенном месте между 18 и 19 часами и договорились, что пришедший первым ждет другого в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если приход каждого в течение указанного часа может произойти в любое время и моменты прихода независимы.

45. Какова вероятность того, что наудачу брошенная в круг точка окажется внутри вписанного в него квадрата.

46. При приеме партии изделий подвергается проверке половина изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2 %. Вычислить вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5 % брака, будет принята.

	1/3, 1/2	19 б	91/228	33 а
	1/6, 1/3	19 в	5/38	33 б
	1/50, 49/50	19 г	35/76	33 в
	1/6		3/10	34 а
	1/360		1/22	34 б
	1/60		0,302
	1/90		0,2381
	7/15		0,049	37 а
	1/6			37 б
	24/91			37 в
	2/15	27 а	1/216	38 а
	0,3	27 б	1/36	38 б
		27 в	5/54	39 а
	½			39 б	0,099
	0,4
	14/55		.
	1/15	31 а	1/Р 7 =1/7!= =0,000198		а) 0,125; б) 0,5
	1/5	31 б	Р 2 Р 3 Р 2 Р 2 /Р 10 =2!3!2!2!/10! = 0,0000132
19 а	1/114		1/Р 5 =1/5!= =,00833		0,4375

Студент должен знать:

Основные формулы теории вероятностей

Студент должен уметь:

Находить вероятность произведения, суммы событий, появления хотя бы одного события;

Литература: стр.37-43.

§ 7. Применение комбинаторики к подсчету вероятности

Если из совокупности объема n производится выборка k элементов с возвращением, то вероятность получения каждой конкретной выборки считается равной .

Если выборка производится без возвращения, то эта вероятность равна .

Пусть наступление события А состоит в появлении выборки с какими-то дополнительными ограничениями и количество таких выборок равно m. Тогда в случае выборки с возвращением имеем:

в случае выборки без возвращения:

Пример 1. Наудачу выбирается трехзначное число, в десятичной записи которого нет нуля. Какова вероятность того, что у выбранного числа ровно две одинаковые цифры?

Решение. Представим себе, что на 9 одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и эти карточки помещены в урну. Выбор наудачу трехзначного числа равносилен последовательному извлечению с возвращением из урны 3 карточек и записыванием цифр в порядке их появления. Следовательно, число всех элементарных исходов опыта равно 93 = 729. Количество благоприятных случаев для интересующего нас события А подсчитываем так: 2 различные цифры х и у можно выбрать способами; если х и у выбраны, то из них можно составить https://pandia.ru/text/78/365/images/image007_10.gif" width="115 height=41" height="41">.

Пример 2. Из букв слова «ротор», составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «тор»?

Решение. Чтобы отличать одинаковые буквы друг от друга, снабдим их номерами: р1, р2, о1, о2. Тогда общее число элементарных исходов равно: . Слово «тор» получится в 1 × 2 ×2 = 4 случаях (то1р1, то1р2, то2р1, то2р2)..gif" width="24" height="25 src="> и мы предполагаем, что все они имеют равные вероятности .

Пример 3. В партии из N деталей имеется n бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных k деталей окажется s бракованных?

Решение. Количество всех элементарных исходов равно . Для подсчета числа благоприятных случаев рассуждаем так: из n бракованных можно выбрать s деталей способами, а из N - n небракованных можно выбрать k – s небракованных деталей способами; по правилу произведения число благоприятных случаев равно × . Искомая вероятность равна:

Пример 4. В бригаде 4 женщины и 3 мужчин. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин?

Решение. Применим схему статистического выбора. Из 7 членов бригады 4 человека можно выбрать = 35 способами, следовательно, число всех элементарных исходов испытания равно 35..gif" width="28" height="34">= 3 способами. Тогда число благоприятных случаев будет равно 6 × 3 = 18..gif" width="21" height="41"> . Сколько в урне белых шаров?

150. В урне n белых и m черных шаров. Наудачу извлечены k шаров (k>m). Какова вероятность того, что в урне остались одни белые шары?

151. Из урны, содержащей N шаров, N раз извлекают по одному шару, каждый раз возвращая извлеченный шар. Какова вероятность того, что все шары извлекались по одному разу?

152. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на 2 равные части (по 26 карт). Найдите вероятности следующих событий:

А – в каждой части окажется по 2 туза;

В – в одной из частей не будет ни одного туза;

С – в одной из частей будет ровно один туз.

