Потенциальная функция и потенциал. Потенциальная

В 60-х годах М. А. Айзерман, Э. М. Браверман, Л. И. Розоноэр предложили для решения задач обучения распознаванию образов использовать разработанный ими метод потенциальных функций . Этот метод также реализует идею рекуррентной процедуры минимизации среднего риска. Применительно к задаче обучения распознаванию образов суть метода заключается в следующем. На пространстве входных векторов задается функция, которая называется «потенциалом». Потенциал определяет близость двух точек, , и обычно задается как функция расстояния между точками. Потенциальная функция, как правило, такова, что она монотонно уменьшается с увеличением расстояния. Примерами потенциальной функции могут служить

, ,

где – расстояние от точки до точки ; – константа.

С помощью таких функций на пространстве образуется потенциальное поле. Считается, что вектор относится к первому классу, если потенциал поля в точке положителен; в противном случае вектор относится ко второму классу. Процесс обучения, таким образом, заключается в построении с помощью обучающей последовательности потенциального поля.

Геометрическая интерпретация метода построения потенциального поля очень наглядна (рис. 9).

Пусть для обучения машине предъявляется обучающая последовательность . При появлении первого элемента обучающей последовательности «выпускается» потенциал с центром в точке . Знак потенциала определяется тем, к какому классу относится предъявленный пример: если к первому, то знак у потенциала положительный, если ко второму, то отрицательный. Теперь на пространстве задан некоторый потенциал. Для второго элемента обучающей последовательности может быть вычислена величина потенциала . Если величина потенциала положительная, а элемент обучающей последовательности относится к первому классу, то потенциальное поле на пространстве не меняется; если же величина потенциала в точке положительная, а вектор должен быть отнесен ко второму классу, то из точки «выпускается» новый потенциал, но с отрицательным знаком. Теперь на пространстве действует новый суммарный потенциал

Аналогично, если при классификации элемента обучающей последовательности с помощью суммарного потенциала совершается ошибка, потенциал меняется так, чтобы по возможности выправить ошибку.

Таким образом, результатом обучения в методе потенциальных функций является построение на пространстве потенциального поля

(здесь штрих у суммы означает, что суммирование проводится не по всем элементам обучающей последовательности, а лишь по тем, на которых совершалась «ошибка»).

Это поле разбивает все пространство на две части: часть пространства , где значение суммарного потенциала положительно (все точки в этой части пространства считаются принадлежащими первому классу), и части, где значения потенциала отрицательны (точки в этой части пространства считаются принадлежащими второму классу). Поверхность, на которой потенциал принимает нулевые значения, является разделяющей поверхностью.

Оказывается, что для всякого вида потенциала существует система функций (вообще говоря, бесконечная!) такая, что все возможные разделяющие поверхности, которые могут быть получены с помощью метода потенциальных функций, могут быть получены с помощью персептрона Розенблатта, где соответствующее спрямляющее пространство задается преобразованиями . С другой стороны, для каждого персептрона легко находится соответствующая потенциальная функция.

Таким образом, метод потенциальных функций близок к персептронным методам Розенблатта. Для метода потенциальных функций возможны те же модификации, что и для персептрона Розенблатта.

Здравствуйте, я давно читаю Хабрахабр и часто мне попадались статьи про нейронные сети, в частности про однослойный перцептрон. Но пока еще мне не встретилась статья про другие виды распознающих функций перцептронного вида. Как следует из названия статьи данный вид распознающих функций называется методом потенциальных функций .

Сразу оговорюсь, целью данной статьи является не предоставить работающую программу на основе данного метода, а рассказать собственно про сам алгоритм, на чем он основан и в чем его преимущества.

Для начала я опишу основные понятия теории распознавания образов, применяющиеся в данной статьей, затем дам краткое пояснение метода и потом уже распишу его подробно.

Основные понятия
Изображение - отображение объекта на воспринимающие органы. То есть, описание объекта, как множество признаков. Часто объект представляется в виде вектора. Если множество признаков постоянное, то объект отождествляется с его изображением.
Образ (класс) - подмножество множества объектов или изображений.
Решающая функция - функция, на вход которой подается изображение, определяющая принадлежность объекта некоторому классу.

Краткое описание
Суть данного метода, а впрочем, любого алгоритма, применяемого для распознавания образов состоит в том, чтобы составить такую решающую функцию, которая будет для каждого объекта определять принадлежность его к нужному классу.
В данном случае, решающая функция составляется итеративно, по маркированной обучающей выборке (для каждого объекта из ОВ известен его класс).

Физическая интерпретация
Представим n-мерное метрическое пространство, где n - количество признаков, необходимых для описания объекта.
Пусть все объекты обучающей выборки (в дальнейшем обозначим ее как ОВ), принадлежащие классу W1 создают положительный потенциал, который принимает максимальное значение в точке, соответствующей объекту и быстро убывает с расстоянием, а объекты, принадлежащие классу W2 отрицательный.
Тогда в областях, где преобладают объекты класса W1 будет положительный потенциал, и наоборот.
Фактически, каждому объекту из обучающей выборки присваивается заряд, который «притягивает» классифицируемый объект к соответствующему классу.

