ем перпендикуляры к каждому отрезку, на них откладываем действительные величины образующих цилиндра, взятые с фронтальной проекции. Соединив полученные точки между собой, получаем кривую.

Для получения полной развертки к развертке боковой поверхности добавляем окружность (основание) и натуральную величину сечения (эллипс), построенный по его большой и малой оси или по точкам.

5.3.4. Построение развертки усеченного конуса

В частном случае развертка конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из кругового сектора и круга (основания конуса).

В общем случае развертывание поверхности производится по принципу развертывания многогранной пирамиды (т. е. способом треугольников), вписанной в коническую поверхность. Чем большее число граней пирамиды, вписанной в коническую поверхность, тем меньше будет разница между действительной и приближенной развертками конической поверхности.

Построение развертки конуса начинается с нанесения из точки S 0 дуги окружности радиусом, равным длине образующей конуса. На этой дуге откладывают 12 частей окружности основания конуса и полученные точки соединяют с вершиной. Пример изображения полной развертки усеченного конуса представлен на рис. 5.7.

Лекция 6 (начало)

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ВЗАИМНОГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ И ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

6.1. Взаимное пересечение поверхностей

Пересекаясь между собой, поверхности тел образуют различные ломаные или кривые линии, которые называют линиями взаимного пересечения.

Для построения линий пересечения двух поверхностей нужно найти такие точки, которые одновременно принадлежат двум заданным поверхностям.

Когда одна из поверхностей полностью пронизывает другую, получаются 2 отдельные линии пересечения, называемые ветвями. В случае получения врезки, когда одна поверхность частично входит в другую, линия пересечения поверхностей будет одна.

6.2. Пересечение гранных поверхностей

Линия пересечения двух многогранников представляет собой замкнутую пространственную ломаную линию. Ее звенья являются линиями пересечения граней одного многогранника с гранями другого, а вершины – точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Таким образом чтобы построить линию пересечения двух многогранников, нужно решить задачу либо на пересечение двух плоскостей (способ граней), либо на пересечение прямой с плоскостью (способ ребер). На практике обычно используются оба способа в комбинации.

Пересечение пирамиды с призмой. Рассмотрим случай пересече-

ния пирамиды с призмой, боковая поверхность которой проецируется на π3 на очерковые основания (четырехугольник). Построение начинаем с профильной проекции. При нанесении точек воспользуемся способом ребер, т. е. когда ребра вертикальной пирамиды пересекают грани горизонтальной призмы (рис. 6.1).

Анализ условия задачи показывает, что линия пересечения пирамиды и призмы распадается на 2 ветви, одна из ветвей – плоский многоугольник, точки 1 , 2 , 3 , 4 (точки пересечения ребер пирамиды с гранью призмы). Горизонтальные, фронтальные и профильные их проекции находятся на проекциях соответствующих ребер и определяются по линиям связи. Аналогично могут быть найдены точки 5 , 6 , 7 и 8 , принадлежащие другой ветви. Точки 9 , 10 , 11 , 12 определяются из условия, что верхняя и нижняя грани призмы параллельны между собой, т. е. 1 " 2 " параллельна 5" 10" и т. д.

Можно воспользоваться способом вспомогательных секущих плоскостей. Вспомогательная плоскость пересекает обе поверхности по ломаным линиям. Взаимное пересечение этих линий и дает нам точки, принадлежащие искомой линии пересечения. В качестве вспомогательных плоскостей выбираем α""" и β""". С помощью плоскости α"""

находим проекции точек 1 " , 2 " , 3 " , 4 " , а плоскости β""" – точки 5" , 6" , 9 " , 10" , 11 " , 12 " . Точки 7 и 8 определяем как в предыдущем способе.

6.3. Пересечение гранных поверхностей

с поверхностями вращения

Большинство технических деталей и предметов состоит из сочетания различных геометрических тел. Пересекаясь между собой, по-

верхности этих тел образуют различные прямые или кривые линии, которые называются линиями взаимного пересечения.

