Пракикум "решение задач по комбинаторике". Перестановки из n элементов

В последние годы все больше внимания уделяется проблемам развивающего обучения. Небывалый рост объема информации требует от современного человека таких качеств, как инициативность, изобретательность, предприимчивость, способность быстро и безошибочно принимать решения. А это невозможно без умения работать творчески, самостоятельно. Если в недавнем прошлом основной задачей, стоящей перед учителем, была передача ученикам определенной суммы знаний, то в настоящее время на первый план выдвигается задача развития учащихся в процессе обучения. Обучение математике должно быть ориентировано не столько на собственно математическое образование, в узком смысле этого слова, сколько на образование с помощью математики.

Развитие математического мышления и творческих способностей осуществляется в ходе размышлений учащихся над задачами. Самостоятельная деятельность учащихся по решению задач занимает главное место в обучении математике. Умение решать задачи – критерий успешности в учебе. Очень важно показать, как обычную жизненную ситуацию можно описать математической моделью.

Материалы разработки могут быть использованы как в рамках урока (5 – 7 класс), так и на занятиях математического кружка или факультатива.

Целью разработки является повышение математической культуры учащихся, пробуждение и развитие устойчивого интереса к математике, расширение и углубление знаний.

Основные задачи, решаемые внедрением разработки – это знакомство на популярном уровне с комбинаторикой – разделом дискретной математики, который приобрел сегодня серьезное значение в связи с развитием теории вероятностей, математической логики, информационных технологий . Учащиеся должны получить представление о том, что такое комбинаторная задача, познакомиться с методами и правилами ее решения.

На этом богатом материале повышается уровень математического и логического мышления учащихся, развиваются навыки исследовательской деятельности .

Пояснительная записка

Занятия по программе «Развивающее обучение на уроках математики» проводятся мною систематически в рамках учебного времени. Такие уроки я провожу в начале и в конце четверти, чтобы активизировать деятельность учащихся, пробудить и развить интерес к математике. Кроме этого, одну – две нестандартные задачи стараюсь рассмотреть на каждом уроке, наряду с программным материалом, развивая тем самым в учениках «вкус» к познанию. При подготовке к подобным занятиям использую материалы пособия «Математика: дополнительные главы – 5 класс», а также задания из УМК и.

План урока

· Организационный момент

· Актуализация знаний учащихся

· Исторический экскурс (сообщение ученика)

· Теоретический материал

· Решение задач (с элементами самопроверки)

· Постановка домашнего задания, повторение теории

· Самостоятельная работа (взаимопроверка)

· Подведение итогов урока

(раздаточный материал ) ПРИЛОЖЕНИЕ 1

К а р т а у р о к а

«Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»,

«Учиться нелегко, но интересно». Ян Амос Коменский (),

чешский педагог, писатель

тема урока ________________________________

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения заданных элементов по заданным правилам.

Правило суммы

(выбор одного элемента)

А – m способов

В – n способов

А В – (m+n) способов

Например: 5 яблок, 4 груши.

Выбор яблока или груши:

5 + 4 = 9 способов

https://pandia.ru/text/78/021/images/image003_105.jpg" width="153" height="177 src=">

Правило произведения

(выбор пары,

нескольких элементов)

А – m способов

В – n способов

А В – (m·n) способов

Например: 2 конверта, 3 открытки.

Выбор конверта с открыткой:

2 · 3 = 6 способов

https://pandia.ru/text/78/021/images/image006_71.jpg" width="143" height="90 src=">

0 " style="margin-left:40.85pt;border-collapse:collapse;border:none">

__________________

__________________________________

№ 5. 1, 2, 3, 4, 5

__________________

__________________________________

№ 6. 0, 1, 2, 3

__________________

__________________________________

__________________

___________________________________

№ 7. 1, 3, 5, 7, 9; меньше 400

__________________

__________________________________

№ 8. _______________________________________________________________________________________________________________

______________________________________

№ 9. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________

(раздаточный материал )

Задачи к уроку «Знакомьтесь, комбинаторика!»

2. У одного знаменитого мушкетера в гардеробе имеются 3 элегантных шляпы, 4 чудных плаща и 2 пары отличных сапог. Сколько вариантов костюма ему можно составить?

6. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры: а) могут повторяться; б) не могут повторяться?

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

9. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?

