Рассмотрим на плоскости прямую и точку, не лежащую на этой прямой. И эллипс , и гипербола могут быть определены единым образом как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до данной точки к расстоянию до данной прямой есть постоянная вели-
чина ε. При 0 1 - гипербола. Параметр ε является эксцентриситетом как эллипса, так и гиперболы . Из возможных положительных значений параметра ε одно, а именно ε = 1, оказывается незадействованным. Этому значению соответствует геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки и от данной прямой.
Определение 8.1. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки и от фиксированной прямой, называют параболой.
Фиксированную точку называют фокусом параболы , а прямую - директрисой параболы . При этом полагают, что эксцентриситет параболы равен единице.
Из геометрических соображений вытекает, что парабола симметрична относительно прямой, перпендикулярной директрисе и проходящей через фокус параболы. Эту прямую называют осью симметрии параболы или просто осью параболы . Парабола пересекается со своей осью симметрии в единственной точке. Эту точку называют вершиной параболы . Она расположена в середине отрезка, соединяющего фокус параболы с точкой пересечения ее оси с директрисой (рис. 8.3).
Уравнение параболы. Для вывода уравнения параболы выберем на плоскости начало координат в вершине параболы, в качестве оси абсцисс - ось параболы, положительное направление на которой задается положением фокуса (см. рис. 8.3). Эту систему координат называют канонической для рассматриваемой параболы, а соответствующие переменные - каноническими .
Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через p. Его называют фокальным параметром параболы .
Тогда фокус имеет координаты F(p/2; 0), а директриса d описывается уравнением x = - p/2. Геометрическое место точек M(x; y), равноудаленных от точки F и от прямой d, задается уравнением
Возведем уравнение (8.2) в квадрат и приведем подобные. Получим уравнение
которое называют каноническим уравнением параболы .
Отметим, что возведение в квадрат в данном случае - эквивалентное преобразование урав-нения (8.2), так как обе части уравнения неотрицательны, как и выражение под радикалом.
Вид параболы. Если параболу у 2 = x, вид которой считаем известным, сжать с коэффициентом 1/(2р) вдоль оси абсцисс, то получится парабола общего вида, которая описывается уравнением (8.3).
Пример 8.2. Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, если она проходит через точку, канонические координаты которой (25; 10).
В канонических координатах уравнение параболы имеет вид у 2 = 2px. Поскольку точка (25; 10) находится на параболе, то 100 = 50p и поэтому p = 2. Следовательно, у 2 = 4x является каноническим уравнением параболы, x = - 1 - уравнением ее директрисы, а фокус находится в точке (1; 0).
Оптическое свойство параболы. Парабола имеет следующее оптическое свойство . Если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражения от параболы будут параллельны оси параболы (рис. 8.4). Оптическое свойство означает, что в любой точке M параболы нормальный вектор касательной составляет с фокальным радиусом MF и осью абсцисс одинаковые углы.
Определение 1
Парабола - это кривая, образованная геометрическим множеством точек, находящихся на одинаковом расстоянии от некой точки $F$, называемой фокусом и не лежащей ни на этой кривой, ни на прямой $d$.
То есть отношение расстояний от произвольной точки на параболе до фокуса и от этой же точки до директрисы всегда равно единице, это отношение называется эксцентриситетом.
Термин “эксцентриситет” также используется для гипербол и эллипсов.
Основные термины из канонического уравнения параболы
Точка $F$ называется фокусом параболы, а прямая $d$ - её директрисой.
Осью симметрии параболы называется прямая, проходящая через вершину параболы $O$ и её фокус $F$, так, что она образует прямой угол с директрисой $d$.
Вершиной параболы называется точка, расстояние от которой до директрисы минимальное. Эта точка делит расстояние от фокуса до директрисы пополам.
Что из себя представляет каноническое уравнение параболы
Определение 2
Каноническое уравнение параболы довольно простое, его несложно запомнить и оно имеет следующий вид:
$y^2 = 2px$, где число $p$ должно быть больше нуля.
