Тригонометрические кривые. Синусоида. Косинусоида. Тангенсоида. Котангенсоида.
Все углы А по умолчанию приведены в градусах. Все таблицы значений и формулы синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов (). Во всех формулах пределов и разложений в ряд — углы в радианах.
Графики функций y=sinA, y=cosA, y=tgA,построенные для диапазона от 0 o до 360 o , показаны на рисунках ниже.
Из графиков видно что:
- Графики синуса и косинуса колеблются в пределах между -1 и 1
- Кривая косинуса имеет ту же форму, что и кривая синуса, но сдвинута относительно нее на 90 o
- Кривые синуса и косинуса непрерывны и повторяются с периодом 360 o , кривая тангенса имеет разрывы и повторяется с периодом 180 o .
На рис. слева показаны перпендикулярные оси ХХ’ и YY’; пересекающиеся в начале координат О. При работе с графиками измерения вправо и вверх от О считаются положительными, влево и вниз от О — отрицательными. Пусть ОА свободно вращается относительно О. При повороте ОА против часовой стрелки измеряемый угол считается положительным, а при повороте по часовой стрелке — отрицательным.
График. Положительное или отрицательное
направление при движении по окружности.
Пусть ОА вращается против часовой стрелки таким образом, что Θ 1 — любой угол в первом квадранте, и построим перпендикуляр АВ для получения прямоугольного треугольника ОАВ на рис. слева. Поскольку все три стороны треугольника положительны, тригонометрические функции синус, косинус и тангенс в первом квадранте будут положительны. (Отметим, что длина ОА всегда положительна, поскольку является радиусом круга.)
Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ 2 — любой угол во втором квадранте, и построим АС так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАС. Тогда sin Θ 2 =+/+ = +; cos Θ 2 =+/- = -; tg Θ 2 =+/- = -. Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ 3 — любой угол в третьем квадранте, и построим АD так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАD. Тогда sin Θ 3 = -/+ = -; cos Θ 3 = -/+ = -; tg Θ 3 = -/- =+ .
График. Поcтроение углов в
различных квадрантах.
В первом квадранте все тригонометрические функции имеют положительные значения, во втором положителен только синус, в третьем — только тангенс, в четвертом только косинус, что и показано на рис. слева.
Знание углов произвольной величины необходимо при нахождении, например, всех углов между 0 o и 360 o , синус которых равен, скажем, 0,3261. Если ввести в калькулятор 0,3261 и нажать кнопку sin -1 , получим ответ 19,03 o . Однако существует второй угол между 0 o и 360 o , который калькулятор не покажет. Синус также положителен во втором квадранте. Другой угол показан на рис. ниже как угол Θ, где Θ=180 o — 19,03 o = 160,97 o . Таким образом, 19,03 o и 160,97 o — это углы в диапазоне от 0 o до 360 o , синус которых равен 0,3261.
Будьте внимательны! Калькулятор дает только одно из этих значений. Второе значение следует определить согласно теории углов произвольной величины.
Пример 1
Найти все углы в диапазоне от 0 o до 360 o , синус которых равен -0,7071
Решение:
Углы, синус которых равен -0,7071 o находятся в третьем и четвертом квадранте, поскольку синус отрицателен в этих квадрантах (смотри рис. слева).
График. Нахождение всех углов по
заданному значению синуса (пример)
Из следующего рисунка Θ = arcsin 0,7071 = 45 o . Два угла в диапазоне от 0 o до 360 o , синус которых равен -0,7071, это 180 o +45 o =225 o и 360 o — 45 o = 315 o .
Примечание.
Калькулятор дает только один ответ.
График. Нахождение всех углов по
заданному значению синуса (пример)
Пример 2
Найти все углы между 0 o и 360 o , тангенс которых равен 1, 327.
Решение:
Тангенс положителен в первом и третьем квадрантах — рис. слева.
График. Нахождение всех углов по
Из рис ниже Θ = arctg1,327= 53 o .
Два угла в диапазоне от 0 o до 360 o , тангенс которых равен 1,327, это 53 o и 180 o + 53 o , т.е. 233 o .
