На данном уроке будет рассмотрено, как выполнять умножение и деление на числа вида 10, 100, 0,1, 0,001. Также будут решены различные примеры на данную тему.
Упражнение. Как умножить число 25,78 на 10?
Десятичная запись данного числа - это сокращенная запись суммы. Необходимо расписать ее более подробно:
Таким образом, нужно умножить сумму. Для этого можно просто умножить каждое слагаемое:
Выходит, что.
Можно сделать вывод, что умножить десятичную дробь на 10 очень просто: нужно запятую сдвинуть вправо на одну позицию.
Упражнение. Умножить 25,486 на 100.
Умножить на 100 - это то же самое, что и умножить два раза на 10. Иными словами, необходимо сдвинуть запятую вправо два раза:
Упражнение. Разделить 25,78 на 10.
Как и в предыдущем случае, необходимо представить число 25,78 в виде суммы:
Так как нужно поделить сумму, то это эквивалентно делению каждого слагаемого:
Выходит, чтобы разделить на 10, нужно запятую сдвинуть влево на одну позицию. Например:
Упражнение. Разделить 124,478 на 100.
Разделить на 100 - это то же самое, что два раза разделить на 10, поэтому запятая сдвигается влево на 2 позиции:
Если десятичную дробь нужно умножить на 10, 100, 1000 и так далее, нужно запятую сдвинуть вправо на столько позиций, сколько нулей у множителя.
И наоборот, если десятичную дробь нужно поделить на 10, 100, 1000 и так далее, нужно запятую сдвинуть влево на столько позиций, сколько нулей у множителя.
Пример 1
Умножить на 100 значит сдвинуть запятую вправо на две позиции.
После сдвига можно обнаружить, что после запятой уже нет цифр, а это значит, что дробная часть отсутствует. Тогда и запятая не нужна, число получилось целое.
Пример 2
Сдвигать нужно на 4 позиции вправо. Но цифр после запятой всего две. Стоит вспомнить, что для дроби 56,14 есть эквивалентная запись.
Теперь умножить на 10 000 не составляет труда:
Если не очень понятно, почему можно дописать два нуля к дроби в предыдущем примере, то дополнительное видео по ссылке сможет помочь в этом.
Эквивалентные десятичные записи
Запись 52 означает следующее:
Если впереди поставить 0, получим запись 052. Эти записи эквивалентны.
Можно ли поставить два нуля впереди? Да, эти записи эквивалентны.
Теперь посмотрим на десятичную дробь:
Если приписать ноль, то получается:
Эти записи эквивалентны. Аналогично можно приписать несколько нулей.
Таким образом, к любому числу можно приписать несколько нулей после дробной части и несколько нулей перед целой частью. Это будут эквивалентные записи одного и того же числа.
Пример 3
Так как происходит деление на 100, то необходимо сдвинуть запятую на 2 позиции влево. Слева от запятой не осталось цифр. Целая часть отсутствует. Такую запись часто используют программисты. В математике же, если целой части нет, то ставят ноль вместо нее.
Пример 4
Сдвигать нужно влево на три позиции, но позиций всего две. Если перед числом написать несколько нулей, то это будет эквивалентная запись.
То есть при сдвиге влево, если цифры кончились, необходимо восполнить их нулями.
Пример 5
В данном случае стоит помнить, что запятая всегда стоит после целой части. Тогда:
Умножение и деление на числа 10, 100, 1000 - очень простая процедура. Точно так же дело обстоит и с числами 0,1, 0,01, 0,001.
Пример . Умножить 25,34 на 0,1.
Выполним запись десятичной дроби 0,1 в виде обыкновенной. Но умножить на - то же самое, что разделить на 10. Поэтому необходимо сдвинуть запятую на 1 позицию влево:
Аналогично умножить на 0,01 - это разделить на 100:
Пример. 5,235 разделить на 0,1.
Решение данного примера строится аналогичным образом: 0,1 выражается в виде обыкновенной дроби, а делить на - это все равно, что умножить на 10:
То есть чтобы поделить на 0,1, нужно запятую сдвинуть вправо на одну позицию, что равносильно умножению на 10.
Умножить на 10 и разделить на 0,1 - это одно и то же. Запятую нужно сдвинуть вправо на 1 позицию.
Разделить на 10 и умножить на 0,1 - это одно и то же. Запятую нужно сдвинуть вправо на 1 позицию:
В тему «Умножение десятичных дробей» входит умножение десятичной дроби на натуральное число, умножение десятичной дроби на десятичную дробь и некоторые важные частные случаи. Запишем все правила этой темы на одной странице.
Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно
- в полученном произведении отделить после запятой столько цифр, сколько их после запятой в десятичной дроби.