Потенциальная функция
Перейдем собственно к методу. Для начала опишем собственно потенциальную функцию. Как ясно из раздела про физическую интерпретацию, тут мы проводим аналогии с зарядами и потенциал. Поэтому, в качестве необходимой нам функции нужно взять такую, которая в данной точке даст максимальное значение и будет быстро убывать при увеличении расстояния.
Потенциальную функцию будем обозначать, как K(x,xk), где xk, k=1..m - это один из объектов(векторов) из обучающей выборки.
Обычно, в качестве потенциальной функции используют симметрическую функцию, двух переменных - X и Xk.
Например, K(x,xk) = exp {-a || x-xk||^2 }

Решающая функция. Кумулятивный потенциал.
В качестве решающей функции используем кумулятивный потенциал - положительную совокупность значений отдельных потенциальных функций, если объект принадлежит к классу w1 и отрицательная, если объект принадлежит классу w2.
Кумулятивный потенциал находится следующим образом:

Где Rk+1 =

Условиями прекращения работы алгоритма будет безошибочное определение L0 объектов, подряд. Где L0 - число, заданное пользователем. Задается оно в зависимости от того, какое качество работы алгоритма требуется, исходя из следующих фактов:

P - вероятность совершения ошибки после предъявления Lk выборочных объектов.
Тогда для любых e>0 и a>0, вероятность того, что p L0> log (ea) / log (1-e)

Вывод. Достоинства и недостатки.
В конечном итоге, мы получаем некую функцию K(x), которая определяет принадлежность данного объекта к одному из двух классов с заданной вероятностью ошибки.
Достоинства метода потенциальных функций заключаются в нелинейном разбиении множества объектов. Что позволяет решать задачи, которые сложно решить другими методами.
А недостатки - в трудном выборе подходящей потенциальной функции и трудоемкости вычислений, при большом объеме обучающей выборке.

Статья получилась несколько краткой, но я надеюсь, вы узнали для себя что-то новое. Основную идею я рассказал, за кадром осталось математическое обоснование сходимости алгоритма нахождения решающей функции и скорости сходимости, а так же и более строгое математическое определение потенциальной функции.

Целью данной статьи было рассказать о других, менее распространенных методах, используемых для распознавания образов. Если будет интерес, можно рассказать и про стохастический и логический подходы к данной проблеме.

: Полярные сияния - Прая . Источник: т. XXIVa (1898): Полярные сияния - Прая, с. 731-733 ()

Потенциальная функция и потенциал. - В статьях Гамильтоново начало (VIII, 66), Механика (XIX, 218) и в некоторых других упоминалось о силах, имеющих потенциал или потенциальную функцию. Под силой, приложенной к материальной точке и имеющей потенциальную или силовую функцию, подразумевается такая сила, проекции которой X, У, Z на оси координат выражаются производными от некоторой функции U (от координит x, у, z точки) по соответственным координатам, т. е.

X = d U d x {\displaystyle X={\frac {dU}{dx}}} , Y = d U d y {\displaystyle Y={\frac {dU}{dy}}} , Z = d U d z {\displaystyle Z={\frac {dU}{dz}}} .

Такая функция U называется П. функцией этой силы. Сколько известно, первым, указавшим на существование такой функции, и именно у сил тяготения, был Лаплас («Mécanique célesie»), a самый термин П. функция встречается в сочинении Грина (см.): «An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism», напечатанном в 1828-м г.; но нельзя поручиться за то, что Грин первый ввел это название. Если система материальных точек подвержена только таким силам, проекции которых на оси координат суть производные по соответственным координатам от некоторой функции U от координат точек системы, то эту функцию U называют потенциалом сил этой системы. То обстоятельство, что все силы природы принадлежат именно к числу таких сил, дает весьма важное значение потенциалу и П. функции в механике и физике. Прежде всего следует указать, как изменяется общий закон изменения живой силы (см.) материальной системы, если силы, действующие на нее, имеют потенциал. Дело в том, что сумма элементарных работ таких сил при бесконечно малом перемещении системы равняется дифференциалу или бесконечно малому изменению dU потенциала, а так как та же сумма, по общему закону изменения живой силы, равняется бесконечно малому измнению dT живой силы Т системы, то dT = dU и отсюда Т - U = h, где h величина постоянная на всем движении системы. Обыкновенно называют живую силу системы ее кинетической энергией, а отрицательно взятую функцию - потенцильной энергией. Равенство Т - U = h выражает, что сумма обеих энергий остается постоянной при движении, или, как говорят: полная энергия системы остается при движения постоянной. К числу сил, имеющих потенциал, принадлежат силы взаимного притяжения или отталкивания между двумя материальными точками, если эти силы равны и противоположны, направлены по линии, проходящей через обе точки и величины их равны какой-либо функции f (r) расстояния r точек. Потенциал таких взаимнодействующих сил есть

± ∫ f (r) d r {\displaystyle \pm \int f(r)\,dr} ,

где верхний знак (плюс) должен быть поставлен в случае сил отталкивания, а нижний (минус) - в случае сил притяжения. Например, для сил тяготения, подчиняющихся закону Ньютона, величина сил притяжения между материальными точками масс т и М равна отношению εmM к r 2 , поэтому потенциал этих двух сил будет