153. В урне a белых, b черных и с красных шаров. Из этой урны один за другим вынимают без возвращения все шары и записывают их цвета. Найдите вероятность того, что в этом списке белый цвет встретится раньше черного.

154. Имеется 2 урны: в первой a белых и b черных шаров; второй с белых и d черных. Из каждой урны вынимается по шару. Найдите вероятность того, что оба шара будут белыми (событие А) и вероятность того, что шары будут разного цвета (событие В).

155. 2n команд разбиты на 2 подгруппы по n команд. Найдите вероятность того, что 2 наиболее сильные команды попадут: а) в разные подгруппы (событие А); б) в одну подгруппу (событие В).

156. Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются 3 карты. Определите вероятность того, что сумма очков в этих картах равна 21, если валет составляет 2 очка, дама – 3, король – 4, туз – 11, а остальные карты – соответственно 6, 7, 8, 9, 10 очков.

157. Владелец одной карточки лотереи «Спортлото» (6 из 49) зачеркивает 6 номеров. Какова вероятность того, что им будет угадано:

а) все 6 номеров в очередном тираже;

б) 5 или 6 номеров;

в) по крайней мере 3 номера?

158. Автобусу, в котором 15 пассажиров, предстоит сделать 20 остановок. Предполагая, что всевозможные способы распределения пассажиров по остановкам равновозможны, найдите вероятность того, что никакие 2 пассажира не выйдут на одной остановке.

159. Из чисел 1, 2, …, N выбирают наудачу r различных чисел (r £ N). Найдите вероятность того, что будут выбраны r последовательных чисел.

160. Из полной колоды карт (52 листа) извлекают сразу несколько карт. Сколько карт нужно извлечь для того, чтобы с вероятностью, большей чем 0,5, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти?

161. Имеется n шариков, которые случайным образом разбрасываются по m лункам. Найдите вероятность того, что в первую лунку упадет ровно k1 шариков, во вторую – k2 шариков и т. д., в m-ю – km шариков, если k1+k2+…+km=n.

162. В условиях предыдущей задачи найдите вероятность того, что в одной из лунок (безразлично в какой) будет k1 шариков, а в другой – k2 шариков и т. д., в m-й – km шариков (числа k1,k2,…,km предполагаются различными).

163. Из множества {1, 2,…, N} последовательно без возвращения выбираются числа х1 и х2. Найдите р(x2 > x1).

1рукописей разложены по 30 папкам (одна рукопись занимает 3 папки). Найдите вероятность того, что в случайно выброшенных 6 папках не содержится целиком ни одной рукописи.

165. Какова вероятность того, что в компании из r человек хотя бы у двоих совпадут дни рождения? (Для простоты предполагается, что 29 февраля не является днем рождения).

166. Используя таблицу значений lg n! и условие предыдущей задачи, вычислите вероятности при r = 22, 23, 60.

167.Вы задались целью найти человека, день рождение которого совпадает с Вашим. Сколько незнакомцев Вам придется опросить, чтобы вероятность встречи такого человека была бы не меньше чем 0,5?

168. По Государственному займу ежегодно разыгрывается 6 основных тиражей и один дополнительный, происходящий после основного пятого. Из 100000 серий в каждом основном тираже выигрывают 170 серий, а в каждом дополнительном – 230 серий. Найдите вероятность выигрыша одной облигации за первые 10 лет: а) в основном тираже; б) в дополнительном тираже; в) в каком-либо тираже.

Общее число равновозможных исходов при выборе билетов на экзамене равно 25. Пусть А – событие «учащемуся достался билет, к которому он не готов». Число таких исходов равно 25-(11+8) = 6. значит Р(А) = 6/25 = 0,24.

Также рассмотрим задачи, в которых для подсчета числа благоприятных или всех исходов необходимо воспользоваться комбинаторными формулами.

На трехместную скамейку произвольным

образом садятся двое мужчин и женщина. Какова вероятность того, что мужчины окажутся рядом?

Количество всех возможных исходов – это число перестановок трех элементов, а оно равно 3! = 6. Пусть А - событие «мужчины оказались рядом», количество благоприятных исходов для этого события равно четырем (когда оба сидят с одного края – 2 варианта и аналогично для другого тоже два варианта). Таким образом Р(А) = 4/6 = 2/3.

