Основные свойства пропорций
- Обращение пропорции. Если a : b = c : d , то b : a = d : c
- Перемножение членов пропорции крест-накрест. Если a : b = c : d , то ad = bc .
- Перестановка средних и крайних членов. Если a : b = c : d , то
- Увеличение и уменьшение пропорции. Если a : b = c : d , то
- Составление пропорции сложением и вычитанием. Если a : b = c : d , то
Составные (непрерывные) пропорции
Историческая справка
Литература
- ван дер Варден, Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. - пер. с голл. И. Н. Веселовского - М.: ГИФМЛ, 1959
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Синонимы :Смотреть что такое "Пропорция" в других словарях:
- (лат., от pro для, и portio часть, порция). 1) соразмерность, согласование. 2) отношение частей между собою и к их целому. Отношение величин между собою. 3) в архитектуре: удачные размеры. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского… … Словарь иностранных слов русского языка
ПРОПОРЦИЯ, пропорции, жен. (книжн.) (лат. proportio). 1. Соразмерность, определенное соотношение частей между собой. Правильные пропорции частей тела. Смешать сахар с желтком в такой пропорции: две ложки сахара на один желток. 2. Равенство двух… … Толковый словарь Ушакова
Отношение, соотношение; соразмерность. Ant. диспропорция Словарь русских синонимов. пропорция см. соотношение Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова … Словарь синонимов
Жен., франц. соразмерность; величина или количество, отвечающее чему либо; | мат. равенство содержания, одинаковые отношения двойной четы цифры; арифметическая, если второе число на столько же более или менее, первого, на сколько четвертое против … Толковый словарь Даля
- (лат. proportio) в математике равенство между двумя отношениями четырех величин: a/b =c/d … Большой Энциклопедический словарь
ПРОПОРЦИЯ, в математике равенство между двумя отношениями четырех величин: a/b=с/d. Непрерывной пропорцией называют группу из трех или более величин, каждая из которых имеет одно и то же отношение к последующей величине, как, например, в… … Научно-технический энциклопедический словарь
ПРОПОРЦИЯ, и, жен. 1. В математике: равенство двух отношений (в 3 знач.). 2. Определённое соотношение частей между собой, соразмерность. П. в частях здания. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
Англ. proportion; нем. Proportion. 1. Соразмерность, определенное соотношение частей целого между собой. 2. Равенство двух отношений. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии
пропорция - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN ratedegreeDdegdrratio … Справочник технического переводчика
ПРОПОРЦИЯ - равенство двух (см.), т.е. а: b = с: d, где а, b, с, d члены пропорции, причём а и d крайние, b и с средине. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних: ad = bс … Большая политехническая энциклопедия
Отношением числа x к числу у называется частное чисел и, т.е. у/ х или х: у. Отношение показывает, во сколько раз х больше у, или какую часть числа у составляет число х. Пропорцией называется равенство двух отношений, т.е. a / b = x / y . Числа а и у называются крайними членами, а числа х и b – средними членами пропорции.
Свойства пропорции
(основное): произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов, т.е. если a / b = x / y , то ay = bx .
Обратно, числа a , b , x , y составляют пропорцию a/b = x/y, если ay = bx .
Если в пропорции поменять местами крайние, средние члены или те и другие одновременно, то получим верную пропорцию.
Чтобы найти неизвестный средний (или крайний) член пропорции, надо произведение крайних (средних) членов разделить на известный средний (крайний) член пропорции
Деление числа на части, прямо и обратно пропорциональные данным числам
Чтобы разделить число пропорционально данным числам (разделить в данном отношении) надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них.
Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, достаточно разделить это число на части прямо пропорциональные числам, обратным данным.
Например, разделим 27 обратно пропорционально числам 4 и 5. Числа, обратные данным относятся, как (1/4) : (1/5) = 5: 4; тогда получим
Процентом называется сотая часть какого-либо числа. Процент обозначается знаком %.
Если данное число принять за 1, то 1% составляет 0,01 этого числа, 25% – 0,25 числа (или 1/4 числа) и т.д. Таким образом, чтобы число процентов представить в виде дроби, достаточно число процентов разделить на 100. Например, 125% = 1,25; 2,3% = 0,023.