ϵ m M r {\displaystyle \epsilon {\frac {mM}{r}}} ;

здесь ε множитель, точная величина которого может быть определена при полном знании вида поверхности земли, внутреннего строения ее и величин ускорения силы тяжести в разных местах ее поверхности. Если имеется сплошное тело. частицы которого притягивают материальную точку по закону Ньютона, то равнодействующую сил притяжения можно будет определить, если определим П. функцию этих сил. Лаплас, Пуассон и Гаусс («Allgemeine Lehrsätze in Beziehung aut die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Kräfte»; «C. F. Gauss Werke», т. 5) доказали, что П. функция таких сил обладает следующими свойствами, если размеры тела не бесконечно велики и если плотность его нигде не имеет бесконечно большой величины: a) П. функция V сил притяжения телом точки есть функция ее координат х, у, z, сплошная и конечная, b) производные ее

d V d x {\displaystyle {\frac {dV}{dx}}} , d V d y {\displaystyle {\frac {dV}{dy}}} , d V d z {\displaystyle {\frac {dV}{dz}}}

тоже сплошны и конечны, с) Сумма трех производных второго порядка:

Δ 2 V = d 2 V d x 2 + d 2 V d y 2 + d 2 V d z 2 = 0 {\displaystyle \Delta _{2}V={\frac {d^{2}V}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}V}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}V}{dz^{2}}}=0}

при положении точки вне тела и d) эта сумма Δ 2 V равна - 4πεσm при положении точки внутри тела; здесь σ означает плотность тела в том месте, где находится притягиваемая точка, т - массу ее. Свойство с доказано Лапласом, свойство d - Пуассоном. П. функция однородного шара плотности σ, радиуса R и массы

M = 4 3 π σ R 3 {\displaystyle M={\frac {4}{3}}\pi \sigma R^{3}}

на точку массы равной единице выражается отношением εM к r (где r есть расстояние точки от центра шара), если точка находится вне шара; поэтому сила притяжения, действующая на точку, направлена к центру шара, обратно пропорциональна квадрату расстояния r и такова, как будто бы вся масса шара была сосредоточена в его центре. Если точка находится в массе шара на расстоянии r от центра, то П. функция выражается так:

2 π ϵ σ (R 2 − 1 3 r 2) {\displaystyle 2\pi \epsilon \sigma \left(R^{2}-{\frac {1}{3}}r^{2}\right)}

и сила притяжения опять направлена к центру шара, но имеет величину 4 3 π ϵ σ r {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi \epsilon \sigma r} , или

ϵ 4 3 π σ r 3 r 2 {\displaystyle \epsilon {\frac {4}{3}}\pi \sigma {\frac {r^{3}}{r^{2}}}} ,

т. е. равна отношению εM 1 к r 2 , где M 1 = 4 3 π σ r 3 {\displaystyle M_{1}={\frac {4}{3}}\pi \sigma r^{3}} есть масса той части шара, которая находится внутри сферы радиуса r. Отсюда следует, что тот слой шара, который заключается между сферами радиусов R и r, не оказывает притяжения на точку. Если определять притяжение, оказываемое однородным сферическим слоем, заключающимся между концентрическими сферами, или однородным слоем, заключающимся между двумя концентрическими и подобными эллипсоидами, на точку, находящуюся внутри пустых полостей которого-либо из этих тел, то окажется, что действия сил внутри полости нет.

Поверхность уровня. Если равнодействующая сил, приложенных к материальной точке,имеет П. функцию V 1 , то все пространство, в котором может находиться точка, можно представить себе заполненными системой бесконечного множества поверхностей, на каждой из которых V имеет одну и ту же величину. Такие поверхности называются поверхностями уровня, каждая из них имеет свой параметр, а именно ту численную величину, которую имеет V в точках этой поверхности. Сила, действующая на точку, направлена всегда по нормали к той поверхности уровня, на которой находится точка, и направлена в ту сторону, где находятся поверхности уровня с параметрами большими параметра, свойственного этой поверхности. Величина силы равняется положительно взятому корню из суммы квадратов производных от V по х, у, z; эта величина:

+ (d V d x) 2 + (d V d y) 2 + (d V d z) 2 {\displaystyle +{\sqrt {\left({\frac {dV}{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {dV}{dy}}\right)^{2}+\left({\frac {dV}{dz}}\right)^{2}}}}

называется дифференциальным параметром поверхности уровня в рассматриваемой точке. В гидростатике (см.) доказывается, что жидкость, капельная или упругая, может быть в равновсии только под влиянием сил, имеющих П., и что при таком состоянии поверхности уровня, где потенциал имеет одну и ту же величину, суть вместе с тем и поверхности одинакового гидростатического давления (см.), а при равновесии газообразных масс или упругих жидкостей поверхности уровня суть поверхности равной плотности и равного давления.

