Фракталы: Геометрические Алгебраические Системы итерируемых функций Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря. Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические). Стохастические фракталы
И льётся свет в ночи От каждого луча … И сходятся лучи В холодных три ключа. И каждый из ключей Законам вопреки Неведомо зачем Впадает в три реки, Чей инфернальный бег Сметает все мосты. И каждая из рек - Начало трёх пустынь. И в бездну мир несёт За острые края.. И поглощает всё Фрактал небытия.
Изобретения Кантора: Построение классической пыли Кантора начинается с выбрасыванием средней трети (не включая концы) единичного отрезка. То есть исходное множество есть отрезок , и первый шаг состоит в удалении открытого интервала (1/3, 2/3). На следующем и всех остальных шагах выкидываем среднюю треть (не включая концы) всех отрезков текущего уровня. Таким образом, получается последовательность множеств Два множества можно сравнивать по величине, сопоставляя элементы одного множества с элементами другого. Например, чтобы определить, каких шариков в ведёрке больше: цветных или чёрных, можно брать их из ведёрка парами, состоящими из цветного и чёрного шариков, до тех пор, пока там не останутся шарики одного цвета. Именно этот остаток и указывает, каких шариков было больше. Такой же принцип Кантор применил для количественного сравнения бесконечных множеств.
Джузеппе Пеано итальянский математик Внёс вклад в математическую логику, аксиоматику, философию математики. Создатель вспомогательного искусственного языка латино - сине - флексионе. Более всего известен как автор стандартной аксиоматизации натуральной арифметики арифметики Пеано
Изобретения Пиано На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть 1 и 2 рисунка 1). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость.
Вацлав Франциск Серпинский.. выдающийся польский математик. Известен своими трудами по теории множеств, аксиоме выбора, континуум - гипотезе, теории чисел, теории функций, а также топологии. Автор более 700 статей и 50 книг. Его именем названы числа Серпинского, а также три широко известных фрактала: треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, кривая Серпинского. ()
Позднее он дал определение фрактала: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком- то смысле подобны целому"
Мандельброт пишет в своей книге: « Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин лежит в её неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака – это не сферы, горы не углы, линия побережья – не окружность, кора не гладкая, а молния не прямая линия …»
Фрактальная графика Заречнева Полина ученица 10 класса «А» ГБОУ СОШ №351 г.Москва.
Виды графики Существую 4 основных вида графики: Векторная Растровая Фрактальная 3- D графика В данной презентации будет рассказано о фрактальной графике.
Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся перспективных видов компьютерной графики. Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от, так называемых, «родителей» геометрических свойств объектов-наследников.
Понятия фрактал, фрактальная геометрия и фрактальная графика, появившиеся в конце 70-х, сегодня прочно вошли в обиход математиков и компьютерных художников. Слово фрактал образовано от латинского « fractus » и в переводе означает «состоящий из фрагментов» . Оно было предложено математиком Бенуа Мандель-Бротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.
В центре фрактальной фигуры находится равносторонний треугольник, который получил название «фрактальный» . Затем, на среднем отрезке сторон строятся равносторонние треугольники со стороной, равной (1/3a) от стороны исходного треугольника. Построение фрактального рисунка осуществляется по какому-то алгоритму или путём автоматической генерации изображений при помощи вычислений по конкретным формулам. Изменения значений в алгоритмах или коэффициентов в формулах приводит к модификации этих изображений. Главным преимуществом фрактальной графики есть то, что в файле фрактального изображения сохраняются только алгоритмы и формулы.
В свою очередь, на средних отрезках сторон полученных треугольников, являющихся объектами-наследниками первого поколения, выстраиваются треугольники-наследники второго поколения со стороной (1/9а) от стороны исходного треугольника. Таким образом, мелкие элементы фрактального объекта повторяют свойства всего объекта. Этот объект носит название «фрактальной фигуры» . Процесс наследования можно продолжать до бесконечности. Таким образом, можно описать и такой графический элемент, как прямую.
Изменяя и комбинирую окраску фрактальных фигур можно моделировать образы живой и неживой природы (например, ветви дерева или снежинки), а также, составлять из полученных фигур «фрактальную композицию» . Фрактальная графика, также как векторная и трёхмерная, является вычисляемой. Главное отличие в том, что изображение строится по уравнению или системе уравнений. Поэтому в памяти компьютера для выполнения всех вычислений, ничего кроме формулы хранить не требуется.