График. Нахождение всех углов по
заданному значению тангенса (пример)
Пусть ОR на рис. слева- это вектор единичной длины, свободно вращающийся против часовой стрелки вокруг О. За один оборот получается круг, показанный на рис. и разделенный секторами по 15 o . Каждый радиус имеет горизонтальную и вертикальную составляющую. Например, для 30 o вертикальная составляющая — это ТS, а горизонтальная — ОS.
Из определения тригонометрических функций
sin30 o =TS/TO=TS/1, т.е. TS= sin30 o
и cos30 o =OS/TO=OS/1, т.e. OS=cos30 o
Вертикальную составляющую TS можно перенести на график в виде T’S’, что равно значению, соответствующему углу 30 o на графике зависимости y от угла х. Если все вертикальные составляющие, подобно TS, перенести на график, то получится синусоида, показанная на рис. выше.
Если все горизонтальные составляющие, подобные OS, спроецировать на график зависимости у от угла х, получится косинусоида. Эти проекции легко визуализировать, перерисовывая круг с радиусом OR и началом отсчета углов от вертикали, как показано на рисунке слева.
Из рис. слева видно, что синусоида имеет ту же форму, что и косинусоида, но смещенная на 90 o .
Каждый из графиков функций, показанных на четырех рис. выше, повторяется при увеличении угла А, поэтому их называют периодическими функциями
.
Функции y=sinA и y=cosA повторяются через каждые 360 o (или 2π радиан), поэтому 360 o называется периодом
этих функций. Функции y=sin2A и y=cos2A повторяются через каждые 180 o (или π радиан),поэтому 180 o — это период для данных функций.
В общем случае если y=sinpA и y=cospA (где р — константа), то период функции равен 360 o /p (или 2π/p радиан). Следовательно, если y=sin3A, то период этой функции равен 360 o /3= 120 o , если y=cos4A, то период этой функции равен 360 o /4= 90 o .
Амплитуда
Амплитудой
называется максимальное значение синусоиды. Каждый из графиков 1-4 имеет амплитуду +1 (т.е. они колеблются между +1 и -1). Однако, если y=4sinA, каждая из величин sinA умножается на 4, таким образом, максимальная величина амплитуды — 4. Аналогично для y=5cos2A амплитуда равна 5, а период — 360 o /2= 180 o .
Пример 3.
Построить y=3sin2A в диапазоне от А= 0 o до А=360 o .
Решение:
Амплитуда =3, период = 360 o /2 =180 o .
Пример 4.
Построить график y=4cos2x в диапазоне от х=0 o до х=360 o
Решение:
Амплитуда = 4. период = 360 o /2 =180 o .
Кривые синуса и косинуса не всегда начинаются в 0 o . Чтобы учесть это обстоятельство, периодическая функция представляется в виде y=sin(A± α), где α — сдвиг фазы относительно y=sinA и y=cosA.
Составив таблицу значений, можно построить график функции y=sin(A-60 o), показанный на рис. слева. Если кривая y=sinA начинается в 0 o , то кривая y=sin(A-60 o) начинается в 60 o (т.е. ее нулевое значение на 60 o правее). Таким образом, говорят, что y=sin(A-60 o) запаздывает
относительно y=sinA на 60 o .
График. y=sin(A-60 o) (синусоида).
Составив таблицу значений, можно построить график функции y=cos(A+45 o), показанный на рис. ниже.
Если кривая y=cosA начинается в 0 o , то кривая y=cos(A+45 o) начинается на 45 o левее (т.е. ее нулевая величина находится на 45 o раньше).
Таким образом, говорят, что график y=cos(A+45 o) опережает
график y=cosA на 45 o .
График. y=cos(A+45 o) (косинусоида).
В общем виде, график y=sin(A-α) запаздывает относительно y=sinAна угол α.
Косинусоида имеет ту же форму, что и синусоида, но начинается на 90 o левее, т.е. опережает ее на 90 o . Следовательно, cosA=sin(A+90 o).
Пример 5.
Построить график y=5sin(A+30 o) в диапазоне от А=0 o до А=360 o
Решение:
Амплитуда = 5, период = 360 o /1 = 360 o .
5sin(A+30 o) опережает 5sinA на 30 o т.е. начинается на 30 o раньше.