Число $p$ из уравнения носит название "фокальный параметр".
Данное уравнение параболы, вернее именно эта наиболее часто применяемая в высшей математике формула, применимо в том случае, когда ось параболы совпадает с осью $OX$, то есть парабола располагается как будто на боку.
Парабола, описанная уравнением $x^2 = 2py$ - это парабола, ось которой совпадает с осью $OY$, к таким параболам мы привыкли в школе.
А парабола, которая имеет минус перед второй частью уравнения ($y^2 = - 2px$), развёрнута на 180° по отношению к каноничной параболе.
Парабола является частным случаем кривой 2-ого порядка, соответственно, в общем виде уравнение для параболы выглядит точно также как для всех таких кривых и подходит для всех случаев, а не только когда парабола параллельна $OX$.
При этом дискриминант, вычисляющийся по формуле $B^2 – 4AC$ равен нулю, а само уравнение выглядит так: $Ax^2 + B \cdot x \cdot y + C\cdot y^2 + D\cdot x + E\cdot y + F = 0$
Вывод с помощью графика канонического уравнения для параболы
Рисунок 1. График и вывод канонического уравнения параболы
Из определения, приведённого выше в данной статье, составим уравнение для параболы с верхушкой, расположенной на пересечении координатных осей.
Используя имеющийся график, определим по нему $x$ и $y$ точки $F$ из определения параболической кривой, данного выше, $x = \frac{p}{2}$ и $y = 0$.
Для начала составим уравнение для прямой $d$ и запишем его: $x = - \frac{p}{2}$.
Для произвольной точки M, лежащей на нашей кривой, согласно определению, справедливо следующее соотношение:
$FM$ = $ММ_d$ (1), где $М_d$ - точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c директрисой $d$.
Икс и игрек для этой точки равны $\frac{p}{2}$ $y$ соответственно.
Запишем уравнение (1) в координатной форме:
$\sqrt{(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 }= x + \frac{p}{2}$
Теперь для того чтобы избавиться от корня необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:
$(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 = x^2 +px^2 + \frac{p^2}{4}$
После упрощения получаем каноническое уравнение параболы: $y^2 = px$.
Парабола, описываемая с помощью квадратичной функции
Уравнение, описывающее параболу с верхушкой, расположенной где угодно на графике и необязательно совпадающей с пересечением осей координат, выглядит так:
$y = ax^2 + bx + c$.
Чтобы вычислить $x$ и $y$ для вершины такой параболы, необходимо воспользоваться следующими формулами:
$x_A = - \frac{b}{2a}$
$y_A = - \frac{D}{4a}$, где $D = b^2 – 4ac$.
Пример 1
Пример составления классического уравнения параболы
Задача. Зная расположение фокусной точки, составить каноническое уравнение параболы. Координаты точки фокуса $F$ $(4; 0)$.
Так как мы рассматриваем параболу, график которой задан каноническим уравнением, то её вершина $O$ находится на пересечении осей икс и игрек, следовательно расстояние от фокуса до вершины равно $\frac{1}{2}$ фокального параметра $\frac{p}{2} = 4$. Путём нехитрых вычислений получим, что сам фокальный параметр $p = 8$.
После подстановки значения $p$ в каноническую форму уравнения, наше уравнение примет вид $y^2 = 16x$.
Как составить уравнение параболы по имеющемуся графику
Пример 2
Рисунок 2. Каноническое уравнение для параболы график и пример для решения
Для начала необходимо выбрать точку $М$, принадлежащую графику нашей функции, и, опустив из неё перпендикуляры на оси $OX$ и $OY$, записать её икс и игрек, в нашем случае точка $M$ это $(2;2)$.
Теперь нужно подставить полученные для этой точки $x$ и $y$ в каноническое уравнение параболы $y^2 = px$, получаем:
$2^2 = 2 \cdot 2p$
Сократив, получаем следующее уравнение параболы $y^2 = 2 \cdot x$.
Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.
Лекция 17. Парабола.