Учение о потенциале играет весьма большую роль в теории электрических и магнитных явлений. Электрические явления вообще происходят так, как если бы существовали два особых вещества, или флюида, действующих друг на друга по закону Кулона, т. е. с силой, пропорциональной произведению взаимодействующих количеств и обратно пропорциональной квадрату их расстояния. Эти флюиды для краткости называют положительными и отрицательным электричествами. Они находятся на поверхности наэлектризованных тел, а явление электрического тока может быть рассматриваемо как течение этих электричеств в проволоках, причем течение положительного электричества в одном направлении и течение отрицательного электричества в противоположном направлении могут быть рассматриваемы как явления между собой тождественные. Единица количества электричества есть такое количество, которое на равное ему, находящееся на единице расстояния от него, действует с силой, равной единице силы. C. G. S. - единица количества электричества - получается, когда расстояние 1 стм и сила 1 дина. Кулон = 3.10 9 C. G. S. единиц электричества. Если мы имеем наэлектризованные тела, то потенциал V в любой точке M пространства равен работе, которую производят электрические силы при переходе единицы электричества из M по произвольному пути в бсзконечность, или на весьма большое расстояние. В различных точках пространства V - различное. Если количество η электричества переходит из точки M в другую точку N , то работа ρ электрических сил равна ρ = η(V 1 - V 2), где v 1 и V 2 потенциалы в точках M и N . Так как работа ρ может быть только положительная, если η перемещается (течет) под влиянием электричееких сил, то ясно, что положительное электричество (η > 0) течет всегда от мест большего к местам меньшего потенциала (V 1 > V 2). Аналогично этому и теплота течет всегда от мест большей (более высокой) темп. к местам меньшей (более низкой) темп.; потенциал же аналогичен темп. (см. ниже). Другая аналогия: жидкости текут под влиянием силы тяжести от мест большей высоты к местам меньшей высоты. Внутри проводника электрическая сила должна везде равняться нулю, без чего невозможно равновесие электричества и внутри проводника появляются новые количества электричества (произойдет, как прежде говорили, разложение нейтральной смеси обоих электричеств). Если сила есть нуль, то и работа ρ, произведенная при мысленном перемещении η из M в N , тоже нуль (M и N произвольные точки внутри проводника). Отсюда следует, что V 1 = V 2 ; но ввиду произвольности положения точек M и N это равенство показывает, что все точки наэлектризованного проводника находятся при одном и том же потенциале V . Эта величина называется потенциалом самого проводника. Если соединить (длинной тонкой проволокой) два наэлектризованных тела (проводника), то + η потечет от тела, имеющего больший потенциал, к телу, имеющему меньший потенциал. Тела находятся при одинаковом потенциале, если при их соединении не происходит между ними обмена электричества. П. тела аналогичен, таким образом, температуре тела, т. е. степени нагретости. Потенциал есть мера степени электризации тела: для равновесия электричества на нескольких соединенных между собой проводниках необходимо, чтобы они все находились при одном потенциале. Единица потенциала (или разности потенциалов) равна разности V 1 -V 2 потенциалов двух точек M и N, когда при переносе η=1 из M в N совершается работа ρ = 1, или она равна потенциалу шара, радиус которого R = 1, если на его поверхности находится η=1. В C. G. S. системе V 1 -V 2 =1, когда при переносе η=1 C. G. S. совершается. работа ρ=1 эргу или когда η=1 С. G. S. находится на шаре, для которого R=1 стм. Другая единица потенциала или разности потенциалов, употребляемая на практике, называется «вольт»; вольт = 1/300 C. G. S. единицы потенциала, только что определенной. Емкость q тела определяется количеством электричества, увеличивающим потенциал тела на единицу. Заряд η, потенциал V и емкость q связаны равенством η = qV ; С. G. S. единицей емкости обладает шар, для которого R = 1 стм Фарада = 9.10 11 C. G. S. единиц емкости. Энергия E заряженного проводника выражается одной из формул E = 1 2 η V = η 2 2 q = 1 2 q V 2 {\displaystyle E={\frac {1}{2}}\eta V={\frac {\eta ^{2}}{2q}}={\frac {1}{2}}qV^{2}} . Если η, V и q выражены в C. G. S. единицах, то Е получается в эргах, если же η и q в кулонах, вольтах и фарадах, то Е в джоулях (10 7 эргах = 0,102 кг-метр. = 0,24 мал. калории). Если два проводника А и В первого класса (металлы, уголь и т. д., не подвергающиеся электролизу) соприкасаются, то между ними устанавливается разность потенциалов V 1 -V 2 , не зависящая ни от формы тел, ни от поверхности S соприкосновения, а только от рода веществ A и B и от их физического состояния, например от их температуры. Причина скачка V 1 -V 2 потенциала при переходе через S называется электродвижущей (эл. двиг.) силой е; она измеряется разностью V 1 -V 2 , т. е. принимает e = V 1 -V 2 . Следовательно, единицей электродвижущей силы можно принять вольт. Если символически изобразить е через е = A |B , то закон Вольта говорит, что A |B + B |C = A |C , где C третье тело. Для замкнутого ряда проводников первого класса, например металлов, получаем A |B + B |C + C |D + … N |M + M |A = 0, т. е. сумма скачков потенциала или сумма эл. дв. сил равна нулю. Проводники второго класса (растворы солей и кислот, вообще электролиты) не следуют закону Вольты. Если S раствор, то A |S + S |B ≠ A |B ; для комбинации A , S , B , A (например, медь - кислота - цинк - медь) имеет A |S + S |B + B |A ≠ 0. Такая комбинация есть разомкнутый элемент или разомкнутая цепь; сумма действуюших в ней эл. дв. сил (сумма скачков потенциала) не равна нулю; эта сумма называется эл. дв. силой E элемента. Она равна разности потенциалов на концах (электродах) разомкнутой цепи. В замкнутой цепи статическое состояние невозможно, если E не нуль. Должно установиться непрерывное течение электричества, одинаковое во всех частях цепи. Но + η может течь только от больших потенциалов к меньшим, а потому потенциал должен во всех частях уменьшаться или падать вдоль цепи по направлению течения + η. Если мысленно обойти всю цепь, то сумма встречающихся изменений потенциала должна равняться нулю; следоват., сумма всех падений равна сумме скачков, или сумма падений равна E . Если J - сила тока, r сопротивление произвольного, но однородного отрезка цепи, и если V 1 - V 2 падение потенциала в этом отрезке, то