Для построения линии пересечения двух поверхностей нужно найти такие точки, которые одновременно принадлежали бы двум поверхностям.

При пересечении многогранника с поверхностью вращения образуется пространственная кривая линия пересечения.

Если происходит полное пересечение (проницание), то образуются две замкнутые кривые линии, а если неполное пересечение – то одна замкнутая пространственная линия пересечения.

Для построения линии взаимного пересечения многогранника с поверхностью вращения используется способ вспомогательных секущих плоскостей. Вспомогательная плоскость пересекает обе поверхности по кривой и по ломаной линиям. Взаимное пересечение этих линий и дает нам точки, принадлежащие искомой линии пересечения.

Пусть требуется построить проекции линии пересечения поверхностей цилиндра и треугольной призмы. Как видно из рис. 6.2, в пересечении участвуют все три грани призмы. Две из них направлены под некоторым углом к оси вращения цилиндра, следовательно, пересекают поверхность цилиндра по эллипсам, одна грань перпендикулярна к оси цилиндра, т. е. пересекает его по окружности.

План решения:

1) находим точки пересечения ребер с поверхностью цилиндра;

2) находим линии пересечения граней с поверхностью цилиндра. Как видно из рис. 6.2, боковая поверхность цилиндра – горизон-

тально-проецирующая, т. е. перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. Боковая поверхность призмы – профильно-проецирую- щая, т. е. каждая ее грань перпендикулярна к профильной плоскости проекций. Следовательно, горизонтальная проекция линии пересечения тел совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра, а профильная – с профильной проекцией призмы. Таким образом, на чертеже нужно построить лишь фронтальную проекцию линии пересечения.

Построение начинаем с нанесения характерных точек, т. е. точек, которые можно найти без дополнительных построений. Такими являются точки 1, 2 и 3. Они находятся на пересечении очерковых образующих фронтальных проекций цилиндра с фронтальной проекцией соответствующего ребра призмы с помощью линий связи.

Таким образом, точки пересечения ребер призмы с поверхностью цилиндра построены.

Для того чтобы найти промежуточные точки (всего таких точек четыре, но обозначим одну из них А ) линий пересечения цилиндра с гранями призмы, пересекаем обе поверхности какой-либо проецирующей плоскостью или плоскостью уровня. Возьмем, например, горизонтальную плоскость α. Плоскость α пересекает грани призмы по двум прямым, а цилиндр – по окружности. Эти линии пересекаются в точке A " (одну точку подписали, а остальные нет), которая принадлежит одновременно и поверхности цилиндра (лежит на окружности, которая принадлежит цилиндру) и поверхности призмы (лежит на прямых линиях, которые принадлежат граням призмы).

Прямые, по которым пересекаются грани призмы с плоскостью α, найдены сначала на профильной проекции многогранника (там они спроецировались в точку A """ и симметричную точку), а затем с помощью линий связи построены на горизонтальной проекции призмы. Точка A и симметричные точки получены на пересечении горизонтальной проекции линий пересечения (плоскости α с призмой) с окружностью и при помощи линий связи найдены на фронтальной проекции.

Необходимо построить развертку поверхностей и перенести линию пересечения поверхностей на развертку. В основе данной задачи рассматриваются поверхности (конуса и цилиндра ) с их линией пересечения, приведенные в предыдущей задаче 8 .

Для решения таких задач по начертательной геометрии необходимо знать:

— порядок и методы построения разверток поверхностей;

— взаимное соответствие между поверхностью и ее разверткой;

— частные случаи построения разверток.

Порядок решения з адачи

1. Отметим, что разверткой называется фигура, получаемая в
результате разреза поверхности по какой-либо образующей и постепенного разгибания ее до полного совмещения с плоскостью. Отсюда развертка, прямого кругового конуса — сектор с радиусом, равным длине образующей, и основанием, равным длине окружности основания конуса. Все развертки строятся только из натуральных величин.