График y=5sin(A+30 o) (синусоида).
Пример 6.
Построить график y=7sin(2A-π/3) в диапазоне от А=0 o до А=360 o .
Решение:
Амплитуда = 7, период =2π/2= π радиан
В общем случае y=sin(pt-α) запаздывает относительно y=sinpt на α/p
, следовательно 7sin(2A-π/3) запаздывает относительно 7sin2A на (π/3)/2, т.е. на π/6 радиан или на 30 o
Пусть OR на рис. слева представляет собой вектор, свободно вращающийся против часовой стрелки вокруг О со скоростью ω радиан/с. Вращающийся вектор называется фазовым вектором
. Через время t секунд OR повернется на угол ωt радиан (на рис. слева это угол TOR). Если перпендикулярно к OR построить ST, то sinωt=ST/OT, т.e. ST=OTsinωt.
Если все подобные вертикальные составляющие спроецировать на график зависимости у от ωt, получится синусоида с амплитудой OR.
Если фазовый вектор OR делает один оборот (т.е. 2π радиан) за Т секунд, то угловая скорость ω=2π/Т рад/с, откуда
Т=2π/ ω (с), где
Т — это период
Число полных периодов, проходящих за 1 секунду, называется частотой
f.
Частота = (количество периодов)/(секунда) = 1/ T = ω/2π Гц,
т.е. f= ω/2π Гц
Следовательно, угловая скорость
ω=2πf рад/с.
Если в общем виде синусоидальная функция выглядит, как y=sin(ωt± α), то
А — амплитуда
ω — угловая скорость
2π/ ω — период Т, с
ω/2π — частота f, Гц
α — угол опережения или запаздывания (относительно y=Аsinωt) в радианах, он называется также фазовым углом.
Пример 7.
Переменный ток задается как i=20sin(90πt+0,26) ампер. Определить амплитуду, период, частоту и фазовый угол (в градусах)
Решение:
i=20sin(90πt+0,26)А, следовательно,
амплитуда равна
20 А
угловая скорость ω
=90π, следовательно,
период Т
= 2π/ ω = 2π/ 90π = 0,022 с = 22мс
частота
f
= 1/Т = 1/0,022 = 45,46 Гц
фазовый угол α
= 0,26 рад. = (0,26*180/π) o = 14,9 o .
Пример 8.
Колебательный механизм имеет максимальное смещение 3 м и частоту 55 Гц. Во время t=0 смещение составляет 100см. Выразить смещение в общем виде Аsin(ωt± α).
Решение
Амплитуда = максимальное смещение = 3м
Угловая скорость ω=2πf = 2π(55) = 110 πрад./с
Следовательно, смещение 3sin(110πt + α) м.
При t=0 смещение = 100см=1м.
Следовательно, 1= 3sin(0 + α), т.е. sinα=1/3=0,33
Следовательно α=arcsin0,33=19 o
Итак, смещение равно 3sin(110 πt + 0,33).
Пример 9.
Значение мгновенного напржения в схеме переменного тока в любые t секунд задается в виде v=350sin(40πt-0,542)В. Найти:
а) Амплитуду, период, частоту и фазовый угол (в градусах)
б) значение напряжения при t =0
в) значение напряжения при t =10 мс
г) время, за которое напряжение впервые достигнет значения 200 В.
Решение
:
а) Амплитуда равна 350 В, угловая скорость равна ω=40π
Следовательно,
период Т=2π/ ω=2π/40π=0,05 с =50мс
частота f=1/Т=1/0,05=20 Гц
фазовый угол = 0,542 рад (0,542*180/π) = 31 o с запаздыванием относительно v=350sin(40πt)
б) Если t =0, то v=350sin(0-0,542)=350sin(-31 o)=-180,25 В
в) Если t =10 мс, то v=350sin(40π10/10 3 -0,542)=350sin(0,714)=350sin41 o =229,6 В
г) Если v=200 И, то 200=350sin(40πt-0,542) 200/350=sin(40πt-0,542)
График. Колебательный механизм
(пример, синусоида).
v=350sin(40πt-0,542) Следовательно, (40πt-0,542)=arcsin200/350=35 o или 0,611 рад.