Глава 17. Парабола.
п.1. Основные определения.
Определение. Параболой называется ГМТ плоскости равноудаленных от одной фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, и одной фиксированной прямой, называемой директрисой.
Определение. Расстояние от произвольной точки М плоскости до фокуса параболы называется фокальным радиусом точки М.
Обозначения: F– фокус параболы,r– фокальный радиус точки М,d– расстояние от точки М до директрисыD.
По
определению параболы, точка М является
точкой параболы тогда и только тогда,
когда
.
По определению параболы, его фокус и директриса есть фиксированные объекты, поэтому расстояние от фокуса до директрисы есть величина постоянная для данной параболы.
Определение. Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется фокальным параметром параболы.
Обозначение:
.
Введем на данной плоскости систему координат, которую мы будем называть канонической для параболы.
Определение. Ось, проведенная через фокус параболы перпендикулярно директрисе называется фокальной осью параболы.
Построим каноническую для параболы ПДСК, см. рис.2.
В качестве оси абсцисс выбираем фокальную ось, направление на которой выбираем от директрисы к фокусу.
Ось
ординат проводим через середину отрезка
FNперпендикулярно фокальной
оси. Тогда фокус имеет координаты
.
п.2. Каноническое уравнение параболы.
Теорема. В канонической для параболы системе координат уравнение параболы имеет вид:
.
(1)
Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы докажем, что координаты любой точки, лежащей на параболе удовлетворяют уравнению (1). На втором этапе мы докажем, что любое решение уравнения (1) дает координаты точки, лежащей на параболе. Отсюда будет следовать, что уравнению (1) удовлетворяют координаты тех и только тех точек координатной плоскости, которые лежат на параболе.
Отсюда и из определения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (1) является уравнением параболы.
1) Пусть точка М(х, у) является точкой параболы, т.е.
.
Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на координатной плоскости и найдем по этой формуле фокальный радиус данной точки М:
.
Из
рисунка 2 мы видим, что точка параболы
не может иметь отрицательной абсциссы,
т.к. в этом случае
.
Поэтому
и
.
Отсюда получаем равенство
.
Возведем обе части равенства в квадрат:
и после сокращения получаем:
.
2) Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (1) и пусть М(х, у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.
Тогда подставляем равенство (1) в выражение для фокального радиуса точки М:
,
откуда, по определению параболы, следует,
что точка М(х, у) лежит на параболе.
Здесь
мы воспользовались тем, что из равенства
(1) следует, что
и, следовательно,
.
Теорема доказана.
Определение. Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы.
Определение. Начало канонической для параболы системы координат называется вершиной параболы.
п.3. Свойства параболы.
Теорема. (Свойства параболы.)
1. В канонической для параболы системе координат, в полосе
нет точек параболы.
2. В канонической для параболы системе координат вершина параболы О(0; 0) лежит на параболе.
3. Парабола является кривой, симметричной относительно фокальной оси.
Доказательство. 1, 2) Сразу же следует из канонического уравнения параболы.
3)
Пусть М(х, у) – произвольная точка
параболы. Тогда ее координаты удовлетворяют
уравнению (1). Но тогда координаты точки
также удовлетворяют уравнению (1), и,
следовательно, эта точка также является
точкой параболы, откуда и следует
утверждение теоремы.
Теорема доказана.
п.4. Построение параболы.
В силу симметрии достаточно построить параболу в первой четверти, где она является графиком функции
,
а затем отобразить полученный график симметрично относительно оси абсцисс.
Строим график этой
функции, учитывая, что данная функция
является возрастающей на промежутке
.
п.5. Фокальный параметр гиперболы.
Теорема. Фокальный параметр параболы равен длине перпендикуляра к ее оси симметрии, восстановленного в фокусе параболы до пересечения с параболой.
Доказательство.
Так как точка
является точкой пересечения параболы
с перпендикуляром
(см. рис.3), то ее координаты удовлетворяют
уравнению параболы:
.
Отсюда
находим
,
откуда и следует утверждение теоремы.