Рис.9.1

— длину окружности основания конуса, выраженную в натуральной величине делим на ряд долей: в нашем случае — 10, от количества долей зависит точность построения развертки (рис.9.1.а );

— откладываем полученные доли, заменяя их хордами, на длине
дуги, проведенной радиусом, равным длине образующей конуса l=|Sb|. Начало и конец отсчета долей соединяем с вершиной сектора — это и будет развертка боковой поверхности конуса.

Второй способ:

— строим сектор с радиусом, равным длине образующей конуса.
Заметим, что как в первом, так и во втором случае за радиус берется крайняя правая или левая образующие конуса l=|Sb|, т.к. они выражены в натуральной величине;

— при вершине сектора откладываем угол а, определяемый по формуле:

Рис.9.2

где r — величина радиуса основания конуса;

l — длина образующей конуса;

360 — постоянная переводная в градусы величина.

К сектору-развертке строим основание конуса радиуса r .

2. По условиям задачи требуется перенести линию пересечения
поверхностей конуса и цилиндра на развертку. Для этого используем свойства взаимной однозначности между поверхностью и ее разверткой, в частности, отметим, что каждой точке на поверхности соответствует точка на развертке и каждой линии на поверхности соответствует линия на развертке.

Отсюда вытекает последовательность перенесения точек и линий
с поверхности на развертку.

Рис.9.3

Для развертки конуса. Условимся, что разрез поверхности конуса произведен по образующей S ’ a ’ . Тогда точки 1, 2, 3,…6
будут лежать на окружностях (дугах на развертке) с радиусами соответственно равными величинам расстояний, взятым по образующей S ’ A ’ от вершины S ’ до соответствующей секущей плоскости с точками 1’ , 2’, 3’…6’ -| S 1|, | S 2|, | S 3|….| S 6| (рис.9.1.б) .

Положение точек на этих дугах определяется расстоянием, взятым с горизонтальной проекции от образующей Sa, по хорде до соответствующей точки, например до точки с, ас=35 мм (рис.9.1.а ). Если расстояние по хорде и дуге сильно разнятся, то для уменьшения погрешности можно разделить большее количество долей и отложить их на соответствующие дуги развертки. Таким способом переносятся любые точки с поверхности на ее развертку. Полученные точки соединятся плавной кривой по лекалу (рис.9.3 ).

Для развертки цилиндра .

Развертка цилиндра есть прямоугольник с высотой, равной высоте образующей, и длиной, равной длине окружности основания цилиндра. Таким образом, для построения развертки прямого кругового цилиндра необходимо построить прямоугольник с высотой, равной высоте цилиндра, в нашем случае 100мм , и длиной, равной длине окружности основания цилиндра, определенной по известным формулам: C =2 R =220мм , или делением окружности основания на ряд долей, как было указано выше. К верхней и нижней части полученной развертки пристраиваем основание цилиндра.

Условимся, что разрез произведен по образующей AA 1 (A ’ A ’ 1 ; AA 1) . Заметим, что разрез следует производить по характерным (опорным) точкам для более удобного построения. Учитывая, что длина развертки есть длина окружности основания цилиндра C , от точки A ’= A ’ 1 разреза фронтальной проекции берем расстояние по хорде (если расстояние большое, то необходимо его разделить на доли) до точки B ’ (в нашем примере — 17мм ) и откладываем его на развертке (по длине основания цилиндра) от точки А. Из полученной точки В проводим перпендикуляр (образующую цилиндра). Точка 1 должна находиться на этом перпендикуляре) на расстоянии от основания, взятого с горизонтальной проекции до точки. В нашем случае точка 1 лежит на оси симметрии развертки на расстоянии 100/2=50мм (рис.9.4) .

Рис.9.4

И так поступаем для нахождения на развертке всех других точек.

Подчеркнем, что расстояние по длине развертки для определения положения точек берется с фронтальной проекции, а расстояние по высоте — с горизонтальной, что соответствует их натуральным величинам. Полученные точки соединяем плавной кривой по лекалу (рис.9.4 ).

