Построение сечений тетраэдра онлайн. Учимся строить сечения

Сегодня еще раз разберем, как построить сечение тетраэдра плоскостью .
Рассмотрим самый простой случай (обязательный уровень), когда 2 точки плоскости сечения принадлежат одной грани, а третья точка - другой грани.

Напомним алгоритм построения сечений такого вида (случай: 2 точки принадлежат одной грани).

1. Ищем грань, которая содержит 2 точки плоскости сечения. Проводим прямую через две точки, лежащие в одной грани. Находим точки ее пересечения с ребрами тетраэдра. Часть прямой, оказавшаяся в грани, есть сторона сечения.

2. Если многоугольник можно замкнуть - сечение построено. Если нельзя замкнуть, то находим точку пересечения построенной прямой и плоскости, содержащей третью точку.

1. Видим, что точки E и F лежат в одной грани (BCD), проведем прямую EF в плоскости (BCD).
2. Найдем точку пересечения прямой EF c ребром тетраэдра BD, это точка Н.
3. Теперь следует найти точку пересечения прямой EF и плоскости, содержащей третью точку G, т.е. плоскости (ADC).
Прямая CD лежит в плоскостях (ADC) и (BDC), значит она пересекается с прямой EF, и точка К является точкой пересечения прямой EF и плоскости (ADC).
4. Далее находим еще две точки, лежащие в одной плоскости. Это точки G и K, обе лежат в плоскости левой боковой грани. Проводим прямую GK, отмечаем точки, в которых эта прямая пересекает ребра тетраэдра. Это точки M и L.
4. Осталось "замкнуть" сечение, т.е.соединить точки, лежащие в одной грани. Это точки M и H, и также L и F. Оба этих отрезка - невидимы, проводим их пунктиром.


В сечении получился четырехугольник MHFL. Все его вершины лежат на ребрах тетраэдра. Выделим получившееся сечение.

Теперь сформулируем "свойства" правильно построенного сечения:

1. Все вершины многоугольника, которое является сечением, лежат на ребрах тетраэдра (параллелепипеда, многоугольника).

2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника.
3. В каждой грани многоранника может находиться не более одной (одна или ни одной!) стороны сечения

Урок по теме:

«Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда»

Цели урока

1. Ознакомиться с основами решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда плоскостью.

2. Выделить виды задач на построение сечений.

3. Выработать навыки решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.

4. Формирование пространственного воображения.

Ход урока.

I Организационный момент.

II Проверка домашнего задания.

Ребята, какие геометрические тела мы изучали на последних уроках? (тетраэдр, параллелепипед).

Что называется тетраэдром?

Что называется параллелепипедом?

А теперь проверим устное домашнее задание.

В учебнике на стр. 31 читаем и отвечаем на вопросы 14,15.

14. Существует ли тетраэдр у которого пять углов граней прямые?

(Нет, так как в четырёх треугольниках, образующих, может быть только четыре прямых угла, по одному в каждом не более).

15. Существует ли параллелепипед, у которого:

а ) Только одна грань прямоугольник. (Нет, так как противоположные грани параллелепипеда равны).

б ) Только две смежные грани ромбы. (Нет, ромбами могут быть только противоположные грани).

в ) Все углы грани острые. (Нет, у параллелограмма есть как острые, так и тупые углы, а каждая грань параллелограмм).

г ) Все углы грани прямые. (Да, в прямоугольном параллелепипеде).


д ) Число всех острых углов грани не равно числу всех тупых углов грани. (Нет, острых и тупых углов поровну в каждой грани).

III Объяснение новой темы.

Теперь переходим к новой теме. Запишите тему урока. Цель сегодняшнего урока:

1. Ознакомиться с основами решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда плоскостью.

2. Выделить виды задач на построение сечений.

3. Выработать навыки решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.

4. Формирование пространственного воображения.

Итак, для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями.

Что же мы будем понимать под секущей плоскостью ? В учебнике на стр. 27 найдём ответ на этот вопрос.