Теорема доказана.
п.6. Единое определение эллипса, гиперболы и параболы.
Используя доказанные свойства эллипса и гиперболы, и определение параболы можно дать единое для всех трех кривых определение.
Определение. ГМТ плоскости, для которых отношение расстояния до одной фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до одной фиксированной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, называется:
а) эллипсом, если эта постоянная величина меньше 1;
б) гиперболой, если эта постоянная величина больше 1;
в) параболой, если эта постоянная величина равна 1.
Эта
постоянная величина, о которой идет
речь в определении, называется
эксцентриситетом и обозначается
,
расстояние от данной точки до фокуса
есть ее фокальный радиусr,
расстояние от данной точки до директрисы
обозначается черезd.
Из
определения следует, что те точки
плоскости, для которых отношение
есть величина постоянная образуют
эллипс, гиперболу или параболу,
взависимости от величины этого отношения.
Если
,
то мы получаем эллипс, если
,
то мы получаем гиперболу, если
,
то мы получаем параболу.
п.7. Касательная к параболе.
Теорема.
Пусть
– произвольная точка параболы
.
Тогда уравнение касательной к этой параболе
в
точке
имеет вид:
.
(2)
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда точка касания лежит в первой четверти. Тогда уравнение параболы имеет вид:
и
ее можно рассматривать как график
функции
.
Воспользуемся
уравнением касательной к графику функции
в точке
:
где
– значение производной данной функции
в точке
.
Найдем производную
функции
и ее значение в точке касания:
,
.
Здесь
мы воспользовались тем, что точка касания
является точкой параболы и поэтому ее
координаты удовлетворяют уравнению
параболы, т.е.
.
Подставляем найденное значение производной в уравнение касательной:
,
откуда получаем:
.
Так
как точка
принадлежит параболе, то ее координаты
удовлетворяют ее уравнению, т.е.
,
откуда получаем
или
.
Отсюда следует
.
Теорема доказана.
п.8. Зеркальное свойство параболы.
Теорема. Касательная к параболе образует равные углы с ее осью симметрии и с фокальным радиусом точки касания.
Доказательство.
Пусть
– точка касания,
– ее фокальный радиус. Обозначим черезNточку пересечения
касательной с осью абсцисс. Ордината
точкиNравна нулю и точкаNлежит на касательной,
следовательно, ее координаты удовлетворяют
уравнению касательной. Подставляя
координаты точкиNв
уравнение касательной, получаем:
,
откуда
абсцисса точки Nравна
.
Рассмотрим
треугольник
.
Докажем, что он равнобедренный.
Действительно,
.
Здесь мы воспользовались равенством,
полученным при выводе канонического
уравнения параболы:
.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Отсюда
,
ч.т.д.
Теорема доказана.
Замечание. Доказанную теорему можно сформулировать в виде зеркального свойства параболы.
Луч света, выпущенный из фокуса параболы, после отражения от зеркала параболы, идет параллельно оси симметрии параболы.
Действительно, так как угол падения луча на касательную равен углу отражения от нее, то угол между касательной и отраженным лучом равен углу между касательной и осью абсцисс, откуда следует, что отраженный луч параллелен оси абсцисс.
Замечание. Это свойство параболы получило широкое применение в технике. Если параболу вращать вокруг ее оси симметрии, то получим поверхность, которая называется параболоидом вращения. Если выполнить отражающую поверхность в форме параболоида вращения и в фокусе поместить источник света, то отраженные лучи идут параллельно оси симметрии параболоида. Так устроены прожектора и автомобильные фары. Если же в фокусе поместить устройство принимающее электромагнитные колебания (волны), то они отражаясь от поверхности параболоида попадают в это принимающее устройство. По такому принципу работают спутниковые тарелки.
Существует легенда, что в древности один полководец выстроил своих воинов вдоль берега, придав их строю форму параболы. Солнечный свет, отражаясь от начищенных до блеска щитов воинов собирался в пучок (в фокусе построенной параболы). Таким образом были сожжены корабли неприятеля. Некоторые источники приписывают это Архимеду. Так или иначе, но арабы называли параболоид вращения "зажигательным зеркалом".