Примеры умножения десятичной дроби на натуральное число .
Умножаем, не обращая внимания на запятую, то есть 342∙7=2394. После запятой в десятичной дроби 3,42 стоит две цифры. Поэтому в полученном произведении после запятой отделяем две цифры: 23,94.
Таким образом, 3,42∙7=23,94.
Перемножаем числа, не обращая внимания на запятую: 7135∙2=14270. В полученном результате следует отделить запятой две последние цифры: 142,70. Так как нули после запятой в конце записи десятичной дроби не пишут, то
71,35∙2=142,70=142,7.
3) 0, 000836∙17=?
Умножаем, не принимая во внимание запятую: 836∙17=14212. Так как в десятичной дроби после запятой стоит 6 цифр, в полученном произведении после запятой также должно стоять 6 цифр. Поскольку в результате цифр всего 5, недостающую одну цифру дополняем нулём. Приписываем этот нуль перед числом: ,01412. При получении такой записи перед запятой в целую часть пишут нуль: 0 ,01412.
Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно:
- перемножить числа, не обращая внимания на запятую;
- в полученном произведении отделить после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе.
Примеры умножения десятичных дробей .
Умножаем числа, не обращая внимания на запятую: 13∙4=52. В полученном произведении следует после запятой записать столько цифр, сколько их после запятой в обоих множителях вместе. В первом множителе 1,3 после запятой одна цифра, во втором множителе 0,4 после запятой одна цифра, итого 1+1=2 цифры в результате нужно отделить запятой: 0,52 (дописав перед запятой нуль):
2) 3,00504∙0,025=?
Перемножаем, не беря во внимание запятую: 300504∙25=7512600. В полученном произведении надо после запятой получить столько цифр, сколько их в обоих множителях после запятой вместе, то есть 5+3=8 цифр. Недостающее количество цифр дополняем нулём. Нули после запятой в конце записи десятичной дроби отбрасываем.
3,00504∙0,025=0,07512600=0,075126.
3) 1,37∙0,0061=?
Произведение без учёта запятых 137∙61=8357. После запятой должно стоять 2+4=6 цифр. Недостающее до 6 количество цифр дополняем двумя нулями (пишем их на перед числом 8357. На первое место, перед запятой в целой части пишем нуль:
1,37∙0,0061=0,008357.
3.Частные случаи умножения десятичных дробей .
Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, 10000 и т. д., нужно в записи дроби запятую перенести на 1, 2, 3, 4 и т. д. цифры вправо.
Примеры .
Запятую переносим на 1 цифру вправо:
1) 7,9∙10=79 (здесь 79,=79);
2) 8,53∙10=85,3;
3) 0, 6541=6,541.
Запятую переносим на две цифры вправо:
1) 7,04∙100=704;
2) 3,8754∙100=387,54;
3) 4,5∙100=450 (после запятой стоит всего одна цифра. Недостающую 1 цифру дополнили нулём).
Запятую переносим на три цифры вправо:
1) 45,8096∙1000=45809,6;
2) 0,67∙1000=670 (после запятой 2 цифры. Недостающую 1 цифру дополняем нулём);
- Обучающая: систематизировать знания учащихся по теме «Сложение и вычитание десятичных дробей. Деление и умножение десятичных дробей на натуральное число»; проверить усвоение материала учащимися в ходе выполнения упражнений; подвести к пониманию правила умножения десятичных дробей.
- Развивающая : способствовать развитию обобщения как метода научного познания, мышления, памяти и внимания; приобщение учащихся к разнообразным методам и формам изучения материала; формировать умение самостоятельно получать знания с помощью учебника, умение самоконтроля и самооценки.
- 3. Воспитательная: воспитание чувства ответственности каждого учащегося за свою работу; воспитание любви к предмету; активизация учебно — позновательной деятельности.
Структура урока:
- Организационный момент. Вступительное слово учителя. (1 слайд)
- Устная работа. (2, 3 слайд)
- Работа по индивидуальным карточкам. (4, 5 слайд)
- Подготовка к изучению нового. (6 слайд)
- Изучение нового материала. (7,8 слайд)
- Разрядка. Физ. Минутка.
- Закрепление изученного материала.
- Подведение итогов урока. (9 слайд)
- Домашнее задание. (10 слайд)
Тип урока: урок – изучения нового материала.
Оборудование : учебник, презентация, индивидуальные карточки — задания.
Ход урока :
- 1 . Выступление учителя.
— Сегодня мы продолжаем работать по теме «Десятичные дроби».
Учитель объясняет учащимся, что им предстоит повторить и проверить уровень усвоения ранее изученного теоретического материала, проверить усвоение материала учащимися в ходе выполнения упражнений.