Секущей плоскостью называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Следующее понятие – это сечение. И снова за помощью обращаемся к учебнику. А теперь посмотрите, как выглядит точное определение сечения.

v Где располагаются стороны многоугольника, который является сечением?

v Где располагаются вершины многоугольника, который является сечением?

А теперь ответим на вопрос. Что значит построить сечение многогранника плоскостью. Таким образом, мы в каждой грани будем строить отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани.

Чтобы грамотно построить сечение надо уметь применять различные теоремы и свойства. Ответим на вопрос.

Какие из данных утверждений могут пригодиться при построении сечений?

1. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, содержащей эту точку.

2. Если прямая, лежащая, в одной из пересекающихся плоскостей, пересекает другую плоскость, то она пересекает линию пересечения плоскостей.

3. Если две параллельные плоскости, пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны.

4. Секущая, плоскость пересекает грань многогранника по ломаной линии.

5. В сечении параллелепипеда плоскостью, может получиться:

v отрезок

v треугольник

v четырёхугольник

v пятиугольник

v шестиугольник

v Семиугольник

А теперь вспомним способы задания плоскости:

При построении сечений важно знать:

https://pandia.ru/text/78/131/images/image003_53.jpg" width="559" height="288 src=">

https://pandia.ru/text/78/131/images/image005_39.jpg" width="564" height="355 src=">

Теперь в учебнике рассмотрим основные задачи на построение сечений. И так, задача первая, где необходимо построить сечение тетраэдра по трём точкам, принадлежащим секущей, плоскости, причём две из них лежат в одной плоскости, а третья лежит в другой плоскости.
.jpg" width="588" height="359 src=">

Решение задач. Проверка правильности решения с помощью слайдов.

V Итог урока.

Представьте ситуацию:

Ваш одноклассник заболел и пропустил уроки, на которых проходили тему «Построение сечений многогранников». Вам нужно по телефону объяснить эту тему. Сформулируйте пошаговый алгоритм.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image015_14.jpg" width="600" height="284 src=">

А сейчас я проведу тестирование. Вам необходимо выполнить три задания в течение трёх минут. Выберите и выпишите номер рисунков, на которых изображено верные сечения тетраэдра и параллелепипеда, а так же верный рисунок.

VI Домашнее задание . n.14, вопрос 16, № 000,106. Придумать и решить одну задачу на построение сечения тетраэдра или параллелепипеда.

, слайды 1-2)
  • научиться применять аксиомы стереометрии при решении задач;
  • научиться находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра;
  • освоить методы построения этих сечений
  • формировать познавательную активность, умения логически мыслить;
  • создать условия самоконтроля усвоения знаний и умений.

Тип урока: Формирование новых знаний.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

Фронтальный опрос. (Аксиомы стереометрии, свойства параллельных плоскостей)

Слово учителя

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. (слайд 3) . Назовём секущей плоскостью тетраэдра любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра. Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра . Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники. Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра, после чего остаётся провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

На этом уроке вы сможете подробно изучить сечения тетраэдра, освоить методы построения этих сечений. Вы узнаете пять правил построения сечений многогранников, научитесь находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра.

Актуализация опорных понятий

  • Первое правило. Если две точки принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через эти две точки, является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани (следствие аксиомы о пересечении плоскостей).
  • Второе правило . Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекаются с любой гранью по параллельным прямым (свойство двух параллельных плоскостей, пересечённых третьей).
  • Третье правило. Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости (например, плоскости какой-то грани), то линия пересечения секущей плоскости с этой плоскостью (гранью) параллельна этой прямой (свойство прямой, параллельной плоскости).
  • Четвёртое правило. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым (свойство параллельных плоскостей, пересечённых третьей).
  • Пятое правило . Пусть две точки А и В принадлежат секущей плоскости, а точки A 1 и B 1 являются параллельными проекциями этих точек на некоторую грань. Если прямые АВ и A 1 B 1 параллельны, то секущая плоскость пересекает эту грань по прямой, параллельной A 1 B 1 . Если же прямые АВ и A 1 B 1 пересекаются в некоторой точке, то эта точка принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости этой грани (первая часть этой теоремы следует из свойства прямой, параллельной плоскости, а вторая вытекает из дополнительных свойств параллельной проекции).