Кроме статистического и классического определений вероятности существует еще геометрическая вероятность. Рассмотрим следующий пример. На квадратном столе выделен черный квадратик. Как определить вероятность того, что фишка попадет в черный квадратик, если ее бросить на стол наугад.

Эта вероятность равно отношению площади черного квадрата к площади поверхности стола. Если, например, площадь стола равна 0,6м² , а площадь черного квадрата – 0,04 м² , то Р = 0,04/0,6 = 1/15.

Стрелок, не целясь, стреляет в треугольную мишень (рис.1) и попадает.

Какова вероятность того, что он попадет в «тройку»? «двойку»? «единицу»?

Возьмем площадь одного треугольника за 1. они все равны между собой, поэтому площадь всего большого треугольника = 16. Вероятность того, что он попадет в «3» равна 1/16. вероятность попадания в «2», будет равна 6/16 (общая площадь треугольников с «2» будет равна 6), и вероятность попадания в «1» равна 9/16.

§5 Методика реализации стохастической линии в 9 классе.

Основные задачи:

· На основе всех ранее полученных знаний показать их применение для статистического исследования

· Познакомить с такими понятиями как генеральная совокупность, репрезентативная выборка, выборочное обследование. Интервальный ряд.

· Познакомить с новым видом графического представления результатов статистического исследования – полигонами и гистограммами.

В 9 классе рассматриваются статистические исследования, на примерах, близких жизненному опыту учащихся. Это – «Исследование качества знаний школьников», «Удобно ли расположена школа?» и «Куда пойти работать?».

Рассмотрим исследование качества знаний школьников, на примере изучения математической подготовки школьников. Предположим, что в одном из регионов решили выяснить уровень знаний девятиклассников по математике и составили контрольную работу из 6 заданий. Довольно сложно организовать во всех школах региона одновременное проведение, проверку и обработку полученных результатов. Но, как утверждает статистика, для получения вполне достоверной информации достаточно провести выборочное обследование, т.е. проверить лишь часть школьников.

Все девятиклассники региона будут представлять собой генеральную совокупность, о которой будем судить по репрезентативной (представительной) выборке. Обычно ограничиваются обследованием 5-10% всей изучаемой совокупности, при этом осуществляется случайный отбор, обеспечивая одинаковую вероятность попадания в выборку любого объекта генеральной совокупности.

Рассмотрим возможные результаты такого выборочного обследования по некоторому городу региона. Пусть в городе проживают 710 девятиклассников, из которых случайным образом было выбрано 50. против каждой фамилии выставили число верно решенных задач и получили следующий ряд:

4; 2; 0; 6; 2; 3; 4; 3; 3; 0; 1; 5; 2; 6; 4; 3; 3; 2; 3; 1; 3; 3; 2; 6; 2; 2; 4; 3; 3; 6; 4; 2; 0; 3; 3; 5; 2; 1; 4; 4; 3; 4; 5; 3; 2; 3; 1; 6; 2; 2.

На основании этого ряда трудно сделать какие-либо определенные выводы, и чтоб удобнее было анализировать информацию, в подобных случаях числовые данные ранжируют, располагая их в порядке возрастания. В результате ранжирования ряд примет такой вид:

0;0;0; 1;1;1;1; 2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2; 3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;

4;4;4;4;4;4;4;4; 5;5;5; 6;6;6;6;6.

Мы видим, что ряд разбился на 7 групп. Каждая группа представляет определенный результат эксперимента: не решено ни одной задачи, решена одна задача и т.д. По этому ряду мы можем подсчитать частоту для каждого результата эксперимента. Например, частота появления события «девятиклассник не решил ни одной задачи» равна 3. Относительная частота равна отношению его частоты к объему выборки, т.е. 3/50, или 6%.

Для наглядности, рассмотрим табличное и графическое представление результатов.

Построим диаграмму:

Кроме диаграмм для графического представления результатов используют так называемые полигоны. Для их построения в системе координат отмечают точки, абсциссы которых – результаты случайного эксперимента, а ординаты – соответствующие им частоты. Для нашего случая полигон будет выглядеть следующим образом:

Так как мы полагаем, что выборка была репрезентативной, то на основании полученных результатов можно с достаточной уверенностью судить об уровне знаний всех девятиклассников города.

Например, в выборке 10% школьников решили все задачи. Значит можно ожидать, что и из 710 учеников примерно 10% справятся со всеми шестью заданиями. Это означает, что около 70 девятиклассников города обладают высоким уровнем математической подготовки.