Итак, базовым понятием для фрактальной компьютерной графики являются «Фрактальный треугольник» . Затем идет «Фрактальная фигура» , «Фрактальный объект» ; «Фрактальная прямая» ; «Фрактальная композиция» ; «Объект-родитель» и «Объект наследник» . Следует обратить Ваше внимание на то, что фрактальная компьютерная графика, как вид компьютерной графики двадцать первого века получила широкое распространение не так давно.
Создатель фракталов - это художник, скульптор, фотограф, изобретатель и ученый в одном лице. Вы сами задаете форму рисунка математической формулой, исследуете сходимость процесса, варьируя его параметры, выбираете вид изображения и палитру цветов, то есть творите рисунок «с нуля». В этом одно из отличий фрактальных графических редакторов от прочих графических программ. Например, в Adobe Photoshop изображение, как правило, «с нуля» не создается, а только обрабатывается. Другой самобытной особенностью фрактального графического редактора Painter (как и прочих фрактальных программ, например Art Dabbler) является то, что реальный художник, работающий без компьютера, никогда не достигнет с помощью кисти, карандаша и пера тех возможностей, которые заложены в Painter программистами.
Фрактальная графика позволяет создавать абстрактные композиции, где можно реализовать такие композиционные приёмы как, горизонтали и вертикали, диагональные направления, симметрию и асимметрию и др. Фрактальное изображение можно сравнить со сложной структурой кристалла, со снежинкой, элементы которой выстраивается в одну сложную структуру. Это свойство фрактального объекта может быть удачно использовано при составлении декоративной композиции или для создания орнамента. Сегодня разработаны алгоритмы синтеза коэффициентов фрактала, позволяющего воспроизвести копию любой картинки сколь угодно близкой к исходному оригиналу.
Источники инфорамации: Яндекс. Картинки; http://www.esate.ru/page/fraktalnaya-grafika ; http:// ru.wikipedia.org Спасибо за внимание.
Всероссийский конкурс исследовательских работ учащихся “ЮНОСТЬ, НАУКА, КУЛЬТУРА”
Направление: информатика
Тема: «Фрактальная графика»
Вдовина Станислава МБОУ «Гимназия №7», Ростовской области 7 класс
Научный руководитель : Грищенко Е.Е., учитель информатики
г. Обнинск, 2017/2018 учебный год
Актуальность:
- Актуальность заявленной темы определяется, в первую очередь, предметом исследования, в качестве которого выступает фрактальная графика.
Проблема:
- Какова роль фрактальных моделей в современном мире?
- Почему наука о фракталах достаточно молода?
- Возможно ли создать свои собственные фракталы?
Объектом исследования:
- Выступают информационные технологии,.
Цель:
- Исследовать фракталы в природе, математике, информатике, исследовать методики построения фрактальной живописи с помощью компьютерных программ, создать фрактальные изображения и анимацию.
Задачи:
- узнать, что такое фракталы;
- изучить историю возникновения и развития фрактальной геометрии;
- изучить области применения фракталов;
- изучить программное обеспечение для создания фрактальной графики.
Фрактальная графика. Понятие фрактала
Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов .
Основное определение фрактала, данное Мандельбротом, звучало так: " Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому ".
Бенуа Мандельброт
В основном фракталы классифицируют по трём видам:
Алгебраические фракталы – строятся на основе алгебраических формул.
Множество Мандельброта
Множество Жулиа
Бассейны Ньютона
Фрактальная графика. Виды фракталов
Геометрические (конструктивные) фракталы – фракталы созданные путем простых геометрических построений.
Геометрические фракталы являются самыми наглядными, так как видна самоподобность.
Для построения характерно построение «основы» и «фрагмента», повторяющегося при каждом уменьшении масштаба.
Треугольник Серпинского
Дерево Пифагора
Кривая Леви
Фрактальная графика. Виды фракталов
Стохастические фракталы – получаются в том случае, если в процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
Стохастический фрактал на основе множества Жюлиа
Фрактальное сжатие изображений
Фрактальное сжатие изображений - обнаружение похожих участков в изображении. Данный алгоритм известен тем, что в некоторых случаях позволяет получить очень высокие коэффициенты сжатия (лучшие примеры - до 2000 раз (при приемлемом визуальном качестве) для реальных фотографий природных объектов, что недоступно для других алгоритмов сжатия изображений в принципе.
Треугольник Серпинского
Папоротник Барнсли
Фрактальная графика. Области применения
Применение фракталов в медицине.
Сам по себе человеческий организм состоит из множества фракталоподобных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи и т.д.
