Предприятии зависимость объема спроса продукцию. Зависимость спроса от цены

Аналитический способ может быть представлен, например, в следующем виде:

Графический способ представлен на рисунке 4.1. Линия являет собой графическое отображение функции спроса от цены. Она называется линией спроса.

Из графика видно, что при цене 30 рублей объем спроса равен 200 штук единиц товара. В том случае, если цена товара понижается до 20 руб., объем спроса увеличивается до 300 штук. Линия изображена в виде прямой, хотя может быть и кривой.

Экономисты различают изменение объема спроса и изменение спроса. Изменение объема спроса происходит в том случае, если изменяются цены на данный товар, при фиксированных значениях прочих факторов, определяющих объем спроса. В указанном случае имеет место движение вдоль линии спроса. Если же изменяются факторы, определяющие объем спроса, то происходит сдвиг линии спроса. В данном случае говорят, что изменился сам спрос. Этот процесс изображен на рисунке 4.2.

Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q, шт.

Рис. 4.2. Изменение объема спроса и изменение спроса

Предположим, что первоначально линия спроса занимала положение Д1. При понижении цены с Р1 до P2 объем спроса увеличивается с Q 1 до Q 2. Мы движемся вдоль линии спроса Д1 из точки А в точку В . Здесь увеличивается только объем спроса. Другой случай – возросли денежные доходы населения и оно теперь желает покупать большее количество товара при каждом значении его цены. При цене Р 1 объем спроса теперь составляет не Q 1, а Q 3. При цене Р 2 – не Q 2, a Q 4. Следовательно, линия спроса сдвинулась вправо, т.е. увеличился сам спрос.

В том случае, если речь идет о потребительском товаре, то изменение спроса может произойти по следующим причинам:

1. В связи с изменением доходов населения, которые способствуют увеличению спроса на абсолютное большинство товаров. Товары, спрос на которые увеличивается в результате роста доходов, называются «нормативными». В свою очередь спрос на некоторые потребительские товары (перловая крупа, маргарин, черный хлеб) с увеличением доходов уменьшается. Их принято называть «неполноценными».

2. В результате изменения цен на другие, как правило, взаимозаменяющие, товары. Так, увеличение спроса на маргарин может произойти в результате роста цен на продукт «заменитель сливочного масла».

3. Меняются вкусы и предпочтения потребителей. Например, если некоторый вид ткани «вошел» в моду, то спрос на него может возрасти.

4. С изменением цены на дополняющие товары. Например, автомобили и бензин. Рост цены на бензин снижает спрос на автомобили и наоборот.

5. Изменения в ожидании будущих цен. Если ожидается увеличение цен, например на соль, то при прочих равных условиях линия спроса сместится вправо.

6. На спрос влияет увеличение населения.

Между ценой и объемом спроса существует обратная зависимость – при снижении цены объем спроса увеличивается и наоборот. Это закон спроса.

Известно одно исключение из этого закона, которое получило название «Парадокс Гиффена». Английский экономист Роберт Гиффен (1837–1910 гг.) обратил внимание на то, что во время голода в Ирландии в середине XIX в. объем спроса на картофель, цена которого возросла, существенно увеличился. Но это, в принципе, не отрицает закона спроса, так как повышение цены на картофель заставило их резко сократить потребление более дорогих и качественных продуктов.

Понятие «эластичность спроса» в экономическую теорию ввел А. Маршалл.

Эластичность показывает степень реакции одной величины на изменение другой. В практике наиболее широко применяемой зависимостью является изменение объема спроса в связи с изменением цены. На графиках 3 и 4 зависимостью между ценой (P ) и объемом товаров и услуг (Q ) представлены два основных вида кривых. В первом случае изменение цены от 1000 до 2000 руб. приводит к сокращению объема спроса с 10 до 6 ед., а во втором случае такое же изменение цены привело к снижению объема с 10 до 9 ед. В этих двух случаях наблюдается неодинаковая степень зависимости объема спроса от цены. В первом случае спрос эластичен (4.3), во втором – неэластичен (4.4).

Рис. 4.3. Эластичный спрос

Рис. 4.4. Неэластичный спрос

Для количественной оценки эластичности спроса необходимо сопоставить прирост объема спроса ко всему его объему и прироста цены к цене. Покажем это на примере.