10.

11.

12. Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9?

«Переменка»

Найдите закономерность построения

последовательности 111, 213, 141,

516, 171, 819, 202, 122…

Домашнее задание

1) В 5 «б» классе 26 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту класса и его заместителя? старосту, заместителя и ответственного за дежурство?

2) В магазине купили 9 красных, 10 зеленых и 7 желтых воздушных шаров . Сколькими способами можно взять один любой шар? зеленый и желтый шар? красный или желтый?

3 шара разного цвета?

2 шара разного цвета? (рассмотреть

все возможные варианты)

Актуализация знаний.

Повторение пройденного (решение задач методом перебора).

«Счет и внимание – основы порядка в голове»

· Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 5 и 0

(без повтора)? 1 число (50)

· Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 3 и 5

(повтор допускается)? 4 числа (33, 55, 53, 35)

· Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 3 и 5

(повтор допускается)? 8 чисел (333, 555, 355, 533, 335, 553, 353, 535)

· Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 3, 8, 7

(без повтора)? 6 чисел (387, 378, 837, 873, 738, 783)

Используя количество полученных в каждом задании чисел, составить название темы сегодняшнего урока и вписать ее в карту урока: «Знакомьтесь, ___________________ !»

1 число – «комби»

2 числа – «вичи»

3 числа – «рум»

4 числа – «нато»

5 чисел – «тема»

6 чисел – «ка»

7 чисел – «аза»

8 чисел – «ри»

9 чисел – «немо»

10 чисел – «хор»

Ответ: «комбинаторика»

В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Решая подобные задачи, приходится перебирать различные варианты, переставлять заданные элементы, комбинировать их. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.

Исторический экскурс (сообщение учащегося)

С комбинаторными задачами люди имели дело еще в глубокой древности, когда, например, выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. В дальнейшем появились игры, требовавшие умения планировать, рассчитывать свои действия, продумывать возможные комбинации. Приспособления для таких игр археологи находили в древних захоронениях, например, в пирамиде египетского фараона Тутанхамона (II век до н. э.). А позже появились нарды, шашки, шахматы.

Долгие века комбинаторика развивалась внутри арифметики, алгебры и геометрии. Так, древнегреческие ученые большое внимание уделяли и комбинаторике чисел – составление и изучение магических квадратов, и геометрической комбинаторике – разрезанию фигур.

Как ветвь математики комбинаторика возникла только в XVII веке. Гражданин Франции Шевалье Де Марэ любил изобретать различные игры, играя в которые, получал очень интересные результаты. Например, однажды он придумал такую игру: бросает 4 кости, выигрывает тот, у кого на одной есть шестерка. Но с ним очень быстро перестали играть, так как он слишком часто выигрывал. В другой раз Шевалье придумал такую игру: бросает две кости несколько раз, выигрывает, если хотя бы раз выпало две шестерки. Однако вскоре он сам бросил играть, так как стал часто проигрывать. Такой исход дела очень удивил Шевалье де Марэ, и он обратился к двум крупнейшим математикам Франции того времени – Блезу Паскалю и Пьеру Ферма с вопросом, как можно объяснить эти удачи и проигрыши в игре, а также, как правильно делать ставки в таких и в аналогичных играх.

Решая эту задачу, Блез Паскаль и Пьер Ферма разработали начало двух ветвей математики: комбинаторики и теории вероятности. Впоследствии этими науками занимались многие великие математики тех времен: , Якоб Бернулли, Леонард Эйлер и др.

Использование комбинаторики в настоящее время очень разнообразно. Одно из них – кодирование и расшифровка текстов (шифр появился еще в средние века). В биологии комбинаторика служит для подсчета клеточных структур ДНК и РНК, в физике – для описания свойств кристаллов. Также комбинаторика широко используется и в химии.

Теоретический материал.

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения заданных элементов по заданным правилам (см. карту урока).

Обычный вопрос в комбинаторных задачах – это «Сколькими способами …?» или

«Сколько вариантов …?»

Комбинаторные задачи можно решать несколькими способами: методом перебора, перестановок (с ним мы уже знакомы), использование определенных правил комбинаторики (с ними мы познакомимся сегодня на уроке) и с помощью построения так называемого «дерева вариантов» (о нем мы поговорим позже).

Итак, начнем знакомиться с правилами комбинаторики – это правила суммы и произведения.