40πt= 0,611+0,542=1,153.
Следовательно, если v=200В, то время t=1,153/40π=9,179 мс
Оценка статьи:
Из графиков видно что:
- Графики синуса и косинуса колеблются в пределах между -1 и 1
- Кривая косинуса имеет ту же форму, что и кривая синуса, но сдвинута относительно нее на 90 o
- Кривые синуса и косинуса непрерывны и повторяются с периодом 360 o , кривая тангенса имеет разрывы и повторяется с периодом 180 o .
На рис. слева показаны перпендикулярные оси ХХ" и YY"; пересекающиеся в начале координат О. При работе с графиками измерения вправо и вверх от О считаются положительными, влево и вниз от О - отрицательными. Пусть ОА свободно вращается относительно О. При повороте ОА против часовой стрелки измеряемый угол считается положительным, а при повороте по часовой стрелке - отрицательным.
График. Положительное или отрицательное
направление при движении по окружности.
Пусть ОА вращается против часовой стрелки таким образом, что Θ 1 - любой угол в первом квадранте, и построим перпендикуляр АВ для получения прямоугольного треугольника ОАВ на рис. слева. Поскольку все три стороны треугольника положительны, тригонометрические функции синус, косинус и тангенс в первом квадранте будут положительны. (Отметим, что длина ОА всегда положительна, поскольку является радиусом круга.)
Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ 2 - любой угол во втором квадранте, и построим АС так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАС. Тогда sin Θ 2 =+/+ = +; cos Θ 2 =+/- = -; tg Θ 2 =+/- = -. Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ 3 - любой угол в третьем квадранте, и построим АD так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАD. Тогда sin Θ 3 = -/+ = -; cos Θ 3 = -/+ = -; tg Θ 3 = -/- =+ .
График. Поcтроение углов в
различных квадрантах.
Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ 4 - любой угол в четвертом квадранте, и построим АЕ так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАЕ. Тогда sin Θ 4 = -/+= -; cos Θ 4 =+/+=+; tg Θ 4 = -/+= -.
В первом квадранте все тригонометрические функции имеют положительные значения, во втором положителен только синус, в третьем - только тангенс, в четвертом только косинус, что и показано на рис. слева.
Знание углов произвольной величины необходимо при нахождении, например, всех углов между 0 o и 360 o , синус которых равен, скажем, 0,3261. Если ввести в калькулятор 0,3261 и нажать кнопку sin -1 , получим ответ 19,03 o . Однако существует второй угол между 0 o и 360 o , который калькулятор не покажет. Синус также положителен во втором квадранте. Другой угол показан на рис. ниже как угол Θ, где Θ=180 o - 19,03 o = 160,97 o . Таким образом, 19,03 o и 160,97 o - это углы в диапазоне от 0 o до 360 o , синус которых равен 0,3261.
Будьте внимательны! Калькулятор дает только одно из этих значений. Второе значение следует определить согласно теории углов произвольной величины.
Пример 1
Найти все углы в диапазоне от 0 o до 360 o , синус которых равен -0,7071
Решение:
Углы, синус которых равен -0,7071 o находятся в третьем и четвертом квадранте, поскольку синус отрицателен в этих квадрантах (смотри рис. слева).
График. Нахождение всех углов по
заданному значению синуса (пример)
Из следующего рисунка Θ = arcsin 0,7071 = 45 o . Два угла в диапазоне от 0 o до 360 o , синус которых равен -0,7071, это 180 o +45 o =225 o и 360 o - 45 o = 315 o .
.gif)
Примечание.
Калькулятор дает только один ответ.
График. Нахождение всех углов по
заданному значению синуса (пример)
Пример 2
Найти все углы между 0 o и 360 o , тангенс которых равен 1, 327.
Решение:
Тангенс положителен в первом и третьем квадрантах - рис. слева.
График. Нахождение всех углов по
Из рис ниже Θ = arctg1,327= 53 o . .gif)
Два угла в диапазоне от 0 o до 360 o , тангенс которых равен 1,327, это 53 o и 180 o + 53 o , т.е. 233 o .