В вариантах задач, когда линия пересечения распадается на несколько ветвей, что соответствует полному пересечению поверхностей, способы построения (перенесения) линии пересечения на развертку аналогичны, описанным выше.

Раздел: Начертательная геометрия /
Короткий путь http://bibt.ru

Развертки усеченного цилиндра и конуса.

Для построения развертки усеченного цилиндра вычерчивают усеченный цилиндр в двух проекциях (вид спереди и вид сверху), затем делят окружность на равное число частей, например на 12 (рис. 243). С правой стороны от первой проекции проводят прямую линию АБ, равную выпрямленной длине окружности, и делят ее на такое же количество равных частей, т. е. на 12. Из точек деления 1, 2, 3 и т. д. на линии АБ восстанавливают перпендикуляры, а из точек 1, 2, 3 и т. д., лежащих на окружности, проводят прямые, параллельные осевой до пересечения их с наклонной линией сечения.

Рис. 243. Построение развертки усеченного цилиндра

Теперь на каждом перпендикуляре откладывают циркулем вверх от линии АБ отрезки, равные по высоте отрезкам, обозначенным на проекции вида спереди номерами соответствующих точек. Для ясности два таких отрезка отмечены фигурными скобками. Полученные точки на перпендикулярах соединяют плавной кривой.

Построение развертки боковой поверхности конуса показано на рис. 244, а. Вычерчивают в натуральную величину боковую проекцию конуса по заданным размерам диаметра и высоты. Измеряют циркулем длину образующей конуса, обозначенной буквой R. Чертят циркулем с установленным радиусом дугу вокруг центра О, являющегося крайней точкой произвольно проведенной прямой ОА.

От точки А по дуге откладывают (циркулем небольшими отрезками) длину развернутой окружности, равную πD. Полученную крайнюю точку В соединяют с центром О дуги. Фигура АОВ будет разверткой боковой поверхности конуса.

Развертка боковой поверхности усеченного конуса строится, как показано на рис. 244,б. По высоте и диаметрам верхнего и нижнего оснований усеченного конуса в натуральную величину вычерчивают профиль усеченного конуса. Образующие конуса продолжают до пересечения их в точке О. Эта точка является центром, из нее проводят дуги, равные длинам окружностей основания и вершины усеченного конуса. Для этого делят основание конуса на семь частей. Каждую такую часть, т. е. 1/7 часть диаметра D, откладывают по большой дуге 22 раза и из образующейся точки В проводят прямую к центру дуги О. После соединения точки О с точками А и В получают развертку боковой поверхности усеченного конуса.

Вместо слова «выкройка» иногда употребляют «развертка», однако этот термин неоднозначен: например, разверткой называют инструмент для увеличения диаметра отверстия, и в электронной технике существует понятие развертки. Поэтому, хоть я и обязан употребить слова «развертка конуса», чтобы поисковики и по ним находили эту статью, но пользоваться буду словом «выкройка».

Построение выкройки для конуса — дело нехитрое. Рассмотрим два случая: для полного конуса и для усеченного. На картинке (кликните, чтобы увеличить) показаны эскизы таких конусов и их выкроек. (Сразу замечу, что речь здесь пойдет только о прямых конусах с круглым основанием. Конусы с овальным основанием и наклонные конусы рассмотрим в следующих статьях).

1. Полный конус

Обозначения:

Параметры выкройки рассчитываются по формулам:
;
;
где .

2. Усеченный конус

Обозначения:

Формулы для вычисления параметров выкройки:
;
;
;
где .
Заметим, что эти формулы подойдут и для полного конуса, если мы подставим в них .

Иногда при построении конуса принципиальным является значение угла при его вершине (или при мнимой вершине, если конус усеченный). Самый простой пример — когда нужно, чтобы один конус плотно входил в другой. Обозначим этот угол буквой (см. картинку).
В этом случае мы можем его использовать вместо одного из трех входных значений: , или . Почему «вместо «, а не «вместе «? Потому что для построения конуса достаточно трех параметров, а значение четвертого вычисляется через значения трех остальных. Почему именно трех, а не двух и не четырех — вопрос, выходящий за рамки этой статьи. Таинственный голос мне подсказывает, что это как-то связано с трехмерностью объекта «конус». (Сравните с двумя исходными параметрами двухмерного объекта «сегмент круга», по которым мы вычисляли все остальные его параметры в статье .)