Правило суммы:

если некоторый элемент А можно выбрать m способами, а элемент В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать (m + n) способами. Например, если вам предлагают 5 яблок и 4 груши, то выбрать один плод можно 5 + 4 = 9 способами (см. карту урока).

а) В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?

(15 вариантов)

б) В магазине продаются 3 алые, 2 белые и 4 желтые розы. Сколькими способами можно купить один цветок? (9 способов)

Еще раз обращаем внимание на то, что мы выбираем лишь один из предложенных элементов.

Правило произведения:

если некоторый элемент А можно выбрать m способами, а элемент В можно выбрать n способами, то выбор «А и В» можно сделать (m · n) способами. Например, если вам предлагают 2 конверта и 3 открытки, то составить пару (конверт и открытка) можно 3 · 2 = 6 способами (см. карту урока).

Устно решите следующие задачи:

а) Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек? (48 пар)

б) В столовой имеются в продаже 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать? (28 вариантов)

Обращаем внимание на то, что мы выбираем пару элементов из предложенных множеств.

Решение задач

Учащиеся работают на бланках карты урока в соответствующем разделе, тексты задач на отдельных листах у каждого ученика. Список задач можно изменять, добавляя или убирая некоторые вопросы в зависимости от уровня подготовки класса. Можно разбить задачи по уровню сложности, некоторые оставить для самостоятельного решения. В некоторых задачах полезно подчеркнуть, что они уже ранее решались методом перебора, а сегодня – второй способ их решения. Осуществить на этом этапе дифференцированный подход. Ввести элементы самостоятельной работы с последующей самопроверкой.

1. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове «платок»? (Согласных букв в слове – 4, гласных букв – 2, значит, по правилу умножения, вариантов выбора пары - 4 · 2 = 8.)

2. У одного довольно знаменитого мушкетера в гардеробе имеются 3 элегантных шляпы,

4 чудных плаща и 2 пары отличных сапог. Сколько вариантов костюма ему можно со -

ставить? (Выбираем по одному элементу из трех множеств, то есть, составляем

«тройку», значит, по правилу умножения получаем 3 · 4 · 2 = 24 варианта костюма.)

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами можно это сделать? (Всего 11 человек, значит, капитана можно выбрать 11-ю способами, осталось 10 футболистов, из которых можно выбрать заместителя капитана. Итак, пару, капитана и его заместителя, можно выбрать 11 · 10 = 110 способами.)

4. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4, 7, если допустить повторение цифр? (Должно получиться двузначное число – всего две позиции. На первую позицию можно поставить любую из предложенных цифр – 3 варианта выбора, на вторую позицию, с учетом возможности повтора цифры, тоже 3 варианта выбора. Значит, пару цифр мы составляем 3 · 3 = 9 способами, т. е. получится 9 чисел.

Запись решения:

3 ∙ 3 = 9 чисел.

Такая запись решения используется во всех подобных задачах при работе на бланках карты урока.)

5. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется? (Трехзначное число: первая позиция – 5 вариантов цифр, вторая позиция, с учетом исключения повторов цифр, - 4 варианта, третья позиция – 3 варианта. Получаем 5 · 4 · 3 = 60 чисел.)

6. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры:

а) могут повторяться; б) не могут повторяться? (а) Двузначное число, как и любое мно-

гозначное, не может начинаться с 0, поэтому на первую позицию можно поставить

лишь 3 из имеющихся 4-х цифр, 3 варианта выбора, на вторую позицию, с учетом по-

втора, можно поставить любую из цифр – 4 варианта выбора. Поэтому получается

3 · 4 = 12 чисел; б) Первая позиция – 3 варианта, вторая позиция – 3 варианта, т. к.

повтор исключается. Получаем 3 · 3 = 9 чисел.)

7. Сколько различных трехзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая цифра может быть использована только один раз? (Трехзначное число < 400, значит, на первую позицию можно поставить лишь 1 или 3 – 2 варианта выбора, на вторую, исключая повтор, – 4 варианта цифр из 5-ти, на третью позицию – 3 варианта. Получается 2 · 4 · 3 = 24 числа.)

8. Шифр для сейфа состоит из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра? (5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 вариантов.)

9. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено

6 приборов? (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 способов.)

10. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки – разные? (8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720 вариантов.)

11. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с 0 и 9? (Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – всего 10 цифр, исключая по условию 0 и 9 в начале номера, с учетом возможности повтора, получаем 8 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 8 номеров.)

12. Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр

8 и 9? (Однозначных чисел – 2, двузначных чисел - 2 · 2 = 4, трехзначных чисел –

2 · 2 · 2 = 8, четырехзначных чисел – 16, пятизначных чисел – 32, шестизначных

чисел – 64. А всего - 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126 чисел.)

«Переменка»

Найдите закономерность построения последовательности 111, 213, 141, 516, 171, 819, 202, 122… (В данной последовательности надо иначе расставить запятые, и получим 11, 12, 13, 14, 15…)

Постановка домашнего задания (см. приложение 2) , повторение теоретического материала (правила сложения и умножения, условия выбора элементов).

Самостоятельная работа (с последующей взаимопроверкой в парах)

· Выбор одного любого элемента из предложенных множеств выполняется по правилу ______________________. Выбор пары и более элементов из множеств происходит по правилу ______________________.

· В вазе стоят 5 красных, 3 белых и 3 желтых тюльпана. Один цветок из вазы можно выбрать _______ способами, три цветка разного цвета ________ способами.

· Сколько различных трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если их повтор допускается? ____________________________________________________________

· В четверг в первом классе должно быть 4 урока: письмо, чтение, математика, физкультура. Сколько различных вариантов расписания на этот день можно предложить?

_________________________________________________________________________________

Ответы: сложения, умножения, 11, 45, 2 · 2 · 2 =8, 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

Взаимопроверка, выставление оценок, обсуждение результатов.

Подведение итогов урока

На этом этапе урока, помимо традиционной беседы о том, какие задачи ставились, насколько успешно с ними справились, следует вернуться к эпиграфу урока (см. бланк карты урока) и поразмышлять о словах.

Кроме того, ученикам предлагается ответить на 3 блиц - вопроса:

· На сегодняшнем уроке мне было … (легко, обычно, трудно)

· Новый материал я … (усвоил и могу применить, усвоил и затрудняюсь применить, не усвоил)

· Моя самооценка за урок …

Ответы на приведенные вопросы можно не подписывать, т. к. их основная функция помочь учителю проанализировать урок и его результаты.

П о с л е с л о в и е

На следующем уроке предполагается отработка пройденного материала на этапе устной работы, введения понятия «дерево возможных вариантов» как еще одного способа решения комбинаторных задач, систематизация изученных методов решения задач, практикум по решению задач различными способами, решение задач повышенного уровня, контроль знаний.

Тема «Решение комбинаторных задач»

Цель : продолжить формирование умений решать простейшие комбинаторные задачи практического содержания; рассмьтреть другие способы решения комбинаторных задач (Правило умножения; таблица)

Задачи:

Образовательные:

Способствовать:

обобщению и систематизации знаний и умений учащихся по теме

К концу урока учащиеся должны уметь:

находить возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов, отвечающие условию задачи.

Воспитательные:

Способствовать:

формированию познавательного интереса к предмету;

формированию сознательного отношения к труду.

Развивающие:

Способствовать:

развитие математического мышления и логической речи учащихся;

развитие умения самостоятельно выбирать способ решения и умения обосновать выбор.

Математика повсюду –
Глазом только поведешь
И примеров сразу уйму
Ты вокруг себя найдешь…

Эпиграфом к нашему уроку будут стихотворные строчки, читая которые определьте цель сегодняшнего урока - (доказать, убедиться в том, что знание математики необходимо в любой деятельности человека)

Сегодня мы проведем исследование и докажем, что математика вокруг нас.

4 ноября – праздничный день. Кто из вас скажет, как называется этот праздник? (День народного единства)

Показ слайда №1 (Почти 4 столетия назад в начале ноября народное ополчение во главе с купцом Мининым и воеводой Пожарским прогнало польских интервентов из Москвы и положило начало конца так называемому Смутному времени.Ополчение Минина и Пожарского уникально тем, что это единственный пример в русской истории, когда судьбу страны и государства решил сам народ, без участия власти как таковой. Народ скидывался на вооружение последними грошами и шел освобождать землю и наводить порядок в столице. Наши пра-пра-пра-пра-много раз пра-деды шли воевать за землю, и они победили. Тогда объединились все сословия, все национальности, деревни, города и метрополии. Этот день по праву называют Днем народного единства. Другого такого дня в русской истории не было).