График. Нахождение всех углов по
заданному значению тангенса (пример)
Пусть ОR на рис. слева- это вектор единичной длины, свободно вращающийся против часовой стрелки вокруг О. За один оборот получается круг, показанный на рис. и разделенный секторами по 15 o . Каждый радиус имеет горизонтальную и вертикальную составляющую. Например, для 30 o вертикальная составляющая - это ТS, а горизонтальная - ОS.
Из определения тригонометрических функций
sin30 o =TS/TO=TS/1, т.е. TS= sin30 o
и cos30 o =OS/TO=OS/1, т.e. OS=cos30 o
Вертикальную составляющую TS можно перенести на график в виде T"S", что равно значению, соответствующему углу 30 o на графике зависимости y от угла х. Если все вертикальные составляющие, подобно TS, перенести на график, то получится синусоида, показанная на рис. выше.
Если все горизонтальные составляющие, подобные OS, спроецировать на график зависимости у от угла х, получится косинусоида. Эти проекции легко визуализировать, перерисовывая круг с радиусом OR и началом отсчета углов от вертикали, как показано на рисунке слева.
Из рис. слева видно, что синусоида имеет ту же форму, что и косинусоида, но смещенная на 90 o .
 |
 |
 |
 |
Периодические функции и период
Каждый из графиков функций, показанных на четырех рис. выше, повторяется при увеличении угла А, поэтому их называют периодическими функциями
.
Функции y=sinA и y=cosA повторяются через каждые 360 o (или 2π радиан), поэтому 360 o называется периодом
этих функций. Функции y=sin2A и y=cos2A повторяются через каждые 180 o (или π радиан),поэтому 180 o - это период для данных функций.
В общем случае если y=sinpA и y=cospA (где р - константа), то период функции равен 360 o /p (или 2π/p радиан). Следовательно, если y=sin3A, то период этой функции равен 360 o /3= 120 o , если y=cos4A, то период этой функции равен 360 o /4= 90 o .
Амплитуда
Амплитудой
называется максимальное значение синусоиды. Каждый из графиков 1-4 имеет амплитуду +1 (т.е. они колеблются между +1 и -1). Однако, если y=4sinA, каждая из величин sinA умножается на 4, таким образом, максимальная величина амплитуды - 4. Аналогично для y=5cos2A амплитуда равна 5, а период - 360 o /2= 180 o .
Пример 3.
Построить y=3sin2A в диапазоне от А= 0 o до А=360 o . 
Решение:
Амплитуда =3, период = 360 o /2 =180 o .
Пример 4.
Построить график y=4cos2x в диапазоне от х=0 o до х=360 o 
Решение:
Амплитуда = 4. период = 360 o /2 =180 o .
Углы запаздывания и опережения
Кривые синуса и косинуса не всегда начинаются в 0 o . Чтобы учесть это обстоятельство, периодическая функция представляется в виде y=sin(A± α), где α - сдвиг фазы относительно y=sinA и y=cosA.
.gif)
Составив таблицу значений, можно построить график функции y=sin(A-60 o), показанный на рис. слева. Если кривая y=sinA начинается в 0 o , то кривая y=sin(A-60 o) начинается в 60 o (т.е. ее нулевое значение на 60 o правее). Таким образом, говорят, что y=sin(A-60 o) запаздывает
относительно y=sinA на 60 o .
График. y=sin(A-60 o) (синусоида).
.gif)
Составив таблицу значений, можно построить график функции y=cos(A+45 o), показанный на рис. ниже.
Если кривая y=cosA начинается в 0 o , то кривая y=cos(A+45 o) начинается на 45 o левее (т.е. ее нулевая величина находится на 45 o раньше).
Таким образом, говорят, что график y=cos(A+45 o) опережает
график y=cosA на 45 o .
График. y=cos(A+45 o) (косинусоида).
В общем виде, график y=sin(A-α) запаздывает относительно y=sinAна угол α.
Косинусоида имеет ту же форму, что и синусоида, но начинается на 90 o левее, т.е. опережает ее на 90 o . Следовательно, cosA=sin(A+90 o).
Пример 5.
Построить график y=5sin(A+30 o) в диапазоне от А=0 o до А=360 o
.gif)
Решение:
Амплитуда = 5, период = 360 o /1 = 360 o .