Основные задачи на проценты
Нахождение процентов данного числа.
Чтобы найти а % от числа b нужно проценты выразить в виде дроби: a /100 и число b умножить на эту дробь.
Например, 30% от 60 руб. составляют 0,3 60 = 18 (руб.).
Нахождение числа по его процентам.
Если известно, что a % числа x равно b , то число x находим по формуле. Т.е. нужно проценты выразить в виде дроби и известное число b разделить на эту дробь.
Например, если 3% денежного вклада составляют 150 руб., то весь вклад равен 150/0,03 = 5000 (руб.).
Нахождение процентного отношения чисел.
Чтобы найти процентное отношение двух чисел a и b надо отношение этих чисел умножить на 100, т.е. вычислить.
Например, если при плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 90 авт., то он выполнил задание на
(90/60) 100% = 150%.
Тема любви в русском романе (По романам «Обломов», «Отцы и дети», «Война и мир»)... Тема любовных страданий в наибольшей степени связана с главным героем «Отцов и детей» Евгением Базаровым. Его чувство - это тяжелая, всепоглощающая ст...
§ 125. Понятие о пропорции.
Пропорцией называется равенство двух отношений. Вот примеры равенств, называемых пропорциями:
Примечание. Наименования величин в пропорциях не указаны.
Пропорции принято читать следующим образом: 2 так относится к 1 (единице), как 10 относится к 5 (первая пропорция). Можно читать иначе, например: 2 во столько раз больше 1, во сколько раз 10 больше 5. Третью пропорцию можно прочесть так: - 0,5 во столько раз меньше 2, во сколько раз 0,75 меньше 3.
Числа, входящие в пропорцию, называются членами пропорции . Значит, пропорция состоит из четырёх членов. Первый и последний члены, т. е. члены, стоящие по краям, называются крайними , а члены пропорции, находящиеся в середине, называются средними членами. Значит, в первой пропорции числа 2 и 5 будут крайними членами, а числа 1 и 10 - средними членами пропорции.
§ 126. Основное свойство пропорции.
Рассмотрим пропорцию:
Перемножим отдельно её крайние и средние члены. Произведение крайних 6 4 = 24, произведение средних 3 8 = 24.
Рассмотрим другую пропорцию: 10: 5 = 12: 6. Перемножим и здесь отдельно крайние и средние члены.
Произведение крайних 10 6 = 60, произведение средних 5 12 = 60.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних её членов.
В общем виде основное свойство пропорции записывается так: ad = bc .
Проверим его на нескольких пропорциях:
1) 12: 4 = 30: 10.
Пропорция эта верна, так как равны отношения, из которых она составлена. Вместе с тем, взяв произведение крайних членов пропорции (12 10) и произведение средних её членов (4 30), мы увидим, что они равны между собой, т. е.
12 10 = 4 30.
2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6
Пропорция верна, в чём легко убедиться, упростив первое и второе отношения. Основное свойство пропорции примет вид:
1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20
Нетрудно убедиться в том, что если мы напишем такое равенство, у которого в левой части стоит произведение двух каких-нибудь чисел, а в правой части произведение двух других чисел, то из этих четырёх чисел можно составить пропорцию.
Пусть у нас имеется равенство, в которое входят четыре числа, попарно перемноженные:
эти четыре числа могут быть членами пропорции, которую нетрудно написать, если принять первое произведение за произведение крайних членов, а второе - за произведение средних. Изданного равенства можно составить, например, такую пропорцию:
Вообще, из равенства ad = bc можно получить следующие пропорции:
Проделайте самостоятельно следующее упражнение. Имея произведение двух пар чисел, напишите пропорцию, соответствующую каждому равенству:
а) 1 6 = 2 3;
б) 2 15 = б 5.
§ 127. Вычисление неизвестных членов пропорции.
Основное свойство пропорции позволяет вычислить любой из членов пропорции, если он неизвестен. Возьмём пропорцию:
х : 4 = 15: 3.