Кстати, слово "focus" латинское и в переводе означает огонь, очаг. С помощью "зажигательного зеркала" можно в солнечный день разжечь костер и вскипятить воду. Так что становится понятным происхождение этого термина.
Слово "фокус" означает также некоторый трюк или хитрый прием. Раньше цирк назывался балаганом. Так еще балаганные артисты использовали зеркальное свойство эллипса и зажигая свет в одном фокусе эллипса они разжигали что-нибудь лекговоспламеняющее, помещенное в другом его фокусе. Это зрелище также стали называть фокусом. (Читайте замечательную книжку Виленкина Н.Я. "За страницами учебника математики")
п.9. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.
Пусть на плоскости дана точка F, которую мы назовем фокусом и прямаяD, которую мы назовем директрисой. Проведем через фокус прямую перпендикулярную директрисе (фокальная ось) и введем полярную систему координат. Полюс поместим в фокус, а в качестве полярного луча возьмем ту часть прямой, которая не пересекает директрису (см. рис.5).
Пусть точка М лежит на эллипсе, гиперболе или параболе. В дальнейшем будем называть зллипс гиперболу или параболу просто кривой.
Теорема.
Пусть
– полярные координаты точки кривой
(эллипса, гиперболы или параболы). Тогда
,
(3)
где
р – фокальный параметр кривой,
– эксцентриситет кривой (для параболы
полагаем
).
Доказательство.
Пусть Q– проекция точки
М на фокальную ось кривой, В – на
директрису кривой. Пусть полярный угол
точки М является тупым, как на рисунке
5. Тогда
,
где
по построению,
– расстояние от точки М до директрисы,и
.
(4)
С другой стороны, по единому определению эллипса, гиперболы и параболы отношение
(5)
равно
эксцентриситету соответствующей кривой
для любой точки М на данной кривой. Пусть
точка
– точка пересечения кривой с перпендикуляром
к фокальной оси, воостановленного в
фокусеFи А – ее проекция
на директрису. Тогда
,
откуда
.
Но
,
откуда
и, подставляя в
равенство (4), получаем
или, учитывая равенство (5),
откуда и следует доказываемое равенство (3).
Заметим, что
равенство (4) остается верным и в случае,
когда полярный угол
точки М является острым, т.к. в этом
случае точкаQнаходится
правее фокусаFи
Теорема доказана.
Определение. Уравнение (3) называется полярным уравнением эллипса, гиперболы и параболы.
Многие технические, экономические и социальные вопросы прогнозируются при помощи кривых. Наиболее используемым типом среди них является парабола, а точнее, ее половина. Важной составляющей любой параболической кривой является ее вершина, определение точных координат которой иногда играет ключевую роль не только в самом отображении протекания процесса, но и для последующих выводов. О том, как найти ее точные координаты, и пойдет речь в данной статье.
Вконтакте
Начало поиска
Перед тем как перейти к поиску координат вершины параболы, ознакомимся с самим определением и его свойствами. В классическом понимании параболой называется такое расположение точек, которые удалены на одинаковом расстоянии от конкретной точки (фокус, точка F), а также от прямой, которая не проходит через точку F. Рассмотрим данное определение более предметно на рисунке 1.
Рисунок 1. Классический вид параболы
На рисунке изображена классическая форма. Фокусом является точка F. Директрисой в данном случае будет считаться прямая оси Y (выделена красным цветом). Из определения можно удостовериться, что абсолютно любая точка кривой, не считая фокуса, имеет себе подобную с другой стороны, удаленную на таком же расстояние от оси симметрии, как и сама. Более того, расстояние от любой из точек на параболе равно расстоянию до директрисы . Забегая вперед, скажем, что центр функции не обязательно должен находиться в начале координат, а ветки могут быть направлены в разные стороны.