5sin(A+30 o) опережает 5sinA на 30 o т.е. начинается на 30 o раньше.
График y=5sin(A+30 o) (синусоида).
Пример 6.
Построить график y=7sin(2A-π/3) в диапазоне от А=0 o до А=360 o . 
Решение:
Амплитуда = 7, период =2π/2= π радиан
В общем случае y=sin(pt-α) запаздывает относительно y=sinpt на α/p
, следовательно 7sin(2A-π/3) запаздывает относительно 7sin2A на (π/3)/2, т.е. на π/6 радиан или на 30 o
Синусоида вида Asin(ωt±α). Фазовый угол. Сдвиг по фазе.
Пусть OR на рис. слева представляет собой вектор, свободно вращающийся против часовой стрелки вокруг О со скоростью ω радиан/с. Вращающийся вектор называется фазовым вектором
. Через время t секунд OR повернется на угол ωt радиан (на рис. слева это угол TOR). Если перпендикулярно к OR построить ST, то sinωt=ST/OT, т.e. ST=OTsinωt.
Если все подобные вертикальные составляющие спроецировать на график зависимости у от ωt, получится синусоида с амплитудой OR.
Если фазовый вектор OR делает один оборот (т.е. 2π радиан) за Т секунд, то угловая скорость ω=2π/Т рад/с, откуда
Т=2π/ ω (с), где
Т - это период
Число полных периодов, проходящих за 1 секунду, называется частотой
f.
Частота = (количество периодов)/(секунда) = 1/ T = ω/2π Гц,
т.е. f= ω/2π Гц
Следовательно, угловая скорость
ω=2πf рад/с.
Если в общем виде синусоидальная функция выглядит, как y=sin(ωt± α), то
А - амплитуда
ω - угловая скорость
2π/ ω - период Т, с
ω/2π - частота f, Гц
α - угол опережения или запаздывания (относительно y=Аsinωt) в радианах, он называется также фазовым углом.
Пример 7.
Переменный ток задается как i=20sin(90πt+0,26) ампер. Определить амплитуду, период, частоту и фазовый угол (в градусах)
Решение:
i=20sin(90πt+0,26)А, следовательно,
амплитуда равна
20 А
угловая скорость ω
=90π, следовательно,
период Т
= 2π/ ω = 2π/ 90π = 0,022 с = 22мс
частота
f
= 1/Т = 1/0,022 = 45,46 Гц
фазовый угол α
= 0,26 рад. = (0,26*180/π) o = 14,9 o .
Пример 8.
Колебательный механизм имеет максимальное смещение 3 м и частоту 55 Гц. Во время t=0 смещение составляет 100см. Выразить смещение в общем виде Аsin(ωt± α).
Решение
Амплитуда = максимальное смещение = 3м
Угловая скорость ω=2πf = 2π(55) = 110 πрад./с
Следовательно, смещение 3sin(110πt + α) м.
При t=0 смещение = 100см=1м.
Следовательно, 1= 3sin(0 + α), т.е. sinα=1/3=0,33
Следовательно α=arcsin0,33=19 o
Итак, смещение равно 3sin(110 πt + 0,33).
Пример 9.
Значение мгновенного напржения в схеме переменного тока в любые t секунд задается в виде v=350sin(40πt-0,542)В. Найти:
а) Амплитуду, период, частоту и фазовый угол (в градусах)
б) значение напряжения при t =0
в) значение напряжения при t =10 мс
г) время, за которое напряжение впервые достигнет значения 200 В. 
Решение
:
а) Амплитуда равна 350 В, угловая скорость равна ω=40π
Следовательно,
период Т=2π/ ω=2π/40π=0,05 с =50мс
частота f=1/Т=1/0,05=20 Гц
фазовый угол = 0,542 рад (0,542*180/π) = 31 o с запаздыванием относительно v=350sin(40πt)
б) Если t =0, то v=350sin(0-0,542)=350sin(-31 o)=-180,25 В
в) Если t =10 мс, то v=350sin(40π10/10 3 -0,542)=350sin(0,714)=350sin41 o =229,6 В
г) Если v=200 И, то 200=350sin(40πt-0,542) 200/350=sin(40πt-0,542)
График. Колебательный механизм
(пример, синусоида).
v=350sin(40πt-0,542) Следовательно, (40πt-0,542)=arcsin200/350=35 o или 0,611 рад.