В этой пропорции неизвестен один крайний член. Мы знаем, что во всякой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. На этом основании мы можем написать:
x 3 = 4 15.
После умножения 4 на 15 мы можем переписать это равенство так:
х 3 = 60.
Рассмотрим это равенство. В нём первый сомножитель неизвестен, второй сомножитель известен и произведение известно. Мы знаем, что для нахождения неизвестного сомножителя достаточно произведение разделить на другой (известный) сомножитель. Тогда получится:
х = 60: 3, или х = 20.
Проверим найденный результат подстановкой числа 20 вместо х в данную пропорцию:
Пропорция верна.
Подумаем, какие действия нам пришлось выполнить для вычисления неизвестного крайнего члена пропорции. Из четырёх членов пропорции нам был неизвестен только один крайний; два средних и второй крайний были известны. Для нахождения крайнего члена пропорции мы сначала перемножили средние члены (4 и 15), а затем найденное произведение разделили на известный крайний член. Сейчас мы покажем, что действия не изменились бы, если бы искомый крайний член пропорции стоял не на первом месте, а на последнем. Возьмём пропорцию:
70: 10 = 21: х .
Запишем основное свойство пропорции: 70 х = 10 21.
Перемножив числа 10 и 21, перепишем равенство в таком виде:
70 х = 210.
Здесь неизвестен один сомножитель, для его вычисления достаточно произведение (210) разделить на другой сомножитель (70),
х = 210: 70; х = 3.
Таким образом, мы можем сказать, что каждый крайний член пропорции равен произведению средних, делённому на другой крайний.
Перейдём теперь к вычислению неизвестного среднего члена. Возьмём пропорцию:
30: х = 27: 9.
Напишем основное свойство пропорции:
30 9 = х 27.
Вычислим произведение 30 на 9 и переставим части последнего равенства:
х 27 = 270.
Найдём неизвестный сомножитель:
х = 270: 27, или х = 10.
Проверим подстановкой:
30: 10 = 27: 9. Пропорция верна.
Возьмём ещё одну пропорцию:
12: б = х : 8. Напишем основное свойство пропорции:
12 . 8 = 6 х . Перемножая 12 и 8 и переставляя части равенства, получим:
6 х = 96. Находим неизвестный сомножитель:
х = 96: 6, или х = 16.
Таким образом, каждый средний член пропорции равен произведению крайних, делённому на другой средний.
Найдите неизвестные члены следующих пропорций:
1) а : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;
2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: х .
Два последних правила в общем виде можно записать так:
1) Если пропорция имеет вид:
х: а = b: с , то
2) Если пропорция имеет вид:
а: х = b: с , то
§ 128. Упрощение пропорции и перестановка её членов.
В настоящем параграфе мы выведем правила, позволяющие упрощать пропорцию в том случае, когда в неё входят большие числа или дробные члены. K числу преобразований, не нарушающих пропорцию, относятся следующие:
1. Одновременное увеличение или уменьшение обоих членов любого отношения в одинаковое число раз.
П р и м е р. 40: 10 = 60: 15.
Увеличив в 3 раза оба члена первого отношения, получим:
120:30 = 60: 15.
Пропорция не нарушилась.
Уменьшив в 5 раз оба члена второго отношения, получим:
Получили опять правильную пропорцию.
2. Одновременное увеличение или уменьшение обоих предыдущих или обоих последующих членов в одинаковое число раз.
Пример. 16:8 = 40:20.
Увеличим в 2 раза предыдущие члены обоих отношений:
Получили правильную пропорцию.
Уменьшим в 4 раза последующие члены обоих отношений:
Пропорция не нарушилась.
Два полученных вывода можно кратко высказать так: Пропорция не нарушится, если мы одновременно увеличим или уменьшим в одинаковое число раз любой крайний член пропорции и любой средний.
Например, уменьшив в 4 раза 1-й крайний и 2-й средний члены пропорции 16:8 = 40:20, получим:
3. Одновременное увеличение или уменьшение всех членов пропорции в одинаковое число раз. Пример. 36:12 = 60:20. Увеличим все четыре числа в 2 раза:
Пропорция не нарушилась. Уменьшим все четыре числа в 4 раза:
Пропорция верна.