Одним из символов Российского государства является флаг.

(читают информацию о флаге)

!!!(Выдать детям, работа в парах)

Флаг - полотнище как правило, прямоугольной формы, поднимаемое на специальной мачте (флагштоке)

22 августа 1991 года, чрезвычайная сессия Верховного Совета РСФСР постановила считать "полотнище из............. , ………….., ……………. полос" официальным национальным флагом России.

(после того как дети заполнят, спросить, что получилось и заслушать ответы)

Слайд №1

!!! Кто из вас знает, что означает каждый цвет?

 - красный цвет – символизирует энергию, силу, кровь пролитую за Отечество.

 - синий цвет – цвет веры (цвет Богоматери, под покровительством которой находится Россия);

 - белый цвет –означает свободу и независимость;

Давайте узнаем, сколько в мире существует флагов, состоящих из 3 горизонтальных полос белого, красного и синего цвета:

Задача: 1.Прочитайте задачу.

- К какой теме относится данная задача? (комб.зад.)

Устный опрос .

Решение:

Способ – перебора (пусть порисуют – заготовить прямоугольники)

2.способ: Дерево вариантов.

Сейчас мы с вами рассмотрим ещё два способа решения комбинаторных задач: а) правило умножения;

б) с помощью таблицы.

3.способ - Правило умножения

Сколькими способами можно выбрать каждую из полос?

1 полоса - 3 способа

2 полоса - 2 способа

3 полоса - 1 способ

Основное правило произведения :

Если первый элемент в комбинации можно выбрать а способами, после чего второй элемент – b способами, то общее число комбинаций будет равно а х b .

3 ∙ 2 ∙ 1 = 6

Ответ: 6 способов

КС

КБ

СК

СБ

БК

БС

Способ: Таблица вариантов

Выпишем названия полос в флаге: КСБ; БКС; КБС; СБК; БСК СКБ.
Есть ли среди этих флагов Государственный флаг Российской Федерации?
Какие еще государства используют для своего государственного флага такую символику?
Оказывается, есть государства, где флаги имеют такие же цвета и такое же расположение.

(
Ответ: Словакия, Словения, Хорватия, Сербия)

Выступления учащихся:

Словакия, Словения, Хорватия, Сербия – это славянские государства, цвета белый, красный, синий символизируют общее начало славян.

Флаги стран Европы где встречаются цвета: белый, синий, красный - это Нидерланды и Франция.

Флаг Словакии

Флаг Словении

Флаг Хорватии

Флаг Сербии

Учитель: Ребята, вот и подходит к концу наш урок.

Как вы считаете, мы сегодня достигли цели урока, почему?

Что было трудным на уроке и почему?

Кроме того, ученикам предлагается ответить на 3 блиц - вопроса:

На сегодняшнем уроке мне было … (легко, обычно, трудно)

Новый материал я … (усвоил и могу применить, усвоил и затрудняюсь применить, не усвоил)

Моя самооценка за урок …

Итог урока - Синквей.

Комбинаторика

Интересная, непознанная.

Изучать, понимать, перебирать.

Присутствует во всех областях.

Вариативность.

5) Домашнее задание:

Задачи

У одного довольно знаменитого мушкетера в гардеробе имеются 3 элегантных шляпы,4 чудных плаща и 2 пары отличных сапог. Сколько вариантов костюма ему можно составить?

В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами можно это сделать?

Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4, 7, если допустить повторение цифр

Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры: а) могут повторяться; б) не могут повторяться?

Шифр для сейфа состоит из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра?

1) а) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?

б) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9 при условии, что цифры не должны повторяться.

2) Составить задачу о своем классе.

3) Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде 3 горизонтальных полос разной ширины, разных цветов – белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой флаг?

Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено6 приборов?

В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки – разные?

Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с 0 и 9?

Приложение:

Задание 1:

Флаг - полотнище как правило, прямоугольной формы, поднимаемое на специальной мачте (флагштоке)
Государственный флаг является одним из государственных ……………..

22 августа 1991 года, чрезвычайная сессия Верховного Совета РСФСР постановила считать "полотнище из................. , ……………., ……………. полос" официальным национальным флагом России.