40πt= 0,611+0,542=1,153.
Следовательно, если v=200В, то время t=1,153/40π=9,179 мс
Параллельный перенос.
ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ
f(x) => f(x) - b
Пусть требуется построить график функции у = f(х) - b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на |b| единиц меньше соответствующих ординат графика функций у = f(х) при b>0 и на |b| единиц больше - при b 0 или вверх при b Для построения графика функции y + b = f(x) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось абсцисс на |b| единиц вверх при b>0 или на |b| единиц вниз при b
ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС
f(x) => f(x + a)
Пусть требуется построить график функции у = f(x + a). Рассмотрим функцию y = f(x), которая в некоторой точке x = x1 принимает значение у1 = f(x1). Очевидно, функция у = f(x + a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 - a, причем рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений из области определения функции. Следовательно, график функции у = f(x + a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс влево на |a| единиц при a > 0 или вправо на |a| единиц при a Для построения графика функции y = f(x + a) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось ординат на |a| единиц вправо при a>0 или на |a| единиц влево при a
Примеры:
1.y=f(x+a)
2.y=f(x)+b
Отражение.
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = F(-X)
f(x) => f(-x)
Очевидно, что функции y = f(-x) и y = f(x) принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Иначе говоря, ординаты графика функции y = f(-x) в области положительных (отрицательных) значений х будут равны ординатам графика функции y = f(x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях х. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = f(-x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y = f(-x)
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = - F(X)
f(x) => - f(x)
Ординаты графика функции y = - f(x) при всех значениях аргумента равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции y = f(x) при тех же значениях аргумента. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = - f(x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.
Примеры:
1.y=-f(x)
2.y=f(-x)
3.y=-f(-x)
Деформация.
ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ
f(x) => k f(x)
Рассмотрим функцию вида y = k f(x), где k > 0. Нетрудно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в k раз больше ординат графика функции у = f(x) при k > 1 или 1/k раз меньше ординат графика функции y = f(x) при k Для построения графика функции y = k f(x) следует построить график функции y = f(x) и увеличить его ординаты в k раз при k > 1(произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в 1/k раз при k
k > 1
- растяжение от оси Ох
0 - сжатие к оси OX
ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС
f(x) => f(k x)
Пусть требуется построить график функции y = f(kx), где k>0. Рассмотрим функцию y = f(x), которая в произвольной точке x = x1 принимает значение y1 = f(x1). Очевидно, что функция y = f(kx) принимает такое же значение в точке x = x2, координата которой определяется равенством x1 = kx2, причем это равенство справедливо для совокупности всех значений х из области определения функции. Следовательно, график функции y = f(kx) оказывается сжатым (при k 1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y = f(x). Таким образом, получаем правило.
Для построения графика функции y = f(kx) следует построить график функции y = f(x) и уменьшить его абсциссы в k раз при k>1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в 1/k раз при k
k > 1
- сжатие к оси Оу
0 - растяжение от оси OY
Работу выполнили Чичканов Александр, Леонов Дмитрий под руководством Ткач Т.В, Вязовова С.М, Островерховой И.В.
©2014
Мы выяснили, что поведение тригонометрических функций, и функции у = sin х в частности, на всей числовой прямой (или при всех значениях аргумента х ) полностью определяется ее поведением в интервале 0 < х < π / 2 .
Поэтому прежде всего мы построим график функции у = sin х именно в этом интервале.
Составим следующую таблицу значений нашей функции;
Отмечая соответствующие точки на плоскости координат и соединяя их плавной линией, мы получаем кривую, представленную на рисунке
Полученную кривую можно было бы построить и геометрически, не составляя таблицы значений функции у = sin х .
1.Первую четверть окружности радиуса 1 разделим на 8 равных частей.Ординаты точек деления окружности представляют собой синусы соответствующих углов.
2.Первая четверть окружности соответствует углам от 0 до π / 2 . Поэтому на оси х возьмем отрезок и разделим его на 8 равных частей.