Ниже приведены формулы, по которым определяется четвертый параметр конуса, когда заданы три.

4. Методы построения выкройки

• Вычислить значения на калькуляторе и построить выкройку на бумаге (или сразу на металле) при помощи циркуля, линейки и транспортира.
• Занести формулы и исходные данные в электронную таблицу (например, Microsoft Exel). Полученный результат использовать для построения выкройки при помощи графического редактора (например, CorelDRAW).
• использовать мою программу , которая нарисует на экране и выведет на печать выкройку для конуса с заданными параметрами. Эту выкройку можно сохранить в виде векторного файла и импортировать в CorelDRAW.

5. Не параллельные основания

Что касается усеченных конусов, то программа Cones пока строит выкройки для конусов, имеющих только параллельные основания.
Для тех, кто ищет способ построения выкройки усеченного конуса с не параллельными основаниями, привожу ссылку, предоставленную одним из посетителей сайта:
Усеченный конус с не параллельными основаниями.

16.1. Чертежи разверток поверхностей призм и цилиндров .

Для изготовления ограждений станков, вентиляционных труб и некоторых других изделий вырезают из листового материала их развертки.

Развертка поверхностей любой прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - прямоугольников и двух оснований - многоугольников.

Например, у развертки поверхностей шестиугольной призмы (рис. 139, б) все грани - равные между собой прямоугольники шириной а и высотой h, а основания - правильные шестиугольники со стороной, равной а.

Рис. 139. Построение чертежа развертки поверхностей призмы: а - два вида; б - развертка поверхностей

Таким образом, можно построить чертеж развертки поверхностей любой призмы.

Развертка поверхностей цилиндра состоит из прямоугольника и двух кругов (рис. 140, б). Одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра, другая - длине окружности основания. На чертеже развертки к прямоугольнику пристраивают два круга, диаметр которых равен диаметру оснований цилиндра.

Рис. 140. Построение чертежа развертки поверхностей цилиндра: а - два вида; б - развертка поверхностей

16.2. Чертежи разверток поверхностей конуса и пирамиды .

Развертка поверхностей конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из сектора - развертки боковой поверхности и круга - основания конуса (рис. 141, 6).

Рис. 141. Построение чертежа развертки поверхностей конуса: а - два вида; б - развертка поверхностей

Построения выполняются так:

1. Проводят осевую линию и из точки s" на ней описывают радиусом, равным длине s"a" образующей конуса, дугу окружности. На ней откладывают длину окружности основания конуса.

   Точку s" соединяют с концевыми точками дуги.

2. К полученной фигуре - сектору пристраивают круг. Диаметр этого круга равен диаметру основания конуса.

Длину окружности при построении сектора можно определить по формуле C = 3.14xD.

Угол а подсчитывают по формуле а = 360°хD/2L, где D - диаметр окружности основания, L -длина образующей конуса, ее можно подсчитать по теореме Пифагора.

Рис. 142. Построение чертежа развертки поверхностей пирамиды: а - два вида; б - развертка поверхностей

Чертеж развертки поверхностей пирамиды строят так (рис. 142, б):
Из произвольной точки О описывают дугу радиуса L, равного длине бокового ребра пирамиды. На этой дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания. Крайние точки соединяют прямыми с точкой О. Затем пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.

Обратите внимание, как оформляют чертежи разверток. Над изображением выносят специальный знак. От линий сгиба, которые проводят штрихпунктирнои с двумя точками, проводят линии-выноски и пишут на полке «Линии сгиба».

1. Как построить чертеж развертки поверхностей цилиндра?
2. Какие надписи наносят на чертежах разверток поверхностей предметов?