Задание 2

1. Прочитайте задачу.

Задача: (решение в тетради)

Сколько существует флагов, составленных из трех горизонтальных полос одинаковой ширины и различных цветов - белого, красного и синего?

Домашняя работа:

1.Повторить названия компонентов действия деления;

Как находится каждый компонент.

2.Выполнить любые три задачи из приведённого списка, применяя любой способ решения.

Рефлексия:

1.Сегодня на уроке мне было …………. (легко, обычно, трудно)

2.Новый материал я … (усвоил и могу применить, усвоил и затрудняюсь применить, не усвоил)

3.Моя самооценка за урок …

Задача 1. Восемь студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?

Решение. В рукопожатии участвует «подмножество», состоящее из двух студентов (m=2), тогда как всё множество» студентов составляет 8 человек (n=8). Так как в процессе рукопожатия порядок не важен, выбираем формулу для числа сочетаний:

Задача. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из пяти различных по цвету отрезков материи?

Решение . Порядок важен, так как перестановка материи внутри трехцветного флга обозначает разные страны. Поэтому выбираем формулу числа размещений без повторений, где множество отрезков материи n = 5, а подмножество цветов m=3:

Задача 2. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из шести языков на любой из них?

Решение . Множество включает 6 языков n=6. Поскольку перевод есть отношение между двумя языками, то m=2, причем порядок важен, так как, например, словари русско-английский и англо-русский имеют различное применение. Поэтому выбираем размещения без повторений:

Задача 3. Сколько имеется вариантов составления расписания на понедельник, если предметов у студентов 9, а в понедельник 4 пары занятий, и предметы не повторяются?

Решение . а) Для студентов порядок не важен, поэтому выбираем формулу числа сочетаний:

б) Для преподавателей порядок важен, поэтому выбираем формулу размещений без повторений:

Задача 4. Сколькими способами можно расставить на книжной полке девять книг, среди которых есть трехтомник А.С. Пушкина?

Решение .

Так как три тома, входящие в трехтомник, должны стоять рядом, причем по возрастанию номера славе направо, то рассматриваем их как один элемент данного множества, в котором имеется еще 6 элементов. Поэтому выбираем перестановки без повторений во множестве, содержащем семь элементов:

Р 7 = 7! = 5040

Задача 5. Сколькими способами можно назначить в группе из 30 человек трех дежурных?

Решение .

а) Если их роль в процессе дежурства одинакова, то порядок не важен, поэтому выбираем сочетания без повторений:

С 3 30 = 30! / 3!27! = 4060

б) Если порядок важен, т.е. во время дежурства их функциональные обязанности различны, то по формуле размещения без повторений имеем:

А 3 30 = 30! / 27! = 24360

Задача 6. Сколько существует шестизначных телефонных номеров, у которых: а) возможны любые цифры; б) все цифры различные?

Решение.

а) 1. Так как в шестизначном наборе телефонного номера возможны любые цифры, то на каждом из шести мест может встретиться любая из 10-ти цифр от 0 до 9. Необходимо из всех возможных десяти цифр выбрать лишь те шесть, которые будут испльзованы для для шастизначных телефонных номеров. Поскольку в записи телефонных номеров порядок расположения цифр важен, по формуле размещений с повторениями имеем:

А 10 6 = 10 6 = 1000000

2. Как известно, не бывает шестизначных номеров, начинающихся с нуля, поэтому надо подсчитать их количество и вычесть его из общего числа комбинаций. Число номеров, первая цифра у которых 0, найдем по формуле размещений с повторениями, «зафиксировав» ноль т.е. на каждом из пяти остальных возможных мест может встретиться любая из десяти цифр от
0 до 9. Тогда число таких комбинаций:

А 10 5 = 10 5 = 100000

3. Общее число шестизначных телефонных номеров, у которых могут быть любые, в том числе и повторяющиеся, цифры, равно разности:

А 10 6 – А 10 5 = 10 6 – 10 5 = 1000000 – 100000 = 900000

б) 1. Пусть теперь в шестизначном наборе все цифры различные. Необходимо из всех возможных десяти цифр выбрать лишь те шесть, которые используются для шестизначных телефонных номеров, причем никакая цифра не повторяется. Тогда по формуле размещений без повторений имеем:

А 10 6 = 10! / (10 – 6)! = 5х6х7х8х9х10 = 151200

2. Поскольку шестизначных номеров, начинающихся с нуля, не бывает, надо посчитать их количество и вычесть его из общего числа комбинаций. Число номеров, первая цифра у которых 0, найдем по формуле размещений без повторений, «зафиксировав ноль», т.е. на каждом из пяти оставшихся возможных мест могут встретиться цифры от 0 до 9. Тогда число таких комбинаций найдем по формуле размещений без повторений. Имеем:

А 10 5 = 10! / (10-5)! = 6х7х8х9х10 = 30240

3. Общее число шестизначных телефонных номеров, у которых не может быть повторяющихся цифр, равно разности:

А 10 6 – А 10 5 = 10 6 – 10 5 = 151200 – 30240 = 120960

Задача 7. Сколькими способами можно выделить делегацию в составе трех человек, выбирая их среди четырех супружеских пар, если:

а) в состав делегации входят любые трое из данных восьми человек;

б) делегация должна состоять из двух женщин и одного мужчины;

в делегацию не входят члены одной семьи?

Решение.

а) Порядок не важен:

С 8 3 = 8! / 3! 5! = 56

б) Выберем двух женщин из имеющихся 4-х С 4 2 способами и одного мужчину из 4-х С 4 1 способами. По правилу произведения (и мужчина, и две женщины) имеем С 4 2 х С 4 1 = 24.

в) Из четырех семей выбираем 3-х членов делегации четырьмя способами (т.к. С 4 3 = 4! / 3!1! = 4). Но в каждой семье имеется по два способа выбора члена делегации. По правилу произведения С 4 3 х2х2х2 = 4х8 =32.

Задача 8. В колледже учится 2000 студентов. Можно ли утверждать, что хотя бы двое из них имеют одинаковые инициалы и имени, и фамилии?

Решение.

В русском алфавите 33 буквы, из них ъ, ь, ы, й не могут быть использованы, поэтому n = 33-4 = 29. Каждая из 29 букв может быть инициалом и имени,и фамилии. По правилу произведения 29х29 = 841 < 2000. Значит может быть лишь 841 различных вариантов, и среди 2000 студентов обязательно будут совпадения.

Решение: А(способов).

Задача 6.

На странице альбома 6 свободных мест для фотографий.

Сколькими способами можно вложить в свободные места

а) 4 фотографии;

б) 6 фотографий.

Решение: а) А

Задача 7.

Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5 и 6?

Объяснение: если среди семи цифр нет нуля, то число трехзначных чисел которые можно составить из этих цифр равно числу размещений из 7 элементов по 3 А. Однако, среди данных семи чисел есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтому из размещений из 7 элементов по 3 нужно исключить те, у которых первым элементом является цифра 0.Их число равно числу размещений из 6 элементов по 2.

Значит, искомое число равно: А
.

Решение: А

Задача 8.

Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых: а) не встречаются цифры 6 и 7;

б) цифра 8 является последней?

Решение: а) А

б) А

Задача 9.

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от 0?

Решение: А

А теперь рассмотрим такой сюжет:

Имеется 5 гвоздик разного цвета. Обозначим их буквами a , b , c , d , e . Требуется составить букет из трех гвоздик.

Выясним, какие букеты можно составить.

Если в букет входит гвоздика a , то можно составить такие букеты:

Abc, abd, abc, acd, ace, adc.

Если в букет не входит гвоздика a , а входит гвоздика b , то можно получить такие букеты:

Bcd, bce, bdc.

Наконец, если в букет не входит ни гвоздика a ,гвоздика b , то можно составить букет

cde .

Мы показали все возможные способы составления букетов, в которых по-разному сочетаются три гвоздики из данных пяти.

Говорят, что составлены всевозможные сочетания из 5-ти элементов по 3.

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов и обозначается с

в отличие от размещений, в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы.

Поэтому пример про гвоздики можно быстро решить так:

Решение: С

Задача 10.

Из 15 человек туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: С

Задача 11.

Из вазы с фруктами, где лежат 9 яблок и 6 груш, нужно выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: 3 яблока из 9-ти можно выбрать С способами. При каждом выборе яблок груши можно выбрать Сспособами. Поэтому по правилу умножения выбор фруктов можно сделать С
способами.