3.Проведем прямые, параллельные оси х , а из точек деления восставим перпендикуляры до пересечения с горизонтальными прямыми.
4.Точки пересечения соединим плавной линией.
Теперь обратимся к интервалу π /
2
<
х
<
π
.
Каждое значение аргумента х
из этого интервала можно представить в виде
x = π / 2 + φ
где 0 < φ < π / 2 . По формулам приведения
sin ( π / 2 + φ ) = соsφ = sin ( π / 2 - φ ).
Точки оси х с абциссами π / 2 + φ и π / 2 - φ симметричны друг другу относительно точки оси х с абсциссой π / 2 , и синусы в этих точках одинаковы. Это позволяет получить график функции у = sin х в интервале [ π / 2 , π ] путем простого симметричного отображения графика этой функции в интервале относительно прямой х = π / 2 .
Теперь, используя свойство нечетности функции у = sin х,
sin (- х ) = - sin х ,
легко построить график этой функции в интервале [- π , 0].
Функция у = sin х периодична с периодом 2π ;. Поэтому для построения всего графика этой функции достаточно кривую, изображенную на рисунке, продолжить влево и вправо периодически с периодом 2π .
Полученная в результате этого кривая называется синусоидой . Она и представляет собой график функции у = sin х.
Рисунок хорошо иллюстрирует все те свойства функции у = sin х , которые раньше были доказаны нами. Напомним эти свойства.
1) Функция у = sin х определена для всех значений х , так что областью ее определения является совокупность всех действительных чисел.
2) Функция у = sin х ограничена. Все значения, которые она принимает, заключены в интервале от -1 до 1, включая эти два числа. Следовательно, область изменения этой функции определяется неравенством -1< у < 1. При х = π / 2 + 2kπ функция принимает наибольшие значения, равные 1, а при х = - π / 2 + 2kπ - наименьшие значения, равные - 1.
3) Функция у = sin х является нечетной (синусоида симметрична относительно начала координат).
4) Функция у = sin х периодична с периодом 2π .
5) В интервалах 2nπ < x < π + 2nπ (n - любое целое число) она положительна, а в интервалах π + 2kπ < х < 2π + 2kπ (k - любое целое число) она отрицательна. При х = kπ функция обращается в нуль. Поэтому эти значения аргумента х (0; ±π ; ±2π ; ...) называются нулями функции у = sin x
6) В интервалах - π / 2 + 2nπ < х < π / 2 + 2nπ функция у = sin x монотонно возрастает, а в интервалах π / 2 + 2kπ < х < 3π / 2 + 2kπ она монотонно убывает.
Cледует особо обратить внимание на поведение функции у = sin x вблизи точки х = 0 .
Например, sin 0,012 ≈ 0,012; sin (-0,05) ≈ -0,05;
sin 2° = sin π 2 / 180 = sin π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Вместе с тем следует отметить, что при любых значениях х
| sin x | < | x | . (1)
Действительно, пусть радиус окружности, представленной на рисунке, равен 1,
a /
AОВ = х
.
Тогда sin x = АС. Но АС < АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол х . Длина этой дуги равна, очевидно, х , так как радиус окружности равен 1. Итак, при 0 < х < π / 2
sin х < х.
Отсюда в силу нечетности функции у = sin x легко показать, что при - π / 2 < х < 0
| sin x | < | x | .
Наконец, при x = 0
| sin x | = | x |.
Таким образом, для | х | < π / 2 неравенство (1) доказано. На самом же деле это неравенство верно и при | x | > π / 2 в силу того, что | sin х | < 1, а π / 2 > 1
Упражнения
1.По графику функции у = sin x определить: a) sin 2; б) sin 4; в) sin (-3).
2.По графику функции у = sin x
определить, какое число из интервала
[ - π /
2 ,
π /
2
] имеет синус, равный: а) 0,6; б) -0,8.
3. По графику функции у = sin x
определить, какие числа имеют синус,
равный 1 / 2 .
4. Найти приближенно (без использования таблиц): a) sin 1°; б) sin 0,03;
в) sin (-0,015); г) sin (-2°30").