Парабола, как и любая другая функция, имеет свою запись в виде формулы:
В указанной формуле буква «s» обозначает параметр параболы, которая равна расстоянию от фокуса до директрисы. Также есть и другая форма записи, указано ГМТ, имеющая вид:
Такая формула используется при решении задач из области математического анализа и применяется чаще, чем традиционная (в силу удобства). В дальнейшем будем ориентироваться на вторую запись.
Это интересно! : доказательство
Расчет коэффициентов и основных точек параболы
К числу основных параметров принято относить расположение вершины на оси абсцисс, координаты вершины на оси ординат, параметр директрисы.
Численное значение координаты вершины на оси абсцисс
Если уравнение параболы задано в классическом виде (1), то значение абсциссы в искомой точке будет равняться половине значения параметра s (половине расстояния между директрисой и фокусом). В случае, если функция представлена в виде (2), то x нулевое рассчитывается по формуле:
Т.е., глядя на эту формулу, можно утверждать, что вершина будет находиться в правой половине относительно оси y в том случае, если один из параметров a или b будет меньше нуля.
Уравнение директрисы определяется следующим уравнением:
Значение вершины на оси ординат
Численное значение местонахождения вершины для формулы (2) на оси ординат можно найти по такой формуле:
Отсюда можно сделать вывод, что в случае если а<0, то вершина кривой будет находиться в верхней полуплоскости , в противном случае – в нижней. При этом точки параболы будут обладать теми же свойствами, что были упомянуты ранее.
Если дана классическая форма записи, то более рациональным будет вычисление значения расположения вершины на оси абсцисс, а через него и последующее значение ординаты. Отметим, что для формы записи (2), ось симметрии параболы, в классическом представлении, будет совпадать с осью ординат.
Важно! При решении заданий с использованием уравнения параболы прежде всего выделите основные значения, которые уже известны. Более того, нелишним будет, если будут определены недостающие параметры. Такой подход заранее даст большее «пространство для маневра» и более рациональное решение. На практике старайтесь использовать запись (2). Она более проста для восприятия (не придется «переворачивать координаты Декарта), к тому же подавляющее количество заданий приспособлено именно под такую форму записи.
Построение кривой параболического типа
Используя распространенную форму записи, перед тем как построить параболу, требуется найти ее вершину. Проще говоря, необходимо выполнить следующий алгоритм:
- Найти координату вершину на оси X.
- Найти координату расположения вершины на оси Y.
- Подставляя разные значения зависимой переменной X, найти соответствующие значения Y и построить кривую.
Т.е. алгоритм не представляет собой ничего сложного, основной акцент делается на том, как найти вершину параболы. Дальнейший процесс построения можно считать механическим.
При условии, что даны три точки, координаты которых известны, прежде всего необходимо составить уравнение самой параболы, а потом повторить порядок действий, который был описан ранее. Т.к. в уравнении (2) присутствуют 3 коэффициента, то, используя координаты точек, вычислим каждое из них:
(5.1).
(5.2).
(5.3).
В формулах (5.1), (5.2), (5.3) применяются соответственно тех точек, которые известны (к примеру А (, B (, C (. Таким путем находим уравнение параболы по 3 точкам. С практической стороны такой подход не является самым «приятным», однако он дает четкий результат, на основе которого впоследствии строится сама кривая.
При построении параболы всегда должна присутствовать ось симметрии. Формула оси симметрии для записи (2) будет иметь такой вид:
Т.е. найти ось симметрии, которой симметричны все точки кривой, не составляет труда. Точнее, она равна первой координате вершины.
Наглядные примеры
Пример 1. Допустим, имеем уравнение параболы:
Требуется найти координаты вершины параболы, а также проверить, принадлежит ли точка D (10; 5) данной кривой.
Решение: Прежде всего проверим принадлежность упомянутой точки самой кривой
Откуда делаем вывод, что указанная точка не принадлежит заданной кривой. Найдем координаты вершины параболы. Из формул (4) и (5) получаем такую последовательность:
Получается, что координаты на вершине, в точке О, следующие (-1,25; -7,625). Это говорит о том, что наша парабола берет свое начало в 3-й четверти декартовой системы координат.