Перечисленные преобразования дают возможность, во-первых, упрощать пропорции, а во-вторых, освобождать их от дробных членов. Приведём примеры.
1) Пусть имеется пропорция:
200: 25 = 56: x .
В ней членами первого отношения являются сравнительно большие числа, и если бы мы пожелали найти значение х , то нам пришлось бы выполнять вычисления над этими числами; но мы знаем, что пропорция не нарушится, если оба члена отношения разделить на одно и то же число. Разделим каждый из них на 25. Пропорция примет вид:
8:1 = 56: x .
Мы получили, таким образом, более удобную пропорцию, из которой х можно найти в уме:
2) Возьмём пропорцию:
2: 1 / 2 = 20: 5.
В этой пропорции есть дробный член (1 / 2), от которого можно освободиться. Для этого придётся умножить этот член, например, на 2. Но о д и н средний член пропорции мы не имеем права увеличивать; нужно вместе с ним увеличить какой-нибудь из крайних членов; тогда пропорция не нарушится (на основании первых двух пунктов). Увеличим первый из крайних членов
(2 2) : (2 1 / 2) = 20: 5, или 4: 1 = 20:5.
Увеличим второй крайний член:
2: (2 1 / 2) = 20: (2 5), или 2: 1 = 20: 10.
Рассмотрим ещё три примера на освобождение пропорции от дробных членов.
Пример 1. 1 / 4: 3 / 8 = 20:30.
Приведём дроби к общему знаменателю:
2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.
Умножив на 8 оба члена первого отношения, получим:
Пример 2. 12: 15 / 14 = 16: 10 / 7 . Приведём дроби к общему знаменателю:
12: 15 / 14 = 16: 20 / 14
Умножим оба последующих члена на 14, получим: 12:15 = 16:20.
Пример 3. 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6 .
Умножим все члены пропорции на 48:
24: 1 = 960: 40.
При решении задач, в которых встречаются какие-нибудь пропорции, часто приходится для разных целей переставлять члены пропорции. Рассмотрим, какие перестановки являются законными, т. е. не нарушающими пропорции. Возьмём пропорцию:
3: 5 = 12: 20. (1)
Переставив в ней крайние члены, получим:
20: 5 = 12:3. (2)
Переставим теперь средние члены:
3:12 = 5: 20. (3)
Переставим одновременно и крайние, и средние члены:
20: 12 = 5: 3. (4)
Все эти пропорции верны. Теперь поставим первое отношение на место второго, а второе - на место первого. Получится пропорция:
12: 20 = 3: 5. (5)
В этой пропорции мы сделаем те же перестановки, какие делали раньше, т. е. переставим сначала крайние члены, затем средние и, наконец, одновременно и крайние, и средние. Получатся ещё три пропорции, которые тоже будут справедливыми:
5: 20 = 3: 12. (6)
12: 3 = 20: 5. (7)
5: 3 = 20: 12. (8)
Итак, из одной данной пропорции путём перестановки можно получить ещё 7 пропорций, что вместе с данной составляет 8 пропорций.
Особенно легко обнаруживается справедливость всех этих пропорций при буквенной записи. Полученные выше 8 пропорций принимают вид:
а: b = с: d; c: d = a: b ;
d: b = с: a; b: d = a: c;
a: c = b: d; c: a = d: b;
d: c = b: a; b: a = d: c.
Легко видеть, что в каждой из этих пропорций основное свойство принимает вид:
ad = bc.
Таким образом, указанные перестановки не нарушают справедливости пропорции и ими можно пользоваться в случае надобности.
Для решения большинства задач в математике средней школы необходимо знание по составлению пропорций. Это несложное умение поможет не только выполнять сложные упражнения из учебника, но и углубиться в саму суть математической науки. Как составить пропорцию? Сейчас разберем.
Самым простым примером является задача, где известны три параметра, а четвертый необходимо найти. Пропорции бывают, конечно, разные, но часто требуется найти по процентам какое-нибудь число. Например, всего у мальчика было десять яблок. Четвертую часть он подарил своей маме. Сколько осталось яблок у мальчика? Это самый простой пример, который позволит составить пропорцию. Главное это сделать. Изначально было десять яблок. Пусть это 100%. Это мы обозначили все его яблоки. Он отдал одну четвертую часть. 1/4=25/100. Значит, у него осталось: 100% (было изначально) - 25% (он отдал) = 75%. Эта цифра показывает процентное отношение количества оставшихся фруктов к количеству имевшихся сначала. Теперь у нас есть три числа, по которым уже можно решить пропорцию. 10 яблок - 100%, х яблок - 75%, где х - искомое количество фруктов. Как составить пропорцию? Необходимо понимать, что это такое. Математически это выглядит так. Знак равно поставлен для вашего понимания.
10 яблок = 100%;
x яблок = 75%.
Оказывается, что 10/x = 100%/75. Это и есть основное свойство пропорций. Ведь чем больше x, тем больше процентов составляет это число от исходного. Решаем эту пропорцию и получаем, что x=7,5 яблок. Почему мальчик решил отдать нецелое количество, нам неизвестно. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Главное, найти два соотношения, в одном из которых есть искомое неизвестное.
Решение пропорции часто сводится к простому умножению, а потом к делению. В школах детям не объясняют, почему это именно так. Хотя важно понимать, что пропорциональные отношения есть математическая классика, сама суть науки. Для решения пропорций необходимо уметь обращаться с дробями. Например, часто приходится переводить проценты в обыкновенные дроби. То есть запись 95% не подойдет. А если сразу написать 95/100, то можно провести солидные сокращения, не начиная основного подсчета. Сразу стоит сказать, что если ваша пропорция получилась с двумя неизвестными, то ее не решить. Никакой профессор вам здесь не поможет. А ваша задача, скорее всего, имеет более сложный алгоритм правильных действий.
Рассмотрим еще один пример, где нет процентов. Автомобилист купил 5 литров бензина за 150 рублей. Он подумал о том, сколько он бы заплатил за 30 литров топлива. Для решения этой задачи обозначим за x искомое количество денег. Можете самостоятельно решить эту задачу и потом проверить ответ. Если вы еще не поняли, как составить пропорцию, то смотрите. 5 литров бензина - это 150 рублей. Как и в первом примере, запишем 5л - 150р. Теперь найдем третье число. Конечно, это 30 литров. Согласитесь, что пара 30 л - х рублей уместна в данной ситуации. Перейдем на математический язык.
5 литров - 150 рублей;
30 литров - х рублей;
Решаем эту пропорцию:
x = 900 рублей.
Вот и решили. В своей задаче не забудьте проверить на адекватность ответ. Бывает, что при неправильном решении автомобили достигают нереальных скоростей в 5000 километров в час и так далее. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Также вы сможете ее решить. Как видите, в этом нет ничего сложного.
Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Форма урока: Урок-исследование.
Цели урока:
- активизировать познавательную деятельность учащихся;
- познакомить учащихся с понятиями: пропорция, члены пропорции; верная и неверная пропорции;
- познакомить учащихся с основным свойством пропорции и сформировать навык по определению верной пропорции.
Оборудование:
В маршрутных листах указаны баллы, которые можно получить за решение заданий. При выставлении баллов учащийся учитывает правильность своего решения, скорость решения (самопроверка и взаимопроверка с помощью презентации). В строке “Дополнительные баллы” выставляются баллы за ответы на дополнительные вопросы, за помощь учителю в организации проверки других учащихся, а также за “отгадывание” темы урока.
Карточки разрезаются и в конвертах раздаются учащимся (один конверт на парту).
3. Карточки для магнитной доски (рисунок 1, рисунок 2, рисунок 3)
В ходе урока данные карточки вывешиваются на магнитную доску.
4. Ребусы (рисунок 4, рисунок 5, рисунок 6, рисунок 7).
Ребусы, составленные учащимися старших классов (кроме ребуса “Пропорция” - этот ребус взят из урока, представленного на ФПИ учителем Козак Татьяной Ивановной, МОУ СОШ №20 пгт Прогресс Амурской области) расположены на доске, учащимся предлагается разгадать их после урока.
Техническое оснащение урока – компьютер, проектор для демонстрации презентации, экран. Компьютерная презентация в Microsoft PowerPoint (приложение 4).
I. Организация начала урока
Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, наличие раздаточного материала у вас на парте, наличие красного и синего карандаша, а также свою готовность к уроку.
II. Сообщение темы, цели и задач урока.
Сегодня на уроке мы продолжаем изучение большого раздела курса математики. Мы закончили изучение темы (какой? - “Отношение” ). Теперь мы приступаем к изучению новой темы в этом разделе. А узнать тему урока нам помогут несколько примеров. На титульном листе вашего маршрутного листа вам необходимо заполнить таблицу, устно решив примеры и, тогда, вы узнаете тему сегодняшнего урока. СЛАЙД 1
Итак, тема сегодняшнего урока Пропорция . СЛАЙД 2
Зная тему урока, попробуйте составить план урока. Что вы должны узнать сегодня на уроке? Что вы хотите узнать? Чему хотите научиться на уроке?
Составим план, который будем дополнять по ходу урока. (учащиеся называют два первых и два последних пункта плана, остальные заполняются в течение урока, по мере “открытия” новых знаний; план урока записывается на доске)
- повторение (вопросы, связанные с отношением)
Определение пропорции
ЧЛЕНЫ ПРОПОРЦИИ
ВЕРНЫЕ и НЕВЕРНЫЕ ПРОПОРЦИИ
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ
Применение в математике
Применение в жизни
Два последних пункта мы сможем разобрать на следующих уроках, по ходу изучения темы.
III. Актуализация знаний учащихся. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.
Обсудите вопросы, связанные с темой “Отношение”, с соседом по парте.
Кто готов задать вопросы, связанные с прошлой темой? (блицопрос) МР1
- Что такое отношение?
Как можно записать отношение?
На какие вопросы отвечает отношение?
Как можно записать отношение двух чисел?
Чем можно заменить знак делания?
Как вы думаете, зачем мы повторили эти понятия?
Они помогут нам при изучении новой темы.
Возьмите конверты и составьте отношения а к b и c к d двумя способами. (всего 4 отношения) РАБОТА В ПАРАХ.
МР2 Перед вами несколько отношений. Найдите значение этих выражений. СЛАЙД 3
4: 0,5= = 5: 10 = = 8: 1 = 2,5: 5 =
Сгруппируйте отношения по определенному признаку и составьте соответствующие равенства.
IV. Усвоение новых знаний.
4: 0,5 = 8: 1 = 5: 10 = 2,5: 5
По какому признаку вы сгруппировали данные отношения?
- Их значения равны.
Полученные равенства называются пропорцией.
Подумайте и дайте определение пропорции.
ПОДСКАЗКА – пропорция – это … НА ЭКРАНЕ (равенство )
Равенство …ЧЕГО (отношений )
Скольких отношений? (двух ).
Кто уверен в своем мнении, запишите определение в маршрутный лист. МР3
Кто готов выйти к доске и составить определение пропорции? (приложение 3)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на магнитной доске): Пропорция – равенство двух отношений.
Посмотрим на толкование слова пропорция в словаре русского языка Ожегова С.И. СЛАЙД 4 : “Пропорция - определенное соотношение частей между собой, соразмерность. В математике – равенство двух отношений”.Вы сформулировали определение пропорции также как в словаре русского языка!
Подумайте, с каким математическим термином созвучно слово “пропорция”? (проценты ). Как переводится термин “процент”? (от ста ). Значит, “про” переводится как “от”. Какая часть слова осталась? (“порция ”). Где вы встречались с этим словом? (в кулинарии) Что оно означает? (размер)
Слово пропорция произошло от латинского слова proportio – соразмерность. (этимологический словарь). СЛАЙД 4
Используя определение пропорции, составьте пропорции, используя знак деления и дробную черту. (РАБОТА В ПАРАХ, конверты).
В маршрутных листах запишите пропорцию, используя буквы a,b,c,d. МР4
А сейчас мы узнаем, как называются числа, из которых состоит пропорция.
Числа a, b, c, d называются членами пропорции
Назовите первый и последний член пропорции? (а и с )
А как обычно (в жизни) называют первого и последнего? (крайние)
Значит, члены a и b называются …? (крайними)
А где находятся члены с и d? (в середине)
И как называются члены с и d? (средними)
Красным цветом выделим какие члены? (к райние )
цветом (с редние) члены.средние члены
Вернемся к плану урока – есть чем его дополнить? (крайние и средние члены пропорции)
V. Первичное закрепление знаний
МР5 Заполните таблицу:
Какой вывод можно сделать? Запишите вывод в маршрутном листе. (В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних) СЛАЙД 8
МР6 Перед вами пять равенств. Все ли они являются пропорциями?
Подчеркните пропорции.
= ; 7 + 11 = 36: 2; 72: 9 = 16: 2; = 20: 4; 5 40 = 100 2СЛАЙД 7 Встаньте, кто закончил.
Все уверены в том, что здесь три пропорции? Ведь в последнем равенстве произведение крайних членов не равно произведению средних. Вернемся к определению пропорции (Пропорция – равенство двух отношений ). Третье равенство является равенством двух отношений? (является). По определению это пропорция? (да) . А произведение крайних членов равно произведению средних? (нет) . Значит, это пропорция…? (неправильная). Такая пропорция называется неверной. Значит, бывают пропорции неверные и …? (верные). Сформулируйте основное свойство пропорции, используя полученные знания. (В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних).
VI. Закрепление знаний.
Заполните с таблицу.
Верная пропорция Неверная пропорция
= = 20: 4
А как еще можно определить верная пропорция или неверная? (найти значение отношений)
В дальнейшем мы будет говорить о верных пропорциях.
Вернемся к плану урока. Что можно добавить? (пропорции верные и неверные)
МР7 Используя буквы В и Н отметьте верные и неверные пропорции.
= 1: 0,5 = 4,8: 2,4 7,5: 5 = 2: 3 = 10: 3 = 3 : 1 5: х = 20: 4х
VII. Обобщение и систематизация.
МР8 Используя основное свойство пропорции, составьте верную пропорцию из следующих чисел: 4, 5, 12, 15. Сколько верных пропорций можно составить?
VIII. Контроль и самопроверка знаний
МР9 Математический диктант
- Запишите пропорцию: Число 18 так относится к 4, как 27 относится к 6.
- Запишите пропорцию: Отношение трех к пяти равно отношению двух к семи.
- Запишите средние члены пропорции: 1,5: 2 = 4,5: 6
- Запишите крайние члены пропорции: 2/1,9 = 3/2,8
- Верна ли пропорция в п.3
- Верна ли пропорция в п.4
- Верно ли высказывание: Корень уравнения 20/5 = х/0,5 число 2
- Верно ли высказывание: Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию?
СЛАЙД 10. Взаимопроверка
IX. Подведение итогов урока.
Обратитесь к плану урока.
Что вы узнали сегодня на уроке? (что такое пропорция, из чего состоит пропорция, пропорции бывают верными и неверными, основное свойство пропорции, …)
Чему вы научились сегодня на уроке? (определять крайние и средние члены пропорции, выяснять является пропорция верной или неверной, …)
Какие еще вопросы можно задать по итогам урока?
- Сколько верных пропорций можно составить из данной верной пропорции?
Как можно определить является пропорция верной или неверной?
Вспомним последнее задание математического диктанта.
Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию. Правильный ответ ДА. Составить пропорцию можно, но она не обязательно будет верной.
Из фразы “Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию” исключите одно слово, чтобы это высказывание стало неверным. (натуральных) . Почему? (Число 0 не может являться членом пропорции) . Из любых четырех чисел можно составить пропорцию
В данную фразу “Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию” вставьте одно слово, чтобы высказывание стало неверным (верную). Из любых четырех натуральных чисел можно составить верную пропорцию.
Подсчитайте количество баллов, которые вы заработали на уроке и выставите оценку.
X. Информация о домашнем задании и инструктаж по его выполнению
Математика – 6, Виленкин Н.Я. и др. 6-е издание
П.21, №№ 760, 781, 782, 783 (а)