III. Изучение нового материала (формирование знаний, умений)

Коллективное решение задач с объяснением (слайд 4)

Задача 1. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АД, М є ДС, Е є ВС.

Внимательно посмотрим на чертёж. Так как точки К и М принадлежат одной плоскости, то мы находим пересечение секущей плоскости с гранью АДС – это отрезок КМ. Точки М и Е также лежат в одной плоскости, значит пересечением секущей плоскости, и грани ВДС является отрезок МЕ. Находим точку пересечения прямых КМ и АС, которые лежат в одной плоскости АДС. Теперь точка Х лежит в грани АВС, то её можно соединить с точкой Е. Проводим прямую ХЕ, которая пересекается с АВ в точке Р. Отрезок РЕ есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС, а отрезок КР есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС. Следовательно, четырёхугольник КМЕР наше искомое сечение. Запись решения в тетради:

Решение.

  1. КМ = α ∩ АДС
  2. МЕ = α ∩ ВДС
  3. Х = КМ ∩ АС
  4. Р = ХЕ ∩ АВ
  5. РЕ = α ∩ АВС
  6. КР = α ∩ АДВ
  7. КМЕР – искомое сечение

Задача 2. (слайд 5)

Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АВС, М є ВДС, N є АД

Проанализируем этот рисунок. Здесь нет точек, лежащих в одной грани. В это случае воспользуемся правилом 5. Рассмотрим проекции каких-нибудь двух точек. В тетраэдре проекции точек находят из вершины на плоскость основания, т.е. М→М 1 , N→А. Находим пересечение прямых NM и AM 1 точку Х.Данная точка принадлежит секущей плоскости, так как лежит на прямой NM, принадлежит плоскости АВС, так как лежит на прямой АМ 1 . Значит, теперь в плоскости АВС у нас есть две точки, которые можно соединить, получаем прямую КХ. Прямая пересекает сторону ВС в точке L, а сторону АВ в точке Н. В грани АВC находим линию пересечения, она проходит через точки Н и К – это НL. В грани АВД линия пересечения – НN, в грани ВДС проводим линию пересечения через точки L и М – это LQ и в грани АДС получаем отрезок NQ. Четырёхугольник HNQL – искомое сечение.

Решение

  1. М → М 1 N → А
  2. Х = NМ ∩ АМ 1
  3. L = КХ ∩ ВС
  4. H = КХ ∩ АВ
  5. НL = α ∩ АВC, К є НL
  6. НN = α ∩ АВД,
  7. LQ = α ∩ ВДС, М є LQ
  8. NQ = α ∩ АДС
  9. HNQL – искомое сечение

IV. Закрепление знаний

Работа с анимационным объектом «Построение сечения тетраэдра с плоскостью» (диск «Уроки геометрии в 10 классе» урок №16)

Решение задачи с последующей проверкой

Задача 3. (слайд 6)

Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є ВС, М є АДВ, N є ВДС.

Решение

  1. 1. М → М 1 , N → N 1
  2. Х = NМ ∩ N 1 М 1
  3. R = КХ ∩ АВ
  4. RL = α ∩ АВД, М є RL
  5. КР = α ∩ ВДС, N є КР
  6. LP = α ∩ АДС
  7. RLPK – искомое сечение

V. Самостоятельная работа (по вариантам)

(слайд 7)

Задача 4. N є АС, К є АД.

Решение

  1. КМ = α ∩ АВД,
  2. МN = α ∩ АВС,
  3. КN = α ∩ АДС
  4. KMN – искомое сечение

Задача 5. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, К є ДС, N є ДВ.