— Эпиграфом к нашему уроку послужат слова: (1 слайд)
«Математика, друзья, абсолютно всем нужна. На уроке работай старательно, и успех тебя ждет обязательно!»
- Устная работа:
— Прочитайте слова на слайде (2 слайд) : (сумма, множитель, разность, частное)
— Подумайте, какое из слов не подходит по смыслу?
— Каким словом его следует заменить?
— Какое математическое действие мы выполним, если услышим слова:
сумма, разность, произведение, частное? (3 слайд)
- Работа по индивидуальным карточкам:
— Сейчас мы проверим помните ли вы правила сложения, вычитания десятичных дробей, умножения и деления десятичных дробей на натуральное число. Умеете ли применять эти правила при решении примеров.
— У вас на столах лежат карточки с заданиями. Вы должны выполнить задание в тетради, правильно оформив решение. Решив примеры, можете проверить себя обратившись к презентации.
| Карточка № 1 | Карточка № 2 | ||
| а | 2,7 + 1,35 = | а | 8 – 1,25 = |
| б | 6,6 — 5,99 = | б | 5,8 + 22,191 = |
| в | 3,12 * 4 = | в | 15,4 * 0,01 = |
| г | 9,6: 2 = | г | 46,7 * 5 = |
| д | 0,13 * 10 = | д | 16, 8: 3 = |
| е | 15,8: 100 = | е | 2,59 * 100 = |
| ж | 3,8 * 0,1 = | ж | 61,3: 10 = |
По ходу решения учащиеся записывают решение себе в тетрадь, а затем сравнивают свои результаты с изображением на слайде. (4, 5 слайд)
- Подготовка к изучению нового.
— Скажите, при выполнении каких заданий возникли трудности? Почему?
— Правильно. Вы еще не знаете правило умножение десятичной дроби на десятичную дробь.
Учитель выписывает на доске примеры, которые не смогли решить ученики.
— Посмотрите внимательно на левы и правый столбик на слайде (6 слайд):
| 5,6: 10 = | 5,6 * 0,1 = |
| 12,8: 100 = | 12,8 * 0,01 = |
| 0,45: 10 = | 0,45 * 0,1 = |
— Что заметили? Есть ли, что общее? В чем различие? Какое действие вы можете выполнить?
— Сформулируйте тему сегодняшнего урока. Запишите ее в тетрадь.
(Тема урока: Умножение десятичных дробей на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.)
- Изучение нового материала.
— Как разделить десятичную дробь на 10; 100; 1000 и т.д.?
— Найдите значение левого столбика. Проверьте себя. (7 слайд)
— Тот же результат получится и в правом столбике при умножении десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. (8 слайд)
— Откройте учебник. Стр. 214. Прочитайте внимательно новый материал.
Найдите ответы на вопросы: Как умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001? На сколько знаков и в какую сторону надо перенести запятую?
Попробуйте повторить правило умножения десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001.
- Физ. минутка
Предлагаю вам немного отдохнуть.
« Встали! Встали, потянулись!
Руки выше, потянулись! Улыбнулись!
Повернулись влево! Потянулись, улыбнулись!
Повернулись вправо! Потянулись, улыбнулись!
Опустили руки! Сели!
Встали! УЛЫБНУЛИСЬ!
Сели. Продолжаем работать.»
- Закрепление нового материала.
— В учебнике № 1391. Решить примеры.
Учащиеся решают в тетради примеры на умножение десятичных дробей на 0,1; 0,01; 0,001. Учитель контролирует работу.
— Ребята! А сейчас вы можете решить задания, которые не могли решить в начале урока?
Учащиеся выполняют пропущенные задания с карточек. Учитель проверяет правильность решения.
- Подведение итогов урока.
— На слайде записано начало предложения. Вы подумайте и продолжите предложение: « Сегодня на уроке: 1) Я узнал….
2) Я понял…..
3) Я научился…..» (9 слайд)
— Сформулируйте правило умножения десятичных дробей на 0,1; 0,01; 0,001.
— Каждый из вас сегодня убедился, что знание правил необходимо для решения примеров, экономит ваше время, повышает вашу математическую культуру.
- Домашнее задание :
п. 36(правило), № 1431. (10 слайд)
Ещё в школе учителя нам всем старались вбить в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!» , – но всё равно вокруг него постоянно возникает куча споров. Кто-то просто запомнил правило и не забивает себе голову вопросом «почему?». «Нельзя и всё тут, потому что в школе так сказали, правило есть правило!» Кто-то может исписать полтетради формулами, доказывая это правило или, наоборот, его нелогичность.
Кто в итоге прав
Во время этих споров оба человека, имеющие противоположные точки зрения, смотрят друг на друга, как на барана, и доказывают всеми силами свою правоту. Хотя, если посмотреть на них со стороны, то можно увидеть не одного, а двух баранов, упирающихся друг в друга рогами. Различие между ними лишь в том, что один чуть менее образован, чем второй.
Чаще всего, те, кто считают это правило неверным, стараются призвать к логике вот таким способом:
У меня на столе лежит два яблока, если я положу к ним ноль яблок, то есть не положу ни одного, то от этого мои два яблока не исчезнут! Правило нелогично!
Действительно, яблоки никуда не исчезнут, но не из-за того, что правило нелогично, а потому что здесь использовано немного другое уравнение: 2+0 = 2. Так что такое умозаключение отбросим сразу - оно нелогично, хоть и имеет обратную цель - призвать к логике.
Что такое умножение
Изначально правило умножения было определено только для натуральных чисел: умножение - это число, прибавленное к самому себе определённое количество раз, что подразумевает натуральность числа. Таким образом, любое число с умножением можно свести вот к такому уравнению:
- 25×3 = 75
- 25 + 25 + 25 = 75
- 25×3 = 25 + 25 + 25
Из этого уравнения следует вывод, что умножение - это упрощённое сложение .
Что такое ноль
Любой человек с самого детства знает: ноль - это пустота, Несмотря на то, что эта пустота имеет обозначение, она не несёт за собой вообще ничего. Древние восточные учёные считали иначе - они подходили к вопросу философски и проводили некие параллели между пустотой и бесконечностью и видели глубокий смысл в этом числе. Ведь ноль, имеющий значение пустоты, встав рядом с любым натуральным числом, умножает его в десять раз. Отсюда и все споры по поводу умножения - это число несёт в себе столько противоречивости, что становится сложно не запутаться. Кроме того, ноль постоянно используется для определения пустых разрядов в десятичных дробях, это делается и до, и после запятой.
Можно ли умножать на пустоту
Умножать на ноль можно, но бесполезно, потому что, как ни крути, но даже при умножении отрицательных чисел всё равно будет получаться ноль. Достаточно просто запомнить это простейшее правило и никогда больше не задаваться этим вопросом. На самом деле всё проще, чем кажется на первый взгляд. Нет никаких скрытых смыслов и тайн, как считали древние учёные. Ниже будет приведено самое логичное объяснение, что это умножение бесполезно, ведь при умножении числа на него всё равно будет получаться одно и то же - ноль.
Возвращаясь в самое начало, к доводу по поводу двух яблок, 2 умножить на 0 выглядит вот так:
- Если съесть по два яблока пять раз, то съедено 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 яблок
- Если их съесть по два трижды, то съедено 2×3 = 2+2+2 = 6 яблок
- Если съесть по два яблока ноль раз, то не будет съедено ничего - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0
Ведь съесть яблоко 0 раз - это означает не съесть ни одного. Это будет понятно даже самому маленькому ребёнку. Как ни крути - выйдет 0, двойку или тройку можно заменить абсолютно любым числом и выйдет абсолютно то же самое. А если проще говоря, то ноль - это ничего , а когда у вас ничего нет , то сколько ни умножай - всё равно будет ноль . Волшебства не бывает, и из ничего не получится яблоко, даже при умножении 0 на миллион. Это самое простое, понятное и логичное объяснение правила умножения на ноль. Человеку, далёкому от всех формул и математики будет достаточно такого объяснения, для того чтобы диссонанс в голове рассосался, и всё встало на свои места.
Деление
Из всего вышеперечисленного вытекает и другое важное правило:
На ноль делить нельзя!
Это правило нам тоже с самого детства упорно вбивают в голову. Мы просто знаем, что нельзя и всё, не забивая себе голову лишней информацией. Если вам неожиданно зададут вопрос, по какой причине запрещено делить на ноль, то большинство растеряется и не сможет внятно ответить на простейший вопрос из школьной программы, потому что вокруг этого правила не ходит столько споров и противоречий.
Все просто зазубрили правило и не делят на ноль, не подозревая, что ответ кроется на поверхности. Сложение, умножение, деление и вычитание - неравноправны, полноценны из перечисленного только умножение и сложение, а все остальные манипуляции с числами строятся из них. То есть запись 10: 2 является сокращением уравнения 2 * х = 10. Значит, запись 10: 0 такое же сокращение от 0 * х = 10. Получается, что деление на ноль – это задание найти число, умножая которое на 0, получится 10. А мы уже разобрались, что такого числа не существует, значит, у этого уравнения нет решения, и оно будет априори неверным.
Расскажу тебе позволь,
Чтобы не делил на 0!
Режь 1 как хочешь, вдоль,
Только не дели на 0!