Пример 2. Найти вершину параболы, зная три точки, которые ей принадлежат: A (2;3), B (3;5), C (6;2). Используя формулы (5.1), (5.2), (5.3), найдем коэффициенты уравнения параболы. Получим следующее:
Используя полученные значения, получим следующие уравнение:
На рисунке заданная функция будет выглядеть следующим образом (рисунок 2):
Рисунок 2. График параболы, проходящий через 3 точки
Т.е. график параболы, который проходит по трем заданным точкам, будет иметь вершину в 1-й четверти. Однако ветки данной кривой направлены вниз, т.е. имеется смещение параболы от начала координат. Такое построение можно было предвидеть, обратив внимание на коэффициенты a, b, c.
В частности, если a<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 кривая будет растянута, а если меньше 1 – сжата.
Константа c отвечает за «движение» кривой вдоль оси ординат. Если c>0, то парабола «ползет» вверх , в противном случае – вниз. Относительно коэффициента b, то определить степень влияния можно лишь изменив форму записи уравнения, приведя ее к следующему виду:
Если коэффициент b>0, то координаты вершины параболы будут смещены вправо на b единиц, если меньше – то на b единиц влево.
Важно! Использование приемов определения смещения параболы на координатной плоскости подчас помогает экономить время при решении задач либо узнать о возможном пересечении параболы с другой кривой еще до построения. Обычно смотрят только на коэффициент a, так как именно он дает четкий ответ на поставленный вопрос.
Полезное видео: как найти вершину параболы
Полезное видео: как легко составить уравнение параболы из графика
Вывод
Такой как алгебраический процесс, как определение вершин параболы, не является сложным, но при этом достаточно трудоемкий. На практике стараются использовать именно вторую форму записи с целью облегчения понимания графического решения и решения в целом. Поэтому настоятельно рекомендуем использовать именно такой подход, и если не помнить формулы координаты вершины, то хотя бы иметь шпаргалку.
Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).
Фокус параболы принято обозначать буквойF, расстояние от фокуса до директрисы-буквой р . Величину p называют параметром параболы. Изображение параболы дано на рис. 61 (исчерпывающее пояснение этого чертежа читатель получит после чтения нескольких следующих пунктов).
Замечание. В соответствии с изложеннымв п ° 100 говорят, чтопарабола имеет эксцентриситет =1.
Пусть дана какая-нибудь парабола (вместе с тем мы считаем заданным параметр р). Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат, оси которой расположим специальным образом по отношению к данной параболе. Именно, ось абсцисс проведем через фокус перпендикулярно к директрисе и будем считать ее направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посредине между фокусом и директрисой (рис. 61). Выведем уравнение данной параболы в этой системе координат.
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r расстояние от точки М до фокуса (r=FM), через r - расстояние от точки М до директрисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве (1) заменить переменные r и а их выражениями через текущие координаты х, у. Заметим, что фокус F имеет координаты ; приняв это во внимание и применяя формулу (2) п ° 18. находим:
(2)
Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты ; отсюда ииз формулы (2) п ° 18 получаем:
(3),
(при извлечении корня мы взяли со своим знаком, так как - число положительное; это следует из того, что точка М(х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть х > , откуда Заменяя в равенстве (1) г и d их выражениями (2) и (3), найдем:
(4)
Это и есть уравнение рассматриваемой параболы в назначенной системе координат, так как ему удовлетворяют координаты точки М(х; у) в том и только в том случае, когда точка М лежит на данной параболе.
Желая получить уравнение параболы в более простом виде, возведем обе части равенства (4) в квадрат; получим:
(5),
Уравнение (6) выведено нами как следствие уравнения (4). Легко показать, что уравнение (4) в свою очередь может быть выведено, как следствие уравнения (6). В самом деле, из уравнения (6) очевидным образом («обратным ходом») выводится уравнение (5); далее, из уравнения (5) имеем.