Решение

  1. MN = α ∩ АВД
  2. NK = α ∩ ВДС
  3. Х = NК ∩ ВС
  4. Р = АС ∩ МХ
  5. РК = α ∩ АДС
  6. MNKP – искомое сечение

Задача 6. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВС, К є ВД, N є ДС

Решение

  1. KN = α ∩ ДВС
  2. Х = КN ∩ ВС
  3. Т = МХ ∩ АВР = ТХ ∩ АС
  4. РТ = α ∩ АВС, М є РТ
  5. PN = α ∩ АДС
  6. ТР N K – искомое сечение

VI. Итог урока.

(слайд 8)

Итак, мы сегодня научились строить простейшие задачи на сечения тетраэдра. Напоминаю, что сечением многогранника называется многоугольник, полученный в результате пересечения многогранника с некоторой плоскостью. Сама плоскость при этом называется секущей плоскостью. Построить сечение значит определить, какие рёбра пересекает секущая плоскость, вид полученного сечения и точное положение точек пересечения секущей плоскости с этими рёбрами. То есть, те цели, которые были поставлены на уроке, решены.

VII. Домашнее задание.

(слайд 9)

Практическая работа «Построить сечения тетраэдра» в электронном виде или бумажном варианте. (Каждому было дано индивидуальное задание).

Разработка урока

по теме «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда» в 10 «А» классе

Цель урока:

научить строить сечения тетраэдра и параллелепипеда плоскостью;

формировать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

развивать навыки самостоятельной деятельности у обучающихся, умения работать в группе.

Оборудование: проектор, интерактивная доска, раздаточный материал.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Методы и приемы, используемые на уроке: наглядный, практический, проблемно-поисковый, групповой, элементы исследовательской деятельности.

I . Организационный момент.

Учитель сообщает тему и цель урока (слайд №1 ).

II . Актуализация знаний.

Учитель: Выполняя домашнее задание вам нужно было найти точки встречи прямых и плоскостей, след секущей плоскости на плоскости грани многогранника. Прокомментируйте, что для этого необходимо сделать.

(Обучающиеся комментируют домашнее задание (слайды №2-3 ).

Учитель: Чтобы перейти к изучению новой темы, давайте повторим теоретический материал, ответив на вопросы:

    Что называется секущей плоскостью (слайд №4 )? (Обучающиеся дают определение.)

    Что называется сечением многогранника (слайд №5 )?(Формулируется определение.)

    Что необходимо сделать для того, чтобы построить сечение многогранника плоскостью?

Построение сечения сводится к построению линий пересечения секущей плоскости и плоскостей граней многогранника.)

    Обязательно ли секущая плоскость должна пересечь плоскости всех граней многогранника?

Учитель: Давайте проведем небольшое исследование и ответим на вопрос: «Какая фигура может получиться в сечении тетраэдра или параллелепипеда плоскостью?»

(Обучающиеся, работая в группах, ищут ответ на поставленный вопрос.)

(Через несколько минут они формулируют свои предположения, и идет демонстрация слайдов 6 – 7 .)

Учитель: Давайте повторим правила, о которых необходимо помнить при построении сечений многогранника (обучающиеся вспоминают и формулируют нужные аксиомы, теоремы, свойства):

    Если две точки принадлежат секущей плоскости и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через данные точки, будет являться следом секущей плоскости на плоскости грани.

    Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой.

    При пересечении двух параллельных плоскостей секущей плоскостью получаются параллельные прямые.

    Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекают третью плоскость по прямым, параллельным между собой.

    Если у секущей плоскости и плоскостей двух пересекающихся граней есть общая точка, то она лежит на прямой, содержащей общее ребро данных граней.

Учитель: Найдите ошибки на данных чертежах, обоснуйте свое утверждение (слайды8-9 ).

Учитель: Итак, ребята, мы подготовили теоретическую базу, чтобы научиться строить сечения многогранников плоскостью, в частности сечения тетраэдра и параллелепипеда. Большую часть заданий вы будете выполнять самостоятельно, работая в группах, поэтому у каждого из вас есть рабочие листы с заготовками чертежей многогранников, на которых вы будете строить сечения. При необходимости, вы можете обращаться за консультацией к учителю или старшему в группе.