J = V 1 − V 2 r {\displaystyle J={\frac {V_{1}-V_{2}}{r}}} .

Так как J везде одинаковое, то падение потенциала пропорционально сопротивлению отрезка цепи, или на равные сопротивления приходятся равные падения. Если V 1 - V 2 выражено в вольтах, J в амперах (кулон электричества протекает в сек.), то r выражено в омах. Если написать подобные же выражения J для всех частей цепи, то J должно также равняться сумме числителей (сумме падений), деленной на сумму знаменателей (сопротивление R всей цепи). Но сумма падений есть Е, следовательно, J =E :R ; это закон Ома. На измерении разности потенциалов на концах разомкнутой цепи основаны статические способы измерения эл. дв. сил элементов. Работа ρ, совершаемая в части цепи, равна (см. выше) ρ=η(V 1 -V 2); но η=Jt , где t время, ибо J измряется количеством электричества, протекающим во время t =1; далее V 1 -V 2 =rJ . Отсюда работа ρ=J 2 rt ; эквивалентное ей количество теплоты выделяется в цепи. Эта формула выражает закон Ленца и Джоуля. Если J, r и t выражены в амперах, омах и секундах, то работа или теплота ρ получается в джоулях (см. выше). Для всей цепи ρ=J 2 rt =Jet . Из формулы J =(V 1 -V 2)r легко получаются законы Кирхгофа о разветвлениях тока. В термодинамике играет роль термодинамический потенциал, не отличающийся существенно от «свободной энергии» Гельмгольца, от функции Массье (Massleu) и от функции Джиббса (Gibbs; см. Энергия).

Потенциальная функция и потенциал

В статьях Гамильтоново начало (см.), Механика (см.) и в некоторых других упоминалось о силах, имеющих потенциал или потенциальную функцию. Под силой, приложенной к материальной точке и имеющей потенциальную или силовую функцию, подразумевается такая сила, проекции которой X, У, Z на оси координат выражаются производными от некоторой функции U (от координит x, у, z точки) по соответственным координатам, т. е.

X = dU/(dx), Y = (dU)/(dy), Z = (dU)/(dz).

Такая функция U называется П. функцией этой силы. Сколько известно, первым, указавшим на существование такой функции, и именно у сил тяготения, был Лаплас ("Mécanique célesie"), a самый термин П. функция встречается в сочинении Грина (см.): "An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism", напечатанном в 1828-м г.; но нельзя поручиться за то, что Грин первый ввел это название. Если система материальных точек подвержена только таким силам, проекции которых на оси координат суть производные по соответственным координатам от некоторой функции U от координат точек системы, то эту функцию U называют потенциалом сил этой системы. То обстоятельство, что все силы природы принадлежат именно к числу таких сил, дает весьма важное значение потенциалу и П. функции в механике и физике. Прежде всего следует указать, как изменяется общий закон изменения живой силы (см.) материальной системы, если силы, действующие на нее, имеют потенциал. Дело в том, что сумма элементарных работ таких сил при бесконечно малом перемещении системы равняется дифференциалу или бесконечно малому изменению dU потенциала, а так как та же сумма, по общему закону изменения живой силы, равняется бесконечно малому измнению dT живой силы Т системы, то dT = dU и отсюда Т - U = h, где h величина постоянная на всем движении системы. Обыкновенно называют живую силу системы ее кинетической энергией, а отрицательно взятую функцию - потенцильной энергией. Равенство Т - U = h выражает, что сумма обеих энергий остается постоянной при движении, или, как говорят: полная энергия системы остается при движения постоянной. К числу сил, имеющих потенциал, принадлежат силы взаимного притяжения или отталкивания между двумя материальными точками, если эти силы равны и противоположны, направлены по линии, проходящей через обе точки и величины их равны какой-либо функции f (r) расстояния r точек. Потенциал таких взаимнодействующих сил есть , где верхний знак (плюс) должен быть поставлен в случае сил отталкивания, а нижний (минус) - в случае сил притяжения. Например, для сил тяготения, подчиняющихся закону Ньютона, величина сил притяжения между материальными точками масс т и М равна отношению εтМ к r 2 , поэтому потенциал этих двух сил будет ε[(mM)/r], здесь ε множитель, точная величина которого может быть определена при полном знании вида поверхности земли, внутреннего строения ее и величин ускорения силы тяжести в разных местах ее поверхности. Если имеется сплошное тело. частицы которого притягивают материальную точку по закону Ньютона, то равнодействующую сил притяжения можно будет определить, если определим П. функцию этих сил. Лаплас, Пуассон и Гаусс ("Allgemeine Lehrsätze in Beziehung aut die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Kräfte"; "C. F. Gauss Werke", т. 5) доказали, что П. функция таких сил обладает следующими свойствами, если размеры тела не бесконечно велики и если плотность его нигде не имеет бесконечно большой величины: a) П. функция V сил притяжения телом точки есть функция ее координат х, у, z, сплошная и конечная, b) производные ее (dV)/(dx), (dV)/(dy), (dV)/(dz) тоже сплошны и конечны, с) Сумма трех производных второго порядка:

Δ 2 V = (d 2 V)/(dx 2) + (d 2 V)/(dy 2) + (d 2 V)/(dz 2) = 0

М 1 = (4/3)πσr 3 есть масса той части шара, которая находится внутри сферы радиуса r. Отсюда следует, что тот слой шара, который заключается между сферами радиусов R и r, не оказывает притяжения на точку. Если определять притяжение, оказываемое однородным сферическим слоем, заключающимся между концентрическими сферами, или однородным слоем, заключающимся между двумя концентрическими и подобными эллипсоидами, на точку, находящуюся внутри пустых полостей которого-либо из этих тел, то окажется, что действия сил внутри полости нет.

ρ = η(V 1 -V 2)

где v 1 и V 2 потенциалы в точках M и N. Так как работа ρ может быть только положительная, если η перемещается (течет) под влиянием электричееких сил, то ясно, что положительное электричество (η > 0) течет всегда от мест большего к местам меньшего потенциала (V 1 > V 2). Аналогично этому и теплота течет всегда от мест большей (более высокой) темп. к местам меньшей (более низкой) темп.; потенциал же аналогичен темп. (см. ниже). Другая аналогия: жидкости текут под влиянием силы тяжести от мест большей высоты к местам меньшей высоты. Внутри проводника электрическая сила должна везде равняться нулю, без чего невозможно равновесие электричества и внутри проводника появляются новые количества электричества (произойдет, как прежде говорили, разложение нейтральной смеси обоих электричеств). Если сила есть нуль, то и работа ρ, произведенная при мысленном перемещении η из M в N, тоже нуль (М и N произвольные точки внутри проводника). Отсюда следует, что V 1 = V 2 ; но ввиду произвольности положения точек M и N это равенство показывает, что все точки наэлектризованного проводника находятся при одном и том же потенциале V. Эта величина называется потенциалом самого проводника. Если соединить (длинной тонкой проволокой) два наэлектризованных тела (проводника), то + η потечет от тела, имеющего больший потенциал, к телу, имеющему меньший потенциал. Тела находятся при одинаковом потенциале, если при их соединении не происходит между ними обмена электричества. П. тела аналогичен, таким образом, температуре тела, т. е. степени нагретости. Потенциал есть мера степени электризации тела: для равновесия электричества на нескольких соединенных между собой проводниках необходимо, чтобы они все находились при одном потенциале. Единица потенциала (или разности потенциалов) равна разности V 1 -V 2 потенциалов двух точек M и N, когда при переносе η=1 из M в N совершается работа ρ = 1, или она равна потенциалу шара, радиус которого R = 1, если на его поверхности находится η=1. В C. G. S. системе V 1 -V 2 =1, когда при переносе η=1 С. G. S. совершается. работа ρ=1 эргу или когда η=1 С. G. S. находится на шаре, для которого R=1 стм. Другая единица потенциала или разности потенциалов, употребляемая на практике, называется "вольт"; вольт = 1/300 С.G.S. единицы потенциала, только что определенной. Емкость q тела определяется количеством электричества, увеличивающим потенциал тела на единицу. Заряд η, потенциал V и емкость q связаны равенством η = qV; С. G. S. единицей емкости обладает шар, для которого R = 1 стм Фарада = 9.10 11 C. G. S. единиц емкости. Энергия E заряженного проводника выражается одной из формул

E = 1 / 2 ηV = η 2 /2q = 1 / 2 qV 2

Если η, V и q выражены в С.G. S. единицах, то Е получается в эргах, если же η и q в кулонах, вольтах и фарадах, то Е в джоулях (10 7 эргах = 0,102 кг-метр. = 0,24 мал. калории). Если два проводника А и В первого класса (металлы, уголь и т. д., не подвергающиеся электролизу) соприкасаются, то между ними устанавливается разность потенциалов V 1 -V 2 , не зависящая ни от формы тел, ни от поверхности S соприкосновения, а только от рода веществ А и В и от их физического состояния, например от их температуры. Причина скачка V 1 -V 2 потенциала при переходе через S называется электродвижущей (эл. двиг.) силой е; она измеряется разностью V 1 -V 2 , т. е. принимает e=V 1 -V 2 . Следовательно, единицей электродвижущей силы можно принять вольт. Если символически изобразить е через е = А|В, то закон Вольта говорит, что А|В + В|С = А|С, где С третье тело. Для замкнутого ряда проводников первого класса, например металлов, получаем А|В + B|C + C|D +...N|M + M|A = 0, т. е. сумма скачков потенциала или сумма эл. дв. сил равна нулю. Проводники второго класса (растворы солей и кислот, вообще электролиты) не следуют закону Вольты. Если S раствор, то A|S + S|B ≠ А|В; для комбинации A, S, В, А (например, медь - кислота - цинк - медь) имеет A|S + S|B + В|А ≠ 0. Такая комбинация есть разомкнутый элемент или разомкнутая цепь; сумма действуюших в ней эл. дв. сил (сумма скачков потенциала) не равна нулю; эта сумма называется эл. дв. силой Е элемента. Она равна разности потенциалов на концах (электродах) разомкнутой цепи. В замкнутой цепи статическое состояние невозможно, если Е не нуль. Должно установиться непрерывное течение электричества, одинаковое во всех частяхт" цепи. Но + η может течь только от больших потенциалов к меньшим, а потому потенциал должен во всех частях уменьшаться или падать вдоль цепи по направлению течения + η. Если мысленно обойти всю цепь, то сумма встречающихся изменений потенциала должна равняться нулю; следоват., сумма всех падений равна сумме скачков, или сумма падений равна Е. Если J - сила тока, r сопротивление произвольного, но однородного отрезка цепи, и если V 1 - V 2 падение потенциала в этом отрезке, то J=(V 1 -V 2)/r. Так как J везде одинаковое, то падение потенциала пропорционально сопротивлению отрезка цепи, или на равные сопротивления приходятся равные падения. Если V 1 - V 2 выражено в вольтах, J в амперах (кулон электричества протекает в сек.), то r выражено в омах. Если написать подобные же выражения J для всех частей цепи, то J должно также равняться сумме числителей (сумме падений), деленной на сумму знаменателей (сопротивление R всей цепи). Но сумма падений есть Е, следовательно, J=E/R; это закон Ома. На измерении разности потенциалов на концах разомкнутой цепи основаны статические способы измерения эл. дв. сил элементов. Работа ρ, совершаемая в части цепи, равна (см. выше) ρ=η(V 1 -V 2); но η=Jt, где t время, ибо J измряется количеством электричества, протекающим во время t=1; далее V 1 -V2=rJ. Отсюда работа ρ=J 2 rt; эквивалентное ей количество теплоты выделяется в цепи. Эта формула выражает закон Ленца и Джоуля. Если J, r и t выражены в амперах, омах и секундах, то работа или теплота ρ получается в джоулях (см. выше). Для всей цепи ρ=J 2 rt=Jet. Из формулы J=(V 1 -V 2)r легко получаются законы Кирхгофа о разветвлениях тока. В термодинамике играет роль термодинамический потенциал, не отличающийся существенно от "свободной энергии" Гельмгольца, от функции Массье (Massleu) и от функции Джиббса (Gibbs; см. Энергия).

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. - С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон . 1890-1907 .

Потенциальная функция, одна из характеристик векторного поля. Скалярный потенциал скалярная функция v(M).такая, что a=gradv(M).во всех точках области задания поля а (М).(иногда, напр, в физике, П. наз. величину, противоположную по знаку). Если… … Математическая энциклопедия

Потенциал, потенциальная функция, понятие, характеризующее широкий класс физических силовых полей (электрическое, гравитационное и т.п.) и вообще поля физических величин, представляемых векторами (поле скоростей в жидкости и т.п.). В… …

- (потенциальная функция) понятие, характеризующее широкий класс физических силовых полей (электрических, гравитационных и т. п.) и вообще поля физических величин, представляемых векторами (поле скоростей жидкости и т. п.). В общем случае потенциал … Большой Энциклопедический словарь

ПОТЕНЦИАЛ (потенциальная функция), понятие, характеризующее широкий класс физических силовых полей (электрических, гравитационных и т. п.) и вообще поля физических величин, представляемых векторами (поле скоростей жидкости и т. п.). В общем… … Энциклопедический словарь

- (потенциальная функция), понятие, характеризующее широкий класс физ. силовых полей (электрич., гравитац. и т.п.) и вообще поля физ. величин, представляемых векторами (поле скоростей жидкости и т.п.). В общем случае П. векторного поля а(х, у, z)… … Естествознание. Энциклопедический словарь

I Потенциал (от лат. potentia сила) в широком смысле средства, запасы, источники, имеющиеся в наличии и могущие быть мобилизованы, приведены в действие, использованы для достижения определённой цели, осуществления плана, решения какой… … Большая советская энциклопедия