Т а б л и ц а 4.2

Эластичность спроса

При эластичности спроса больше единицы снижение цены вызывает такой рост величины спроса, что общая выручка возрастает. В данном случае спрос эластичен. Общая выручка остается неизменной при эластичности спроса, равной единице. Когда же спрос неэластичен, т.е. спрос меньше единицы, снижение цены вызывает такое падение спроса, что общая выручка падает.

Таким образом, при эластичности спроса меньше единицы продавец может повышать цены на свою продукцию и увеличивать объем реализации, т.е. выручку. Но если спрос эластичен, то цены лучше не повышать, так как выручка от реализации будет снижаться.

Поведение потребителя при различной эластичности спроса можно представить в виде таблицы.

Задачи о рельсах и колодцах.

№ 6437

L 0 = 10м зазор в 4,5 мм .

L t°

Решение.

Зазор - это то расстояние, которое оставляют между рельсами, для того, чтобы они могли расширяться при нагревании. А нагревание происходит вследствие трения, возникающего при прохождении поезда по рельсам.

Выразим зазор в метрах: 4,5 мм = 4,5 · 10 -3 м.

L(t°) = L 0 + зазор - длина рельса при удлинении после нагревания на t° .

С другой стороны L(t°) = L 0 (1+α·t°) . Приравняем правые части равенств, подставим данные величины, раскроем скобки, получим:

10 + 4,5·10 -3 = 10 + 10·1,2·10 -5 ·t° --> t°·12·10 -5 = 4,5·10 -3 --> t°=450 / 12 = 37,5°.

Ответ: 37,5

№ 6439

П ри температуре 0 °C рельс имеет длину L 0 = 12,5м . При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 6 мм .

При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону L (t°) = L 0 (1 +αt°), где α = 1,2·10 -5 (°C) -1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)

Ответ: 40.

№ 6441

П ри температуре 0 °C рельс имеет длину L 0 = 15м . При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 6,3 мм .

Ответ: 35.

№ 6459

t h = -5t 2 0,6 с больше, чем на 0,2 с? (Ответ выразите в м.)

Ответ: 1.

№ 6461

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = -5t 2 . До дождя время падения камушков составляло 1 с . На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,2 с? (Ответ выразите в м.)

Ответ: 1,8.

№ 6465

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = -5t 2 . До дождя время падения камушков составляло 0,8 с . На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,1 с? (Ответ выразите в м.)

Ответ: 0,75.

Это простые текстовые задачи из ЕГЭ по математике 2012. Впрочем, некоторые из них не такие уж и простые. Для разнообразия некоторые задачи будут решены с помощью теоремы Виета (см. урок «Теорема Виета »), другие - стандартно, через дискриминант.

Разумеется, далеко не всегда задачи B12 будут сводиться к квадратному уравнению. Там, где в задаче возникает простое линейное уравнение, никаких дискриминантов и теорем Виета не потребуется.

Задача. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 150 − 10p . Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 440 тыс. руб.

Это простейшая текстовая задача. Подставим формулу спроса q = 150 − 10p в формулу выручки r = q · p . Получим: r = (150 − 10p ) · p .

По условию, выручка предприятия должна составлять хотя бы 440 тысяч рублей. Составим и решим уравнение:

(150 − 10p ) · p = 440 - это квадратное уравнение;
150p − 10p 2 = 440 - раскрыли скобки;
150p − 10p 2 − 440 = 0 - собрали все в одной стороне;
p 2 − 15p + 44 = 0 - разделили все на коэффициент a = −10.

Получилось приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
p 1 + p 2 = −(−15) = 15;
p 1 · p 2 = 44.

Очевидно, корни: p 1 = 11; p 2 = 4.

Итак, у нас есть два кандидата на ответ: числа 11 и 4. Возвращаемся к условию задачи и смотрим на вопрос. Требуется найти максимальный уровень цены, т.е. из чисел 11 и 4 надо выбрать 11. Разумеется, эту задачу можно было решать и через дискриминант - ответ получится точно таким же.

Задача. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 75 − 5p . Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 270 тыс. руб.

Задача решается аналогично предыдущей. Нас интересует выручка, равная 270. Поскольку выручка предприятия считается по формуле r = q · p , а спрос - по формуле q = 75 − 5p , составим и решим уравнение:

(75 − 5p ) · p = 270;
75p − 5p 2 = 270;
−5p 2 + 75p − 270 = 0;
p 2 − 15p + 54 = 0.

Задача сведена к приведенному квадратному уравнению. По теореме Виета:
p 1 + p 2 = −(−15) = 15;
p 1 · p 2 = 54.