Теория фракталов может применятся для анализа электрокардиограмм. Также фракталы могут использоваться в обработке медицинских рентгеновских изображений. Рентгеновские снимки обработанные с помощью фрактальных алгоритмов дают более качественную картинку а соответственно и более качественную диагностику. Еще одна область в медицине где активно могут применятся фракталы - это гастроэнтерология.
Кровеносная система
Бронхи
Анализ электрокардиограмм
Фрактальная графика. Области применения
Геология и геофизика.
Очень часто фракталы применяются в геологии и геофизике. Не секрет что побережья островов и континентов имеют некоторую фрактальную размерность, зная которую можно очень точно вычислить длины побережий. Также фрактальный анализ помогает в поиске и разработке месторождений полезных ископаемых, распределение которых очень часто происходит по фрактальному механизму. Исследование разломной тектоники и сейсмичности порой тоже исследуется с помощью фрактальных алгоритмов.
Фрактальный анализ бассейнов стока на Марсе
Фрактальное распределение очагов землетрясений
Фрактальная графика. Области применения
Физика.
В физике твёрдых тел фрактальные алгоритмы позволяют точно описывать и предсказывать свойства твёрдых, пористых, губчатых тел, различных аэрогелей. Это помогает в создании новых материалов с необычными и полезными свойствами.
Микромир. Строение атома
Фрактальная графика. Области применения
Фракталы в телекоммуникациях.
В телекоммуникациях фракталы используются для создания фрактальных антенн. Фрактальная антенны с удивительно компактным дизайном обеспечивает превосходную широкополосную производительность в маленьком форм-факторе. Достаточно компактны для установки или встраивания в различных местах, фрактальные антенны используются для морских, воздушных транспортных средств, или персональных устройств.
Фрактальные антенны
Фрактальная графика. Области применения
Фракталы как элементы визуализации и спецэффектов.
Фракталы притягивают и завораживают своей красотой и бесконечностью. Именно поэтому фракталы очень часто используют для создания различного рода визуализаций, видеоинсталляций, создания спецэффектов в компьютерной графике и т.д. Поэтому очень широко применяются в компьютерной графике. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений.
Создание фрактальных изображений:
- Программа Ultra Fractal
- Программа Adobe Photofhop
Ultra Fractal - лучшее решение для создания уникальных фрактальных изображений профессионального качества. Ultra Fractal представлен двумя редакциями: Standard Edition и расширенной Animation Edition, возможности которой позволяют не только генерировать фрактальные изображения, но и создавать анимацию на их основе. Созданные изображения можно визуализировать в высоком разрешении, пригодном для полиграфии, и сохранить в собственном формате программы или в одном из популярных фрактальных форматов.
Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.
«Компьютерное изображение» - Исходное изображение. Лекция 1. IP -> CV -> CG (2). Обработка изображений. Реконструкция формы головы по фотографиям. Фото с базовыми линиями. На лекции. Отображение ночного тона на дневной. Закраска индивидуальных полигонов (плоская “flat” закраска). Закраска Гуро (Gouraud) (диффузное отражение).
«Пиктограмма» - Показать любые счета. Определения (состояния строчек). Отправить. Добавить. Отправленный… (в ожидании оплаты). (Удалить строчку) …совсем. Строчка не обязательно должна быть связана со счетом. Команды для работы со строчками в счетах. Собрать строчки в счет. Конструирование языка пиктограмм пользовательского интерфейса.
«Графика и её виды» - Простейшими объектами являются: Векторная графика. Растровая. Изображение строится по уравнению. Компьютерные программы. Векторная графика является объектной. К примеру экран 15” монитора составляет 28Х21 см. Растровая для разработки электронных и полиграфических изданий. Векторная. Недостатки. Фрактальная.
«Растровые изображения» - 12. 10000000. 00010001. 9. 2. 8. 00001001. РТ: №37, стр. 29. 0 – белый цвет, 1 – черный цвет. 4. РТ: №37, стр. 29-30. 10. Цель: 01000000.
«Инженерная графика» - Покровская М.В. Один из примеров - план вавилонского дома с разрезом по дверным и оконным проемам и указанием клинописью размеров. С начала XIX в. Начертательную геометрию стали изучать в российских учебных заведениях. Петровские реформы начала XVIII в. придали ускорение развитию графической культуры России.
«Компьютерная графика в школе» - Применение компьютерной графики в презентациях и моделировании объектов. Работа с элементами окна, главным меню и инструментальными панелями. Графический редактор MS Paint, графические возможности текстового процессора MS Word. Основы диалога ученик – компьютер. Основные операции с файлами и папками.