Содержание 1 Биология 2 Математика 3 Физика и химия 4 Лингвистика … Википедия

- [тэ], а; м. [от лат. potentia сила] 1. Спец. Физическая величина, характеризующая силовое поле в данной точке. Электростатический п. 2. Книжн. Степень мощности в каком л. отношении, совокупность всех средств, возможностей, необходимых для чего л … Энциклопедический словарь

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ

Потенциальная
Потенциальная функция и потенциал. - Под силой, приложенной кматериальной точке и имеющей потенциальную или силовую функцию,подразумевается такая сила, проекции которой X, У, Z на оси координатвыражаются производными от некоторой функции и (от координат x, у, zточки) по соответственным координатам, т.е. Такая функция U называется П. функцией этой силы. Сколько известно,первым, указавшим на существование такой функции, и именно у силтяготения, был Лаплас ("Меcanique celeste"); а самый термин: П. функциявстречается в сочинении Грина: "An essay on the application ofmathematical analysis to the theories of electricity and magnetism",напечатанном в 1828-м г.; но нельзя поручиться за то, что Грин первыйввел это название. Если система материальных точек подвержена толькотаким силам, проекции которых на оси координат суть производные посоответственным координатам от некоторой функции U от координат точексистемы, то эту функцию U называют потенциалом сил этой системы. Тообстоятельство, что все силы природы принадлежат именно к числу такихсил; дает весьма важное значение потенциалу и П. функции в механике ифизике. Прежде всего следует указать, как изменяется общий законизменения живой силы материальной системы, если силы, действующие нанее, имеют потенциал. Дело в том, что сумма элементарных работ таких силпри бесконечно-малом перемещении системы равняется дифференциалу илибесконечно-малому изменению dU потенциала, а так как та же сумма, пообщему закону изменения живой силы, равняется бесконечно-маломуизменению dT живой силы Т системы, то dT=dU и отсюда Т - U=h, где hвеличина постоянная на всем движении системы. Обыкновенно называют живуюсилу системы ее кинетической энергией, а отрицательно взятую функцию U -потенциальной энергией. Равенство Т - U=h выражает, что сумма обеихэнергий остается постоянной при движении, или как говорят: полнаяэнергия системы остается при движении постоянной. К числу сил, имеющихпотенциал, принадлежат силы взаимного притяжения или отталкивания междудвумя материальными точками, если эти силы равны и противоположны,направлены по линии, проходящей через обе точки и величины их равныкакой либо функции f(r) расстояния r точек. Потенциал такихвзаимнодействующих сил есть где верхний знак (плюс) должен быть поставлен в случае силотталкивания, а нижний (минус) в случае сил притяжения. Например, длясил тяготения, подчиняющихся закону Ньютона, величина сил притяжениямежду материальными точками масс m и M равна отношению e mM к r2,поэтому потенциал этих двух сил будет здесь e множитель, точная величина которого может быть определена приполном знании вида поверхности земли, внутреннего строения ее и величинускорения силы тяжести в разных местах ее поверхности. Если имеетсясплошное тело. частицы которого притягивают материальную точку по законуНьютона, то равнодействующую сил притяжения можно будет определить, еслиопределим П. функцию этих сил. Лаплас, Пуассон и Гаусс ("AllgemeineLebrsatze in Beziehung auf die im verkehrten Verhaltnisse des Quadratsder Entfernung wirkenden Krafte"; "C. F. Gauss Werke", т. 5) доказали,что П. функция таких сил обладает следующими свойствами, если размерытела не бесконечно-велики и если плотность его нигде не имеет бесконечнобольшой величины: a) П. функция V сил притяжения телом точки естьфункция ее координат x, y, z, сплошная и конечная, b) производные ее тоже сплошны и конечны. c) Сумма трех производных второго порядка: при положении точки вне тела и d) эта сумма D2V равна - 4pesm приположении точки внутри тела; здесь s означает плотность тела в томместе, где находится притягиваемая точка, m - массу ее. Свойство cдоказано Лапласом, свойство d - Пуассоном. П. функция однородного шараплотности s, радиуса R и массы M =4/3peR2 на точку массы равной единицевыражается отношением eM к r (где r есть расстояние точки от центрашара), если точка находится вне шара; поэтому сила притяжения,действующая на точку, направлена к центру шара, обратно пропорциональнаквадрату расстояния r и такова, как будто бы вся масса шара быласосредоточена в его центре. Если точка находится в массе шара нарасстоянии r от центра, то П. функция выражается так: 2pes (R2 - 1/3 r2)и сила притяжения опять направлена к центру шара, но имеет величину4/3epsr, или т.е. равна отношению eM1 к r2, где M1=4/3psr3 есть масса той частишара, которая находится внутри сферы радиуса у. отсюда следует, что тотслой шара, который заключается между сферами радиусов R и r, неоказывает притяжения на точку. Если определять притяжение, оказываемоеоднородным сферическим слоем, заключающимся между концентрическимисферами или однородным слоем, заключающимся между двумя концентрическимии подобными эллипсоидами, на точку, находящуюся внутри пустых полостейкоторого либо из этих тел, то окажется, что действия сил внутри полостинет.

Добавить комментарий к слову ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ

Вы можете оставить комментарий к слову ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ . После проверки данных комментарий будет опубликован.