Очевидно, что корни - это числа 6 и 9. Итак, при цене 6 или 9 тысяч рублей выручка составит требуемые 270 тысяч рублей. В задаче просят указать максимальную цену, т.е. 9 тысяч рублей.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/5000 (1/м), b = 1/10 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Итак, высота задается уравнением y = ax 2 + bx . Чтобы камни перелетали через крепостную стену, высота должна быть больше или, в крайнем случае, равна высоте этой стены. Таким образом, в указанном уравнении известно число y = 8 - это высота стены. Остальные числа указаны прямо в условии, поэтому составляем уравнение:

8 = (−1/5000) · x 2 + (1/10) · x - довольно неслабые коэффициенты;
40 000 = −x 2 + 500x - это уже вполне вменяемое уравнение;
x 2 − 500x + 40 000 = 0 - перенесли все слагаемые в одну сторону.

Получили приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
x 1 + x 2 = −(−500) = 500 = 100 + 400;
x 1 · x 2 = 40 000 = 100 · 400.

Корни: 100 и 400. Нас интересует наибольшее расстояние, поэтому выбираем второй корень.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/8000 (1/м), b = 1/10 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 15 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Задача полностью аналогична предыдущей - только числа другие. Имеем:

15 = (−1/8000) · x 2 + (1/10) · x ;
120 000 = −x 2 + 800x - умножили обе стороны на 8000;
x 2 − 800x + 120 000 = 0 - собрали все элементы с одной стороны.

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
x 1 + x 2 = −(−800) = 800 = 200 + 600;
x 1 · x 2 = 120 000 = 200 · 600.

Отсюда корни: 200 и 600. Наибольший корень: 600.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/22 500 (1/м), b = 1/25 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Еще одна задача с бешеными коэффициентами. Высота - 8 метров. В этот раз попробуем решить через дискриминант. Имеем:

8 = (−1/22 500) · x 2 + (1/25) · x ;
180 000 = −x 2 + 900x - умножили все числа на 22 500;
x 2 − 900x + 180 000 = 0 - собрали все в одной стороне.

Дискриминант: D = 900 2 − 4 · 1 · 180 000 = 90 000; Корень из дискриминанта: 300. Корни уравнения:
x 1 = (900 − 300) : 2 = 300;
x 2 = (900 + 300) : 2 = 600.

Наибольший корень: 600.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/20 000 (1/м), b = 1/20 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Аналогичная задача. Высота снова 8 метров. Составим и решим уравнение:

8 = (−1/20 000) · x 2 + (1/20) · x ;
160 000 = −x 2 + 1000x - умножили обе стороны на 20 000;
x 2 − 1000x + 160 000 = 0 - собрали все с одной стороны.

Дискриминант: D = 1000 2 − 4 · 1 · 160 000 = 360 000. Корень из дискриминанта: 600. Корни уравнения:
x 1 = (1000 − 600) : 2 = 200;
x 2 = (1000 + 600) : 2 = 800.

Наибольший корень: 800.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/22 500 (1/м), b = 1/15 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 24 метра надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Очередная задача-клон. Требуемая высота: 24 метра. Составляем уравнение:

24 = (−1/22 500) · x 2 + (1/15) · x ;
540 000 = −x 2 + 1500x - умножили все на 22 500;
x 2 − 1500x + 540 000 = 0 - собрали все в одной стороне.

Получили приведенное квадратное уравнение. Решаем по теореме Виета:
x 1 + x 2 = −(−1500) = 1500 = 600 + 900;
x 1 · x 2 = 540 000 = 600 · 900.

Из разложения видно, что корни: 600 и 900. Выбираем наибольший: 900.

Задача. В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем меняется по закону H (t ) = 5 − 1,6t + 0,128t 2 , где t - время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока высота столба жидкости будет больше нуля. Таким образом, надо выяснить, когда H (t ) = 0. Составляем и решаем уравнение:

5 − 1,6t + 0,128t 2 = 0;
625 − 200t + 16t 2 = 0 - умножили все на 125;
16t 2 − 200t + 625 = 0 - расположили слагаемые в нормальном порядке.

Дискриминант: D = 200 2 − 4 · 16 · 625 = 0. Значит, корень будет всего один. Найдем его:

x 1 = (200 + 0) : (2 · 16) = 6,25. Итак, через 6,25 минуты уровень воды опустится до нулевой отметки. Это и будет момент, до которого вода будет вытекать.