Итак, вашему вниманию предлагается первое задание : ( слайд №10 ) постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки M , N , K . (В сечении получается треугольник, проверка - слайд №11 .)

Учитель: Рассмотрим вторую задачу : Дан тетраэдр DABC . Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK , если M DC , N AD , K AB . ( Слайд №12 )

(Провести решение задачи вместе с классом, комментируя построение.)

( Задача №3 – самостоятельная работа в группах (слайд №14 ). Проверка - слайд № 15 .)

Задача №4 : Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK , где M и N – середины ребер AB и BC ( слайд № 16 ). (Проверка на слайде №17 .)

Учитель : Переходим к следующей части урока. Рассмотрим задачи на построение сечений параллелепипеда плоскостью. Мы выяснили, что в сечении параллелепипеда плоскостью может получиться треугольник, четырехугольник, пятиугольник или шестиугольник. Правила построения сечений те же. Предлагаю перейти к следующей задаче, которую вы решите самостоятельно.

(Демонстрируется слайд №18 )

Задача №5

Постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью MNK , если M AA 1 , N BB 1 , K CC 1 . (Проверка на слайде № 19 ).

Задача № 6 : ( Слайд № 20 ) Постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью PTO , если P , T , O принадлежат соответственно ребрам АА 1 , ВВ 1 , СС 1 .

(Решение обсуждается, учащиеся строят сечение на индивидуальных листах и записывают ход построения (слайд № 21 ).)

    TO ∩ BC = M

    TP ∩ AB = N

    NM ∩ AD = L

    NM ∩ CD = F

    PL, FO

    PTOFL – искомое сечение.

Задача №7: (слайд № 22) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью KMN , если K A 1 D 1 , N , M AB .

Решение: ( слайд № 23)

    MN ∩ AD=Q;

    QK∩AA 1 =P;

    PM;

    NE II PK; KF II MN;

    FE.

MPKFEN – искомое сечение.

Творческие задания (карточки по вариантам):

    В правильной треугольной пирамиде S АВС через вершину С и середину ребра S А проведите сечение пирамиды, параллельное SB . На ребре АВ взята точка F так, что А F : F В=3:1. Через точку F и середину ребра S С проведена прямая. Будет ли эта прямая параллельна плоскости сечения?

    АВ 1 С - сечение прямоугольного параллелепипеда АВС D А 1 В 1 С 1 D 1. Через точки Е, F , К, которые являются соответственно серединами ребер DD 1 , А 1 D 1 , D 1 C 1 проведено второе сечение. Докажите, что треугольники Е F К и АВ 1 C подобны, и установите какие углы этих треугольников равны между собой.

Итог урока: Итак, мы познакомились с правилами построения сечений тетраэдра и параллелепипеда, рассмотрели виды сечений, решали простейшие задачи на построение сечений. На следующем уроке мы продолжим изучение темы, рассмотрим более сложные задачи.

А теперь подведем итог урока, ответив на наши традиционные вопросы (слайд № 24 ):

«Мне понравился (не понравился) урок, потому что….»

«Сегодня на уроке я научился….»

«Мне хочется, чтобы….»

(Выставление оценок за урок.)

Задание на дом: п.14 №105, 106. ( слайд № 25 )

Дополнительное задание к №105 : Найдите отношение, в котором плоскость MNK делит ребро AB , если CN : ND = 2:1, BM = MD и точка K – середина медианы AL треугольника ABC .

(Закончить выполнение творческого задания.)

Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Содержание: 1. Цели и задачи. 2. Введение. 3. Понятие секущей плоскости. 4. Определение сечения. 5. Правила построения сечений. 6. Виды сечений тетраэдра. 7. Виды сечений параллелепипеда. 8. Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением. 9. Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением. 10. Задача на построение сечения тетраэдра по наводящим вопросам. 11. Второй вариант решения предыдущей задачи. 12. Задача на построение сечения параллелепипеда. 13. Задача на построение сечения параллелепипеда. 14. Пожелание учащимся. Цель работы: Развитие пространственных представлений у учащихся. Задачи: Познакомить с правилами построения сечений. Выработать навыки построения сечений тетраэдра и параллелепипеда при различных случаях задания секущей плоскости. Сформировать умение применять правила построения сечений при решении задач по темам «Многогранники». Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями. Секущей плоскостью параллелепипеда (тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра). L Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. L Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда). Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. 2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. 3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях. Какие многоугольники могут получиться в сечении? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: Треугольники Четырехугольники Параллелепипед имеет 6 граней Треугольники Пятиугольники В его сечениях могут получиться: Четырехугольники Шестиугольники Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K D M AA 1. Проведем прямую через точки М и К, т.к. они лежат в одной грани (АDC). N K BB C C 2. Проведем прямую через точки К и N, т.к. они лежат в одной грани (СDB). 3. Аналогично рассуждая, проводим прямую MN. 4. MNK – искомое сечение. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. 1. Проводим КF. 2. Проводим FE. 3. Продолжим EF, продолжим AC. D F 4. EF AC =М 5. Проводим MK. E M C 6. MK AB=L A L K Правила B 7. Проводим EL EFKL – искомое сечение Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. С какойпрямые точкой, лежащей в Какие можно Соедините получившиеся Какие сразу той жеточки граниможно можно продолжить, чтобы получить точки, лежащие в одной соединить? соединить полученную дополнительную точку? грани, назовите сечение. дополнительную точку? D иЕ АС ЕLFK FСЕК иточкой K, и FК F L C M A E K B Правила Второй способ Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. D F L C A E K B Правила Первый способ О Способ №1. Способ №2. Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые. Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В1, М, N Правила В1 D1 С1 A1 P К В D А Е N С O M 1. MN 3.MN ∩ BA=O 2.Продолжим 4. В1О MN,ВА 5. В1О ∩ А1А=К 6. КМ 7. Продолжим MN и BD. 8. MN ∩ BD=E 9. В1E 10. B1Е ∩ D1D=P , PN Параллелепипед и тетраэдр, сечения Диктант по теме «Тетраэдр, параллелепипед» Вариант I Вариант II 1. Какую поверхность мы называем тетраэдром? параллелепипедом? 2. Что такое грани, ребра, вершины параллелепипеда? тетраэдра? 3. Сформулируйте свойство параллелепипеда о диагоналях. о гранях. Диктант по теме «Тетраэдр, параллелепипед» Вариант I 4. Какие ребра тетраэдра называются противоположными? Вариант II 4. Какие грани параллелепипеда называются смежными? 5. Начертите изображение параллелепипеда. тетраэдра. Перечислите все элементы, укажите их количество. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M,A,D. В1 D1 E A1 С1 В А М D С 1. AD 2. MD 3. ME AD, т.к. (ABC) (A1B1C1) 4. AE AEMD – сечение. Построение сечений тетраэдра Решим задачу D M B A C Решим задачу K M L A N Решим задачу D AC BD B A M C Решим задачу D M К АВС B A K N Какой другой вариант возможен? C Решим задачу D M B A K N C Решим задачу D M ABC K N ACD B N A M C Решим задачу D M ABC K N ACD N B A M C Домашнее задание повторить п. 1 – 14, подготовиться к зачету № 74, 75(б), 107, 79 Построение сечений параллелепипеда Решим задачу B1 C1 М АА1В1В A1 D1 M (BDD1) B A C D Решим задачу С1 B1 A1 D1 B A С D Решим задачу B1 A1 C1 D1 B A C D Решим задачу B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Решим задачу B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Решим задачу B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Решим задачу B1 C1 A1 D1 M B N A C K D 1.Все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника. 2.Все стороны сечения лежат в гранях многогранника. 3.В каждой грани лежит не более одной стороны сечения. 10 10 10 10 ВЫ МНОГОЕ УЗНАЛИ И МНОГОЕ УВИДЕЛИ! ТАК ВПЕРЕД, РЕБЯТА: ДЕРЗАЙТЕ И ТВОРИТЕ! СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ.